Le trasformazioni geometriche
Veronica Gavagna
Trasformazioni del piano
Definizione
Una trasformazione del piano è una corrispondenza
biunivoca (o biiettiva) tra l’insieme dei punti del
piano e se stesso. Questo significa che
1. a ogni punto P corrisponde uno e un solo punto
P’
2. per ogni punto del piano esiste un punto che si
trasforma in esso (ovvero ogni punto P’
«proviene» da un punto P)
3. Punti distinti vanno in punti distinti
Quello che ci interessa è studiare quali effetti hanno le
trasformazioni sulle figure e soprattutto ci interessa
vedere se le figure trasformate conservano qualche
proprietà delle figure di partenza.
E’ proprio sulla base di queste proprietà invarianti che
potremo classificare le trasformazioni.
In effetti la definizione di geometria come «studio
delle proprietà delle figure che sono invarianti
rispetto a certe trasformazioni» è una
definizione relativamente recente: risale al matematico
tedesco Felix Klein, autore del cosiddetto Programma
di Erlangen, una prolusione pronunciata nel 1872.
Le isometrie
Le isometrie (o movimenti rigidi) sono le trasformazioni
del piano che conservano le distanze. In altre parole se
𝐴𝐵 è la distanza tra i punti A e B, e 𝐴′ 𝐵′ la distanza tra i
punti trasformati, allora
𝐴𝐵= 𝐴′ 𝐵′
Le trasformazioni isometriche trasformano una figura in
una figura congruente: in altre parole (meno tecniche) le
figure vengono «spostate» senza essere deformate.
Tutte le proprietà geometriche della figura sono
invarianti per isometria (cambia solo la «posizione»)
Le isometrie
Le isometrie si classificano in
 traslazioni
 rotazioni
 simmetrie centrali
 simmetrie assiali
 glissosimmetrie
(o antitraslazioni)
NB: Se un’isometria mantiene il senso di percorrenza
di una figura si dice diretta, altrimenti si dice inversa. Le
simmetrie assiali e le glissosimmetrie sono inverse.
Le isometrie
Le traslazioni
In una traslazione ogni punto
del piano viene spostato nella
stessa direzione e nello stesso
verso e secondo una stessa distanza.
La traslazione gode delle seguenti proprietà
• Coppie di punti corrispondenti (trasformati) AA’ e BB’
giacciono su rette parallele
• La distanza tra i punti rimane invariata
• Non ci sono punti uniti (cioè «che rimangono fermi»)
• Ogni retta viene trasformata in una retta parallela
Le isometrie
Le rotazioni
Le rotazioni sono trasformazioni caratterizzate da un
punto fisso (che chiamiamo O e che la trasformazione
lascia invariato) e dall’ampiezza di un
angolo (che chiamiamo 𝛼)
Le rotazioni dunque
• Hanno un punto unito o fisso
(il centro di rotazione)
• Sono tali per cui i punti e i loro corrispondenti hanno
uguale distanza dal centro di rotazione
• Spostano tutti i punti del piano di uno stesso angolo
𝛼 (all’infuori del centro di rotazione)
Le isometrie
Le simmetrie centrali
Si fissi in un piano il punto O e si consideri un punto P
distinto da O; si tracci poi la retta r passante per P e per
O, che divide la retta in due semirette. Sulla semiretta
che non contiene P si consideri il punto P’ tale che
𝑂𝑃 = 𝑂𝑃′
La simmetria centrale gode di queste proprietà
• Ha un punto unito
• esistono infinite rette che vengono trasformate in se
stesse (ma non si tratta di punti uniti perché ogni retta
viene trasformata nella sua opposta)
Le isometrie
Le simmetrie centrali
Si noti che la simmetria centrale equivale a una rotazione
di 180°.
Questo spiega perché se
applichiamo di seguito due
volte una simmetria centrale
a una figura, ritroviamo
la figura di partenza. In altri
termini la composizione di
due simmetrie centrali dà
origine alla trasformazione
identica (o identità) che lascia
Invariati i punti del piano.
Le isometrie
Figure con centro di simmetria
Si definiscono figure con un centro di
simmetria le figure che vengono trasformate
in sé dalla simmetria centrale attorno a quel
punto.
Un triangolo può avere centro di simmetria?
Non è possibile, perché la simmetria centrale
scambia i vertici a coppie e
questo non è possibile in
una figura con un
numero dispari di vertici.
Le isometrie
Figure con centro di simmetria
Esistono quadrilateri con centro di simmetria?
Sono i parallelogrammi!
E quindi anche parallelogrammi
particolari come rombo,
rettangolo e quadrato hanno
centro di simmetria.
Ma hanno centro di simmetria
anche
Pavimentazioni con quadrilateri qualsiasi
Se consideriamo un quadrilatero qualsiasi (in fig.
quello grigio) e consideriamo il punto medio del
lato maggiore come il punto unito di una simmetria
centrale, possiamo costruire un secondo
quadrilatero
(in fig. quello bianco).
I due quadrilateri, uniti
per il lato maggiore,
formano un esagono non
regolare che tassella il piano.
Perché non ci sono buchi?
Nuovi punti di vista per vecchie formule
Se M è il punto medio del lato BC, ruotando il triangolo MCD
di 180° attorno a M si ottiene il triangolo MC’D’ disegnato in
figura (MC’D’ è anche il simmetrico di MCD rispetto a M).
Poiché M è il punto medio di BC, B coincide con C’; inoltre
una rotazione di 180° (= simmetria centrale) trasforma rette
in rette parallele, per cui MD’ è allineato con MD e BD’ è
parallelo a CD e
Dunque allineato con AB.
ADD’ è quindi un triangolo e
ha la stessa area del trapezio
di partenza; la base è proprio
la somma delle due basi del
trapezio e l’altezza è la
stessa.
Nuovi punti di vista per vecchie formule
E’ possibile giustificare con una
opportuna isometria (o più
di una?) anche la «formula
dell’area di un parallelogramma»?
E se il parallelogramma è questo?
Un suggerimento…
Le isometrie
Simmetria assiale
Data una retta r, la simmetria assiale
di asse r è la trasformazione del piano in sé che lascia
fissi tutti i punti di r e che ad ogni punto P del piano,
esterno ad r, fa corrispondere
il punto P’ tale che la retta
r sia perpendicolare al
segmento PP’ e lo tagli nel
suo punto medio.
E’ un’isometria diretta o
Inversa?
Simmetrie assiali o
riflessioni
Le isometrie
Quali sono i triangoli e quadrilateri con almeno un
asse di simmetria?
I triangoli isoscele hanno un solo
Asse di simmetria (che coincide con
L’altezza=mediana rispetto al
lato diverso dagli altri due). I
Triangoli equilateri hanno 3 assi di
Simmetria.
Il trapezio isoscele ha un solo asse di simmetria,
Quanti ne ha il quadrato? E il rettangolo? E il rombo?
Le isometrie
Figure con asse di simmetria
Una figura ha come asse di simmetria una retta r
se, nella simmetria di asse r, la trasformata della
figura è la figura stessa.
In alternativa, si può dire che una figura
ammette r come asse di simmetria se, essendo P
un punto della figura, anche il suo simmetrico P’
appartiene alla figura
Il «problema di Erone»
P e Q sono due località situate dalla stessa parte rispetto
al fiume f. Un uomo a cavallo si trova nella località P e
vuole raggiungere Q. Prima però deve abbeverare il
cavallo al fiume. Qual è il minimo cammino che può
percorrere?
Se invece del punto P consideriamo il punto P’,
simmetrico rispetto a f, ogni tratto da P al fiume sarà
lungo come il simmetrico. Quindi il nostro problema si
riduce
a trovare il minimo
cammino da P’ a Q, che
è chiaramente il segmento
P’Q. Il punto M in cui si
interseca il fiume determina
dunque il segmento PM.
Problemi risolubili con simmetrie centrali
1. In P e in P’ ci sono due fontane in mezzo ad
una pianura percorribile in ogni parte. Da
quali posizioni si è più vicini alla fontana P?
Da quali alla P’? Ci sono punti da cui è
indifferente andare in P o in P’ perché
ugualmente distanti?
2. Tra i triangoli aventi una certa base AB e
altezza assegnata, qual è quello con minore
perimetro?
Soluzioni in S. Dentella, L’insegnamento della geometria. Trasformazioni
geometriche, in L’insegnamento della geometria
(http://www.liceovallisneri.it/istituto/pubblicazioni/19_1geom.PDF)
Composizione di trasformazioni
Se 𝑇1 è una trasformazione che manda il punto P
nel punto P’,
𝑻𝟏 𝑷 = 𝑷′
e 𝑇2 è una trasformazione che manda P’ in P’’,
𝑻𝟐 𝑷′ = 𝑷′′
allora la trasformazione T che manda P in P’’ si dice
trasformazione composta della 𝑇1 e 𝑇2 e si indica
𝑻 = 𝑻𝟐 ∘ 𝑻𝟏
𝑻(𝑷) = (𝑻𝟐 ∘ 𝑻𝟏 )(𝑷) = 𝑻𝟐 (𝑻𝟏 (𝑷)) = 𝑻𝟐 (𝑷′) = 𝑷′′
Composizione di trasformazioni
La composizione di isometrie è un’operazione
interna, cioè è ancora un’isometria.
In generale non è commutativa, ma…
• La composizione di sole traslazioni o sole
rotazioni con lo stesso centro è commutativa
Composizione di simmetrie assiali
ad assi paralleli
La composizioni di due simmetrie assiali con gli assi
paralleli e distinti equivale ad una traslazione di un
vettore di direzione perpendicolare agli assi, con il
verso dal primo al secondo asse, e
lunghezza doppia
della loro distanza.
Composizione di simmetrie assiali
ad assi incidenti
La composizione di due
simmetrie assiali con assi
incidenti equivale ad una
rotazione avente centro nel
punto di intersezione degli assi
ed ampiezza doppia dell’angolo
da essi formato.
Quindi la composizione di due
simmetrie assiali con gli assi
perpendicolari equivale ad una
rotazione di un angolo piatto,
cioè ad una simmetria centrale.
Le isometrie
Glissosimmetrie
Una glissosimmetria è una isometria che si
ottiene componendo una simmetria assiale
con una traslazione parallela all’asse di
simmetria (o anche componendo una
traslazione con una simmetria assiale)
La similitudine
Ingrandimenti e riduzioni
Una similitudine è una trasformazione geometrica
affine in cui resta invariato il rapporto fra le
distanze di coppie di punti corrispondenti (A,B) e
(A',B') ovvero
𝐴𝐵 = 𝑘 𝐴′ 𝐵′
Se K=1, che tipo di similitudine abbiamo?
Proprietà della similitudine
Una similitudine trasforma segmenti in segmenti di
rapporto k (k è detto rapporto di similitudine)
• Una similitudine trasforma rette in rette;
• Una similitudine trasforma angoli in angoli di uguale
ampiezza, in particolare conserva il parallelismo e la
perpendicolarità;
• Una similitudine trasforma aree in aree di rapporto k2
• Le similitudini mantengono la "forma", in particolare
trasformano circonferenze in circonferenze, ... , cioè
trasformano una figura geometrica in una figura simile
a quella data
Il fattore di scala
Quando leggiamo su una carta geografica il fattore di
scala, questo è dato nella forma 1:x
Se per esempio il rapporto è 1:50 significa che a un
segmento della carta di lunghezza 1 (rispetto a qualsiasi
unità di misura) corrisponde un segmento di lunghezza 50
nella realtà (rispetto alla stessa unità di misura)
Ciò significa che il rapporto della similitudine che
fa passare dalla cartina alla realtà è 50, mentre
il rapporto di similitudine inversa, che fa passare
dalla realtà alla carta è 1/50
Osservazioni
Ma due rettangoli, che conservano sempre la stessa forma, sono
sempre simili?
I rettangoli
in figura sono
simili?
I lati di un quadrato
e di un rombo stanno
tutti nello stesso rapporto. Questo significa che sono simili?
Quando diciamo che la similitudine non muta gli angoli,
intendiamo dire che nessuno degli angoli viene mutato (nei due
rettangoli, ad esempio, le diagonali si tagliano secondo angoli
diversi).
Analogamente, anche se le lunghezze dei lati di un quadrato e di
un rombo sono nello stesso rapporto, certamente non lo sono le
lunghezze delle rispettive diagonali.
Le trasformazioni affini
Le trasformazioni affini sono particolari trasformazioni di
cui non daremo una definizione vera e propria.
Per avere un’idea di come
venga trasformata una figura
per affinità, si pensi alle ombre
prodotte dai raggi luminosi
(la cui sorgente è
così lontana da poter
supporre che i raggi
siano paralleli)
Le trasformazioni affini
•
La Francia e la sua immagine dopo una
trasformazione affine. Le rette della griglia
rimangono dritte, ma cambiano gli angoli e le
lunghezze
Alcuni programmi al pc permettono di
prendere un’immagine e di “stiracchiarla”
usando due numeri: uno precisa lo
“stiracchiamento” in orizzontale e l’altro in
verticale. Se i due numeri sono uguali, la forma
della figura non cambia e anche nel linguaggio
comune si dice che le due figure sono uguali
per similitudine; in generale, se i due numeri
possono anche essere differenti, le due figure
sono uguali per affinità
(http://www.matematita.it/personali/index.php?blog
=6&cat=165)
Proprietà delle affinità
Si può dimostrare che un'affinità gode delle seguenti proprietà:
• trasforma rette in rette;
• se tre punti P, Q, R sono allineati, i loro corrispondenti in
un'affinità P', Q', R' sono anch'essi allineati;
• a rette parallele corrispondono rette parallele e a rette
incidenti corrispondono rette incidenti;
• conserva il rapporto fra segmenti paralleli (in particolare al
punto medio di un segmento corrisponde il punto medio del
segmento trasformato);
In generale un'affinità:
• non conserva la forma delle figure. Infatti l'immagine di un
rettangolo è in generale un parallelogramma, così come
l'immagine di una circonferenza è un'ellisse.
• non conserva gli angoli, per esempio rette perpendicolari non
necessariamente vengono trasformate in rette perpendicolari.
Le trasformazioni proiettive
È davvero difficile dire che cosa è rimasto “uguale” fra
due figure affini, ma ci sono modi ancora più generali di
ritenere uguali due oggetti. Sono quelli legati alle
proiettività, che regolano la geometria della visione:
per essi, un cerchio e un’ellisse – ma anche un cerchio e
una parabola – sono uguali in quanto possono essere
due fotografie, da punti di vista diversi, dello stesso
oggetto.
(http://www.matematita.it/personali/index.php?blog=
6&cat=165)
Proprietà delle trasformazioni
proiettive
Conservano solo la rettilinearità, cioè
trasformano
linee rette in linee rette
Figure concave in
figure concave
E convesse in convesse
Le trasformazioni topologiche
Una trasformazione topologica tra due figure è una
qualsiasi trasformazione che consente di
trasformare una figura nell’altra effettuando (anche
più volte) le seguenti
operazioni:
la figura può essere deformata, senza però
effettuare lacerazioni o congiungimenti di punti
distinti
si può tagliare e deformare la figura, a patto però
che dopo la deformazione si incolli negli stessi
punti in cui si è effettuato il taglio
Le trasformazioni topologiche
Due figure sono topologicamente equivalenti se
ciascuna figura è ottenibile dall’altra mediante
una trasformazione topologica.
Proprietà delle trasformazioni
topologiche
• A curve chiuse corrispondono curve chiuse; curve
aperte corrispondono curve aperte .
• A curve intrecciate corrispondono curve
intrecciate con lo stesso numero di nodi(i punti in
cui le curve intersecano se stesse)
• Se un punto è intersezione di due curve, il punto
che gli corrisponde risulta intersezione delle
curve corrispondenti. Inoltre, se un punto è
interno/esterno a una curva, rimane
interno/esterno alla sua trasformata.
Esempi
• le cartine che rappresentano due
reti di percorsi su cui si muovono due mezzi di trasporto:
il treno e la metropolitane, sono trasformazioni
topologiche dei relativi percorsi. Sono conservate le
informazioni necessarie a chi utilizza questi mezzi: gli
incroci, le stazioni intermedie, l'ordine delle stazioni; sono
tralasciate le distanze o i tratti curvi e rettilinei perché
non sono invarianti topologici.
• Se disegni una figura su un palloncino e poi lo gonfi, la
figura si deforma. Tuttavia le linee chiuse restano
chiuse, quelle aperte restano aperte, quelle intrecciate
restano intrecciate
Cosa conservano…
ISOMETRIE
- Ampiezza angoli
- Lunghezza segmenti
- Numero dei lati
- Aperto/chiuso
- dentro/fuori
- Parallelismo
- Ortogonalità
- Ordine dei nodi
- Numero dei buchi
TRASFORMAZIONI
TOPOLOGICHE
Aperto/chiuso
Dentro/fuori
Ordine dei nodi
Numero dei buchi
SIMILITUDINI
Ampiezza angoli
Numero dei lati
Aperto/chiuso
Dentro/fuori
Parallelismo
Ortogonalità
Ordine dei nodi
Numero dei buchi+
PROIEZIONI
Numero dei lati
Aperto/chiuso
Dentro/fuori
Ordine dei nodi
Numero dei buchi
A proposito di dentro/fuori…
F. Ghione, Tau Topologo,
http://www.mat.uniroma2.it/mep/Tau/home.html
E’ così semplice stabilire se un punto è esterno o
interno a una curva chiusa?
Provate con questo disegno….
Problemi topologici
I sette ponti di Königsberg
E’ possibile con una passeggiata seguire un
percorso che attraversi ogni ponte una e una volta
soltanto e tornare al punto di partenza?
Nel 1736 Leonhard Euler affrontò e risolse tale
problema.
Cosa c‘è di geometrico in questo problema che parla di
ponti e passeggiate ? Certo non entra in gioco la
geometria delle misure, degli angoli, delle forme rigide: ci
si rende conto infatti che il problema non dipende da
quanto sono grandi le isole, o da come sono fatti i ponti,
o dall'estensione della parte nord o sud della citta.
Il problema dipende da come sono disposti i ponti, da
quali parti della citta ciascuno di loro mette in
collegamento.
Scoprire se la figura geometrica individuata, nella cartina,
dalla citta (comprese le isole e i ponti, escluso il fiume) ha
o non ha la caratteristica di permettere la passeggiata e
scoprire una caratteristica topologica della figura, che non
cambia se la deformiamo.
Problemi topologici
Colorare una mappa
Supponiamo di avere di fronte un mappamondo in cui ogni
regione (mare incluso) e colorata con un colore e, come si usa,
due regioni confinanti (se hanno un tratto di confine in comune,
non solo un punto) risultano sempre colorate con colori diversi.
Qual’ è il numero minimo di colori che dobbiamo avere a
disposizione per colorare così un mappamondo sferico?
Questo problema è di natura topologica. Tanto per cominciare,
si nota subito che per il problema non sono rilevanti la
dimensione o la forma degli stati o la lunghezza dei loro contorni
ma il modo in cui sono disposti, il gioco delle loro relazioni di...
vicinato.
Il numero minimo di colori necessario per colorare una
superficie (in modo che 2 regioni confinanti non abbiano lo
stesso colore) è una proprietà topologica della superficie: se la
superficie è sottoposta a trasformazione topologica il numero
minimo dei colori resta lo stesso (è un invariante!!!)
Problemi topologici
Itinerari nei musei
Problemi topologici
Senza staccare la penna…
I grafi
Un grafo è un insieme di punti (detti vertici o
nodi) e di linee (dette spigoli o archi) tale che
ogni spigolo collega due vertici.
Un grafo piano è un grafo che può essere disegnato sul
piano senza che si abbiano intersezioni tra gli spigoli.
Un grafo connesso è un grafo in cui qualsiasi coppia di
vertici è collegata da un percorso.
Trasformiamo lo schema dei ponti di Konigsberg in un
grafo
→
→
Un grafo si dice euleriano (o percorribile) se è possibile
percorrerlo completamente passando una sola volta
attraverso i suoi spigoli (o archi).
Se il grafo soprastante è euleriano si può rispondere
positivamente alla questione dei ponti…. ma è euleriano???
Teorema di Eulero
Si chiama grado del vertice V il numero di spigoli
che concorrono in V. Un vertice si dice pari se il suo
grado è pari.
Se in un grafo vi sono solo vertici di grado
pari, allora il grafo è euleriano e il grafo
può essere percorso partendo da un punto
qualsiasi.
Se nel grafo vi sono due e solo due vertici
dispari, il grafo è ancora percorribile, ma il
punto di partenza dovrà essere uno dei
vertici dispari e il punto di arrivo sarà il
vertice dispari rimanente.
Nuovi ponti…
L'enunciato originale del problema concerne vertici non
identificati, cioè caratterizzati solo dai loro collegamenti. Vi sono
invece variazioni su questo tema che possono essere utili per
introdurre il problema nell'insegnamento e che si preoccupano di
identificare i vertici del grafo con personaggi e ruoli, in modo da
verificare la comprensione dell'argomento mantenendo viva
l'attenzione.
Si precisa quindi che sulla riva settentrionale della città sorge lo
Schloß, castello in tedesco, del principe Blu e che sulla riva
meridionale sorge quello del principe Rosso, suo fratello e rivale.
Sull'isola orientale vi è la Kirche, la chiesa, sede del Vescovo mentre
nell'isola centrale si trova una Gasthaus, un'osteria, nella quale
molti abitanti della città avevano l'abitudine la sera di trattenersi
per tentare poi l'impresa chiamata passare i ponti, tornando più
tardi a festerggiare la riuscita della stessa senza ulteriori
dimostrazioni.
Nuovi ponti…
Il principe blu, vuole costruire un altro ponte in modo che sia
possibile partire dal suo castello, passare tutti gli otto ponti una e
una sola volta, e terminare all'osteria vantandosi dell'impresa. Puo
farcela? Dove deve costruire l'altro ponte?
Il principe rosso, visto l'ottavo ponte costruito dal principe blu, vuole
farlo indispettire. Vuole costruire un nono ponte, che gli consenta di
partire dal suo castello, passare tutti i nove ponti una e una sola
volta, e terminare all'osteria... vantandosi della sua impresa e del
fatto che un'impresa simile non può adesso riuscire al principe blu.
Dove deve costruire il nono ponte?
Il Vescovo, preoccupato della contesa fra i due principi, pensa che
sarebbe bello riappacificare la citta costruendo un decimo ponte che
permetta finalmente a tutti i cittadini, partendo da un punto
qualsiasi della citta, di ritornarvi dopo aver percorso tutti i ponti una
e una sola volta. E possibile ? In tal caso, dove deve essere costruito il
decimo ponte?
Ecco la situazione finale!
Applicazioni: problemi di trasporto
Il postino deve distribuire la posta nelle vie indicate: è possibile
coprire il percorso senza ripassare dalle stesse strade?
Problemi topologici
Senza staccare la penna…
Come si trasforma in grafo la pianta del museo?
Questo è il grafo
E’ percorribile?
E la colorazione delle mappe?
Nel 1977 è stato dimostrato il Teorema dei 4 colori: data
una qualsiasi carta geografica politica è possibile
colorare stati adiacenti con colori distinti
utilizzando al più quattro colori.
Bisogna precisare che per stati adiacenti si intende due
stati con almeno un segmento di confine in comune e non
solo un punto o più punti isolati. Inoltre gli stati devono
essere connessi, cioè ogni stato non può essere formato
da due o più parti sconnesse.
Il teorema non esclude che vi siano carte colorabili con
meno di 4 colori, né che una scelta poco razionale renda a
un certo punto inevitabile l’uso del quinto colore.
Due vertici si dicono adiacenti se c’è lo spigolo che li congiunge.
Ad esempio, nel grafo in Figura 1 il vertice 0 è adiacente a tutti gli
altri vertici, mentre il vertice 2 è adiacente solo ai vertici 0 ed 1.
Una colorazione del grafo è una funzione
che associa ad ogni vertice un colore in
modo che vertici adiacenti abbiano colori
distinti.
Con c-colorazione si intende una colorazione che utilizza c colori
distinti. Il numero cromatico di un grafo è il minimo c per cui
esiste una c-colorazione.
Ad esempio si vede facilmente che
il grafo in Figura 2 ha numero
cromatico 3, a fianco abbiamo
infatti una sua 3-colorazione ed è
immediato osservare che una
2-colorazione non esiste.
Consideriamo ora una mappa geografica e
rappresentiamo ogni suo stato con un punto in
corrispondenza della propria capitale e uniamo due
punti se e solo se le capitali che essi rappresentano
corrispondono a stati adiacenti. In tal modo
trasformiamo la carta geografica in un grafo i cui
vertici sono le capitali mentre gli spigoli sono i
segmenti congiungenti le capitali di stati adiacenti.
Vediamo un esempio concreto. Prendiamo la
seguente mappa.
Si vede facilmente che
il grafo ad essa associato
è il seguente, dove per
una sua più facile lettura
abbiamo indicato ogni
vertice con la prime due lettere dello stato che
rappresenta:
Si può dimostrare che il grafo che si ottiene in tal
modo è sempre planare, cioè si può disegnare in
modo che i suoi spigoli si incontrino solo nei
vertici. Allora il Teorema dei quattro colori può
essere enunciato nel seguente modo: ogni grafo
planare ammette una 4-colorazione.
Le slide sul Teorema dei 4 colori sono tratte da
A.Pasotti, Il teorema dei 4 colori e la teoria dei grafi,
Matematicamente.it Magazine, Anno I, n.4
Materiali per la didattica
B. D’Amore, Geometria, FrancoAngeli 1987
Matematita:
http://www.matematita.it/materiale/?p=home
Mostra Simmetria e giochi di specchi
http://specchi.mat.unimi.it/
F. Ghione, Tau Topologo,
http://www.mat.uniroma2.it/mep/Tau/home.html
R.Petti, Il Regno di Regiomonte
http://web.math.unifi.it/archimede/laboratori/materiali/regiom
onte/Regiomonte1-41.pdf
Riferimenti bibliografici
R. Zan, Dispense geometria 28 maggio 2008
http://www.dm.unipi.it/~zan/SCIENZE%20DELLA%20FORMAZIONE%20POLO
%20DI%20LIVORNO/MATEMATICA/Dispense_geometria_28maggio08.pdf
Silvia Dentella. L’insegnamento della geometria. Trasformazioni
geometriche, in L’insegnamento della geometria
(http://www.liceovallisneri.it/istituto/pubblicazioni/19_1geom.PDF)
Per chi volesse approfondire:
M.Dedò, Galleria di metamorfosi, Mimesis 2010
Le slide sul problema dei ponti di Konigsberg sono tratte da due testi in rete:
(1) http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/romagnoli/setteponti.pdf
(2) http://www.maestran.ch/math/pdfs/publ/sm2008.pdf