Logica della vaghezza
Carattere “vero-funzionale” dei
connettivi classici.
 “non”:
“¬”
p ¬p
1
0
0
1
Tavola di verità del connettivo “e”:
“&”
p
q
p&q
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
“Se p allora q”: “p
p
q
p
q”
q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
PARADOSSO DEL SORITE
Esempio di ‘sorite’
[da ‘σορος’ = ‘mucchio’]

1) Un chicco di grano non è un mucchio;
2) Se un chicco di grano non è un mucchio, allora due
chicchi di grano non sono un mucchio;

n) Se n-1 chicchi di grano non sono un mucchio, allora n
chicchi di grano non sono un mucchio

 n chicchi di grano non sono un mucchio.


1) Fa1
2) Fa1  Fa2

.

.

.
n) Fan-1  Fan
1) Fa1
2) Fa1  Fa2
 .
 .
 .
100.000) Fa99.999 Fa100.000
Fan
Fa100.000

1) Fx1
2) Per ogni i, Fxi  Fxi+1
3) Fxn
 Argomento
 Verità
 Validità
Concetto di validità.
Un argomento è valido quando non si dà mai il caso che,
essendo vere le premesse, sia falsa la sua conclusione.
Si può paragonare un argomento valido a una macchina, nella
quale si inseriscono come input enunciati veri per ottenere
come output enunciati veri.
La validità è una proprietà della struttura di un argomento;
mentre la verità concerne il rapporto di un enunciato con le
‘cose’ cui l’enunciato stesso si riferisce.
Un argomento valido può essere formato da
enunciati veri, nel qual caso è anche corretto.
Se invece almeno una delle premesse è falsa, è
scorretto.
 Valido:
 Vero:
proprietà della struttura
proprietà dei singoli ‘pezzi’ che
compongono l’argomento
(proposizioni, enunciati)
Esempio di argomento valido, ma
falso (non corretto)
 Se
oggi è il 25 dicembre, allora oggi
è Natale
 Oggi
è il 25 dicembre
 Dunque
oggi è Natale.
Alcune ipotesi riguardo al sorite:
1) Si tratta di un argomento invalido
2) L’argomento è valido, ma le premesse
sono false (almeno una lo è)
2a) E’ falsa la prima premessa
2b) Sono false le premesse a partire da
un numero k compreso tra 2 e n (2≤k≤n)
3) L’argomento è valido, ma proprio ciò
mette in luce la non trattabilità delle
nozioni vaghe
E’ un argomento invalido?
Consta di una premessa categorica (la
prima) e di n premesse condizionali.
Possiamo vederlo come l’applicazione
reiterata della regola:

β
β
nota come modus (ponendo) ponens o
‘regola di separazione’;
1) Fa1
2) Fa1  Fa2
A,AB/B
 B,BC/C
 C,CD/D

Fa2
[….]
99.999)Fa99.999
100.000)Fa99.999
Fa100.000

Fa100.000
A/C
Non sembra plausibile sostenere
che è un argomento invalido

Quindi rimane l’ipotesi che sia valido. Si ha perciò o il caso
2) o il caso 3).

Caso 2):
è valido, ma con premesse false.

2a) E’ falsa la prima premessa

2b) Sono false le premesse a partire da un numero k
compreso tra 2 e n (2≤k≤n).

Caso 3) E’ valido e ciò getta discredito sui predicati vaghi.

Caso 2a): è falsa la prima
premessa.



Non possiamo concludere nulla circa la
verità o falsità della conclusione (da
premesse false può seguire una
conclusione vera).
E’ questo il caso meno interessante
Possiamo tuttavia assumere che è falso
asserire “un chicco di grano non è un
mucchio”, in quanto non esistono mucchi.
A
questo esito, noto in letteratura
come ‘nichilista’, porta anche
l’ammissione che l’argomento soritico
è valido e corretto, vale a dire
 tale
che è valido e ha premesse vere.



Esito ‘nichilista’: i mucchi non esistono.
Gli ‘oggetti’, le ‘cose’ cui facciamo
riferimento nella vita ordinaria si dividono
in ‘reali’ e ‘convenzionali’.
‘Mucchio’ è nome di un ‘oggetto costruito’
o convenzionale: non è nome di un
oggetto reale.
Caso 2b): è falsa almeno una
premessa successiva alla prima.
 Ciò
implica che almeno uno dei
condizionali della forma:
 Fak  Fak+1
 è falso!
 Quindi
l’antecedente di tale
condizionale è vero e il conseguente
falso.
Ovvero:



Esiste un insieme k di grani che NON è un
mucchio, mentre l’insieme k+1 è un
mucchio.
Esiste un confine preciso tra non esser
mucchio e esser mucchio
In termini generali: esiste un confine
preciso tra il predicato F e il predicato
non-F.
Digressione
sulla logica
classica
Logica classica


A) I connettivi logici (‘e’, ‘o’, ‘non’,
‘se…allora…’), sono vero-funzionali
B) Vale il principio di bivalenza: ogni
enunciato assume uno e uno solo dei due
valori vero (‘1’) e falso (‘0’)
C) Tra le leggi logiche principali, figurano i
princìpi di:
 non-contraddizione; terzo escluso.

 Principio
di non-contraddizione:
 Non( e non-): ~( & ~)
 Principio
del terzo escluso:
 ( o non-): (  ~)
 [‘’
è un enunciato qualunque]
 Semantica
dei predicati.
 Interpretazione
delle espressioni che
fungono da predicati nel linguaggio L
di riferimento.
 Simboli
per predicati: P, Q…
Un linguaggio L viene interpretato
su un dominio D di ‘oggetti’

Linguaggio L
Dominio D di ‘oggetti’
Nome di proprietà ‘P’
Oggetti d
che sono P
(gialli, per esempio)
 Nella
logica classica, l’interpretazione
di un predicato P sul dominio D è un
sottoinsieme di D perfettamente
definito.

P
Nel caso di predicati vaghi, tuttavia,
l’estensione del predicato ‘P’ non
ha confini ben definiti
P
3 possibili soluzioni al problema del
sorite (escludendo il nichilismo):
 A)
Soluzione epistemica;
 B)
Supervalutazioni;
 C)
Logica a infiniti valori.
A) Soluzione epistemica: la
vaghezza riguarda ‘noi’, non la
‘realtà’.
 Mantiene
la logica classica.
 Perciò,
accetta che ai termini vaghi
corrispondano effettivamente
proprietà perfettamente definite.
 Ammette
che vi siano punti di
confine (aspetto contro-intuitivo).
B) Supervalutazioni
 Mantiene
classica;
molta parte della logica
 Fa
ricorso alla procedura dei
raffinamenti;
 Non
è classica a livello metalogico:
viola il principio di bivalenza.

Mucchio
Non-mucchio

Penombra

Mucchio

Mucchio*
Non-mucchio*
Mucchio*
 Enunciati
superveri: veri sotto tutti i
raffinamenti
 Enunciati
superfalsi: falsi sotto tutti i
raffinamenti
 Enunciati
veri sotto certi raffinamenti
e falsi sotto altri.

Girino

1, 2, 3, 4, 5…….k

Penombra
(k+1)

(k+2)

(k+3)

[….]

Rana


(k+m)………n.



Girino
1, 2, 3, 4, 5…….k , (k +1)
Rana

Girino

1, 2, 3, 4, 5…….k , (k +1),
(k+2)

Rana

(k+2)

(k+3)

(k+3)

[….]

[….]

(k+m)………n.

(k+m)………n.
Rimane valido il principio del terzo
escluso: ~
k
è un girino oppure k non è un
girino;
 “k
è un girino” non è né (super-)vero
né (super-)falso, se k si trova nella
penombra. Quindi:
Viene meno il principio di bivalenza

Ci sono enunciati che non sono né veri né
falsi.
Inoltre:
 l’asserzione: “esiste un punto in cui k è
una rana” è vera, senza però che sia
possibile specificare quale sia tale punto
(varia infatti con ciascun raffinamento).
 Di conseguenza:

Un enunciato esistenziale, del tipo:
x(Px) sarà super-vero, senza che
‘Pa’, ‘Pb’, ecc. lo siano.
 Se
infatti a, b, c … appartengono alla
‘penombra’, le asserzioni “Pa”, “Pb”,
“Pc” saranno ora vere ora false, a
seconda dei raffinamenti, ma mai
vere in tutti i raffinamenti.
 Il
predicato ‘P’ ha così un’estensione
classica, perfettamente definita, in
ciascun raffinamento, ma non in
tutti, presi collettivamente (se così si
può dire).
 Se
prendiamo i due enunciati
‘penumbrali’ ‘’ e ‘~’, e formiamo la
loro congiunzione:
 “
&~”
otteniamo un enunciato ‘superfalso’ –
propriamente una contraddizione.
Tuttavia:
 Ciascuno
dei due enunciati non è né
vero né falso.
 Dualità
con “ ~” che è invece
sempre vero (supervero).
C) Logica a infiniti valori



Nella logica classica sono coinvolti i due soli
valori: vero (0) e falso (1).
Nelle supervalutazioni ci sono enunciati
superveri; enunciati superfalsi ed enunciati
talvolta veri e talvolta falsi. (Gli enunciati della
‘penombra’ possono essere considerati privi di un
valore di verità definito).
Nella logica a infiniti valori, i valori di ciascun
enunciato variano nell’intervallo chiuso [0,1].
1) Fa1
2) Fa1  Fa2
.
.
.
100.000) Fa99.999 Fa100.000
Fa100.000
Nel passaggio dalla prima premessa alle
successive, la verità di ciascun enunciato
diminuisce impercettibilmente, fino a
trasformarsi in modo progressivo in una
falsità.
 E’ come se ciascun premessa,
approssimandosi alla conclusione,
erodesse un pezzetto di verità, fino a
rendere palesemente falsa la conclusione.

 Problema
della vaghezza affrontato
da B. Russell (1922-23).
 Supervalutazioni:
B. C. van Fraassen
(1969); K. Fine (1975).
 Logiche
(1920).
a più valori: Łukasiewicz
Problemi filosofici:




A) Quali sono le opzioni ontologiche legate a
ciascuna delle soluzioni considerate?
B) Ci sono motivi per preferire la logica classica?
C) Il ‘pluralismo’ in logica non apre la strada al
relativismo?
D) Le soluzioni del sorite che abbiamo
considerato sono le sole possibili o ve ne sono
altre a disposizione?
Esempio:
 Supponiamo
che ‘Fa’ e ‘~Fa’ abbiano
il medesimo grado di verità.
 “Fa
& Fa” ha il medesimo grado di
verità di “Fa & ~Fa”.
 [Confrontare
superval.]
con l’approccio delle
Letteratura di riferimento:
 Rosanna
Keefe & Peter Smith,
Vagueness: A Reader, Cambridge,
The MIT Press, 1999 [Paperback;
1997]
 Timothy
Williamson, Vagueness,
London-New York, Routledge, 1994.
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