A cura della 3a G e della prof.ssa Rosa Zollo
Anno scolastico 2010/2011
LE CONICHE
La teoria delle coniche si sviluppa nella seconda
metà del IV secolo a.C. ad opera di Menecmo e
successivamente di Apollonio.
Nella teoria di Menecmo vengono usati solo coni
retti e la tecnica di esecuzione della sezione è
sempre la stessa: i coni vengono tagliati con
piani perpendicolari alla generatrice e sono
ottenuti con la rotazione attorno a un cateto.
- Cono acutangolo: OXITOME (ellisse)
- Cono rettangolo: ORTOTOME (parabola)
- Cono ottusangolo: AMBLYTOME (iperbole)
Se il triangolo per l’ asse è isoscele e acutangolo, si ottiene l’oxitome.
Se il triangolo per l’ asse è isoscele e rettangolo, si ottiene l’ortotome.
Se il triangolo per l’ asse è isoscele e ottusangolo, si ottiene l’ amblytome.
Libro “ Coniche”
Definizione di cono
Se una retta, prolungata all'infinito e passante
sempre per un punto fisso, viene fatta ruotare
lungo la circonferenza di un cerchio che non si
trovi nello stesso piano del punto in modo che
passi successivamente attraverso ogni punto di
quella circonferenza, la retta che ruota traccerà
la superficie di un cono doppio.
“Si conus plano per axem secetur; secetur autem et altero plano
secante basis secundum rectam lineam, quae ad basim
trianguli per axem sit perpendicularis: et sit diameter sectionis
uni later trianguli per axem aequidistans: recta linea, quae a
sectione coni ducitur aequidistans communi sectioni plani
secantis, et basis coni, usque ad sectionis diametrum; poterit
spatium aequale contento linea, quaeex diametro abscissa inter
ipsam et verticemsectionis interiicitur, et alia quadam, quae ad
linea inter coni angulum, et verticem sectionis interiectam,
eam proportionem habeat, quam quadratum basis trianguli
per axem, ad id quod reliquis duobus trianguli lateribus
continetur. Dicantur autem huiusmodi sectio parabole.”
THEOREMA XI PROPOSITIO XI
Si conus plano per axem secetur, et secetur altero plano conveniente cum
utroque latere trianguli per axem, quod neque basi coni aequidistet, neque
subcontrarie ponatur: planum autem, in quo est basis coni, et secans
planum conveniant secundum rectam lineam, quae sit perpendicularis vel
ad basim trianguli per axem, vel ad eam, quae in directum ipsi
constituitur. Recta linea quae a sectione coni ducitur aequidistans
communi sectioni planorum usque ad diametrum sectionis poterit
spatium adiacens lineae, ad quam sectionis diameter eam proportionem
habeat, quam quadratum lineae diametro aequidistantis a vertice coni
usque ad triangoli basim ductae, habet ad rectangulum contentum basis
partibus, quae inter ipsam et rectas trianguli lineas interiiciuntur;
latitudinem habens lineam, quae ex diametro ab ipsa abscinditur ad
verticem sectionis deficiensque; figura simili, et similiter posita ei, quae
diametro, et linea iuxta quam possunt,continetur. Dicatur autem
huiusmodi sectio ellipsis.
THEOREMA XIII PROPOSITIO XIII
Teorema XI di Apollonio
Propositio XI
sezione conica
parabolica
Come ricavare l’espressione
analitica dal disegno
Applicazioni pratiche della parabola
Rappresentazione
grafica del teorema
ELLISSE
PP1 : PL = AF2 : (BF . FC)
Un cono sia tagliato da un piano a passante per
l’asse del cono e da un altro piano b che,
incontrando ciascuno dei lati del triangolo
passante per l’asse del cono, non sia condotto
né parallelamente né antiparallelamente alla
base del cono, inoltre il piano della base del
cono e il piano secante b si incontrino secondo
una retta perpendicolare alla base del triangolo
passante per l’asse del cono secondo una retta
ED perpendicolare alla base BC del piano a,
perpendicolare al prolungamento di questa
base. Si dimostra che il quadrato di ogni
segmento condotto da un punto della sezione
conica (così ottenuta) parallelamente alla retta
risultante dalla intersezione fra il piano secante
b e la base del cono, fino al diametro della
sezione conica è equivalente all’area (ottenuta
nel modo che segue), con riferimento alla figura
si tracci dal vertice A del cono la parallela al
diametro PP1 che incontrerà il prolungamento
della base del triangolo BC nel punto F. Si
applichi quindi al punto P un segmento PL che
verifichi la condizione:
Quindi da V si conduca la parallela a PL che lo interseca in R , si consideri
quindi il rettangolo ottenuto moltiplicando PV con VR.
Sia V l’origine degli assi
cartesiani
PV = x
QV = y
PL indica il parametro p,
PP ‘ diametro a dell’ellisse
Dalla similitudine dei
triangoli PP’L e P’VR
si ottiene
LS = (p/a)x
Dalla tesi abbiamo
QV2 = VR . PV = (PL –LS)PV
Quindi
y2 = px - (p/a) x2
Rappresentazione
grafica del teorema
Un cono sia tagliato da un piano a passante per l’asse del cono e da un altro piano b
che, incontrando ciascuno dei lati del triangolo passante per l’asse del cono, non sia
condotto parallelamente alla base del cono, inoltre il piano a della base del cono e il
piano secante b si incontrino secondo una retta perpendicolare alla base del triangolo
passante per l’asse del cono secondo una retta ED perpendicolare alla base BC in un
punto interno a tale lato. Si dimostra che il quadrato di ogni segmento condotto da un
punto della sezione conica (così ottenuta) parallelamente alla retta risultante dalla
intersezione fra il piano secante b e la base del cono, fino al diametro della sezione
conica è equivalente all’area (ottenuta nel modo che segue), con riferimento alla
figura si tracci dal vertice A del cono la parallela al diametro PP1 (si osservi che il punto
P1 si trova sull’altra falda del cono) che incontrerà la base del triangolo BC nel punto F.
Si applichi quindi al punto P un segmento PL che verifichi la condizione:
PP1 : PL = AF2 : (BF . FC)
Quindi da V si conduca la parallela a PL che lo interseca in R, situato sul
prolungamento di P1L , si consideri quindi il rettangolo ottenuto moltiplicando PV
con VR.
TALE SEZIONE VERRÀ CHIAMATA IPERBOLE
Considerando la similitudine
dei triangoli PP’L e VP’R si ha:
PP’ : P’V = PL : VR
Sia PP’= a, VP = ascissa x,
VQ = ordinata y, LP = p
quindi si ha:
a : (a+x) = p : VR
y2
VQ 2 = PV x VR
p
= px +
x2
a
Rappresentazione
grafica del teorema