INDICE
1.
2.
COMPRESSORI ASSIALI. IPOTESI MONODIMENSIONALE. .................................................................................... 4
TEORIA APPLICATA ALLE SCHIERE DI PALE. ....................................................................................................... 8
2.1. DEFINIZIONE GEOMETRICA DEL PROFILO. .................................................................................................... 8
2.2. STUDIO DEL PROFILO ISOLATO. ................................................................................................................... 8
3. ESTENSIONE DELLA TEORIA ALARE AI PROFILI DISPOSTI IN SCHIERA PIANA (MOTO BIDIMENSIONALE). ......... 12
4. RELAZIONE TRA LE CARATTERISTICHE AERODINAMICHE DELLA SCHIERA E IL RENDIMENTO DELLO STADIO. .. 14
5. SCELTA DEL PROFILO DELLE PALE. ................................................................................................................... 17
6. GALLERIA DEL VENTO PER LE PROVE SU SCHIERE DI PALE. ............................................................................. 18
7. FENOMENI DI INSTABILITÀ NEI COMPRESSORI ASSIALI. ................................................................................... 20
7.1. STALLO. ................................................................................................................................................... 20
7.2. POMPAGGIO. ........................................................................................................................................... 20
7.3. BLOCCAGGIO DELLA PORTATA. ............................................................................................................... 21
8. TEORIA DELLA SIMILITUDINE........................................................................................................................... 22
8.1. PARAMETRI CHE CARATTERIZZANO LE PRESTAZIONI DI UNA TURBOMACCHINA (COMPRESSORI
DINAMICI).......................................................................................................................................................... 22
8.2. VARIABILI FUNZIONALI. ........................................................................................................................... 22
9. USO DEI PARAMETRI EQUIVALENTI................................................................................................................. 26
10. EQUILIBRIO RADIALE NELLE TURBOMACCHINE OPERATRICI ASSIALI. ............................................................... 28
11. SVERGOLAMENTO DELLA PALETTATURA.......................................................................................................... 32
12. CRITERIO DEL VORTICE LIBERO (O A MOMENTO CINETICO COSTANTE). ...................................................... 32
13. PROBLEMA INVERSO O DI PROGETTO: NOTA LA DISTRIBUZIONE cu (r ) TROVARE cm (r ) ............................. 34
14. FLUSSI SECONDARI. ......................................................................................................................................... 36
15. REGOLAZIONE DEI COMPRESSORI. .................................................................................................................. 37
15.1. REGOLAZIONE A NUMERO DI GIRI VARIABILE. ........................................................................................... 37
15.2. REGOLAZIONE PER STROZZAMENTO. ....................................................................................................... 38
15.3. REGOLAZIONE PER BY-PASS. .................................................................................................................... 38
15.4. REGOLAZIONE CON PALETTATURA AD ORIENTAMENTO VARIABILE. ....................................................... 39
16. COMPRESSORI TRANSONICI E SUPERSONICI (BREVI CENNI). .............................................................................. 40
17. GRADO DI REVERSIBILITÀ DI UN CICLO. ......................................................................................................... 41
17.1. ENERGIA. EXERGIA. .................................................................................................................................. 42
17.2. EFFETTO CARNOT.................................................................................................................................... 43
18. TURBINE A GAS. .............................................................................................................................................. 43
18.1. CICLO TERMODINAMICO IDEALE.............................................................................................................. 44
18.1.1.
GAS IDEALE. .................................................................................................................................. 44
18.1.2.
INFLUENZA DELLA NATURA DEL FLUIDO. ..................................................................................... 48
18.2. ANALISI DEL CICLO IDEALE. ...................................................................................................................... 49
19. CICLI A COMPRESSIONE INTERREFRIGERATA. ................................................................................................... 55
19.1 CASO TEORICO. ....................................................................................................................................... 55
19.2 CASO REALE. ............................................................................................................................................ 55
19.3 CALCOLO DEL  DI INTERREFRIGERAZIONE E DI LC ,min NEL CASO IDEALE. ............................................. 57
20. CICLI CON RICOMBUSTIONE. ......................................................................................................................... 58
21. CICLI CON RIGENERAZIONE. .......................................................................................................................... 59
21.1. ANALISI DEL CICLO IDEALE O LIMITE. ....................................................................................................... 60
1
21.2. CICLO IDEALE SEMPLICE PARZIALMENTE RIGENERATO. ............................................................................. 64
21.3. CICLO SEMPLICE REALE CON RIGENERAZIONE.......................................................................................... 65
22. CICLI A COMPRESSIONE INTERREFRIGERATA E RIGENERAZIONE. ..................................................................... 68
23. CICLI RIGENERATIVI CON INTERREFRIGERAZIONE E RICOMBUSTIONE. ........................................................... 69
2
3
1. COMPRESSORI ASSIALI. IPOTESI MONODIMENSIONALE.
Nelle macchine assiali i filetti fluidi, congruenti tra loro, giacciono su superfici cilindriche coassiali: il fluido
non subisce una deviazione di 90° all’ingresso della palettatura come nelle radiali, si evita quindi questa perdita.
In questo tipo di approccio si studia il problema ad un certo raggio, ad esempio la sezione al raggio medio, così che u non sia più una grandezza variabile: è come se ci dimenticassimo che la paletta abbia una profondità.
Secondo quest’ipotesi semplificativa se il fluido è coerente in ingresso ed entra ad un certo raggio, deve essere
coerente anche in uscita ed uscire allo stesso raggio; inoltre, essendo u2  u1 , nell’equazione fondamentale delle
2
2
turbomacchine, perdiamo il termine u2  u1 e si avrà semplicemente:
2
Lp 
c22  c12 w12  w22

 ucu  uwu
2
2
Per aumentare il lavoro scambiato sembrerebbe da subito conveniente aumentare cu o wu , ma ciò si potrebbe avere solo con un aumento dell’angolo  ossia, con una maggiore inclinazione delle palette (strutturando il
compressore come una turbina), ma ciò , poiché si sta lavorando a gradiente di pressione avverso, potrebbe provocare il distacco della vena fluida, con generazione di zone vorticose.
Ricordando i triangoli di velocità dei compressori centrifughi appare subito evidente la differenza di deviazione del flusso da cui discende, a parità di velocità periferica, il minor valore di lavoro trasmesso.
1
w1
w2
wa  c a
c2
c1
u
Si noti che se la sezione di passaggio decresce in proporzione all’aumento di densità del fluido, l’altezza dei
triangoli di velocità (pari alla componente assiale dei vettori velocità) è costante.
Si ha:
w12  w12u  wa2
w22  w22u  wa2
da cui
w12  w22  w12u  w22u
e analogamente
c22  c12  c22u  c12u
essendo
c22  c12 w12  w22
Lp 

 ucu  uwu
2
2
suddividendo tutti i termini di prevalenza acquisita dal fluido in
4
Hr  Hs  H 
Lp
g
si ha:
Hr 
1
( w1u  w2u )(w1u  w2u )
2g
Hs 
1
(c2u  c1u )(c2u  c1u )
2g
dalle quali, considerando le velocità che si avrebbero nelle palette se non ci fossero limiti dati dalle pareti (condizione di flusso indisturbato):
w 
w1  w2
2
wu 
w1u  w2u
2
1
wu  wu
g
si ottiene:
Hr 
ma essendo:
wu  cu
c 
c1  c2
2
cu 
Hs 
c1u  c2u
2
1
cu  cu
g
wu  cu  u
e
si ha di nuovo l’espressione di partenza:
H  Hr  Hs 
1
1
( wu  cu )  wu  uwu
g
g


GRADO DI REAZIONE
E’ un indice che ci dice in quale parte si ha la massima conversione di energia potenziale, se nello statore o se
nel rotore.
R
Quando
wu  cu 
u
2
Hr
wu wu
wu
w


 u
H r  H s wu wu  cu cu wu  cu
u
R = 0,5
con
w1  c2
w2  c1
Per tale valore del grado di reazione, si ha una configurazione simmetrica del triangolo delle velocità, cui corrisponderà una altrettanto simmetrica disposizione delle palettature nello statore e nel rotore, perchè R = 0,5, significa che il contributo relativo del rotore deve essere pari al contributo assoluto dello statore, e questo si può
avere solo se rotore e statore hanno stessa palettatura.
Per gli altri valori del grado di reazione, non si avrà più simmetria, poichè, dovendo essere comunque uguali
le altezze dei triangoli delle velocità assolute e relative, ma essendo diversamente inclinate le palettature, si avranno palette più lunghe nel rotore o viceversa.
5
R  0,5
w1 w2 wa  c a
1
c1
c2
2
u
0,5  R  1
w1
wa  c a
w2
1
2
c2
c1
u
R 1
w1
w2
1
2
wa  c a
c2
c1
u
In questo caso la pala statorica ha funzione puramente deviatrice; tale soluzione non ha, in realtà, pratica applicazione.
R 1
Hs  0
w1
w2
1
2
c2
c1
u
Con tale configurazione si realizza una leggera espansione nello statore, favorevole per rendere congruenti i filetti fluidi (Escher-Wiss) e per consentire, nella soluzione che antepone statore a rotore, un’uscita assiale del
flusso, molto conveniente nella progettazione delle soffianti (ventole).
6
0,5  R  1
ed uscita assiale dallo statore
w1
w2
1
2
c2
c1
u
I massimi valori di velocità che si ottengono per R  0,5 sono maggiori che per R  0,5 , ciò è importante per
le perdite che sono proporzionali al quadrato della velocità, quindi la soluzione con R  0,5 è la favorita. Inoltre
si hanno alte portate quindi alte velocità: a parità di portata, aumentare la velocità più facilmente può portare alla velocità del suono, creando una condizione favorevole perchè si verifichi il bloccaggio della portata. R  0,5
minimizza ( w  c) max quindi se aumento la portata, sicuramente aumenta la velocità, ma difficilmente raggiunwa
ge quella del suono. Le macchine che lavorano con questo grado di reazione possono avere rendimenti più elevati delle radiali, in cui sono inevitabili brusche deviazioni, se si progetta la palettatura in modo idoneo, evitando gli urti di ingresso.
7
2. TEORIA APPLICATA ALLE SCHIERE DI PALE.
2.1. DEFINIZIONE GEOMETRICA DEL PROFILO.
A-B
l
h
f

s

linea dei centri
corda del profilo
apertura alare
freccia del profilo
deviazione angolare geometrica
spessore massimo del profilo

s
h
f
A
B
l
2.2. STUDIO DEL PROFILO ISOLATO.
Si consideri un flusso di filetti rettilinei paralleli aventi velocità uniforme w ,si supponga immerso in tale
corrente, con un asse perpendicolare alla direzione dei filetti fluidi indisturbati, un solido prismatico di lunghezza infinita.
Il flusso che investe il solido creerà un campo di moto intorno al profilo di natura bidimensionale. Solo a distanza teoricamente infinita la velocità relativa al solido raggiungerà asintoticamente il valore di quella iniziale w . 
Nell’ipotesi di fluido perfetto (assenza di viscosità) vale il teorema di Joukowsky:
“quando un fluido perfetto investe con flusso traslo-circolatorio un solido cilindrico di lunghezza indefinita, la
risultante di tutte le azioni fluidodinamiche, su una lunghezza unitaria dell’ostacolo, si riduce ad una forza
(portanza) di grandezza proporzionale al valore della circolazione  ”
Se il solido cilindrico ha una sezione (profilo) dissimmetrica o dissimmetricamente disposta rispetto alla direzione dei filetti della corrente indisturbata, le traiettorie seguite dalle particelle di fluido e la distribuzione delle
velocità nei pressi delle due facce sono diverse.
La distribuzione delle velocità è quella che, con un ipotetico fluido perfetto non viscoso, si avrebbe se ad un
semplice moto uniforme traslatorio si supponesse sovrapposta una corrente circolatoria.
Questa sovrapposizione di moti fa sì che, per la concordanza del senso del moto, la velocità cresca sul dorso
(o stradorso) e diminuisca sul ventre (o intradorso) del profilo. In modo inverso, naturalmente, risultano essere
distribuiti i valori della pressione. Nel caso di profilo simmetrico disposto simmetricamente, essendo il moto del
tipo a potenziale delle velocità, si verifica che la circolazione o circuitazione della velocità sia nulla:
   c cosds  0
8
D
C
w
A
B
B
C
A
B
D
A
   w cosds   w cosds   w cosds   w cosds   w cosds
C
D
Nel caso di moto traslo-circolatorio di un fluido perfetto, interessante un solido cilindrico dissimmetrico (o disposto dissimmetricamente rispetto alla direzione dei filetti fluidi), l’andamento delle velocità non è più simmetrico rispetto agli assi di riferimento essendo   0 . In questo caso si ha un moto a potenziale la cui funzione
potenziale di velocità non è che la somma dei rispettivi potenziali dei due moti componenti.
Si genera una distribuzione di pressione che, secondo il teorema di Joukowsky, fa nascere una forza normale
alla direzione di w il cui verso si ottiene ruotando di  il vettore w in senso opposto alla circuitazione.
2
Il valore della circuitazione è legato a:
Valore di w
Forma del profilo
Posizione del profilo rispetto alla direzione di w
La portanza P è, per unità di lunghezza del profilo:
P    w  
Che mostra come per un dato fluido il valore di w   può essere ottenuto in infiniti modi.
Nel caso reale di fluido viscoso, oltre alla portanza, la risultante di tutte le azione del fluido sull’ostacolo ha
una componente che ha la direzione ed il verso di w , detta resistenza R . Tale risultante agisce in un punto detto centro di pressione, la cui determinazione è importante per il calcolo delle sollecitazioni a cui è sottoposta
l’ala.
La determinazione dell’azione aerodinamica del fluido reale sul profilo è in genere effettuata sperimentalmente e l’entità della portanza e della resistenza vengono individuate tramite le definizione del coefficiente di portanza ( c p ) e del coefficiente di resistenza ( cr ), anche detto numero di scivolamento, con le relazioni:
cp 
P
cr 
1 2
w S
2
S  l  h (corda del profilo per apertura alare)
9
R
1 2
w S
2
Il valore numerico di tali coefficienti è determinabile sperimentalmente in apposite gallerie a vento, quando
noti  e l , si misurino contemporaneamente la velocità relativa del vento e le componenti P e R dell’azione di
quest’ultimo sul profilo alare in prova. I valori di c p e cr dipendono essenzialmente da:
Forma del profilo
Posizione del profilo rispetto alla direzione di w
Per individuare l’assetto del profilo alare rispetto alla corrente che lo investe si assumono come valori di riferimento:
L’angolo di incidenza relativo i , angolo per cui si ha portanza nulla se la w è diretta lungo la retta inclinata di un angolo i rispetto all’orizzontale
L’angolo di incidenza assoluto i0 .
i
i0  i  i
i
i0
w
Il fattore i dipende dalla geometria del profilo solamente, sarà quindi noto, fissato che sia il profilo.
I valori di c p e cr vengono quindi rilevati, per un’assegnata forma del profilo, variando l’assetto del profilo ed
individuando, in tal modo, differenti valori di i o di i0 .
0,02
1,2
Tale valore rappresenta il
massimo angolo
d’incidenza possibile prima
che ci sia stallo
Questo calo improvviso è
indice del fatto che si sta
andando in stallo
cp
cr
Flusso diretto come la
corda
0
0
8
0
0
8
i
i0
Per un assegnato profilo, c p =0 se la direzione del flusso coincide con quella di portanza nulla, mentre cr  0
sempre.
10
Per valori di w alquanto elevati ( Mc  0.3  0.35 ) il valore di c p è influenzato anche dal numero di Mach.
Per elevati valori di Re, cr è praticamente indipendente dal numero di Mach, fino al suo valore critico.
Mentre cr è sempre crescente con i (con i aumenta la RESISTENZA perchè aumenta la sezione retta), c p
cresce fin quando non si instaurano fenomeni di distacco delle vene fluide dal dorso della pala (stallo) che comportano un brusco decadimento delle prestazioni (portanza) del profilo. Si noti come le condizioni favorevoli al
distacco, e quindi alla verifica dello stallo, sono caratterizzate da valori elevati di w e da una maggiore incurvatura del profilo. La stessa superficie ha più portanza se estesa in lunghezza che in profondità per la distribuzione
non lineare della pressione.
Si può anche definire l’efficienza del profilo dal rapporto E 
cp
cr
, anche determinabile dalla curva polare del
profilo ricavata riportando in diagramma i valori di c p e cr ottenuti per ciascun valore dell’angolo di incidenza
assoluto:
cp
c p è massimo, ma cr è elevato
E  tg
7,3

buon compromesso
i0  0
cr
Per le applicazioni civili si punta a risparmiare, ossia, ad avere portanza minimizzando la resistenza, mentre in
applicazioni militari (aeronautiche), interessano le prestazioni, quindi si punta ad avere il massimo della portanza, anche se aumenta la resistenza e quindi i consumi.
11
3. ESTENSIONE DELLA TEORIA ALARE AI PROFILI DISPOSTI IN SCHIERA PIANA
(MOTO BIDIMENSIONALE).
w1




1
t
1c
l


w2
2
 2c

t = passo della schiera
l
  = solidità della schiera
t
1c = angolo costruttivo di ingresso
 2c = angolo costruttivo di uscita
   2c  1c = deviazione geometrica
 = angolo di calettamento
Un flusso attraversante una schiera di profili in numero finito e disposti con una determinata geometria subisce una deviazione definitiva cui corrisponderà una variazione di direzione di w se misurata sufficientemente
lontano dai bordi di attacco e di uscita dei profili. Il teorema di Joukowsky può utilmente essere esteso anche al
caso di profili in schiera se si considera ancora il fluido privo di viscosità e se si assume come velocità
all’infinito w , il valore medio tra w1 e w2 . Per il calcolo della circuitazione si assumano allora le linee costituite da due filetti fluidi distanti tra loro del passo t .
12
La circuitazione  è, in questo caso, ottenibile da :
w1
A
B
t


w2
C
D
B
C
A
A
B
D
D
   w cos ds   w1 cos 1ds   w  d s   w  d s   w2 cos  2 ds
Ma se wa  cost e BC è congruente con DA:
C

B
C
A
w d s   w  d s
D
Per cui, se lungo A-B e C-D si ha w1 cos 1  cost e w2 cos 2  cost, si ha ad una certa distanza della schiera
B
D
  w1 cos 1  ds  w2 cos  2  ds  w1ut  w2ut  t  (w1u  w2u )  t  wu
A
Ricordando quindi di intendere w 
C
w1  w2
si ha che la portanza per un profilo alare inserito in schiera è:
2
Ps      w  tw wu
1
Essendo anche Ps  c p s w2 l (formalmente la portanza in schiera è uguale al profilo isolato), si ha che il co2
efficiente di portanza del profilo inserito in schiera è (nell’ipotesi di corrente ideale per la quale si è ricavato il
valore di  ):
c ps  2
wu t
w l
che stabilisce un’interazione fondamentale tra coefficiente di portanza in schiera e deviazione, una volta stabilite le grandezze t e l .
13
RELAZIONE TRA LE CARATTERISTICHE AERODINAMICHE DELLA SCHIERA E IL
RENDIMENTO DELLO STADIO.
4.

Un profilo investito da un fluido reale di velocità w , subisce oltre l’azione della portanza P anche quella della resistenza R (diretta nel verso del moto).
L’efficienza del profilo E 
P
u

cp
cr
può quindi essere messa in relazione con il rendimento dello stadio.
i
P cos  
R
N
Rsen 
T1




centro di

pressione

La componente tangenziale è : T1  Psen  R cos 
Psen   R cos  

La potenza totale trasmessa per uno stadio con un numero z di pale è:
Pt  z  u  T1  z  u  ( Psen  R cos  )
Ricordando che il grado di reazione R 
Hr 
1
wu  wu
g
e
Hs 
Hr
wu wu
wu
w


 u e che
H r  H s wu wu  cu cu wu  cu
u
1
cu  cu
g
si ha che la potenza trasmessa nel rotore è
Pr , d  zwu ( Psen  R cos  ) , che rappresenta la potenza teoricamente disponibile per l’incremento di pressione.
La componente assiale è : N  P cos   Rsen , essendo in genere Pcos   Rsen , la componente assiale risulta positiva ed il suo verso è contrario alla direzione assiale del moto del fluido come appare logico dovendo il fluido spostarsi verso un gradiente avverso di pressione.
L’incremento effettivo di pressione nel rotore è allora:
p 
e per h  1 , si ha
1
p  ( P cos   Rsen )
t
14
N
t h
essendo allora la portata volumetrica: Q  z  t  wa
si ha che la potenza utilizzata sotto forma di incremento di pressione nel rotore è:
1
Pr ,u  ztwa ( P cos   Rsen )  zwa ( P cos   Rsen )
t
Avendo ricavato la potenza disponibile e quella utilizzata, si può esprimere il rendimento del rotore, come:
r 
Pr ,u
zwa ( P cos    Rsen  )

Pr , d zwu ( Psen   R cos   )
Essendo wa  wu tg  , sarà:
R
tg 
1
P
r 
cot g  tg  R

P
1
ricordando che E 
P
, allora:
R
r 
1
1
1
tg 
E
1
cot g 
E
Il rendimento  r dipende da:
E

Analogo procedimento conduce alla definizione del rendimento dello statore  s che per     coincide con
 r e quindi si ottiene il rendimento dell’intero stadio  dalla semisomma dei due:  stadio
 Vp r Vp s

 P  P
d ,r
d ,s

2



.
Per altre configurazioni rotore e statore avranno differenti rendimenti anche a parità di efficienza aerodinamica.
Si osserva che per
  0    0
1
1
tg  0    0 e Pcos   Rsen
E
Condizione per la quale N  0 e quindi p  0 .
Il rendimento presenta un massimo, che si attinge per:
 1

1



1
2

E
E


   arctg  
15
Che mostra come per E  
   45
Per gli usuali valori dell’efficienza tuttavia (per come è la funzione   f (E ) ) il valore ottimo di  si ha per
   45 .
Nel caso di    45 si ha che:
 max
1
E

1
1
E
1

0.9
E  20
10
7

Risulta quindi, in generale, conveniente adottare valori di      45 che corrispondono alla configurazione simmetrica di triangoli di velocità ( R  0,5 ).
16
5. SCELTA DEL PROFILO DELLE PALE.

Dalla relazione c p s  2
wu t
, noti i triangoli di velocità e le caratteristiche del flusso e della schiera si può
w l
ricavare il valore di c p s .
Tale valore è, tuttavia, diverso dal c pi relativo al profilo isolato per le interazioni che si verificano tra le pale e
per la mancanza della scia vorticosa laterale caratteristica del profilo isolato (che influenza il valore dell’angolo
di incidenza i ).
Si definisce quindi “effetto schiera” il rapporto:
k
Che tende a 1 per valori molto elevati di
dell’andamento di k con
c p ,schiera
c p ,isolato
t
, studi teorici del Weinig portarono alla determinazione
l
t
e con l’angolo di calettamento nelle ipotesi di fluido privo di viscosità e di palette
l
piane e sottili.
La strada seguita è, tuttavia, quella di effettiva sistematica ricerca sperimentale sulle schiere piane misurando
direttamente, per diversi tipi di profili e per diverse combinazioni di rapporto passo/corda e dell’angolo di incidenza, il valore di wu ed il valore della deviazione angolare  realizzabile.
17
6. GALLERIA DEL VENTO PER LE PROVE SU SCHIERE DI PALE.
La schiera è progettata in modo da assicurare che almeno nella sezione centrale (nella quale si effettuano le
misure) il flusso sia bidimensionale.
Il flusso nella schiera può, in tal modo, costituire un ragionevole modello del flusso nella macchina (a meno
degli effetti 3-D per pale molto lunghe).
La funzione del tratto accelerante è quella di ottenere un flusso all’ingresso della sezione di prova, avente un
diagramma rettangolare delle velocità con il minimo sviluppo dello strato limite che, in genere, viene auspicato
per evitare effetti 3-D.
Tra i più completi e accurati risultati ottenuti con prove su schiera sono quelli relativi ai profili della serie
NACA 65, caratterizzati da un profilo base simmetrico (con c p  0 ) ed uno spessore massimo pari al 10% della
lunghezza della corda e da una serie di profili ottenuti da quello base incurvando opportunamente la linea dei
centri.
Le caratteristiche di una schiera sono:
Geometriche:
profilo
curvatura equivalente (arco di cerchio che passa per gli estremi della linea mediana)
rapporto passo/corda (solidità)
Funzionali:
angolo di incidenza
angolo di deviazione
18
l
i risultati relativi ad una serie di prove condotte al variare della solidità   e della curvatura del profilo per un
t
assegnato valore dell’angolo 1 sono condensati nel diagramma:

1  45
1,25
  1.5
 =cost
1.00
0.75

c
Nel quale risulta evidente l’ ”effetto schiera”, dovuto alla curvatura del profilo, c, e al numero di pale.
Elevati valori di  causano:
aumento della resistenza e quindi diminuzione dell’efficienza del profilo.
Valori troppo piccoli causano:
un comportamento da “profilo isolato” e quindi basse deviazioni
Elevate curvature comportano:
aumento del carico palare ( c p )
bassi valori del Mach critico
In genere:
0,75    1,25
 più elevati consentono ammissioni maggiori della portata di attraversamento.
19

7. FENOMENI DI INSTABILITÀ NEI COMPRESSORI ASSIALI.
7.1.

STALLO.
Al diminuire della portata una maggiore inclinazione della w1 fa aumentare l’angolo di incidenza oltre le condizioni di massimo valore di c p oltre il quale si ha distacco dello strato limite dal dorso delle pale con conseguente formazione di vortici.
In tali condizioni si ha un crollo della portanza ed un forte incremento della resistenza.
Nel caso di “stallo totale” (verificato e studiato su schiera di pale) si ha una brusca diminuzione della pressione di mandata e, a causa delle forti perdite instauratesi, anche della portata.
Nel caso di riferirsi ad una macchina reale, prima dello stallo totale si verifica il fenomeno dello “stallo rotante”, caratterizzato da una pulsazione ciclica della pressione, dovuta ad una deviazione locale del flusso rispetto
alla cella in stallo che trasmette queste condizioni alla cella seguente nel verso del moto con una velocità pari a
circa la metà di quella angolare della macchina.
Se la frequenza dello stallo (prodotto della velocità di propagazione per il numero delle celle) si avvicina a
quella naturale delle pale si può avere un fenomeno di risonanza dannoso per l’integrità della pala stessa.


7.2.
POMPAGGIO.

p
B
D
M
A
Q


Dovuto al differente comportamento della legge che lega le pressioni alle portate nel circuito esterno tra le
condizioni di moto stazionario e quelle di moto vario che genera condizioni di instabilità per valori della portata
elaborata dal compressore molto piccoli rispetto alla massa di fluido contenuta nei condotti esterni e negli organi circuitari (ad es. serbatoio di mandata).
La massa accumulata nel circuito esterno ha un’inerzia a mantenere le proprie condizioni di pressione rispetto
alla rapida variazione della caratteristica interna.
20
La differenza si esalta al diminuire della portata fino all’annullamento della portata. Si ha quin di un riflusso
rapidamente contrastato dalla macchina (dato l’andamento della caratteristica interna nel quadrante delle portate
negative) che genera una pressione crescente con legge più rapida rispetto al valore di pressione che si ha nel
circuito esterno. Il punto di funzionamento si riporterà in M, instaurando così un regime stabile di pressioni variabili. Sperimentalmente si è verificata u'n’analogia con l’equazione dei di Helmots per determinare la frequenza del fenomeno:
f 
1
2
4 pS 2
Vm
S= sezione tubazione
V=volume capacità
m=massa mediamente presente nel circuito

7.3. BLOCCAGGIO DELLA PORTATA.
All’aumentare della portata cresce la velocità relativa che avrà il suo valore massimo (proporzionale all’entità
della curvatura) sul dorso del profilo.
Raggiunto il valore del Mach critico se la portata cresce ancora la zona sonica si estende sino a formare una
sezione interamente interessata da valori della velocità di bloccaggio della portata ( Ma  1 ).
Essendo Ma  T il raggiungimento delle condizioni critiche si ha in genere nel primo stadio per valori elevati del numero di giri.
Per bassi valori del numero di giri gli effetti d’interazione portano ad un aumento della velocità assiale negli
ultimi stadi, nei quali, essendo la temperatura più bassa rispetto al caso precedente, è più probabile che si abbia
bloccaggio.
Ma<1
Ma<1
Ma<1
Ma>1
Ma>1
21
Ma>1
8. TEORIA DELLA SIMILITUDINE.
8.1.
PARAMETRI CHE CARATTERIZZANO LE PRESTAZIONI DI UNA TURBOMACCHINA
(COMPRESSORI DINAMICI).
 Rendimento 
 Salto entalpico totale htot
 Potenza di compressione P
8.2. VARIABILI FUNZIONALI.
 = viscosità
N = regime di rotazione
D = diametro esterno della girante

m = portata massica
1 = densità in aspirazione
a1 = velocità del suono in aspirazione
k = esponente dell’isoentropica
Dato l’elevato numero di parametri funzionali è difficile prevedere le prestazioni della macchina in condizioni
diverse da quelle di progetto. Per verificare le prestazioni dei compressori al di fuori di tali condizioni, si deve
trovare una metodologia di confronto dei risultati con quelli garantiti.
La metodologia più seguita è basata sulla teoria della similitudine dinamica di flusso tra le due condizioni di
funzionamento di progetto e di prova.
In tal modo si può stabilire in quali condizioni i due flussi, in condizioni diverse, possono considerarsi dinamicamente simili. Note le caratteristiche di progetto si possono ricavare le corrispondenti caratteristiche del
flusso similare (prova). Lo studio in similitudine è di fondamentale importanza per l’utilizzo di misure sperimentali ottenute su modelli della macchina.
Si verifica la similitudine dinamica del flusso tra due campi di moto quando:
 Si verifica un rapporto costante tra due velocità in punti corrispondenti della corrente e tra le velocità
in punti corrispondenti e la velocità di uno stesso organo della macchina (ad es. velocità periferica della girante).
 Le velocità in punti corrispondenti hanno stessa direzione rispetto ad una qualsiasi direzione di riferimento.
22
 Stessa trasformazione subita dal gas nelle due condizioni di flusso (stesso esponente della trasformazione).
 Sono uguali, nei due sistemi, i rapporti di due tipi di forze agenti su masse elementari di fluido in punti
corrispondenti (forze d’inerzia, viscose, gravitazionali, elastiche).
 Similitudine geometrica delle superfici di contatto del fluido nei due sistemi (cioè rapporto costante tra
lunghezze omologhe e angoli omologhi uguali).
Perché si verifichino queste condizioni, occorre imporre le uguaglianze di alcune grandezze dimensionali, derivate dalle stesse relazioni funzionali, valide per le due condizioni di flusso. In tal modo è possibile prevedere
le prestazioni per una famiglia di macchine simili e funzionanti in similitudine.
I parametri prestazionali più ricordati possono quindi, in funzione delle variabili prima citate, , essere espressi
dalle relazioni:



f1  htot ,  , N , D, m, 1 , a1 , k   0





f 2  ,  , N , D, m, 1 , a1 , k   0





f 3  P,  , N , D, m, 1 , a1 , k   0


Mediante il teorema di Buckingham, le tre relazioni tra otto grandezze possono essere trasformate in altrettante in gruppi dimensionali in numeri inferiori ad otto.
Trattandosi di fenomeni meccanici, descrivibili con le tre grandezze fondamentali L , M , T , possiamo ridurre
le otto grandezze derivate a cinque gruppi dimensionali e quindi scrivere (in funzione delle tre grandezze fondamentali o altre tre dipendenti o da esse derivate):


f1'   1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5   0




f 2'   1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5   0




f 3'   1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5   0


In cui  1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 sono i gruppi adimensionali.
ESEMPIO PER htot IN FUNZIONE DI D , N , 
 1  D x N y 1z  (htot )  LT M 
23
Dimensionalmente

 L

T M 
1
3

 L T

M 
N  LT 1M 
D  L1T M 
htot
1
2
2
Sostituendo si ha
L T M  LT
x
1
1

y
M  L3T M 1
 L T
z
2
2

M   LT M 
Si ha un sistema lineare in tre equazioni e tre incognite:
x  3z  2  0
 y20
x  2
y  2
da cui
z0
z0
Per cui
 1  D 2 N 2 1   htot  
htot
D2 N 2
Analogamente
2 

D N1
2

m
3  3
D N1
4 
a1
DN
5  k
Si ha quindi:

 h

a

m
tot
f '1  2 2 , 2
, 3
, 1 ,k
 D N D N1 D N1 DN 


ovvero:
 D 2 N D 3 N DN 
htot
1
 f
,  1,
,k

a1 
D2 N 2

m
Generalizzando le tre espressioni si ha:
 D 2 N D 3 N DN 
htot
P
1
, ,
=f
,  1,
,k
1 N 3 D 5
D2 N 2

a1 

m
24
che esprimono tre relazioni funzionali tra gruppi dimensionali che caratterizzano le prestazioni di una famiglia
di macchine funzionanti in similitudine di flusso.
Perché si verifichi ciò devono essere uguali
htot
P
, ,
2
2
D N
1 N 3 D 5
e quindi i gruppi dimensionali entro le parentesi.
Ma
D 2 N1


uD

 Re

w
 wA
m
 1 3  m 
3
u
D N  1 1 D N
ND u
  Ma
a1
a1
htot
L
 2 
2
2
N D
u
2
numero di Mach periferico
coefficiente di pressione
Le relazioni funzionali tra grandezze dimensionali si possono scrivere sinteticamente
P
,
1 N 3 D 5
,  =
f Re,, Ma, k 
E quindi:
a parità di  pol 1 , si ha similitudine di flusso se si hanno:
 Stessi coefficienti di pressione e di portata
 Stessi esponenti isoentropici e politropici
 Stessi numeri di Mach periferico
 Stessi numeri di Reynolds di macchina
Verificandosi tali condizioni risultano uguali anche i numeri di Mach e di Reynolds locali.
1
Ricordando che (condizione di uguaglianza delle turbomacchine)  is



25
k 1
k
k 1
k  pol
1
1
9. USO DEI PARAMETRI EQUIVALENTI.
Una rappresentazione molto usate delle curve caratteristiche interne di un compressore è quella in cui si riferisce la portata effettiva alla portata corrispondente alla velocità del suono all’ingresso della macchina.
Mc  k1D 2cs 1
dove:
cs  kRT1
D diametro della girante
k1 costante
p
densità del fluido all’aspirazione
1  1
RT1
sostituendo cs e 1 
p1
si ha:
RT1
Mc  k1D 2 kRT1 
p1
RT1
da cui:
M eff

M eff RT1

M 2 R2T2
Mc k1D 2 k p1
portata adimensionalizzata rispetto alle condizioni di aspirazione, per cui uno stesso punto dell’asse delle ascisse può rappresentare:
M 1 R1T1
k1' D12 k1 p1
k2' D22 k2 p2
 cost
Se il fluido trattato è il medesimo e se si fa riferimento alla stessa macchina si ha:



D1  D2
k1  k2
R1  R2
e l’espressione si riduce a:
M T1
p1
tale relazione, non più dimensionale è detta parametro corretto, unitamente all’altro, ricavabile con procedimento analogo, per la velocità periferica:
u
k ' Dn
che dà luogo al parametro corretto:

cs
kRT1
n
T1
L’uso di tali parametri corretti consente di studiare il comportamento funzionale della macchina al variare delle condizioni di aspirazione.
26
I dati ricavati dalle prove sperimentali vengono infatti riportati in diagramma dopo averli corretti, tenendo
conto delle condizioni ambiente, se si può ritenere costante il rendimento che dipende, per velocità elevate, dal
numero di Mach e, per velocità basse, dal numero di Reynolds.
In particolare Re può esercitare notevole influenza sulle perdite se Re < 2  105 .
In tal caso si ha infatti che il rendimento decade notevolmente ed è allora conveniente tracciare due famiglie
di curve caratteristiche relative a valori rispettivamente elevati e bassi di Re.
η

n
T
alti Re
bassi Re
0.8
10.0 x 104
Re
m T
p
27
10. EQUILIBRIO RADIALE NELLE TURBOMACCHINE OPERATRICI ASSIALI.
L’ipotesi di considerare il flusso bidimensionale, nel senso che non vi è comportamento radiale della velocità,
non appare ragionevole quando la lunghezza delle pale è apprezzabilmente elevata rispetto al diametro medio.
In tal caso la distribuzione di massa rispetto al raggio può influenzare notevolmente il profilo di velocità in uscita e, di conseguenza, gli angoli cinematici del flusso. In tal modo, per un osservatore solidale con una particella,
lo spostamento radiale avrà luogo fin quando non si instaurerà una nuova distribuzione di pressione in grado di
bilanciare gli effetti delle forze centrifughe. Il flusso che nell’anulus della macchina è caratterizzato da un moto
privo di componente radiale e le cui linee di corrente giacciono su superfici cilindriche circolari è comunemente
definito come flusso in EQUILIBRIO RADIALE.
L’analisi, chiamata “metodo dell’equilibrio radiale”, ampiamente usata per calcoli di progetto quasitridimensionale è basata
sull’assunzione che una linea di corrente giaccia su una superficie cilindrica coassiale all’asse della
1.
macchina (assenza di componente radiale), il che significa asserire che: “la componente meridiana del
flusso c m giace su una superficie cilindrica non essendovi componente radiale”.
Si osservi che, nel caso più generale, per la defles-
cu componente tangenziale della velocità c nella
sione delle linee di corrente nel piano meridiano, al
direzione di r
termine
cm componente della velocità tangenziale alla li-
Fu
andrebbe
sommato
il
termine
cm2
Fm  dm , che provoca un’ulteriore variazione di
R
nea meridiana di flusso nella direzione del raggio di
curvatura R
pressione in direzione radiale. Se R   ovviamente Fm  0 ( R   se è piccolo l’angolo di defles-
apice
cm
sione).
ca
radice
R
r
28
2.
Ipotesi di assialsimmetria del flusso che implica il ritenere condizioni di moto identiche in ogni punto,
giacente nell’intersezione di una superficie cilindrica coassiale all’asse della macchina con un piano ad
essa ortogonale per qualsiasi valore del raggio (lo spessore delle pale è considerato nullo).
3.
Il flusso è considerato incomprimibile e senza attrito.
p+dp
dr
cu
a
per una generica serie di particelle di massa dm perché si verifichi equilibrio radiale si deve verificare che:
r
Fu  dm
p
dθ
b
cu2
c2
 abdr u
r
r
La particella fluida è considerata come elemento anulare e non come un parallelepipedo per cui la superficie
ab (verso l’esterno) è maggiore della superficie rivolta verso l’interno e, pertanto, le forze che agiscono sulle
superfici bdr hanno componenti che tendono a spostare le particelle verso l’esterno, ma i due effetti (superficie
e pressione) si compensano.
La forza centrifuga che agisce sulle particelle, Fu, deve essere equilibrata dalle forze di pressione in modo da
avere:
( p  dp)ab  pab  Fu
e quindi:
cu2
dpab  abdr
r
cu2
dp   dr ;
r
1 dp cu2


 dr r
Che si ottiene trascurando i termini del II ordine nell’equazione dell’equilibrio scritta completamente.
Se sono note (a monte e a valle delle pale) cu (r ) e  (r ) può allora essere determinata la variazione radiale
della pressione lungo le pale che soddisfa l’equazione scritta.
r2
p apice  p radice   cu2
r1
29
dr
r
Che per un fluido supposto incomprimibile diventa:
r2
papice  pradice    cu2
r1
dr
r
Se non vi è componente radiale, al generico raggio r si ha che l’entalpia di ristagno è:
1
h0  h  (c m2  cu2 )
2
e quindi che al variare del raggio deve essere:
dh0 dh
dc
dc

 c m m  cu u
dr
dr
dr
dr
ricordando che:
dh  Tds 
1

dp
si ha (considerando T (r ) = cost):
dh0 Tds 1 dp
dc
dc


 c m m  cu u
dr
dr
 dr
dr
dr
essendo
1 dp cu2

 dr r
si ha ancora:
dh0 Tds cu d
dc


( r  cu )  c m m
dr
dr
r dr
dr
Se supponiamo che lungo il raggio sia s(r) = cost , il che, in altre parole, significa dire che tutti i filetti fluidi subiscono le stesse perdite (per qualunque valore del raggio, supponendo adiabatica la macchina) e che sia anche
h0 (r ) = cost (costanza dell’energia specifica del fluido lungo il raggio) si ha:
cu d
dc
(r  cu )  cm m  0
r dr
dr
valida per un rotore nel quale sia costante ad ogni raggio il lavoro scambiato con il fluido.
Infatti, se il fluido è supposto incomprimibile invece dell’entalpia di ristagno si può considerare la pressione di
ristagno, tale che, essendo:
p0  p 
1
 (cm2  cu2 )
2
30
si ha:
dc
dc
1 dp0 1 dp

 c m m  cu u
 dr  dr
dr
dr
2
che fornisce, ricordando sempre l’ipotesi di equilibrio 1 dp  cu , la relazione:
 dr
r
dc
1 dp0 cu d

( r  cu )  c m m
 dr
r dr
dr
L’ipotesi di costanza di lavoro trasmesso ad ogni raggio ( L  ucu 
p20  p10

) implica che, partendo il flus-
so, a monte del rotore, con un valore uniforme di p 0 , tale valore dovrà essere uguale anche lungo il raggio a
valle della pala. In altre parole si ha p10 ( r ) = cost e p 20 ( r ) = cost, se si impone che sia costante, lungo il raggio,
il lavoro trasmesso. Qun ato detto vale nell’ipotesi che il trasferimento di lavoro avvenga lungo le pale sempre
con la stessa efficienza e cioè che  pal (r ) = cost, il che significa dire che le perdite di pressione totale (correlazioni di perdite con le prove su schiera) siano costanti lungo il raggio.
In questo caso l’equazione si riduce a:
EQUAZIONE DELL’EQUILIBRIO
cu d
dc
( r  cu )  c m m  0
r dr
dr
RADIALE PER L(r ) = cost
per la quale vale la relazione:
ucu = cost

rcu = cost
L’equilibrio radiale costituisce un’equazione che, integrata a monte e a valle della palettatura può fornire la
distribuzione della velocità assiale (meridiana) se viene assegnata la distribuzione delle velocità tangenziali cu (r ) (problema di progetto, o indiretto)
31
11. SVERGOLAMENTO DELLA PALETTATURA.
Nel caso di correnti decelerate lo svergolamento delle pale deve essere calcolato e realizzato in modo più accurato che nel caso di correnti accelerate, a causa della maggior facilità con cui si può verificare il distacco della
corrente dalle superfici di guida.
In generale, per lo stesso motivo, è necessario che siano imposte al fluido solo moderate deviazioni, che, unitamente alla condizione L  ucu  cost, mostra come al raggio interno, la variazione cu , e quindi, la deviazione del flusso debba essere più elevata a causa del piccolo valore della velocità periferica u .
La variazione cu, la cui distribuzione resta fissata dall’aver imposto L  ucu  cost è però da determinare in
termini di valori delle componenti c 2 u e c1u , in grado di realizzare la voluta deviazione.
Diversi sono i criteri adottati per calcolare, in funzione della variazione cu, lo svergolamento delle pale, che
dipenderà, naturalmente, dai valori assoluti di c 2 u e c1u .
12. CRITERIO DEL VORTICE LIBERO (O A MOMENTO CINETICO COSTANTE).
Un flusso irrotazonale a vortice libero (o, per meglio dire, libero da vortici) è caratterizzato da un valore costante del prodotto:
r  cu  k = cost
cu+dcu
Si consideri un elementino di fluido ideale non viscoso che ruota intorno ad
r+dr
una asse. La circuitazione  , definita come l’integrale di linea (che racchiude
r
cu
una certa area A) della velocità c è:
dθ
   cds
A
32
La vorticità in un punto è definita come il limite della circolazione  rispetto all’area A per A  0 , si ha
quindi che la vorticità

d
dA
per l’elementino considerato è:
c 
 dc
d  (cu  dcu )(r  dr )d  cu rd   u  u rddr
r 
 dr
Se si ignorano i termini del II ordine.
In tal caso, essendo dA  rdrd si ottiene:
d 1 d rcu 

dA r dr
se la vorticità   0 , deve allora essere:
d rcu 
0
dr
e quindi :
r  cu  k = cost
33
13. PROBLEMA INVERSO O DI PROGETTO: NOTA LA DISTRIBUZIONE cu (r ) TROVARE
cm (r ) .
Ricordiamo che nelle ipotesi precedentemente dette e per L = cost si ha che l’equazione dell’equilibrio radiale
si riduce a:
cm
dcm cu d rcu 

0
dr
r dr
Ponendo r  cu = cost si ha allora
cm
dcm
0
dr
che fornisce la condizione cm (r ) = cost come condizione particolare di distribuzione della componente assiale
(incognita del problema di progetto o indiretto) corrispondente alla condizione imposta derivante dall’ipotesi di
vortice libero. Per risolvere completamente il problema occorre naturalmente assegnare le condizioni iniziali
(valore di c m1 ) ottenibili semplicemente dall’equazione di continuità.
In definitiva, imponendo la costanza del lavoro trasmesso, l’ipotesi di vortice libero consente di progettare
uno svergolamento delle pale che consente di mantenere costante anche la componente assiale (altezza dei
triangoli di velocità in ingresso e in uscita).
La condizione appena trovata è, tuttavia, strettamente legata alla considerazione già fatta di ritenere costante il
rendimento di palettatura con il raggio e di ritenere adiabatica la macchina.
In caso diverso non potrà essere esattamente soddisfatta la condizione L(r) = cost e quindi, anche supponendo
nulla la vorticità non sarà esattamente costante la componente assiale.
Con lo svergolamento operato a vortice libero non si conserva il valore del grado di reazione lungo le pale,
dovendo essere al variare di u , cu  u = cost, che diminuisce verso la radice dove aumenta la deviazione subita
dal fluido e quindi la curvatura delle pale.
34
APICE
R  0.5
rotore
c2
w1
c1
wa=ca
w2
statore
w∞
u
Δcu
RAGGIO MEDIO
R  0.5
rotore
w1
c2
c1 w =c
a
a
w2
w∞
statore
u
Δcu
RADICE
R  0.5
c2
c1
rotore
w1
w2 w∞
wa=ca
statore
u
Δcu
35
14. FLUSSI SECONDARI.
 effetti dovuti allo strato limite presente su:
 superficie delle pale
 mozzo
 casse
Il fluido per effetto della deviazione subisce un’azione centrifuga equilibrata dal gradiente di pressione che esiste tra ventre e dorso di due pale successive.
Nella zona centrale del condotto la velocità del fluido è massima e massima è anche l’azione di tale forza centrifuga che tenderà a spostare il fluido dalla zona centrale verso il ventre della pala provocando in conseguenza
un riflusso in senso contrario sia nella zona superiore che inferiore.
Si generano in tal modo vortici di senso opposto.
Un altro fondamentale flusso secondario è quello dovuto all’azione delle forze centrifughe nel piano ortogonale all’asse della macchina che tende a formare un vortice nel piano stesso.
L’azione dei flussi secondari si traduce in uno scostamento sempre più marcato del flusso principale dalle
condizione ipotizzate per il calcolo dell’equilibrio radiale.
Un’altra condizione che può rendere meno valide le ipotesi di flusso considerate è quella di velocità tali da
rendere reversibili gli effetti di comprimibilità in termini di variazione della sezione della macchina che, viceversa per basse velocità, non subiscono tali variazioni nell’ambito di uno stadio.
36
15. REGOLAZIONE DEI COMPRESSORI.

COMPRESSORI CENTRIFUGHI
η=cost
(comportamento più graduale)
Q

COMPRESSORI ASSIALI
(curva caratteristica più ripida,
il profilo risponde alle
variazioni di portata
con rapide variazioni
di c p s )
Q
15.1.
REGOLAZIONE A NUMERO DI GIRI VARIABILE.
Variando u e wa si può ottenere un comportamento della macchina sempre prossimo a quello di progetto.
37
15.2. REGOLAZIONE PER STROZZAMENTO.
Alla mandata

All’aspirazione
mx T1
p1
m x T1
m  T1
p'1
p1
m T
p
Riduzione della portata da m  a m x
Differente valore della portata volumetrica a parità di variazione della portata massica e vantaggi rispetto alle
condizioni di pompaggio.
15.3. REGOLAZIONE PER BY-PASS.
M
38
15.4. REGOLAZIONE CON PALETTATURA AD ORIENTAMENTO VARIABILE.
u
c2
c1
w1
w2
wa
Apertura
minima
u
u
c2
c1
w2
w1
wa
Apertura
intermedia
u
u
c2
c1
w2
w1
wa
Apertura
massima
u
Si modifica l’orientamento delle pale statoriche conformemente alle variazioni di portata richieste. Al diminuire della portata decresce l’angolo di calettamento in modo da imporre al fluido una deviazione tale da mantenere costante le direzioni delle velocità relative. In queste condizioni la prevalenza decresce con la portata e la caratteristica è tale da avere (per ovvi motivi) sempre condizioni ottimali di rendimento come per la regolazione a
numero di giri variabile.
Si possono tracciare curve parametrate nell’angolo di calettamento a numero di giri costante.
39
16. COMPRESSORI TRANSONICI E SUPERSONICI (BREVI CENNI).
Si definisce compressore supersonico quello in cui, sulle palette di un qualsiasi elemento di stadio e per tutta
l’altezza della pala, si verifichi un flusso supersonico.
Se la velocità del flusso passa da valori subsonici alla base a valori supersonici alla sommità, il compressore è
definito transonico.
Se la velocità del flusso è transonica o supersonica la sua componente assiale è, però, sempre, nettamente,
subsonica.
In questa classe di macchine, la presenza di fenomeni di urto rende necessario un profilo con la parte anteriore
(non arrotondata come nel caso di flussi subsonici) a forma di cuneo molto acuto. Inoltre la sagoma del condotto deve essere del tipo convergente - divergente e non semplicemente divergente.
Il principio di funzionamento si basa sul forte aumento di pressione conseguente al brusco passaggio, attraverso onde d’urto, del flusso, da velocità supersoniche a velocità subsoniche.
In tal caso è impossibile conservare immutata la componente assiale del triangolo di velocità
nell’attraversamento dello stadio.
c2
Ma > 1
w1
URTO NEL ROTORE
w2
c1
Essendo i compressori supersonici in genere monostadio,
come alcuni fan transonici usati nei turboreattori
a doppio flusso, è adottata una soluzione con velocità
assoluta in uscita in direzione assiale
u
u
w1
c1
u
c2
URTO NELLO STATORE
Ma > 1
In questa configurazione il rotore imprime soltanto
una forte deviazione ( R  0 ) per cui
la compressione avviene tutta nello statore
w2=w1
u
La variazione di componente assiale (nel rotore e nello statore) comporta un dimensionamento delle palettature che non tenga conto della sola variazione di densità.
L’urto nel rotore ha un effetto compensativo sull’aumento di densità, in tal caso quindi, l’area di passaggio
non si riduce in proporzione all’aumento di densità.
40
Nel caso di urto nello statore, gli effetti di aumento di wa nel rotore (in cui non vi è aumento di pressione)
vengono compensati da una riduzione dell’area di passaggio.
17. GRADO DI REVERSIBILITÀ DI UN CICLO.
Quando le trasformazioni di adduzione e sottrazione di calore non sono isoterme si può definire un “indice di
molteplicità delle sorgenti”. Si considera quindi la presenza di infinite sorgenti termiche ognuna caratterizzata
da una temperatura T e da un calore dQ scambiato in un tempo infinitesimo.

T"/ T '
T "m / T 'm
T’m, T”m = temperature medie di scambio
T’,T” = temperature estreme
T 'm
T"
'
; " m ;  
T"
T'
"
Che permettono di separare gli effetti delle distribuzioni delle sorgenti positive e negative.
Per ciascuna sorgente vale  ' 
T
B
T'
A
Tm 
I
II
T''
B
1 
B
dQ
A T
(I )
 Tds
A
s AB
2 
B
dQ
T
A( II )

1 e  2 = variazioni entropiche tra A e B
s
Si definisce  
1
1 
T 'm
1
grado di reversibilità del ciclo.
2
Per cicli reversibili
1   2    1
Per cicli irreversibili
 2  1    1
41
B
Q'
A dQ  T 'm
(I )
1
2 
T "m
B
Q"
 dQ  T "
A( II )
m
Si ha, quindi:
 1
Q"
 T"
1 T"
1 2 m 1  m
Q'
 1T 'm
 T 'm
che permette di studiare il rendimento del ciclo in funzione delle temperature medie delle sorgenti anche in presenza di irreversibilità.
17.1.
ENERGIA. EXERGIA.
ENERGIA  legata al primo principio della termodinamica fornisce informazioni circa l’energia termica trasformabile in energia meccanica.
La conversione di calore in lavoro in un impianto di produzione di energia meccanica a flusso continuo (a vapore o con turbina a gas) avviene a scapito di scambi di calore generalmente a pressione costante e, quindi, le
acquisizioni o cessioni di calore sono variazioni di entalpia.
Assunta una temperatura di riferimento T0 si può definire allora l’EXERGIA come:
 T 
dE  1  0 dQ  Carnot  dQ
 T
energia connessa, assunto il valore T 0 , al calore scambiato.
Durante un riscaldamento isobaro 0-1 il contenuto energetico acquisito dal fluido è
1
1 dQ
T 
E01   1  0 dQ  Q01  T0 
 H 01  T0 S1  S0 
0
0 T
 T
pari al lavoro ottenibile con una espansione isoentropica del fluido dallo stato 1 alla temperatura T0 e riconducendolo allo stato iniziale 0 isotermicamente.
T
T1
1
T0
0
S
Risulta quindi evidente che una trasformazione che permetta uno scambio di calore con minore incremento di
entropia (i.e. isovolumica) è exergeticamente più efficiente.
42
T
1'
T'1
Confronto
1
T1
a parità di calore introdotto
o
a parità di temperatura massima raggiunta
T0
0
S
17.2. EFFETTO CARNOT.
Definisce il limite superiore cui può tendere il valore numerico del rendimento termodinamico di un ciclo motore (in assenza di irreversibilità).
 Carnot  1 
La frazione non utilizzata è  
Si definisce quindi
T"
T'
T"
 1   Carnot
T'
 ciclo
 1 come rendimento specifico che indica lo scostamento del ciclo in esame ri Carnot
spetto al ciclo di Carnot operante tra le stesse temperature estreme.
18. TURBINE A GAS.
TURBINA A GAS = macchina motrice a flusso continuo operante su fluido comprimibile.
 Rendimento termodinamico fortemente influenzato dalla mancanza di isotermicità delle trasformazioni di adduzione e sottrazione di calore.
 Per ottenere valori convenienti del rendimento occorre esasperare il distanziamento termico dei
suoi punti estremi.
 È un’improprietà parlare di un vero e proprio ciclo termodinamico per un ciclo aperto.
43
18.1.
CICLO TERMODINAMICO IDEALE.
18.1.1. GAS IDEALE.
ds 
du  pdv dh  vdp

t
t
nel piano termodinamico:
s2  s1  c p ln
T2
p
 R ln 2
T1
p1
per una trasformazione isoentropica
T2  p 2 
 
T1  p1 
k 1
k
;
per una isoterma
s   R ln
p2
p1
ciò implica che nel piano T, s per un gas ideale le isobare sono costituite da linee sovrapponibili ed ottenute per
traslazione l’una dall’altra di uno scarto isoentropico dipendente dal rapporto delle pressioni delle isobare. Tale
considerazione vale anche per un gas perfetto ( c p  f (T ) ).
Non vale, invece, per i gas perfetti che ogni isobara sia ottenibile da quella di riferimento i cui punti vengono
 p 

moltiplicati per 
p 
 rif 
k 1
k
.
 Per la invarianza di c p nei gas ideali (e supposto tale nei confronti della pressione nei gas reali):
h  c p T
CICLO =  cicli infinitesimi di uguale rendimento essendo
Te
= cost.
Tu
3
 id  1 
Te
2
Tu

Te
4
Tu
1
Tu
Te
1

k 1
k
Te
= cost
Tu
ds
44
( c p  cost )
LAVORO MASSICO
Da un punto di vista termodinamico, il lavoro massico dipende dal livello iniziale di temperatura T1 , dalla variazione entropica s e dal rapporto di compressione  .
 T

T
 
Lid  LTid  LCid  c p (T3  T4 )  c p (T2  T1 )  c p T3  T2   T4  T1   c p  3  1T2   4  1T1 

 T1
 
 T2
ricordando che
T4 T3

T1 T2
;
T3
(trasf. isobara) =
T2
e
s
cp
;
T1
1
 k 1
T2
k

  s   k 1 
 T


T
 T

Lid  c p  3  1T2  T1   c p  3  1 2  1T1  c pT1 exp   1  k  1
  c p  

 T2
 T1

 T2


Lid  f (  , s, T1 )
si vede che
Lid  0 se
 1
e
s  0
( T1  0 è il caso banale)
Per esprimere il lavoro massico in funzione delle T estreme, oltre che di  , si ha:


1
Lid   id  Qe  1  k 1
  k

posto  
T3
T1
Lid  0 se
si vede che
 1
;
Lid ,max si ha se è massimo



T1 
1
c p T3  T2    1  k 1
T1 

k

 

k 1
 T3


k 

c
T


 p 1


 T1


Lid  f (  , )
Lid  0 se   
k
k 1


k 1 
1  1      k  ovvero se è massimo
k 1  



k  
  


 k 1

  1    k   

k 1  


 k 


Per un prefissato valore di  si ha allora:
Lid  max
se
   
      min
 


k 1
k
Il minimo della funzione si ricava:
 
        0


45
    1      1   0
da cui
 
1
2
Si verifica quindi
T2
T
 3
T1
T1

è il valore minimizzante la funzione per il quale Lid  max
Lid  max se     1 2

essendo
T2
 
T1
e

T3
T1

T2  T1  T3
T3 T3 T1 T3
T1
T
T
T
   
 3 1  3
T2 T1 T2 T1 T1  T3 T1 T3
T1
T2 T3

T1 T2


T3  T1  T22
per Lid  max

T2 è la media geometrica tra T1 e T3 . 2
Osservando che Lid ,max si ha anche se c p T3  T2   c p T4  T1   c p T3  T1   c p (T4  T2 )  max deve aversi
c p T4  T2   min , ma T2 e T4 sono vincolati dalla relazione dei cicli simmetrici T4  T2  T3  T1 da cui il
minimo si ha per T2  T4  T3  T1 dovendo essere T22  T3  T1 .


Lid ,max  c p (T3  T2 )  c p (T4  T1 )  c p T2  T1  T2  T4   c p T3  T1  2 T3  T1  c p
essendo
2
T2  T1  T3  T4
Media aritmetica.
Media geometrica o proporzionale.
a1  a 2  ...  a n
n
n
46
a1  a 2  ...  a n
T
3
 T1

2
 T

 c p T1  3  1
 T

 1

2
T
T3
T2=T4
T1
s
Lid
T1
1
1
1
 T3  
 
 T1 
 T3  2
 
 T1 

Il lavoro massico presenta un andamento simmetrico rispetto alla posizione di massimo, una volta che siano
fissati i livelli termici estremi del ciclo T1 e T3 .
Posto   ln  si ha :




Lid  1    c pT1      1  exp  c pT1   exp 
essendo
(L
id , maz )

1
2
si ha   ln  
1
ln
2
Introducendo la variabile di comodo  la simmetria della curva sussiste se
Lid (   )  Lid (   )  Lid ( )
Lid  1  exp     c p T1   exp     


  1
  1
 
 
 1  exp   
ln     c p T1   exp  
ln      


 
 
  2
  2


 1

1

 1  exp  ln     c p T1   exp  ln      
 2

2




 1 


 1 




exp   c p T1    exp  





1
1
exp   c p T1 1 
exp 





1
47
dalla quale si riconosce l’evidente simmetria in quanto  e   possono essere scambiati senza alterare il risultato per cui Lid è una funzione simmetrica nei confronti di ln   .
RENDIMENTO
T4  1
T4  T1
T1
T
T
LTid  LCid Q'Q"
1
 1
 1  1  1  1  k 1
 id 

= 1
T3
T3  T2
T2
Qe
Q'
 1 T2
 k
T2
T4 T3

T1 T2
( c p  cost )
Il rendimento del ciclo Joule semplice ideale è indipendente dalla temperatura T3 .
id
1
1
 id  1 

d id
d

0
1
d id
   
d
 

0
k 1
k
 1

1
Per applicazioni in cui siano richiesti ingombri e pesi contenuti si massimizza il lavoro massico e non il rendimento.
18.1.2. INFLUENZA DELLA NATURA DEL FLUIDO.


  id

k 1 R

k
cp
 un incremento di  determina un incremento di  id a parità di  .
d id
aumenta con    id cresce con maggiore rapidità, il che consiglia l’uso di gas monoatomici
d
48
18.2. ANALISI DEL CICLO IDEALE.
 Confronto tra ciclo ideale e ciclo reale a parità di lavoro di compressione e di calore potenzialmente introdotto nel sistema.
 Indice di reversibilità del ciclo  che consente di definire il rendimento in funzione della temperatura
media.
3'
3
LCr  LCid
Q' r   b  Q'id
T'f
2'
  1
T's
1
sQ f
stot
Noto che sia  pC , dato il punto 1, e definiti c p e  come valori medi
T2  T1 
LCr
 T2 

; p 2  p1 
cp
T
 1
T2  T1   aC
 pC

 T2 
LCr

; p 2  p1 
T
cp
 1
1

essendo c b la perdita di carico in camera di combustione
p 3  p 2  cb
definito  b il rendimento di combustione
c p T3  T2    b  c p T3'  T2 '    b  Q'id  Q' r
T3  T2 
49
Q'id  b
cp
s Q f
stot
stot  sQ f  sirr
4*
4'
2
4
4*
4
2

T 's 1

T'f 
p4  p1 in impianti a ciclo aperto
p4  p1 in impianti a ciclo chiuso
Definito  PT si ha
T4 
T3
 p3 
 
 p4 
  pT
per il ciclo aperto p4  p1  p4*
T4* 
T3
  pT
 p3 


 p4* 
Lavoro massico reale:
Lr   mT  c p T3  T4  
cp
 mC
T2  T1 
per ciclo aperto
T4  T4*
Il calore potenzialmente introdotto è:
Q'id 
R 
cp
b
T3  T2 
Lr
Q'id
c p  f ( )
;
c p 23  f ( ,  )
Q 'id  Q ' speso
;
Q' Q' entrante
LT , LC
 lavori limite
Rendimento globale del ciclo:
L
 r
Q'
b

 mT  a  LT  LC 
T
mC
  aC
Q'
  mT   aT 
b
 È conveniente massimizzare il rapporto

LC  LT
1



Q'
 LC  mC  aC  mT   aT 
b
LT
LC
 È conveniente massimizzare il prodotto dei rendimenti
50
T
p2
p1
2
2'
1
s
Q' speso 
 aC 
1
 aC
imponendo

Q'
b
 c p23 T3  T2  
c p12' T2'  T1 
c p12 T2  T1 
1
b
c
p2 ' 3
Lc
c p12 T2  T1 

c p12 T2  T1 
LC
22 '
( c p12' si riferisce al ciclo limite)
1
;
T3  T2'   c p T2  T2' 
 aC
1 
c p12 T2  T1   c p12' T2'  T1 
LC
c p12  c p12'
1
 aC
1 
c p12 T2  T2' 
LC
e supponendo ancora a titolo di semplificazione dei passaggi
Q' speso 
c p12  c p22'
si ha:
 1

1 


Q
'

L

1
 2 '3 C 
b 

 aC

che fornisce:
L
1

   b  mT  a   T 

L







C
mC
aC
mT
aT


T
essendo: T4'  T2'  T1  T3 
T1 T4'

T2' T3
51
LC
 1   aC
Q' 2'3  LC 
  aC



 T 
c p34' T3 1  4 
LT c p34' T3  T4 
 T3   T3


LC c p2 '1 T2 '  T1 
 T  T2'
c p2 '1 T2' 1  1 
 T2' 

 0
T3
1

T2'  mC aC mT  aT
se
 T3

1


 T2'  mC aC mT  aT 
 Q' 2 '3 1   aC 


 aC 
 LC
 b mT  aT 
e quindi per ogni valore di T3 esiste un valore di T2 ' e quindi di  (tenen-
do conto anche però dei diversi rendimenti) per il quale il rendimento globale del ciclo si annulla.
T

  3  mC aC mT  aT 
 T1

  0
1

La funzione    ha quindi un massimo.
Per    0 si verifica che il calore di irreversibilità più quello sottratto eguaglia quello introdotto. Ciò avviene al
crescere di  a parità di  P perché con  decresce  aC .
g
Lu
Lu
 kcal 
 kg 



0,4
40
 p  0,95


L   mT  aT c p T3 1    
L0
0,3
30
 p  0,85
20
b  0,96
 mC aC
per
cioè
 mT  aT  mC  aC 
T3=1000 K
0,1

 mT  aT mC aC c pT3 1      c pT1    1
e
0,2

c p T1    1




T3
  1

T1
1   
10
Supposto costante o, uguale punto per punto
 p  0,75
m  0,98
cp
T2=288 K
1
3
5
7
9
11
13

52
L0
 1
se
L  max
e
T

   3  mC aC mT aT 
 T1

T

   3  mC aC mT aT 
 T1

per
1
1

2
 Nel caso reale L ammette un massimo per valori di  inferiori rispetto al caso ideale per effetto del pro-

T 
dotto dei rendimenti meccanici e adiabatici del compressore e della turbina.    Lid ,max     3 

 T1 

1
2




 Dal lavoro massico dipende la portata d’aria per unità di potenza prodotta.
 Il valore della temperatura T3 ha una gran-
g
0,4
80
Lu
g
Lu
 kcal 
 kg 


dissima influenza nel ciclo reale.
 Quanto minore è il rendimento politropico
(supposto uguale per la turbina e compressore)
tanto più elevata è la temperatura cui corrispon-
 p  0,95
0,3
de il valore   0 ; tanto più si sposta verso de-
60
stra l’origine della curva.
 Compatibilmente con la resistenza dei ma p  0,85
0,2
teriali l’incremento di T3 comporta notevoli in-
40
crementi del rendimento (con legge dipendente
da T3 stessa e da Q' ) e del lavoro utile, diretta0,1
 p  0,75
mente proporzionale a T3 , soprattutto per bassi
20
valori di  p .
 8
T1=288 K
 Effetti delle irreversibilità sul calore da introdurre e sul calore da sottrarre.
0
600
800
1000
1200
1400
T3
imponendo
 C   aC  mC
T   aT  mT
Si può ricavare un’altra espressione per  data da  r   l  i dove:
  l rendimento limite
  i rendimento interno del ciclo, che, naturalmente, dipende da  C e  T .
53
Supponendo, per semplicità, c p = cost, si ha:
l  1 
definendo
C 
LCl
LCr
1

T 
;
i 
;
LTr
LTl

;
 T LTl 
i  
L  LCr c p T3  T2'  LTr  LCr T3  T2'
r
 Tr



 l c p T3  T2  LTl  LCl
LTl  LCl T3  T2
T3  T2'
T3  T2
LCl
C
LTl  LCl



C
T C 
1
LCl
LTl



1  
 r   i l  1    
    C


   b  r
;
LCl
LTl
LCl
LTl


  1  T C

1
L
C 
1  Cl

LTl



1  1   T  C

L
1  Cl

LTl













T1
c p T2  T1  T2  T1 T2
T2 T2 T1   


 


T4 T3
c p T3  T4  T3  T4 T3
T3
1
T3
1



1  
 r  1    
    C




1  1   C T

T1 
 1 
T3







I
II
Il termine I è una funzione crescente di  mentre il termine II è una funzione decrescente di  .
1
l
r
i

1
54
19. CICLI A COMPRESSIONE INTERREFRIGERATA.
 Impossibilità di effettuare una refrigerazione continua.
 vdp
si riduce per la riduzione di v con T .
19.1 CASO TEORICO.
In tal caso il rendimento risultante dei due cicli virtuali è:
 I , II 
LI , II
QI  QII
Senz’altro inferiore a quello del solo II ciclo se si fa il confronto dei rendimenti  I ed  II al variare di  (caso limite).
19.2 CASO REALE.
Il ciclo virtuale aggiunto presenta una fase di espansione ad entropia decrescente.
Supponendo identici i rendimenti politropici delle due fasi 3-4 e 2-5 e isobare 4-5 e 3-2, se si trasla l’isobara
passante per 3-2 (gas perfetto3) sino ad avere 2 in 2* e 3 in 3*
T
alla stessa entropia rispettivamente di 5 e di 4 ( possibile solo a
5
rigore, considerando il gas perfetto per la dipendenza di c p da
T e p ), si ha un ciclo ideale equivalente a quello reale con e-
4
spansione virtuale.
2
3
2*
3*
s
3
Nel piano T, s, per un gas ideale, le isobare sono costituite da linee sovrapponibili, ottenute per traslazione l’una dall’altra di uno
scarto isoentropico dipendente dal rapporto delle pressioni delle isobare. Tale considerazione vale anche per un gas perfetto
( c p  f (T ) ). Non vale, invece, per i gas perfetti che ogni isobara sia ottenibile da quella di riferimento i cui punti vengono moltipli-
 p 

cati per 
p 
rif


k 1
k
.
55
T4  p 4 
 
T3  p3 
m 1
m
p 
  5 
 p2 
m 1
m

T5
T2
da cui
T2 T5

T3 T4
e quindi s5  s 4  c p ln
T5
T4
per cui 3* e 2* giacciono sulla stessa isobara ed essendo le Tm 23 e Tm 2*3* uguali, risultano uguali i rendimenti dei
due cicli, essendo l’indice di reversibilità   1 .
 Il  del ciclo limite equivalente al ciclo aggiunto è maggiore di quello reale.
1
 m 
 I QI   II QII
l   II
QI  QII
r   I
0

1  eff  vir tot ott con inter  ott
Per ottimizzare  del ciclo aggiunto virtuale devo tener conto del prodotto  II QII , perché se  II è elevato ma
è QII molto piccolo, in definitiva l’apporto non è significativo.
T
a)
b)
c)
s
In ogni caso, da un punto di vista impiantistico, gli inconvenienti maggiori sono legati alla presenza degli interrefrigeratori che, oltre a richiedere notevoli portate di refrigerante (in genere acqua), che vanificano uno dei
vantaggi delle T.G. a circuito aperto, di poter funzionare in ambienti anche poveri di risorse idriche, introducono ulteriori perdite di carico ed una maggiore complessità e costi di realizzazione, insieme con una notevole riduzione delle caratteristiche di compattezza di questi impianti.
56
19.3 CALCOLO DEL  DI INTERREFRIGERAZIONE E DI LC ,min NEL CASO IDEALE.
1   2  
T
1  1
2  
T
1  
2  1


2  1' '
1  1' '
s
s
In entrambi i casi non si ha un aumento di lavoro utile, si deve avere quindi un massimo del lavoro utile. Il
massimo aumento di Lu si avrà per quel valore di 1 che rende minimo il lavoro di compressione. Imponendo a
fine interrefrigerazione T  T1 .

 
LC  LC1  LC 2  c p T1''  T1   c p T2  T1   c p T1 1  T1  T1  2  T1


dLC
 c pT1 1 1     1 1  0
d1




1 1     1 1
12   




  

 c pT1 1  2    

 1  

1 1

1 1
1  
Relazione, quest’ultima, che individua il valore ottimale di 1 che minimizza il lavoro di compressione.
57
20. CICLI CON RICOMBUSTIONE.
 Nel caso di cicli a combustione interna il massimo delle ricombustioni va necessariamente considerato
in relazione alla quantità d’aria che è necessaria per realizzare le combustioni che si susseguono.
 Per quanto concerne il ciclo ideale valgono le stesse considerazioni espresse per i cicli interrefrigerati.
 Per i cicli reali è da sottolineare che il rendimento del ciclo addizionale è funzione della temperatura intermedia e, quindi, dei rapporti di espansione intermedi.
T
3'
3
4'
3' '
4' '
4
4' '
2
4'
1
s
Il rendimento del ciclo addizionale (in questo caso ottenuto con due ricombustioni) è:
 add 


 mT c p4 '3' T3'  T4'   c p3'' 4 '' T3''  T4''   c p44 ' T4  T4 ' 
c
p4 ' 3 '
T3'  T4'   c p T3''  T4'' 
3 '' 4 ''
58
b
21. CICLI CON RIGENERAZIONE.
Un “difetto” termodinamico del ciclo Brayton per T.G. è costituito dalle variazioni di temperatura del fluido
durante le fasi di riscaldamento e di raffreddamento. Tale circostanza costituisce un impedimento al raggiungimento di elevati valori di rendimento in quanto obbliga il ciclo termodinamico ad essere poco distanziato tra la
sorgente calda e la sorgente fredda.
T
3

2
1
4
  1
sQ f
sTOT
sQ f
sTOT
T 's 1

T'f 
s
Supponendo che la T3 sia, come usualmente è, pari a circa 1200K, per un valore di T1 =300K il rendimento
del ciclo di Carnot sarebbe:
 Carnot  1 
T1
 0,75
T3
Il calore introdotto nel ciclo Brayton, comincia ad essere scambiato, a fine fase di compressione, a temperature molto basse (intorno ai 400°C).
Da tali considerazioni, valide anche per la fase di cessione del calore che inizia a temperature relativamente
alte, deriva la possibilità di eliminare quelle parti di scambio termico dannose per il rendimento:
1. cessione di calore al fluido appena dopo la fase di compressione;
2. raffreddamento del fluido appena dopo la fase di espansione.
La possibilità di effettuare la rigenerazione è, tuttavia, legata al rapporto di compressione del ciclo.
59
T
4
3
5
2
6
1
s
La rigenerazione consente di utilizzare contenuti entalpici ormai perduti alla conversione in energia meccanica.
21.1. ANALISI DEL CICLO IDEALE O LIMITE.
Equivalenza tra un ciclo semplice rigenerativo ed un
T
ciclo semplice a rapporto di compressione maggiore
3
2
1
5
6
Qu
1*
p 
s5  s3  s6  s 2   R ln 1 
 p2 
p2  p3  p4
4
Q'e
p1  p6  p5
s5  s 6  s3  s 2
Per la congruenza delle isobare il tratto 6-1 traslato
6*
giace su di una isobara. Le quantità di calore entrante
Qu *
Q' e ed uscente Qu sono le medesime.
s

Q'e
3
2
Qu
1
Aumento del distanziamento del-
4
Q'e
le temperature medie al diminui-
Q'e
QRIG
re di 
5
QRIG
6
Qu
Qu *
Qu
Qu *
60
Il rendimento del ciclo semplice ideale è una funzione crescente di  :
T
T1
 5
T2
T4
T1
T
1 1
Q
T T
T
T2 T6
T2 T2  T1
1 u 1 6 1 1
 1

1 1 
T
T
Qe
T4  T3
T4
1  5 T4
1  5 T1  T4
T4
T4
1
id , R
Tale espressione descrive il rendimento di un ciclo ideale semplice rigenerativo in funzione del rapporto tra
gli estremi di temperatura T1 del ciclo e del rapporto di compressione. Confrontando tale espressione con quella
T4
nota del ciclo ideale semplice  id  1 
1

si riconosce che il rendimento ideale del ciclo rigenerativo ha un an-
damento funzionale rispetto a  del tipo opposto, infatti  id , R è crescente al diminuire di  , sino al valore:
 id , R  1 
T1
T4
valido per   1
che coincide con il rendimento di Carnot.
T
La rigenerazione è effettuabile sino a valori di    essendo    4
 T1
massimo valore del lavoro massico.
61
1
 2
 coincidente con le condizioni di


1
id
 id , R
T4  max  cost

L
1


2
 Si noti che per un certo valore del rendimento  id , R   id si determinano i due valori del rapporto di
compressione 1 e  2 con  2 > 1 cui corrisponde lo stesso valore del lavoro massico Lid  Lid , R ;
 Il rendimento del ciclo rigenerativo ideale è funzione oltre che di  anche della temperatura massima
del ciclo;
 All’aumentare della temperatura massima aumenta il valore di  che realizza l’eguaglianza tra la
temperatura in uscita dal compressore e quella in ingresso alla turbina.
62
T
Per   1 il ciclo Joule rigenerato può essere assi-
34
milato al segmento A-3.
1 2
A
s

0.9
La rigenerazione è quindi molto vantaggiosa per gli
impianti fissi di generazione di potenza meccanica
0.8
0.7
per i quali la semplificazione dei componenti di
 id
Tmax
maggior costo (turbina e compressore) costituisce
0.6
un notevole risparmio. Con tale pratica si ottiene,
0.5
da un punto di vista termodinamico, il desiderato di
stanziamento dei livelli termici di entrata ed uscita
0.4
del calore con componenti statici (scambiatori) an-
0.3
ziché dinamici (turbocomponenti).
0.2
0.1

0
1
5
10
15
20
25
30
63
21.2. CICLO IDEALE SEMPLICE PARZIALMENTE RIGENERATO.
Si è sinora supposto che lo scambiatore termico destinato alla rigenerazione sia in grado di innalzare la temperatura del fluido compresso al livello della temperatura del fluido uscente dalla turbina.
T
4
3
2
Si definisce efficienza della rigenerazione:
5
3*
6
R
6*
T5  T6* T5  T6*

T5  T6
T5  T2
1
s
Tale efficienza, avendo considerato c p  cost, può essere interpretata come il rapporto tra il calore scamiato
con il rigeneratore e quello scambiabile in controcorrente e con superficie di scambio infinita se T6 coincidesse
con T2 e T3 con T5 .
Si può definire il calore entrante nel ciclo a rigenerazione parziale Qep :
Qep  QeR  (1  R )(Qe  QeR )  QeR R  (1  R )Qe
Qe = calore entrante senza rigenerazione
QeR =calore entrante con rigenerazione totale R  1
 id , p 
Lid
1
1


Q
1
1
Qep QeR
1  R 
R
R  e 1  R 
 id , R
 id
Lid
Lid

1
 id , p

1
 id , R
R
1
 id
1  R 
Il reciproco del rendimento del ciclo semplice a rigenerazione parziale è pari alla somma pesata dei reciproci
dei rendimenti dei cicli ideali a rigenerazione totale e nulla aventi come pesi l’efficienza R della rigenerazione.
 id1, p 
 id , p
R
1 R

T
1   
1 1  
T4


1   T
1     1  1   
    T4




1   T
R1     1  1   1  R 
    T4

64

Noto T1 , vale per un assegnato valore di T4
 Per   1 ,  id , p  0
1
1
T1
T4
id
R 1
R
R0
ed i vari rendimenti coincidono

1
 T  2
   4 
 T1 
1
1
 T  2
T
 Per    4  ,  id , p  1  1
T4
 T1 
Si può dimostrare che per R  0,5 le curve di  id , p presentano un massimo. Per R  0,5 un incremento di  fa
aumentare sia il rendimento che il lavoro massico.
A titolo di esempio si può vedere che per  id  0.4 occorre che sia   6.3 per il ciclo semplice, mentre con
rigenerazione parziale con efficienza R  0.6 , il valore di  scende a circa 2.95.
21.3. CICLO SEMPLICE REALE CON RIGENERAZIONE.
Per giungere ad una espressione del rendimento del ciclo reale con rigenerazione, occorre ricavare in forma
diversa i rendimento del ciclo ideale con rigenerazione.
Con riferimento alla figura:
T
Q eR  c p T4  T3   c p T4  T2   c p T3  T2 
4
3*
2
essendo R 
5
3
6*
6
1
s
65
T5  T6 T3  T2

T5  T2 T5  T2
T

 

Q eR  c p T4  T2   Rc p T5  T2   c p T4  T1    Rc p  4  T1     c pT1      Rc pT1       









T4
T1

 
 




R
 c pT1       R       c p T1      R   R    c pT1  1  






  

1
Lu  c p T4  T5   c p T2  T1   c pT4 1  
 
 

1
  c p T1    1  c pT1  1  

  

da cui
 id , p


  1  R   




     1


1 
    1
 
 
L
 u  
QeR

R 
 1     1  R  
  

 1 

che, si vede, per R  0 fornisce:
 id , p   id  1 
1

Analizzando l’espressione così scritta si può anche vedere che  dipende da T4 e non da R , per cui le curve a
diverso valore di R incontrano nello stesso punto la curva di  id in assenza di rigenerazione.
Dall’espressione di  id , p , introducendo il rendimento di turbina  pol ,T e del compressore  pol ,C si ottiene con
semplici passaggi.
r, p 

1
 1   pol,T
 

 1 

R

 pol ,T
66


   pol,C
 
 1
 

 



  1  R   pol,C



R  0.9
0.6
R  0.8
R0
R  0.6
R  0.9
0.5
id
T4  1573K
R  0.8
0.4
R  0.6
R0
T4  1073K

1
Per   1 ed R  1 si ha la forma indeterminata
0
che, applicando il teorema di De L’Hospîtal diventa:
0
 r   1, R  1  1 
T1
1

T4  pol ,T pol ,C
È da notare che nel caso reale si introducono, con la presenza di scambiatori rigenerativi, maggiori perdite distribuite in numerosi componenti tra l’uscita del compressore e lo scarico nell’atmosfera (circuito aperto).
La curva dei rendimenti reali, a causa dei rendimenti di turbina e compressore, a parità di efficienza della rigenerazione, presentano un massimo più accentuato, confluendo tutte in un punto più basso rispetto all’analogo
corrispondente al ciclo ideale. Ciò avviene soprattutto al crescere di T4 .
67
22. CICLI A COMPRESSIONE INTERREFRIGERATA E RIGENERAZIONE.
Il principale inconveniente della interrefrigerazione, che ne limita la convenienza, consiste nell’aumento del
calore introdotto e, di conseguenza, nell’avvicinamento delle temperature medie di adduzione e di sottrazione
del calore. Operando al contempo con uno scambio di calore per rigenerazione non si ha, viceversa, un aumento
del calore introdotto.
In tal modo, a parità di Qe ed LT , il massimo lavoro utile ed il massimo rendimento si conseguono
minimizzando il lavoro di compressione LC .
3
Scartando l’ipotesi astratta di compressione isoter-
5
ma, la minimizzazione del lavoro di compressione
2
si riduce al problema di trovare il minimo della
2*
1*
6
sommatoria:
N
LC   LCn
1
n 1

N

LC   c pT1  n  1
n 1
Avendo imposto che al termine di ogni interrefrigerazione si raggiunga la medesima temperatura T1 , essendo
N
   n
n 1
Il risultato si ottiene con l’eguaglianza di tutti i termini  n  1 il che impone che:
n  N 
Nel caso reale, assumendo per tutti i compressori il medesimo valore dell’indice m di compressione politropica si ha:
N
N
 m 1 
LCr   LCr , n   c pT1   n m  1
n 1
n 1


N

n

n 1
Che conduce all’identica conclusione, anche nel caso reale, di:
68
n  N 
23. CICLI RIGENERATIVI CON INTERREFRIGERAZIONE E RICOMBUSTIONE.
Qe
3
4
Qu
2
1
 Le interrefrigerazioni diminuiscono il lavoro di compressione, mentre le ricombustioni aumentano il
lavoro di espansione, incrementando, in definitiva, il lavoro massico;
 La rigenerazione confina gli scambi termici del fluido di lavoro con le sorgenti esterne ai livelli termici superiori e inferiori del ciclo, distanziando termodinamicamente l’interazione termica con l’esterno;
 La rigenerazione si avvantaggia infatti, sia del minor valore della temperatura di fine compressione,
che del maggior valore della temperatura di fine espansione;
 Vi è tuttavia una complicazione impiantistica che è giustificabile solo in impianti di tipo fisso;
 Il distanziamento delle temperature modifica ovviamente il valore del rapporto di compressione limite,
per ogni Tmax , perché la rigenerazione sia conveniente.
69