UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II
SCUOLA DI DOTTORATO IN INGEGNERIA INDUSTRIALE
DOTTORATO DI RICERCA IN INGEGNERIA DEI SISTEMI MECCANICI
XXI CICLO
Dipartimento di Energetica TErmofluidodinamica applicata
e Condizionamenti ambientali
Sunto della tesi di Dottorato:
Caratterizzazione acustica dei materiali poroelastici:
misura del Modulo di Elasticità Complessa
TUTOR
DOTTORANDO
PROF. ING. CARMINE IANNIELLO
ING. FRANCESCO MERCOGLIANO
COORDINATORE DEL DOTTORATO
Prof. Raffaele TUCCILLO
I modelli analitici che descrivono il comportamento acustico intrinseco dei materiali poroelastici per
l’assorbimento del suono necessitano, rispetto ai corrispettivi per porosi rigidi, di un maggior
numero di parametri non acustici d’ingresso per poter essere implementati. In particolare assumono
specifica rilevanza quei parametri che descrivono le proprietà elastiche dello scheletro solido
costituente il materiale , ed il modulo di Young dinamico è una grandezza rappresentativa in tale
ambito.
La tesi di Dottorato redatta, riporta la descrizione di un’apparecchiatura, progettata e realizzata
presso il Laboratorio di Acustica del DETEC, per la misura del modulo elastico-dinamico in
funzione della frequenza di applicazione del carico armonico. Il sistema realizzato è stato impiegato
per le misure sperimentali del modulo complesso e del fattore di perdita, relativi alla sola struttura
solida di diverse categorie di materiali comunemente adoperati in campo acustico.
I dati ottenuti sono stati confrontati, dapprima con quelli di materiali simili reperibili in letteratura
(ricavati con metodi diversi) e successivamente con quelli ottenuti per il materiale in condizioni di
utilizzo ordinario, ovvero comprendente il contributo meccanico offerto dell’aria contenuta al suo
interno. Sono inoltre state trattate ed introdotte una serie di migliorie e correzione, tanto al modello
reologico quanto al sistema di misura, al fine di limitare l’effetto delle perturbazioni agenti sul
sistema e di avvicinarsi il più possibile alla stima della grandezza richiesta dal modello previsionale
poroelastico.
Il metodo di base adottato per la realizzazione dell’apparecchiatura di misura è apparso più efficace
e nel contempo semplice rispetto ad altri metodi più sofisticate riportati nella letteratura scientifica
di settore, ma che in accordo con questi ultimi, assume il provino di materiale oggetto di indagine,
essere un elemento viscoelastico monodimensionale a parametri concentrati secondo il modello di
Kelvin-Voigt. Tale modello prevede che una sollecitazione esterna applicata assialmente
all’elemento viscoelastico sia bilanciata dallo sforzo di Hooke (σ = ε ⋅ E ) , simile al caso statico, e
da uno sforzo di natura dissipativa (sforzo viscoso di Newton) proporzionale alla velocità di
deformazione (σ = μ ⋅ ε& ) . Con queste relazioni è esplicita l’ipotesi di linearità del modello. La Fig.
1a mostra uno schema meccanico equivalente costituito da una molla E ed uno smorzatore
viscoso μ collegati in parallelo.
a
E
b
µ
Fig. 1 – a) Modello di Kelvin-Voigt. b) Schema della disposizione per la misura del modulo di Young.
Pertanto, in regime sinusoidale permanente ed in notazione complessa risulta che l’equilibrio degli
sforzi è:
σ ( jω ) = ( jωμ + E ) ⋅ ε ( jω ) ,
(1)
dove μ ( Pa ⋅ s ) è la viscosità rappresentativa della dissipazione. Quindi, è possibile definire un
modulo di Young complesso EC:
EC = jωμ + E .
(2)
Considerando che, in generale, la parte reale Re e la a parte immaginaria Im di Ec sono dipendenti
dalla frequenza angolare ω (s-1), è possibile scrivere:
E C (ω ) = Re[E C (ω ) ] + j Im[ E C (ω ) ] = Re[ E C (ω )] ⋅ [1 + j η (ω )] ,
(3)
dove η(ω) = Im[EC(ω)]/Re[EC(ω)], è una quantità nota come fattore di dissipazione (adimensionale)
che rappresenta la frazione di energia conservativa, cinetica o elastica, dissipata per ogni ciclo di
deformazione.
È opportuno sottolineare che il modello reologico in considerazione non è valido quando nel
provino insorgono effetti ondosi; il modello di Kelvin-Voigt è un modello per le frequenze basse.
Assimilando il provino ad una barra sede di onde longitudinali, è necessario che la sua lunghezza L
sia piccola rispetto alla lunghezza d’onda strutturale. In letteratura si suggerisce a riguardo un
criterio in termini di frequenza angolare ωmax (s-1) al di sotto della quale il modello è accettabile:
⎛π ⎞ E
ωmax = ⎜ ⎟ ⋅ C ,
(4)
ρ
⎝ 4L ⎠
dove il termine sotto radice è la velocità di propagazione delle onde longitudinali in m/s, EC [Pa] è il
modulo di Young, ρ [kg/m3] è la densità del materiale ed L [m] è la lunghezza del provino.
Vi sono vari metodi di misura per stimare le proprietà elastiche dei materiali qui considerati, ed in
particolare per misurare il modulo di Young dinamico.
Il metodo scelto è di tipo diretto il cui schema di principio è rappresentato nella Fig. 1b, dove il
provino di materiale, parallelepipedico, è collocato tra due placche metalliche. Un sensore di forza,
solidale con un piano infinitamente rigido, è a contatto con la placca metallica poggiata sulla
superficie superiore del provino. Il segnale generato da questa consente di ottenere lo sforzo
normale causato dalla sollecitazione dinamica.
Un sensore di accelerazione è posto tra la placca metallica su cui poggia il provino ed un generatore
di vibrazione. Il segnale trasdotto consente di ottenerne lo spostamento dinamico attraverso doppia
integrazione del segnale accelerometrico. È ipotizzato che il moto avvenga solo lungo l’asse
verticale, lungo il quale è impressa l’accelerazione. In condizioni ideali il rapporto complesso r(ω)
= F(ω)/a(ω) tra la forza F(ω) e l’accelerazione a(ω) misurate, fornisce il modulo di Young
complesso:
L
.
(5)
E C (ω ) = −r(ω ) ω 2
A
L’apparecchiatura realizzata per operare secondo i principi espressi precedentemente, è
rappresentata nella Fig. 3a.
Una opportuna struttura realizzata in acciaio, costituita da due piastre collegate tramite due colonne
cilindriche, permette la collocazione rigida e coassiale del generatore di vibrazione, la cui base è
vincolata rigidamente alla piastra inferiore dell’incastellatura, dell’accelerometro, delle placche
inferiore e superiore realizzate in alluminio, che hanno la funzione di porta-provino, nonché della
cella di forza fissata con una connessione rigida alla placca superiore ed alla slitta
7
a
b
9
10
8
1
5
6
2
3
4
Fig.3 – a) Schema dell’apparato per la misura del modulo di Young dinamico, composta da:1) cella di forza, 2) provino,
3) accelerometro, 4) shaker, 5) placca superiore, 6) placca inferiore, 7) madrevite movimentazione, 8) cuscinetto
antivibrante, 9) morsa di serraggio, 10) slitta porta-cella. b) Foto del sistema di misura.
Questi due componenti accoppiati possono essere traslati verticalmente con precisione per
alloggiare il provino e per conferire ad esso una specifica pre-deformazione in compressione. Tutto
l’apparato è sostenuto da un sistema massa-molla per l’isolamento dalle vibrazioni ambientali. La
Fig. 3b mostra la foto del sistema di misura descritto ed in fase di collaudo. Inoltre il sistema è
corredato da un modulo software, realizzato in ambiente Matlab, per l’acquisizione e l’elaborazione
dei dati, per il controllo del segnale di eccitazione, pilotato in spostamento, e per il controllo dei
sistemi ausiliari di posizionamento e misura della pre-deformazione.
In tale sistema l’uso della pre-deformazione è estremamente necessaria in quanto, rispetto alla
sollecitazione alternativa esterna, diversi materiali poroelastici possono mettere in gioco una
reazione elastica sostanzialmente a compressione, ma non reazioni analoghe a trazione. Un esempio
valido sono i materiali fibrosi soffici. Inoltre, la pre-deformazione consente di evitare l’uso di
collanti e di mezzi meccanici di fissaggio per rendere solidale il provino al sistema, causanti
inevitabili alterazioni delle caratteristiche elastiche della struttura del materiale. In tale ottica, per
realizzare una deformazione dinamica simmetrica, è necessario un punto di polarizzazione intorno
al quale imporre una deformazione alternata di ampiezza massima indispensabilmente minore della
pre-deformazione continua. L’entità di tali deformazione, sensibilmente legata all’ipotesi di
comportamento lineare del materiale, deve essere estremamente piccola nella pratica, per validare il
modello. Inoltre per la medesima esigenza, oltre che per una più ampia validità del metodo in
relazione allo spettro delle forzanti, è indispensabile effettuate le prove mantenendo costante e
opportunamente piccola l’ampiezza dello spostamento dinamico al variare della frequenza di
eccitazione. Infine, considerando che i dati in questione sono destinati alla modellazione del
comportamento acustico di materiali poroelastici, che in uso ordinario non sono pre-deformati, è
apparso doveroso fare riferimento ai valori del modulo di Young e del fattore di perdita relativi alla
condizione di pre-deformazione nulla. Tali valori sono ottenuti per estrapolazione mediante
regressione lineare di almeno tre misure eseguite con livelli di pre-deformazione decrescente e per
ciascuna frequenza di prova.
Tali adozioni sono risultate necessarie in quanto studi preliminari hanno mostrato la sostanziale
dipendenza che i parametri stimati hanno, tanto dalla pre-deformazione statica quanto dalla
ampiezza di deformazione dinamica. A titolo di esempio si riportano nella Fig. 4 tali dipendenze
riscontrate per una schiuma di melammina espanse a celle aperte.
6
x 10
x 10
2.5
a
2e-4 m
4e-4 m
2
Modulo di Young [Pa]
Modulo di Young [Pa]
6
6e-4 m
8e-4 m
1.5
1
2
1.5
3e-5m
1
1e-5m
9e-6m
0.5
0.5
0
b
2.5
20
40
60
frequenza [Hz]
80
100
120
0
7e-6m
20
40
60
80
100
120
frequenza [Hz]
Figura 4 a) Dipendenza del Modulo dinamico dalla pre-deformazione statica e b) dall’ampiezza di deformazione
dinamica per una schiuma di melammina espansa
Come accennato sopra, per la stima delle caratteristiche acustiche del materiale, il modello analitico
richiede, in ingresso, il modulo di elasticità dinamica della sola struttura rigida. Per poter effettuare
tale misura è necessario quindi estrarre l’aria contenuta nelle intercapedini del provino sotto
indagine.
Per tale esigenza metrologica, è stata progettata e realizzata una cella a vuoto costituita
essenzialmente da una stazione di pompaggio controllato (antivibrante) e da un serbatoio di
dimensioni adeguate al contenimento e alla manovrabilità del suddetto apparato per la misura del
modulo complesso. La pressione raggiunta nella cella durante le misure è stata di 400 Pa (4 Torr),
circa lo 0,4% della pressione atmosferica.
Nella Fig. 5 è riportata l’immagine della “cella a vuoto” realizzata.
Figura 5 - Stazione per la realizzazione del vuoto (sinistra) e fase di inserimento dell’apparato di misura nella cella a
vuoto (destra).
La campagna di misure eseguite ha portato a risultati molto interessanti, mettendo in risalto, talune
volte, la diversità di comportamento in aria ed in vacuo per i materiali indagati, altre volte rendendo
possibile il riscontro dei limiti del sistema realizzato oltre che del modello alla base del metodo di
misura.
Come esempio dei risultati ottenuti si riporta in Fig. 6 il confronto tra l’andamento del Modulo di
Young e del fattore di perdita, in presenza d’aria rispetto a quelli in vacuo, per due classi di schiuma
di melammina espansa (denominate Mel1 e Mel2) aventi densità volumetrica e porosità simili, ma
diversa resistività al flusso.
Mel1
5
3
x 10
0.5
in aria
in vacuo
in aria
in vacuo
0.4
Fattore di perdita [-]
Modulo dinamico [Pa]
2.5
2
1.5
1
0.3
0.2
0.1
0.5
0
0
50
100
150
0
0
200
50
100
150
Mel2
5
x 10
Modulo dinamico [Pa]
2.5
0.5
in aria
in vacuo
2
1.5
1
0.3
0.2
0.1
0.5
0
0
in aria
in vacuo
0.4
Fattore di perdita [-]
3
200
frequenza [Hz]
frequenza [Hz]
50
100
150
0
0
200
50
100
150
200
frequenza [Hz]
frequenza [Hz]
Figura 6 – Risultati del confronto aria-vacuo per le due classi di melammina Mel1 e
Mel2.