Le sezioni coniche di Apollonio e
i luoghi geometrici di Descartes
Rosa Zollo
Liceo Scientifico “G. Galilei” Pescara
APPROCCIO SCOLASTICO ALLE
SEZIONI CONICHE
• Storia dell’arte
• Proprietà della parabola come proprietà di uno
specchio parabolico
• Costruzione per punti del grafico del moto di un
proiettile
• Osservazione della zona della parete illuminata
da una torcia
Come l’uomo ha sviluppato il
concetto delle sezioni coniche
Osservazione dello spazio circostante
Possibile descrizione delle sezioni
coniche
La costruzione secondo Menecmo
PARABOLA ORTOTOME
IPERBOLE AMBLITOME
ELLISSE OXITOME
APOLLONIO di Perga
(262 - 190 a.C.)
Libro “ Coniche”
Definizione di cono
Se una retta, prolungata all'infinito e passante
sempre per un punto fisso, viene fatta ruotare lungo
la circonferenza di un cerchio che non si trovi nello
stesso piano del punto in modo che passi
successivamente attraverso ogni punto di quella
circonferenza, la retta che ruota traccerà la
superficie di un cono doppio
THEOREMA XI PROPOSITIO XI
“Si conus plano per axem secetur; secetur autem et altero plano
secante basis secundum rectam lineam, quae ad basim trianguli
per axem sit perpendicularis: et sit diameter sectionis uni later
trianguli per axem aequidistans: recta linea, quae a sectione coni
ducitur aequidistans communi sectioni plani secantis, et basis coni,
usque ad sectionis diametrum; poterit spatium aequale contento
linea, quaeex diametro abscissa inter ipsam et verticemsectionis
interiicitur, et alia quadam, quae ad linea inter coni angulum, et
verticem sectionis interiectam, eam proportionem habeat, quam
quadratum basis trianguli per axem, ad id quod reliquis duobus
trianguli lateribus continetur. Dicantur autem huiusmodi sectio
parabole.”
THEOREMA XI PROPOSITIO XI
Un cono sia tagliato da un piano a passante per l’asse del cono
e da un altro piano b secante la base del cono secondo una
retta ED perpendicolare alla base BC del triangolo passante
per l’asse del cono. Inoltre il diametro ZH della sezione conica
risultante sia parallelo ad uno dei due lati (ad esempio AC) del
triangolo passante per l’asse del cono. S dimostra allora che il
quadrato di ogni segmento KP condotto dalla sezione conica
sul diametro della conica parallelamente al segmento ED è
equivalente al rettangolo che ha per lati il segmento ZP, Z
vertice della sezione conica risultante, ed un segmento OZ
individuato dalla seguente relazione:
TALE SEZIONE VERRÀ CHIAMATA PARABOLA
PP1 : PL = AF2 : (BF . FC)
THEOREMA XIII PROPOSITIO XIII
Un cono sia tagliato da un piano a passante per l’asse del cono e da un
altro piano b che, incontrando ciascuno dei lati del triangolo passante per
l’asse del cono, non sia condotto né parallelamente né antiparallelamente
alla base del cono, inoltre il piano della base del cono e il piano secante b
si incontrino secondo una retta perpendicolare alla base del triangolo
passante per l’asse del cono secondo una retta ED perpendicolare alla
base BC del piano a, perpendicolare al prolungamento di questa base. Si
dimostra che il quadrato di ogni segmento condotto da un punto della
sezione conica (così ottenuta) parallelamente alla retta risultante dalla
intersezione fra il piano secante b e la base del cono, fino al diametro della
sezione conica è equivalente all’area (ottenuta nel modo che segue), con
riferimento alla figura si tracci dal vertice A del cono la parallela al diametro
PP1 che incontrerà il prolungamento della base del triangolo BC nel punto
F. Si applichi quindi al punto P un segmento PL che verifichi la condizione:
PP1 : PL = AF2 : (BF . FC)
Quindi da V si conduca la parallela a PL che lo interseca in R , si
consideri quindi il rettangolo ottenuto moltiplicando PV con VR.
TALE SEZIONE VERRÀ CHIAMATA ELLISSE
THEOREMA XII PROPOSITIO XII
Un cono sia tagliato da un piano a passante per l’asse del cono e da un altro piano
b che, incontrando ciascuno dei lati del triangolo passante per l’asse del cono, non
sia condotto parallelamente alla base del cono, inoltre il piano a della base del
cono e il piano secante b si incontrino secondo una retta perpendicolare alla base
del triangolo passante per l’asse del cono secondo una retta ED perpendicolare
alla base BC in un punto interno a tale lato. Si dimostra che il quadrato di ogni
segmento condotto da un punto della sezione conica (così ottenuta)
parallelamente alla retta risultante dalla intersezione fra il piano secante b e la
base del cono, fino al diametro della sezione conica è equivalente all’area
(ottenuta nel modo che segue), con riferimento alla figura si tracci dal vertice A del
cono la parallela al diametro PP1 (si osservi che il punto P1 si trova sull’altra falda
del cono) che incontrerà la base del triangolo BC nel punto F. Si applichi quindi al
punto P un segmento PL che verifichi la condizione:
PP1 : PL = AF2 : (BF . FC)
Quindi da V si conduca la parallela a PL che lo interseca in R, situato sul
prolungamento di P1L , si consideri quindi il rettangolo ottenuto moltiplicando
PV con VR.
TALE SEZIONE VERRÀ CHIAMATA IPERBOLE
Analisi del testo dei teoremi
INTERPRETAZIONE GRAFICA
DEGLI STUDENTI
PARABOLA
ELLISSE
IPERBOLE
COSTRUZIONE
EQUAZIONE CARTESIANA DELLE CONICHE
Equazione cartesiana della
PARABOLA
Sia P l’origine degli assi
cartesiani
ZP = x
PK = y
PL indica il parametro
p
Dalla tesi abbiamo
KP2 = OZ. ZP
Quindi
y2 = px
Equazione cartesiana della
ELLISSE
Sia V l’origine degli assi
cartesiani
PV = x
QV = y
PL indica il parametro k,
PP ‘ diametro a dell’ellisse
Dalla similitudine dei
triangoli PP’L e P’VR
si ottiene
LS = (k/a)x
Dalla tesi abbiamo
QV2 = VR . PV = (PL – LS)PV
Quindi
y2 = kx - (k/a) x2
Equazione cartesiana della
IPERBOLE
Sia V l’origine degli assi
cartesiani
PV = x
QV = y
PL indica il parametro k,
PP’ l’asse trasverso
dell’iperbole a
Dalla similitudine dei
triangoli PP’L e P’VR
si ottiene
VR = (x + a)k/a
Dalla tesi abbiamo
QV2 = VR . PV
Quindi
y2 = kx + (k/a) x2
EQUAZIONE CARTESIANA
COSTRUZIONE DEI LUOGHI GEOMETRICI
DESCARTES
GEOMETRIE
(1596-1650)
(1637)
Problema delle costruzioni indeterminate
Problema di Pappo
• Date tre rette in un piano trovare la posizione di
tutti i punti da cui si possono tracciare rette che
intersecano le rette date n modo tale che il
rettangolo contenuto da due delle due rette
costruite abbia un rapporto dato con il quadrato
della terza retta costruita. Se le rette fissate sono
quattro allora il rettangolo contenuto da due delle
due rette costruite ha un rapporto dato con il
rettangolo costruito dalle altre due.
Se le rette sono tre o quattro
il luogo generato è una sezione conica
CR . CQ = k CP2
Curva di secondo grado
In questa costruzione fissa tre rette AG, OD ed AL.
Considera il fascio di rette improprio generato da CD,
pendenza fissa b/c. la curva è generata dai punti P
intersezione di AL e CD, al variare di AL nel fascio di
centro A e al variare delle rette nel fascio CD.
Luogo geometrico della PARABOLA
Fissate tre rette
due parallele L1 ,L2
ed una
perpendicolare L3
Il luogo geometrico
è determinato da
tutti i punti P
d1d2 = ad3
EQUAZIONE CARTESIANA
ay = x2 – 2ax
Luogo geometrico della IPERBOLE
Fissate tre rette
due parallele L1 ,L2
ed una
perpendicolare L3
Il luogo geometrico è
determinato da tutti i
punti P che verificano
d1d3 = ad2
EQUAZIONE CARTESIANA
xy = a(2a – x)
CONCLUSIONI
Analisi delle costruzioni
Punto di vista Apollonio
Costruzione sezione
Equazione cartesiana
Punto di vista di Descartes
Luoghi geometrici
Costruzione grafico del luogo