BOOK IN PROGRESS
MATEMATICA
GEOMETRIA
PRIMO ANNO
TOMO NR. 2
ITIS “Majorana” Brindisi (BR) ITC “Tosi” Busto Arsizio (VA) ITC “Calabretta” Soveraro (CZ)
ISISS “Scarambine” Lecce (LE) ITIS “Buzzi” Prato (PO) ITIS “Ferraris” Napoli (NA)
ITC “Pacioli”Crema (CR) ITIS “FerniI” Francavilla Fontana (BR)
LICEO SCIENTIFICO”Guaraci”Soverato (CZ) ITI “Malignani” Udine (UD)
LICEO “Brocchi” Bassano del Grappa (VI) ITIS “Volterra-Elia” Ancona (AN)
ITI “Cassata” Gubbio (PG) ITIS “Fermi” Isernia (IS)
In memoria del Preside Francesco Rossi
che ha sempre creduto in questo progetto
e l’ha sempre sostenuto.
SOMMARIO DEL TOMO 2
UNITÀ 4: LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO
4.1 Introduzione
pag. 1
4.2 Il concetto di trasformazione geometrica
pag. 3
4.3 Le isometrie
pag. 8
4.4 La simmetria assiale
pag. 16
4.5 La simmetria centrale
pag. 31
4.6 La traslazione
pag. 36
4.7 La rotazione
pag. 43
4.8 Composizione di trasformazioni
pag. 47
4.9 Gruppi di trasformazioni
pag. 51
4.10 Conclusioni
pag. 52
ESERCIZI UNITÀ 4
Conoscenza e comprensione
pag. 53
La simmetria assiale
pag. 59
La simmetria centrale
pag. 67
La traslazione
pag. 76
La rotazione
pag. 81
Composizione di isometrie
pag. 85
Problemi
pag. 97
… Ancora Olimpiadi!
pag. 102
UNITÀ 5: I QUADRILATERI
5.1 Generalità
pag. 105
5.2 Poligoni congruenti
pag. 109
5.3 Il trapezio
pag. 113
5.4 Il parallelogramma
pag. 119
5.5 Il rettangolo
pag. 131
5.6 Il rombo
pag. 135
5.7 Il deltoide
pag. 142
5.8 Il quadrato
pag. 143
5.9 La corrispondenza di Talete
pag. 147
ESERCIZI UNITÀ 5
Conoscenza e comprensione
pag. 157
Criteri di congruenza dei poligoni
pag. 162
Costruzione e classificazione dei quadrilateri
pag. 164
Angoli di un quadrilatero
pag. 171
Problemi numerici
pag. 175
Problemi sul trapezio
pag. 177
Problemi sul parallelogramma
pag. 181
Problemi sul rettangolo
pag. 184
Problemi sul rombo
pag. 187
Problemi sul quadrato
pag. 190
Problemi di riepilogo
pag. 194
OLIMPIADI
pag. 199
UNITÀ 4
LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO
4.1 Introduzione
Il tema “trasformazioni geometriche nel piano” è spesso trascurato o, in genere, sviluppato come un
capitolo a parte, non integrato con gli altri argomenti geometrici.
Cominciamo con il sottolineare che le trasformazioni geometriche permettono, innanzitutto, un
efficace approccio operativo attraverso un’attività sia manipolativa (piegatura della carta,
costruzione di modelli concreti di oggetti), sia legata al disegno, fino a quella laboratoriale, con
l’uso di strumenti sempre più rigorosi (carta, riga, squadra, compasso, Cabri …). Questi percorsi
diversi, legati, ovviamente, all’età degli allievi, portano a definizioni via via più puntuali e formali
dei concetti e, nel contempo, ad una progressiva astrazione, frutto del più generale processo di
apprendimento, visto, appunto, come un graduale processo di costruzione.
L’argomento si presta, inoltre, ad uno sviluppo interdisciplinare, anche grazie a sollecitazioni e ad
esempi che provengono dall’osservazione della realtà (basti pensare alle simmetrie nell’arte, nella
natura, nella struttura dei cristalli e delle molecole, ...).
Attualmente, nell’insegnamento della geometria si confrontano due grandi approcci, il primo basato
sull’impostazione euclidea ed il secondo sulla geometria delle trasformazioni.
La nascita del secondo approccio si identifica con la pubblicazione nel 1872 del cosiddetto
“Programma di Erlangen”, ad opera di Felix Klein (1849-1925). In tale occasione Klein intese la
geometria come lo studio (o l’insieme) delle proprietà delle figure che restano invariate
(“invarianti”) quando su di esse si opera con un determinato gruppo di trasformazioni.
Se come trasformazioni si scelgono quelle del gruppo delle omografie, delle affinità, delle
similitudini, delle isometrie, … si otterrà rispettivamente la geometria proiettiva, affine, simile,
euclidea, … : un qualunque gruppo di trasformazioni fa nascere, quindi, una nuova geometria.
In particolare, la geometria euclidea del piano diventa lo studio delle proprietà delle figure che
restano invariate quando su di esse si opera con il gruppo delle isometrie, cioè con le trasformazioni
del piano in sé che conservano le distanze (simmetrie assiali - simmetrie centrali - traslazioni rotazioni).
Il nostro sforzo mira ad integrare i due approcci: insisteremo sulle costruzioni geometriche, attenti,
però, a non ridurre il tema al “semplice” studio delle trasformate delle figure e a riflettere, piuttosto,
sul concetto di funzione, con lo studio del piano non localmente ma nella sua globalità.
E' importante osservare che il termine “trasformazione” viene riferito, in genere, a cambiamenti,
spesso irreversibili, rilevati, in un certo soggetto, nel confronto tra “un prima” e “un dopo” e legati,
1
perciò, allo scorrere del tempo (passaggio di stato della materia, modificazione/acquisizione di
proprietà, evoluzione di un essere vivente, …).
In tale accezione, le simmetrie, le traslazioni e le rotazioni non potrebbero essere chiamate
trasformazioni, dato che non modificano alcuna proprietà delle figure, né possono essere viste come
movimenti fisici: le figure geometriche, in quanto insiemi di punti ideali, non si muovono!
In Matematica, quando si parla di trasformazioni geometriche, ci si trova di fronte
simultaneamente a due (o più) figure e quello che interessa è la maniera in cui esse si
corrispondono, il che significa parlare di una corrispondenza, cioè di una funzione definita non solo
tra i punti che formano due figure corrispondenti, ma tra tutti i punti dello spazio geometrico
considerato.
Più precisamente, se S indica uno spazio geometrico, ad esempio il piano, una trasformazione
geometrica di S è una funzione biunivoca tra i punti di S, ossia tale che ad ogni punto di S
corrisponde uno ed un solo punto di S e, viceversa, ogni punto di S è il corrispondente di uno ed un
solo punto di S. Essa, pertanto, non implica alcun legame con il tempo e con il movimento ed è
caratterizzata dalla reversibilità.
Non è, dunque, corretto sostenere che lo studio delle trasformazioni geometriche favorisca una
visione dinamica della geometria, uno studio dinamico delle figure1, in quanto il legame che
intercorre tra una figura e la sua trasformata è statico e il movimento fisico (o rigido) consente
solo di “materializzare”, di rendere, cioè, “visibile” il concetto di trasformazione geometrica che
non è ad esso riducibile, in quanto è relazione tra enti astratti.
Nei paragrafi successivi viene affrontato lo studio delle trasformazioni geometriche fondamentali
(“le trasformazioni isometriche”) e viene avviato il discorso sui gruppi di trasformazioni che,
grazie all’analogia strutturale, permettono una visione unitaria delle diverse geometrie (euclidea e
non euclidea).
L’approfondimento si avrà, poi, con lo studio delle trasformazioni non isometriche (l’omotetia, la
similitudine, l’affinità) e, ancor dopo, con le equazioni delle varie trasformazioni.
1
…….. lo studio della geometria trarrà vantaggio da una presentazione non statica delle figure, che ne
renda evidenti le proprietà nell’atto del loro modificarsi; sarà anche opportuno utilizzare materiale e
ricorrere al disegno. La geometria dello spazio non sarà limitata a considerazioni su singole figure, ma
dovrà altresì educare alla visione spaziale. E’ in questa concezione dinamica che va inteso anche il tema
delle trasformazioni geometriche [dai Nuovi Programmi della scuola media (D.M. 9 febbraio 1979)].
2
4.2 Il concetto di trasformazione geometrica
Si chiama trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca fra i punti di un piano, cioè
una funzione biunivoca (o, è lo stesso dire, bigettiva o biiettiva) che associa ad ogni punto P di un
piano α uno ed un solo punto P' dello stesso piano (fig. 1):
. P'
P.
α
fig. 1
Nel caso di una generica figura F, essendo questa un sottoinsieme di punti del piano, una
trasformazione geometrica associa a ciascun punto della figura F uno ed un solo punto di F' (fig. 2):
C'
C
B
B'
P
.
.P'
A'
A
fig. 2
Il punto P' [la figura F'], che si ottiene mediante una trasformazione geometrica viene detto/a il/la
trasformato/a (o l’immagine o il/la corrispondente o, ancora, l’omologo/a) del punto P [della
figura F] di partenza.
Utilizzando la simbologia delle funzioni, se g è il “nome” della trasformazione che associa al punto
P [alla figura F] il punto P' [la figura F'], possiamo scrivere indifferentemente:
•
g : P → P'
[g : F → F']
•
g
P → P'
g
[F → F']
•
g (P) = P'
[g (F) = F'] .
3
Esempio:
Definiamo “una” trasformazione del piano procedendo nel seguente modo: fissiamo un punto
qualsiasi O del piano e ad ogni punto P del piano, diverso da O, “associamo” il punto medio P' del
segmento OP (fig. 3):
.O
*
.
P'
*
.
P
fig. 3
Si osserva che, in tal modo, è stata definita una funzione biunivoca, diciamola g, del piano in sé
(PROVA TU).
o Per ottenere il trasformato del segmento AB, si “costruiscono” i trasformati dei punti A e B
(fig. 4):
O
.
o
*
A'.
. B'
o
*
.
.
A
B
fig. 4
Il segmento A'B' è il trasformato del segmento AB nella “nostra” trasformazione (puoi “verificare”
che A'B' // AB).
o Per ottenere la trasformata della retta r, si prendono due qualsiasi punti di essa e,
procedendo come sopra, si ottiene la retta s, trasformata di r (fig. 5):
O
.
o
P'.
o
*
Q'
.
(puoi “verificare” che s // r).
s
*
.
.
P
Q r
fig. 5
4
o E ancora, per ottenere il trasformato del triangolo ABC, retto in C, si determinano le
immagini di A, B, C (rispettivamente A', B', C') e si ha il triangolo A'B'C' (fig. 6):
O
*
~o
C'
A'
B'
~
*
C
A
o
B
fig. 6
(puoi “verificare” che A'B' // AB, A'C' // AC, B'C' // BC e che il triangolo A'B'C', trasformato del
triangolo ABC, è retto in C').
Da quanto sopra, risulta evidente che la “nostra” trasformazione non modifica determinate
proprietà geometriche (conserva, cioè, alcune proprietà), come la direzione e la perpendicolarità,
mentre modifica altre proprietà, come la distanza fra due punti.
Si danno, quindi, le seguenti definizioni:
Si dicono invarianti di una trasformazione geometrica le caratteristiche che rimangono inalterate
nella trasformazione.
Si dicono varianti di una trasformazione geometrica le caratteristiche che si modificano nella
trasformazione.
Osserviamo, poi, che gli elementi che si corrispondono in una trasformazione non sono, in genere,
lo stesso oggetto; vi possono essere, però, elementi che hanno per corrispondenti se stessi e che si
dicono punti uniti della trasformazione geometrica.
Così, se indichiamo con τ una trasformazione geometrica, si ha che:
o un punto P si dice unito se coincide con la sua immagine, cioè se τ (P) = P ;
o una retta r si dice unita se coincide con la sua immagine, cioè se τ (r) = r ;
o una figura F si dice unita se coincide con la sua immagine, cioè se τ (F
F) = F .
5
Tra le trasformazioni geometriche del piano, vi è, in particolare, quella che associa ad ogni punto se
stesso; tale trasformazione si dice trasformazione identica o identità.
Indicando l’identità con i, si ha:
∀ P : i (P) = P,
cioè, in una identità, tutti i punti sono uniti.
Una trasformazione può essere applicata più volte; per esempio, nella trasformazione di fig. 7, il
punto A ha per trasformato il punto B e, nella stessa trasformazione, il punto B ha per trasformato il
punto C:
.
A
.
.
B
C
fig. 7
[parleremo in seguito del “prodotto di trasformazioni”].
Si dice involutoria una trasformazione che, applicata due volte, “fa tornare” ogni elemento su se
stesso e, quindi, è quella trasformazione che “composta” con se stessa, dà la trasformazione identica
In simboli:
g involutoria ⇔ g o g = i .
Poiché una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca fra i punti di un piano, si ha
che, per ogni trasformazione g del piano, esiste la trasformazione inversa g
-1
(pag. 48, fascicolo 2,
algebra). Si ha quindi (fig. 8):
g
P.
. P'
g : P → P'
g -1 : P' → P
g -1
α
fig. 8
Inoltre, componendo due funzioni biunivoche, si ottiene ancora una funzione biunivoca (PROVA
TU), per cui, in particolare, la composizione di una trasformazione con la sua inversa è una
trasformazione del piano che associa ad ogni punto se stesso:
g -1o g : P → P
∀P ,
e pertanto è la trasformazione identica (pagg. 52 – 53, fascicolo 2, algebra); cioè:
g -1o g = i .
6
Una trasformazione si dice diretta se ha come invariante l’orientamento dei punti, cioè se conserva
il “verso” delle figure geometriche.
La trasformazione di cui in fig. 6 è diretta perché il triangolo ABC è “letto” in verso antiorario:
C
A
B
così come quello trasformato A'B'C':
C'
A'
B'
Una trasformazione si dice inversa se non ha come invariante l’orientamento dei punti, cioè se non
conserva il “verso” delle figure geometriche (fig. 9):
C
B
A
/
*
o
r
*
/
A'
o
B'
C'
fig. 9
OSSERVAZIONE:
L’esame della fig. 9 permette di affermare che la “nostra” trasformazione è inversa in quanto i
vertici A, B, C del triangolo ABC si susseguono in verso antiorario mentre i vertici A', B', C' del
triangolo trasformato A'B'C' si susseguono in verso orario.
7
In questa unità ci occuperemo delle trasformazioni geometriche che mantengono inalterate le
lunghezze dei segmenti (isometrie).
4.3 Le isometrie
Si dice isometria o trasformazione isometrica una trasformazione del piano in sé che conserva la
distanza.
In altre parole, l’isometria è una trasformazione geometrica che associa a due punti qualsiasi A e B
del piano i punti A' e B', dello stesso piano, tali che AB ≅ A'B' [L’isometria ha, quindi, come
invariante la distanza fra i punti, cioè “la distanza fra due punti è congruente alla distanza fra le
loro immagini”] (fig. 10):
f
.
B'
.
α
.
A
B
.
A'
fig. 10
Due figure che si corrispondono in una isometria si dicono isometriche.
Determiniamo gli elementi invarianti per isometria, dimostrando alcuni teoremi.
TEOREMA
Siano A, B e C tre punti allineati, con C interno al segmento AB e sia f un’isometria. Allora i
trasformati A', B' e C' sono allineati e C' è interno al segmento A'B'.
A, B, C punti allineati
C ∈ AB
.B
Hp.:
.C
f isometria
A' = f (A)
B' = f (B)
C' = f (C)
.A
Th.:
A', B', C' punti allineati
C' ∈ A'B'
Dimostrazione
Siano, per ipotesi, A, B e C tre punti allineati, con C interno al segmento AB.
Si ha, quindi:
AB ≅ AC + CB.
(*)
8
Essendo f un’isometria tale che:
f : A → A' ;
f : B → B' ;
f : C → C' ,
risulta:
•
AB ≅ A'B' ;
•
AC ≅ A'C' ;
•
CB ≅ C'B' ,
e quindi, sostituendo nella relazione (*), si ha:
A'B' ≅ A'C' + C'B'.
(**)
La relazione (**) ci assicura che i punti A', B' e C' sono allineati e che C' è interno al segmento A'B'
(perché?).
La figura seguente “illustra” il teorema precedente:
.B
.C
.A
. B'
. C'
. A'
Si dice anche che:
Ogni isometria è una collineazione.
COROLLARIO
Ogni isometria trasforma una retta in una retta.
9
TEOREMA
In ogni isometria a rette incidenti corrispondono rette incidenti.
r ∩ s = {P}
f isometria
Hp.:
.P
.
r' = f (r)
s' = f (s)
P'
P' = f (P)
Th.:
s'
r
s
r' ∩ s' = {P'}
r'
Dimostrazione
Sappiamo che:
r ∩ s = {P}
e che f è un’isometria tale che:
f : r → r' ;
f : s → s' ;
f : P → P' .
Quindi:
P∈r ⇒ P'∈r'
(perché l’isometria trasforma una retta in una retta);
P∈s ⇒ P'∈s'
(perché l’isometria trasforma una retta in una retta),
per cui:
r' ∩ s' = {P'}.
C.V.D.
10
TEOREMA
In ogni isometria a rette parallele e distinte corrispondono rette parallele.
r // s , r ≠ s
f isometria
Hp.:
r' = f (r)
s' = f (s)
r
s
s'
Th.:
r'
r' // s'
Dimostrazione
Sappiamo che:
r // s
e che f è un’isometria tale che:
f : r → r'
f : s → s'
Dobbiamo dimostrare che r' // s'.
Supponiamo, per assurdo, che le rette r' e s' non siano parallele ma siano incidenti.
Sia, cioè:
r' ∩ s' ={P'} (fig. 11):
r'
r
s'
s
P'
fig. 11
Detto P il punto del piano tale che:
f (P) = P',
si avrebbe che:
P∈r ∧ P∈s
(dal momento che l’immagine di una retta mediante una isometria è una retta)
11
e quindi:
P ∈ r ∩ s ∧ r ≠ s.
Ciò è assurdo perché contrasta con l’ipotesi che r // s. Pertanto deve essere:
r' // s'.
C.V.D.
TEOREMA
Ogni isometria trasforma un triangolo in un triangolo ad esso congruente.
C
ABC triangolo
C'
f isometria
Hp.:
A' = f (A)
B' = f (B)
C' = f (C)
A'
Th.:
B
A
ABC ≅ A'B'C'
B'
Dimostrazione
Per ipotesi, ABC è un triangolo ed f un’isometria tale che:
f : A → A' ;
f : B → B' ;
f : C → C' .
Consideriamo i triangoli ABC e A'B'C'; essi hanno:
AB ≅ A'B'
perché f isometria;
BC ≅ B'C'
perché f isometria;
CA ≅ C'A'
perché f isometria.
I due triangoli, avendo i tre lati ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 3° criterio di
congruenza dei triangoli.
C.V.D.
OSSERVAZIONE:
Da quanto sopra, discende che gli angoli A, B e C del triangolo ABC sono congruenti,
rispettivamente, agli angoli A', B' e C' del triangolo trasformato A'B'C'.
Questa considerazione porta a concludere che l’isometria conserva gli angoli.
12
[ Procediamo, comunque, nella dimostrazione “diretta” del TEOREMA:
Ogni isometria trasforma un angolo in un angolo ad esso congruente (fig. 12):
s'
s
f isometria
Hp.:
f : rs → r's'
Th.:
rs ≅ r's'
r'
r
V
V'
fig. 12
Dimostrazione
Sia f un’isometria tale che:
r' = f (r) ;
s' = f (s) .
Poiché:
r ∩ s = {V},
si ha:
r' ∩ s' = {V'} ∧ V' = f (V)
(perché, in un’isometria, a rette incidenti corrispondono rette
incidenti).
Ora, consideriamo sulle semirette r ed s, rispettivamente, i punti A e B ed indichiamo con A' e B' i
loro trasformati nell’isometria f .
Si ha:
A∈r ⇒ A'∈r'
B∈s ⇒ B'∈s'
(fig. 13):
s'
s
B.
.
V
A
B'.
r
V'
.
r'
A'
fig. 13
13
e consideriamo i triangoli VAB e V'A'B' (fig. 14):
s'
s
B.
.
V
A
B' .
r
V'
.
r'
A'
fig. 14
COMPLETA:
Essi hanno:
VA ≅ V'A'
perché ………………………………………
…………
perché ………………………………………
…………
perché ………………………………………
I due triangoli, avendo ………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….. .
C.V.D.]
COROLLARIO
Le isometrie conservano la perpendicolarità.
Le osservazioni precedenti permettono la seguente generalizzazione:
“due figure che si corrispondono in un’isometria sono sempre congruenti, perché i lati e gli angoli
corrispondenti sono congruenti”
e, viceversa:
“se due figure sono congruenti, tutti gli elementi (lati ed angoli) sono ordinatamente congruenti e
quindi esiste una trasformazione del piano (un’ isometria), che associa ogni punto al suo
corrispondente nella congruenza”.
Pertanto possiamo concludere che:
Due figure isometriche sono congruenti e, viceversa, se due figure sono congruenti esiste una
isometria nella quale le due figure si corrispondono.
14
Riassumendo si ha che gli invarianti di una isometria sono:
•
la lunghezza dei segmenti;
•
l’allineamento dei punti;
•
l’incidenza tra rette;
•
il parallelismo;
•
l’ampiezza degli angoli.
Le isometrie del piano si possono classificare in:
•
simmetria assiale;
•
simmetrie centrali;
•
traslazioni;
•
rotazioni.
15
4.4 La simmetria assiale
Fissata una retta r del piano, si dice simmetria assiale (o simmetria di asse r) la trasformazione
geometrica, indicata con σr , che “associa” ad un punto P del piano il punto P', dello stesso piano,
tale che la retta r sia asse del segmento PP' (fig. 15):
P.
*
r
H
*
. P'
fig. 15
•
r è l’asse di simmetria;
•
P' è il simmetrico di P rispetto alla retta r [σr (P) = P'].
Ad ogni punto di un piano è, quindi, possibile associare il suo simmetrico rispetto alla retta r. Tale
“associazione” è una corrispondenza biunivoca fra i punti di un piano e, perciò, è una
trasformazione geometrica.
Se P ∈ r, allora σr (P) = P ; quindi ogni punto di r è simmetrico di se stesso rispetto ad r, cioè i punti
dell’asse di simmetria sono punti uniti della trasformazione.
Pertanto: σr (r) = r , cioè r è una retta unita, luogo dei punti uniti.
O ≡. O'
P ≡. P'
Q ≡ Q'
.
r
L’asse di simmetria è retta
unita, luogo di punti uniti.
Per determinare la figura F', simmetrica di una generica figura F rispetto ad un asse r, si deve
determinare il simmetrico, rispetto ad r, di ogni suo punto.
L’operazione risulta facilitata nel caso che F sia una figura particolare (punto, segmento, retta,
poligono, …), come si osserva dagli esempi seguenti. [Procediamo nella costruzione di figure
simmetriche, rispetto ad un asse r, di date figure, prima ancora di dimostrare teoremi che, spesso,
sono alla base del modo stesso di operare].
16
a) Costruzione del simmetrico di un punto P rispetto ad una data retta r (asse di simmetria).
.P
r
Segui il seguente procedimento:
1) conduci per il punto P la retta perpendicolare all’asse di simmetria ed indica con O il loro
punto d’incontro.
.P
.
O
r
2) prendi su tale perpendicolare, sulla semiretta opposta a OP, il punto P' tale che P'O ≅ PO:
.P
*
P' = σr (P)
.
O
*
r
Il punto P' è il simmetrico del punto
P rispetto all’asse di simmetria.
. P'
Quindi possiamo dire che:
Il punto P', simmetrico di P rispetto all’asse di simmetria r, si trova sulla perpendicolare ad r
condotta da P, ad uguale distanza da r e nel semipiano individuato da r non contenente P.
17
b) Costruzione del simmetrico di un segmento AB rispetto ad una data retta r (asse di
simmetria).
A.
.B
r
Segui il seguente procedimento:
1) conduci dai punti A e B le rette perpendicolari all’asse di simmetria ed indica con H e K,
rispettivamente, i punti di incontro di tali perpendicolari con r :
A
.
B
.
.
.
K
H
r
2) prendi su tali perpendicolari, sulle semirette opposte ad HA e a KB, rispettivamente, i punti
A' e B' tali che A'H ≅ AH e B'K ≅ BK.
A
.
B
.
*
o
.
.
H
K
o
*
.
.
B'
A'
r
A'B' = σr (AB)
Il segmento A'B' è il simmetrico
del segmento AB rispetto all’asse
di simmetria r.
(Si comprende facilmente che abbiamo applicato, agli estremi del segmento dato, il
procedimento di cui al punto a).
18
c) Costruzione della simmetria di una retta t rispetto ad una data retta r (asse di simmetria).
(PROVA TU)
[Basta prendere due punti sulla retta t, trovare i suoi simmetrici e disegnare la retta u che
passa per tali punti].
r
t
COMPLETA ……= σr (t)
La retta …. è ………………......
della ………….. rispetto ………..
d) Costruzione del simmetrico di un poligono ABCD rispetto ad una data retta r (asse di
simmetria).
r
D
C
A
B
PROVA TU, procedendo come ai punti a) e b) e
COMPLETA ……… = σr (ABCD)
Il ………………………………………. è
il simmetrico del ………………………….
………………………………….................
19
Casi particolari:
e) Costruzione del simmetrico di un punto P appartenente all’asse di simmetria.
r
P' ≡ P
P . P'
quindi σr (P) = …
f) Costruzione del simmetrico di un segmento AB che “attraversa” l’asse di simmetria.
r
.B
A.
Conduci dai punti A e B le rette perpendicolari all’asse di simmetria ……….. CONTINUA.
Cosa osservi al termine della costruzione?
g) Costruzione del simmetrico di un poligono con qualche lato che “attraversa” l’asse di
simmetria (in figura il poligono è il triangolo ABC).
r
C
A
B
PROVA TU, procedendo ……….. come al solito.
Cosa osservi al termine della costruzione?
20
TEOREMA
La simmetria assiale è un’isometria.
Hp.: σr simmetria assiale
Th.: σr isometria
Dobbiamo dimostrare che σr ha come invariante la lunghezza dei segmenti.
A tale scopo, fig. 16, siano:
o A e B due punti qualsiasi del piano;
o r una retta;
o A' = σr (A) il simmetrico di A rispetto ad r;
o B' = σr (B) il simmetrico di B rispetto ad r.
A
.
*
H
*
AA' ⊥ r
A'
.
AH ≅ A'H
BB' ⊥ r
BK ≅ B'K
.
//
B
//
K
r
.
B'
fig. 16
Dobbiamo, quindi, dimostrare che:
AB ≅ A'B'
(per evitare “confusione” non uniamo, per ora, A con B, né A' con B').
Consideriamo, a tale scopo, i triangoli AHK e A'HK (fig. 17):
A
.
.
B
*
//
H
K
r
*
A'
.
//
.
B'
fig. 17
21
Essi hanno:
AH ≅ A'H
perché A' simmetrico di A rispetto ad r ;
HK
in comune (o HK ≅ HK per la proprietà riflessiva della congruenza).
AHK ≅ A'HK
perché entrambi retti;
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli (o per il criterio di congruenza dei triangoli
rettangoli). Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
AK ≅ A'K
(segnare AK e A'K con il simbolo o );
AKH ≅ A'KH
(segnare AKH e A'KH con il simbolo . ).
La fig. 18 illustra la situazione “attuale”:
A.
*
H
o
*
A'
.
o
. .
.
//
B
//
K
r
.
B'
fig. 18
Uniamo, ora, A con B e A' con B' e consideriamo ora i triangoli ABK e A'B'K' (fig. 19):
A
.
*
H
o
.
B
*
A'
.
o
. .
//
K
r
//
.
B'
fig. 19
22
Essi hanno:
AK ≅ A'K'
per precedente dimostrazione;
BK ≅ B'K
perché B' simmetrico di B rispetto ad r;
AKB ≅ A'KB'
perché complementari di angoli congruenti (BKH ≅ B'KH entrambi retti
e AKH ≅ A'KH).
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
AB ≅ A'B' .
C.V.D.
Questo teorema permette di concludere che due figure che si corrispondono in una simmetria assiale
sono congruenti.
PROVA TU a dimostrare la congruenza dei triangoli ABC e ABD (fig. 20), che si corrispondono
nella simmetria di asse la retta AB, senza utilizzare i criteri di congruenza dei triangoli.
C
A
B
D
r
fig. 20
Riferendoti anche al teorema precedente e alla relativa figura, PROVA TU che la simmetria assiale,
in quanto isometria, gode di tutte le proprietà delle isometrie; precisamente ha come invarianti:
•
la lunghezza dei segmenti;
•
l’allineamento dei punti;
•
l’incidenza tra rette;
•
il parallelismo;
•
l’ampiezza degli angoli.
23
Inoltre, la simmetria assiale gode delle seguenti proprietà:
una retta a, incidente l’asse di simmetria in un punto P e che forma un angolo α con
tale asse (fig. 21), ha per trasformata una retta a', che interseca l’asse sempre in P e
forma con esso un angolo congruente ad α.
σr simmetria assiale di asse r
a
Hp.:
a ∩ r = {P}
σr : a → a'
P
.
α
r
Th.:
fig. 21
a' ∩ r = {P}
a'r ≅ a r
Dimostrazione
Si ha che:
σr : a → a' per ipotesi;
σr : r → r
poiché l’asse è una retta unita;
a ∩ r = {P}
per ipotesi;
σr : P → P
poiché i punti dell’asse sono punti uniti,
e quindi:
a' ∩ r = {P}
poichè in una isometria a rette incidenti corrispondono rette incidenti;
a'r ≅ a r
poichè in una isometria ad ogni angolo corrisponde un angolo ad esso
congruente.
Pertanto si ha (fig. 22):
a
P.
α
α
r
a'
fig. 22
C.V.D.
24
una retta a, perpendicolare all’asse di simmetria r, ha per trasformata se stessa (fig.
23).
a
*
Hp.:
.
H
r
Th.:
σr simmetria assiale di asse r
a ⊥ r
σr : a → a
*
fig. 23
Dimostrazione
Ogni punto P di a, per definizione di simmetria assiale, è trasformato in un punto P', appartenente
alla retta passante per P e perpendicolare all’asse r, con P'H ≅ PH (fig. 24):
a
P.
*
.
H
r
*
P' .
fig. 24
Vista l’unicità della retta passante per un punto e perpendicolare ad una retta data, il punto P' deve
appartenere necessariamente ad a. Pertanto la retta a contiene il trasformato di ogni suo punto e,
dunque, è una retta unita.
ATTENZIONE
Osserviamo che la retta unita a non è una retta luogo di punti uniti perché ciascun punto della retta
non ha per trasformato se stesso (l’unico punto unito è il punto d’intersezione della retta a con
l’asse di simmetria r). E' evidente che in una simmetria assiale tutte le rette perpendicolari all’asse
di simmetria sono rette unite (e, quindi, esistono infinite rette unite).
25
una retta a, parallela all’asse di simmetria r, ha per trasformata una retta a', anch’essa
parallela alla retta r (e, quindi, a' // a) [fig. 25].
σr simmetria assiale di asse r
a
Hp.:
r
σr : a → a'
a // r .
Th.:
a'
a' // r
fig. 25
Dimostrazione
Poiché:
a // r
per ipotesi,
si ha che i punti di a sono equidistanti da r e quindi, presi due generici punti P e Q su a, si ha che:
PH ≅ QK (fig. 26):
a
Q
.
P
.
*
*
r
.
.
K
H
a'
fig. 26
Inoltre:
σr : a → a'
per ipotesi,
per cui:
PH ≅ P'H
QK ≅ Q'K (fig. 27):
e
a
Q
.
P.
*
*
r
.
.
K
*
H
*
.
.
P'
Q'
a'
fig. 27
26
Pertanto, per la proprietà transitiva della congruenza, si ha che:
P'H ≅ Q'K
e quindi:
a' // r
C.V.D.
Le proprietà esaminate, risultano di più facile comprensione se la simmetria assiale viene
interpretata come “un ribaltamento” del nostro foglio di lavoro, dove l’asse di simmetria è la retta
che contiene la piegatura del foglio.
In tale ottica sono “visti”, nella figura che segue, i corrispondenti del punto P e del quadrilatero
ABCD nella simmetria di asse r (ripiegando il foglio su se stesso, il punto P e il quadrilatero ABCD
si sovrapporranno rispettivamente al punto P' e al quadrilatero A'B'C'D').
P.
P' .
D.
D'
.
C'
C
.
.
.
.
A
.
.
B
A'
B'
r
OSSERVAZIONE:
L’esame della figura precedente ci permette di concludere che la simmetria assiale non conserva
l’orientamento dei punti: per sovrapporre il quadrilatero ABCD al quadrilatero A'B'C'D', si deve
operare un ribaltamento attorno alla retta r (non si può “rimanere” nel piano del foglio ma bisogna
“uscire” da esso).
27
Osserviamo, ora, la fig. 28:
A . A'
.
P.
C
B.
D.
.
.
P'
C'
.
.
E
E'
Q.
. B'
. D'
. Q'
F.
.
.
G'
G
H
.
. F'
. H'
r
fig. 28
Se consideriamo la simmetria di asse r, ogni punto della nostra figura ha come corrispondente un
punto che appartiene sempre alla figura, cioè la simmetrica della figura F è F stessa: F è una figura
unita nella simmetria di asse r.
Diciamo allora che:
una figura F possiede un asse di simmetria r, o che F è simmetrica rispetto ad r, se essa è unita
rispetto alla simmetria di asse r.
In simboli: P ∈ F ↔ σr (P) ∈ F .
Esempi di figure che possiedono assi di simmetria:
•
Il segmento ha come asse di simmetria il suo asse.
.
A
*
.
M
*
.
B
r
Infatti:
σr (AB) = BA ed M è il punto unito della trasformazione.
28
•
Un angolo ha come asse di simmetria la sua bisettrice.
a
P
.
.
H r
.
O
P'
b
Infatti:
σr (a) = b perché ar ≅ br ed O è il punto unito della trasformazione.
Inoltre il trasformato di un qualsiasi punto P interno all’angolo è ancora un punto interno in
quanto deve essere:
POH ≅ P'OH.
Dal momento che ogni punto dell’angolo ha per simmetrico un punto che appartiene ancora
all’angolo, la bisettrice è asse di simmetria.
•
Un triangolo ha asse di simmetria solo se è isoscele.
A
..
B
r
C
In questo caso l’asse è la retta della bisettrice dell’angolo al vertice del triangolo (che è
anche altezza e mediana relativa alla base).
Infatti, nel triangolo ABC, isoscele sulla base BC, indicata con r la retta della bisettrice
dell’angolo al vertice A, si ha:
σr (A) = A e σr (B) = C
per cui il simmetrico di ciascuno dei tre vertici è ancora un vertice del triangolo.
29
[Un triangolo equilatero ha, quindi, tre assi di simmetria perché è isoscele rispetto a
ciascuno dei suoi lati, assunti come base: le rette delle tre bisettrici (o, è lo stesso dire, delle
tre altezze o delle tre mediane) sono gli assi di simmetria].
•
Una striscia, individuata da due rette parallele a e b, ha come asse di simmetria la retta r
parallela ad a e b tale che la sua distanza da a sia congruente alla sua distanza da b e,
essendo illimitata, anche ciascuna delle rette perpendicolari alle rette a e b.
b
b
r
a
a
r1
r2
Seguono altri esempi di figure, oggetto di studio nelle prossime unità, ……. che già conosci e che
possiedono assi di simmetria.
•
Un rombo ha due assi di simmetria: le rette a cui appartengono le diagonali.
•
Un quadrato ha quattro assi di simmetria: gli assi dei lati paralleli e le rette cui
appartengono le diagonali.
PROVA TU a fare altri esempi di figure che possiedono un asse di simmetria.
30
4.5 La simmetria centrale
Fissato nel piano un punto O, la simmetria centrale di centro O, indicata con σo, è la
trasformazione geometrica che ad ogni punto P fa corrispondere il punto P' tale che O sia il punto
medio del segmento PP' (fig. 29):
P'.
*
O
.
P.
*
•
Il punto O si dice centro di simmetria.
•
I punti P e P' si dicono simmetrici
rispetto ad O.
fig. 29
Così come per la simmetria assiale, per determinare la figura F', simmetrica di F rispetto ad un
centro O, si deve determinare il simmetrico, rispetto ad O, di ogni suo punto.
Anche qui, l’operazione risulta facilitata nel caso che F sia una figura particolare (punto, segmento,
retta, poligono …), come risulta dagli esempi seguenti. [Procediamo, come per la simmetria assiale,
nella costruzione di figure simmetriche di date figure, rispetto ad un centro O, prima ancora di
dimostrare teoremi che spesso sono alla base del modo stesso di operare].
I.
Costruzione del simmetrico di un punto P rispetto al punto fissato O (centro di simmetria).
.P
.O
Segui il seguente procedimento:
1) conduci da P la retta passante per O:
.P
.O
2) prendi su tale retta, sulla semiretta opposta a OP, il punto P' tale che P'O ≅ PO:
.P
*
Il punto P' è il simmetrico del punto
.O
P rispetto al centro di simmetria.
*
. P'
31
II.
Costruzione del simmetrico del triangolo ABC rispetto al punto fissato O (centro di
simmetria).
C
B
.O
A
Segui il seguente procedimento:
1) conduci per A, B e C le rette passanti per O:
C
B
.O
A
2) sulla retta condotta da A prendi il punto A' tale che A'O ≅ AO (cioè O è punto medio di
AA') e così sulle altre rette: B'O ≅ BO e C'O ≅ CO:
C
Il
A
o
triangolo
A'B'C'
è
il
B
simmetrico del triangolo ABC
~ //
rispetto al centro di simmetria
.O
o
A'
(simmetria centrale).
// ~
Basta ripetere il procedimento
B'
di cui al punto I. per i vertici
C'
del triangolo (e, in generale, di
qualsiasi altra figura).
La simmetria centrale conserva l’orientamento dei punti: per portare il triangolo ABC a coincidere
col trasformato A'B'C' non si esce dal piano del foglio [PROVA TU con un foglio di carta lucida].
32
TEOREMA
La simmetria centrale è un’isometria.
Hp.: σo simmetria centrale
Th.: σo isometria
Dimostrazione
Dobbiamo dimostrare che σo ha come invariante la lunghezza dei segmenti.
A tale scopo, fig. 30, siano:
o A, B e O tre punti;
o A' = σo (A) il simmetrico di A rispetto ad O;
o B' = σo (B) il simmetrico di B rispetto ad O.
. B'
A.
*
//
O
.
//
*
B.
. A'
fig. 30
Dobbiamo, quindi, dimostrare che: AB ≅ A'B'.
Consideriamo, a tale scopo, i triangoli ABO e A'B'O (fig. 31).
A
. B'
.
*
//
B.
//
O
.
*
. A'
fig. 31
Essi hanno:
AO ≅ A'O
perché A e A' simmetrici rispetto ad O;
BO ≅ B'O
perché B e B' simmetrici rispetto ad O;
AOB ≅ A'OB'
perché angoli opposti al vertice.
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
AB ≅ A'B'.
C.V.D.
Questo teorema permette di concludere che due figure simmetriche rispetto ad un punto sono
congruenti.
33
Inoltre, riferendoti anche al teorema precedente e alla relativa figura, PROVA TU che:
•
due segmenti [rette] che si corrispondono in una simmetria centrale sono paralleli
[parallele];
•
il centro di simmetria è l’unico punto unito;
•
esistono infinite rette unite (sono le rette che passano per il centro) che non sono, però,
luogo di punti uniti;
•
la simmetria centrale è involutoria;
•
a rette parallele corrispondono rette parallele;
•
a due rette incidenti, che formano un angolo α, corrispondono due rette incidenti che
formano un angolo congruente ad α;
•
l’ordinamento dei punti è invariante.
Anche per le simmetrie assiali, possiamo chiederci se esistono delle figure che restano unite in una
simmetria centrale. In fig. 32, il poligono ABCD è unito rispetto alla simmetria che ha centro nel
punto O.
D
E
o
//
F
O
o
Nella σo si ha:
.
σo (A) = D ;
C
σo (B) = E ;
//
σo (C) = F .
A
B
fig. 32
[Quindi:
Una figura F ha un centro di simmetria se è unita nella simmetria che ha centro in quel punto, cioè
se il simmetrico di ogni vertice del poligono è ancora un vertice del poligono].
Esempi di figure che possiedono un centro di simmetria:
•
Il segmento ha un centro di simmetria: il suo punto medio.
Infatti, dato un segmento AB ed indicato con O il suo punto medio, si ha:
σo (A) = B perché OA ≅ OB.
.
A
*
.
O
*
.
B
34
•
La striscia definita da due rette parallele a e b ha come centro di simmetria un qualunque
punto che appartiene al suo asse di simmetria.
b
.
.
O1
.
O2
O3
r
a
O1 centro di simmetria della striscia;
O2 centro di simmetria della striscia;
O3 centro di simmetria della striscia;
“
“
“
“
“
“
.
Seguono altri esempi di figure che saranno oggetto di studio nelle prossime unità ……. ma che già
conosci e che possiedono un centro di simmetria.
•
Il parallelogramma ha come centro di simmetria il punto d’intersezione delle due
diagonali.
*
//
.
O
//
•
*
La circonferenza ha come centro di simmetria il suo centro.
*
*
*
.
O
*
*
*
*
*
PROVA TU a fare altri esempi di figure che possiedono un centro di simmetria.
35
4.6 La traslazione
Dato un segmento AB, è possibile fissare su di esso un verso di percorrenza, da A verso B o da B
verso A (segmento orientato).
Indichiamo con:
•
AB il segmento orientato da A verso B (figura a lato):
.
A
•
BA il segmento orientato da B verso A (figura a lato):
.
A
.
B
.
B
Diamo la seguente definizione:
Due segmenti orientati si dicono equipollenti se hanno:
•
la stessa lunghezza;
•
la stessa direzione (appartengono a rette parallele);
•
lo stesso verso.
Nell’insieme dei segmenti orientati di un piano, la relazione “essere equipollenti” è una relazione di
equivalenza, perché gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva (PROVA TU).
La relazione di equipollenza suddivide, quindi, i segmenti orientati del piano in classi di
equivalenza. Ogni classe è chiamata vettore e contiene tutti e soli i segmenti fra loro equipollenti.
Ogni vettore viene indicato con una lettera sormontata da una freccia, v , oppure con il segmento
orientato AB che lo rappresenta.
Un vettore AB è caratterizzato da:
•
il modulo o l’intensità, che si indica con AB o semplicemente AB, cioè la misura della
lunghezza del segmento AB;
•
la direzione, cioè la direzione della retta a cui appartiene il segmento;
•
il verso.
Inoltre:
•
Si chiama vettore nullo, e viene indicato 0, il vettore che ha modulo nullo, direzione e verso
indeterminati.
•
Si chiama vettore opposto di un vettore AB, e si indica BA, il vettore che ha lo stesso
modulo, stessa direzione ma verso opposto a quello di AB (fig. 33):
.
A
.
A
.
B
BA opposto ad AB
.
B
fig. 33
36
Diamo ora la seguente definizione:
Fissato un vettore v, si definisce traslazione di vettore v, e si indica τv , una trasformazione
geometrica che ad ogni punto P fa corrispondere il punto P' tale che PP' sia equipollente a v (fig.
34):
v
.
.
P'
P
fig. 34
(si conduce da P la semiretta di origine P parallela a v , nel verso di v , e si considera su di essa il
punto P' tale che il segmento PP' abbia la stessa lunghezza di v ).
•
Il vettore v è detto vettore traslazione.
•
Una traslazione è determinata quando è assegnato il vettore traslazione.
•
Se il vettore v è il vettore nullo, la traslazione è la traslazione identica (o nulla) e viene
indicata con I.
•
Il punto P' si dice traslato del punto P nella traslazione di vettore v e si scrive:
τv : P → P'
o
P' = τv (P)
Data una figura F, determiniamo la figura F' traslata di F in una traslazione di vettore assegnato:
o Costruzione del traslato di un segmento rispetto ad una traslazione di dato vettore v non
nullo.
v
B.
.B'
Basta costruire i traslati A' e B' degli estremi A e B
del segmento AB. Il segmento A'B' è il
corrispondente di AB nella traslazione di vettore v.
.
.
In simboli:
A
A'
τv : AB → A'B'
37
o Costruzione della traslata di una retta rispetto ad una traslazione di dato vettore v non nullo.
v
A'
B'
.
.
r'
Si fissano due punti A e B su r e si
determinano i punti A' e B' corrispondenti,
.
.
A
B
rispettivamente, di A e di B nella
r
traslazione di vettore v.
La retta r passante per A' e B' è la retta
cercata.
o Costruzione del traslato di un triangolo rispetto ad una traslazione di dato vettore v non
nullo.
v
C
C'
Basta determinare i punti A', B', C'
corrispondenti, rispettivamente, dei vertici
A
A, B, C nella traslazione di vettore v. Il
A'
triangolo A'B'C' è il triangolo cercato.
B
B'
OSSERVAZIONE:
Relativamente all’ultima costruzione, osserviamo che, nel triangolo ABC, i vertici A, B, C si
susseguono in senso antiorario, così come avviene per i vertici A', B', C' , del triangolo A'B'C',
traslato del triangolo ABC.
Si conclude che la traslazione conserva l’orientamento dei punti; cioè:
τv è una trasformazione diretta.
38
TEOREMA
La traslazione è un’isometria.
Hp.: τv traslazione
Th.: τv isometria
Dimostrazione
Dobbiamo dimostrare che τv ha come invariante la lunghezza dei segmenti.
A tale scopo, (fig. 35), siano:
•
A e B due punti;
•
A' = τv (A) il trasformato di A nella τv ;
•
B' = τv (B) il trasformato di B nella τv .
.
v
B'
.
B
.
.
A'
fig. 35
A
Dobbiamo, quindi, dimostrare che:
AB ≅ A'B'.
Consideriamo, a tale scopo, i triangoli AA'B e BB'A' (fig. 36):
. B'
B.
.
.
A
A'
fig. 36
Essi hanno:
AA' ≅ BB'
perché moduli di vettori equipollenti (“segnare AA' e BB' con il simbolo * ”);
A'B
in comune (o A'B ≅ A'B per la proprietà riflessiva della congruenza);
AA'B ≅ A'BB' perché angoli interni rispetto alle parallele AA' e BB' tagliate dalla trasversale
A'B (“segnare AA'B e A'BB' con il simbolo
. ” ).
39
[Si ha, quindi, la seguente figura (fig. 37):
B.
.
. B'
*
. .
.
*
A'
A
fig. 37 ]
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
AB ≅ A'B'.
C.V.D.
TEOREMA
In una traslazione, le rette che hanno la stessa direzione del vettore traslazione sono rette
unite (fig. 38).
Hp.:
v
τv traslazione
r // v
r
Th.:
τv : r → r
fig. 38
Dimostrazione
Consideriamo un generico punto P ∈ r (fig. 39):
v
.
r
P
fig. 39
40
Per la definizione data di traslazione di vettore v, si ha che:
τv : P → P' t.c. PP' equipollente a v (fig. 40):
v
.
.
r
P'
P
fig. 40
e quindi P' ∈ r .
Pertanto, data la generalità di P, si ha che, nella τv , ogni punto di r ha il traslato che appartiene
ancora ad r e quindi r è retta unita.
C.V.D.
TEOREMA
In una traslazione, ad una retta r, che non ha la stessa direzione del vettore traslazione,
corrisponde una retta r', distinta da r, parallela ad r (fig. 41).
Hp.:
τv traslazione
τv : r // r'
v
Th.:
r
r' // r , r' ≠ r
fig. 41
Dimostrazione
Prendiamo due punti P e Q su r e diciamo, rispettivamente, P' e Q' i loro traslati nella traslazione di
vettore v, cioè:
P' = τv (P)
Q' = τv (Q) (fig. 42):
. P'
v
. Q'
.
.
P
Q
r
fig. 42
41
Congiungiamo il punto P' con Q e Q' (fig. 43):
. Q'
P' .
v
.
.
P
Q
r
fig. 43
e consideriamo i triangoli PQP' e P' Q' Q; essi hanno:
PP' ≅ QQ'
perché i segmenti orientati PP' e QQ' sono equipollenti;
P'Q in comune
(o P'Q ≅ P'Q per la proprietà riflessiva della congruenza);
PQ ≅ P'Q'
perché segmenti che si corrispondono in una traslazione.
I due triangoli, avendo i tre lati ordinatamente congruenti, sono congruenti per il terzo criterio di
congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in
particolare:
PQP' ≅ QP'Q'
(“segnare PQP' e QP'Q' con il simbolo
P' .
v
. ”) [fig. 44]:
. Q'
.
.
..
P
Q
r
fig. 44
Di conseguenza, le rette PQ e P'Q' sono parallele perché, tagliate dalla trasversale P'Q, formano
angoli alterni interni congruenti (fig. 45):
P'.
v
. Q'
.
r'
r // r'
.
..
P
Q
r
fig. 45
C.V.D.
42
4.7 La rotazione
Fissati nel piano un punto O e un angolo α, su cui è fissato un verso di percorrenza (angolo
orientato), la rotazione di centro O e angolo α, indicata con ρO,α , è quella trasformazione
geometrica che ad ogni punto P fa corrispondere il punto P' tale che:
•
OP' ≅ OP;
•
l’angolo POP' è congruente ad α ed ugualmente orientato ad esso (fig. 46):
P'
.
*
α
α
.
O
*
.
P
fig. 46
Si ha che:
o il punto O si dice centro di rotazione;
o l’angolo α si dice angolo di rotazione (o ampiezza della rotazione);
o con il simbolo + α, o semplicemente α, indichiamo l’angolo orientato in senso, o verso,
antiorario; con il simbolo – α quello orientato in senso, o verso, orario.
o una rotazione è determinata quando sono assegnati sia il centro O di rotazione sia l’angolo
orientato α ;
o il punto P' (fig. 46) si dice ruotato del punto P nella rotazione di centro O ed angolo
orientato α .
In simboli:
P' = ρO,α (P)
o anche:
ρO,α : P → P'.
In generale, data una figura F, per indicare che la figura F' è corrispondente di F, nella rotazione di
centro O e angolo α, si scrive:
F' = ρO,α (F)
o anche:
ρO,α : F → F' .
43
Osserviamo che:
per determinare l’immagine P' di un punto P, in una rotazione di centro O ed angolo
orientato α, si costruisce l’angolo POQ , congruente ed ugualmente orientato ad α , e si
prende il punto P' ∈ OQ , tale che OP' ≅ OP ;
per determinare l’immagine di una retta, in una fissata rotazione, così come fatto per le altre
trasformazioni geometriche, basta trovare le immagini di due suoi punti (PROVA TU);
per determinare l’immagine di un poligono ABC… , in una fissata rotazione, basta trovare le
immagini A' , B' , C' , ….. dei suoi vertici e, poi, congiungerle in tale ordine (PROVA TU).
Esercizio svolto
Dati il triangolo ABC, un punto O ed un angolo α, sottoponiamo il triangolo ad una rotazione di
angolo + α (“verso antiorario”) e ad una di angolo – α (“verso orario”)
α
C
B'
B
A
+α
A'
.
-α
O
C''
A''
C'
B''
Il triangolo A'B'C' è il trasformato del triangolo ABC nella rotazione di angolo + α.
Il triangolo A''B''C'' è il trasformato del triangolo ABC nella rotazione di angolo – α.
44
TEOREMA
La rotazione, ρO,α , di centro O e angolo orientato α, è un’isometria.
Hp.: ρO,α rotazione
Th.: ρO,α isometria
Dimostrazione
Siano:
O il centro della rotazione;
α l’ampiezza della rotazione;
A e B due punti generici del piano;
A' = ρO,α (A) il corrispondente di A nella ρO,α ;
B' = ρO,α (B) il corrispondente di B nella ρO,α .
Dobbiamo, quindi, dimostrare che:
AB ≅ A'B' .
Esaminiamo prima il caso in cui O, A e B siano allineati (fig. 47):
O.
α
OA' ≅ OA
A.
. A'
B.
OB' ≅ OB
. B'
fig. 47
In tal caso si ha::
A'B' ≅ OB' – OA' ≅ OB – OA ≅ AB.
Esaminiamo il caso in cui O, A e B non siano allineati (fig. 48):
. B'
o
α
O.
. A'
*
o
α
.B
*
.A
fig. 48
45
Consideriamo i triangoli OAB e OA'B' (fig. 49):
. B'
o
α
O.
. A'
*
o
α
.B
*
.
A
fig. 49
Essi hanno:
OA ≅ OA'
perché A' è il corrispondente di A nella ρO,α ;
OB ≅ OB'
perché B' è il corrispondente di B nella ρO,α ;
AOB ≅ A'OB'
perché differenze di angoli congruenti (AOA' ≅ BOB' ≅ α; A'OB ≅ A'OB).
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
AB ≅ A'B'.
C.V.D.
In definitiva, la rotazione ρO,α associa, a due punti A e B, due punti A' e B' tali che AB ≅ A'B' e
dunque la rotazione risulta un’isometria (diretta).
La rotazione ha, quindi, tutte le proprietà delle isometrie ed in particolare trasforma una figura in
un’altra ad essa congruente.
Valgono inoltre le seguenti proprietà:
•
il solo punto unito della trasformazione è il centro di rotazione;
•
non esistono rette unite se non quelle che si corrispondono in una rotazione di ampiezza pari
ad un angolo piatto o ad un suo multiplo e che passano per il centro di rotazione (in tal caso
si ottiene la simmetria di centro O) [fig. 50]:
α = 180°
.
O
fig. 50
46
•
la rotazione di angolo nullo, ρO,o , coincide con la trasformazione identica (fig. 51):
.
O
•
.
P ≡ P'
fig. 51
la rotazione di ampiezza pari ad un angolo giro coincide con la trasformazione identica (fig.
52):
.
O
•
.
P ≡ P'
fig. 52
la rotazione conserva l’orientamento dei punti (vedi fig. 41).
4.8 Composizione di trasformazioni
Possiamo pensare di applicare successivamente più trasformazioni geometriche, di eseguire, cioè,
quello che viene chiamato un prodotto di trasformazioni.
Dimostriamo innanzitutto il seguente:
TEOREMA
Il prodotto di due (o più) isometrie è una isometria.
Hp.:
f1 isometria
f2 isometria
Th.:
f2 o f1 isometria
Dimostrazione
Dobbiamo far vedere che f2 o f1 conserva la lunghezza dei segmenti.
Siano dati, quindi, due punti A e B del piano ed applichiamo ad essi l’isometria f1; cioè:
f1: A → A'
f1: B → B'
con AB ≅ A'B' per definizione di isometria.
Applichiamo ora ai due punti A' e B' l’isometria f2; cioè:
f2 : A' → A''
f2 : B' → B''
con A'B' ≅ A''B'' per definizione di isometria.
47
Pertanto si ha:
AB ≅ A''B'' per la proprietà transitiva della congruenza
e quindi f2 o f1 è un’isometria.
C.V.D.
PROVA TU, ora, ad eseguire i seguenti “prodotti”:
1. il prodotto di due simmetrie assiali con assi r ed s coincidenti:
r ≡s
C
A
B
Cosa deduci?
2. il prodotto di due simmetrie assiali con assi r ed s incidenti (applica prima la simmetria di
asse r e, successivamente, quella di asse s):
B
C
r
A
. O
s
48
COMPLETA:
Il prodotto di due simmetrie assiali con assi incidenti è una rotazione che ha centro nel
……………….................................................... , angolo α orientato dal …………. asse al secondo
asse ed ampiezza ………….. dell’angolo formato dai due assi.
3. il prodotto di due simmetrie assiali con assi r ed s tra loro perpendicolari (applica prima la
simmetria di asse r e, successivamente, quella di asse s):
r
Q.
*
P.
.
s
O
*
Cosa succede se applichi prima la simmetria di asse s e, successivamente, quella di asse r ?
VERIFICA, quanto da te dedotto, considerando, al posto del segmento PQ, un triangolo ABC.
Sottoponi, poi, le “tue” figure, il segmento PQ e il triangolo ABC, alla simmetria con centro nel
punto O d’intersezione dei due assi. Cosa deduci?
4. il prodotto di due simmetrie assiali con assi r ed s tra loro parallele (applica prima la
simmetria di asse r e, successivamente, quella di asse s):
r
s
C
A
B
Pensi che tale prodotto “sia legato” alla traslazione? In caso di risposta affermativa, cosa puoi
concludere?
49
Come esercizio, rappresenta i seguenti casi di prodotti di trasformazioni, cui sottoponi una figura F
a tua scelta:
•
il prodotto di due simmetrie centrali con centri distinti O e O1, eseguite nell’ordine [è una
traslazione secondo un vettore che ha come modulo il doppio della distanza fra i due centri,
come direzione quella di OO1 e come verso quello da O ad O1].
VERIFICA che tale prodotto non è commutativo.
•
il prodotto di due traslazioni [è una traslazione che ha come vettore il vettore somma dei
vettori delle due traslazioni date].
VERIFICA che tale prodotto è commutativo.
•
il prodotto di due rotazioni con lo stesso centro [è una rotazione che ha centro nello stesso
punto ed ampiezza uguale alla somma delle ampiezze delle due rotazioni date].
•
il prodotto di due rotazioni con centri diversi:
[ è una traslazione, se gli angoli delle due rotazioni sono opposti;
è una rotazione, avente per centro un punto, in genere distinto dai due centri, e
ampiezza uguale alla somma algebrica delle ampiezze delle due rotazioni, se gli
angoli delle due rotazioni non sono opposti].
•
il prodotto di una rotazione con una traslazione (rototraslazione).
VERIFICA, con un esempio, che, se ρO,α è la rotazione e τv la traslazione, si ha:
ρO,α o τv ≠ τv o ρO,α ,
cioè le due isometrie non sono permutabili.
•
il prodotto di una simmetria assiale con una traslazione parallela all’asse di simmetria
(antitraslazione).
VERIFICA, con un esempio, che, se σr è la simmetria assiale e τv la traslazione, con v // r,
si ha:
τv o σr = τv o σr ,
cioè le due isometrie sono permutabili.
50
4.9 Gruppi di trasformazioni
Se consideriamo l’insieme delle traslazioni T del piano e “componiamo” due traslazioni (prodotto
di traslazioni), τ AB e τ BC , otteniamo la traslazione τ AC che ha come vettore il vettore somma dei
vettori delle due traslazioni date; cioè:
τ BC o τ AB = τ AC (simbolismo analogo a quello utilizzato per le funzioni).
Questo significa che:
L’insieme T delle traslazioni è chiuso rispetto all’operazione di composizione, cioè la
composizione di traslazioni è un’operazione interna a T .
Inoltre l’operazione di composizione gode in T delle seguenti proprietà (PROVA TU):
è associativa.
In simboli:
τ AB o ( τ BC o τ CD ) = ( τ AB o τ BC ) o τ CD
ammette elemento neutro.
In simboli:
τ PQ o I = τ PQ = I o τ PQ
ogni elemento di T ammette l’inverso, cioè per ogni traslazione esiste la traslazione
inversa.
In simboli:
τ PQ o τ QP = I = τ QP o τ PQ
Pertanto l’insieme delle traslazioni, rispetto all’operazione di composizione, ha la struttura di
gruppo; cioè:
(T
T , o ) è un gruppo.
Inoltre:
l’operazione di composizione è commutativa.
In simboli:
τ BC o τ AB = τ AB o τ BC
per cui:
(T
T , o ) è un gruppo commutativo.
51
PROVA TU che l’insieme delle rotazioni rispetto ad uno stesso centro è un gruppo commutativo.
Cosa puoi dire per l’operazione di composizione di rotazioni con centri diversi?
E per quella di composizione di simmetrie assiali?
COMPLETA:
L’insieme delle isometrie ……….……. , rispetto all’operazione di composizione, ha una struttura
di ………………….. .
Ciò non accade per l’insieme delle isometrie ………………. che non è chiuso rispetto
all’operazione di ………………………… .
4.10 Conclusioni
L’esame dei vari casi affrontati permette di concludere che ogni isometria può essere pensata come
composizione di simmetrie assiali.
Precisamente:
o una simmetria centrale può essere pensata come composizione di due simmetrie
assiali con gli assi perpendicolari;
o una traslazione può essere pensata come composizione di due simmetrie assiali con
gli assi paralleli;
o una rotazione può essere pensata come composizione di due simmetrie assiali con gli
assi incidenti.
Inoltre:
la composizione di due isometrie dirette è una isometria diretta;
la composizione di due isometrie inverse è una isometria diretta;
la composizione di due isometrie, una diretta e una inversa, è un’isometria inversa.
Pensando alla seguente corrispondenza:
simmetria diretta
+
simmetria inversa
–
ritroviamo le “nostre” composizioni nella tabella moltiplicativa tra numeri relativi:
.
+
–
+
+
–
–
–
+
Si può dimostrare che le isometrie si ottengono solo mediante la composizione di simmetrie assiali
per cui non esistono isometrie diverse da quelle studiate nella presente unità.
52
ESERCIZI UNITÀ 4
Trasformazioni geometriche
Conoscenza e comprensione
1) Definisci una trasformazione geometrica.
2) Se g indica una trasformazione geometrica, qual è il significato della scrittura g(P) = P' ?
3) Cosa vuol dire che una proprietà è invariante per una trasformazione geometrica?
4) Che cosa sono gli “elementi uniti” di una trasformazione geometrica?
5) Quando una trasformazione geometrica si dice involutoria?
6) Quando una trasformazione geometrica è detta diretta? E quando inversa?
7) Come procedi per stabilire se una trasformazione geometrica è diretta o inversa?
8) Per quale trasformazione geometrica, ogni punto del piano è un punto unito?
9) Spiega perché l’inversa di una trasformazione geometrica è ancora una trasformazione
geometrica.
10) Sia f una trasformazione geometrica e f
uguale f
−1
−1
la sua inversa; a quale trasformazione geometrica è
of ?
11) Definisci un’isometria.
12) Sia g un’isometria; le seguenti affermazioni sono vere o false?
a) Sia AB un segmento; g(AB) ≅ AB.
V
F
b) Siano A, B, C tre punti del piano non allineati; g(A), g(B) e g(C) sono allineati.
V
F
c) Sia α è un angolo; g(α) < α.
V
F
d) Siano r e s due rette incidenti; g(r) ∩ g(s) = ∅.
V
F
e) Siano a e b due rette parallele; g(a) è parallela a g(b).
V
F
f) Siano AB e CD due segmenti tali che AB = 2CD; g(AB) = 2 g(CD).
V
F
g) Sia ABC un triangolo rettangolo; g(ABC) è un triangolo rettangolo
V
F
h) Siano F1 e F2 figure isoperimetriche; g(F1) e g(F2) sono isoperimetriche.
V
F
53
13) Classifica le isometrie del piano.
14) Definisci la simmetria assiale.
15) Spiega perché la simmetria assiale è un’isometria.
16) Quali sono le proprietà invarianti in una simmetria assiale?
17) Sia P' l’immagine del punto P nella simmetria assiale di asse la retta r, qual è l’immagine di P'
nella stessa simmetria assiale?
18) Una sola delle seguenti affermazioni è falsa; quale?
a) Se una retta è parallela all’asse di simmetria, anche la sua immagine è parallela all’asse di
simmetria.
b) In una simmetria assiale i punti uniti sono i punti che appartengono all’asse di simmetria.
c) La simmetria assiale è una trasformazione inversa.
d) L’asse di simmetria è l’unica retta unita.
e) Il punto d’intersezione di una retta (non parallela all’asse di simmetria) e della sua immagine
in una simmetria assiale è un punto dell’asse di simmetria.
19) Cosa vuol dire che l’asse di simmetria è una retta unita luogo di punti uniti?
20) Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:
a) Un angolo non ha assi di simmetria.
V
F
b) Un segmento ha un solo asse di simmetria.
V
F
c) Un triangolo ha sempre almeno un asse di simmetria.
V
F
d) Un quadrilatero può avere un asse di simmetria.
V
F
e) Un rettangolo ha un solo asse di simmetria.
V
F
f) Un triangolo può avere tre assi di simmetria.
V
F
g) Un rombo non ha assi di simmetria.
V
F
h) Un trapezio ha un asse di simmetria solo se è isoscele.
V
F
21) Definisci la simmetria centrale e spiega perché è una isometria.
22) Sia T' l’immagine del punto T nella simmetria centrale di centro O; qual è l’immagine di T' nella
stessa simmetria centrale?
54
23) Una sola delle seguenti affermazioni è vera; quale?
a) La simmetria centrale ha almeno due punti uniti.
b) In una simmetria centrale esiste una ed una sola retta unita.
c) Se due punti sono equidistanti da un punto O, allora si corrispondono nella simmetria
centrale di centro O.
d) Se due punti si corrispondono in una simmetria centrale, allora sono equidistanti dal centro
di simmetria.
e) Se σO(P) = P', allora PP' < 2 OP.
24) Quali sono le proprietà invarianti in una simmetria centrale? E quali gli elementi uniti?
25) Dimostra che se due rette si corrispondono in una simmetria centrale, allora sono parallele.
26) La simmetria centrale è una trasformazione diretta o inversa?
27) Quando una figura ha un centro di simmetria?
28) Quali, fra le seguenti figure, ha un centro di simmetria?
a) triangolo isoscele;
d) rettangolo;
b) rombo;
e) quadrato;
c) triangolo equilatero;
f) trapezio isoscele.
29) Che cos’è un vettore?
30) Quando due vettori si dicono equipollenti.
31) Che tipo di relazione è la relazione di equipollenza fra vettori? Giustifica la tua risposta.
32) Definisci la traslazione e dimostra che è un’isometria.
33) In una traslazione di vettore v, al punto P corrisponde il punto P'. Che cosa possiamo dire del
vettore PP' ?
a) PP' è congruente a v.
b) PP' ha la stessa direzione di v, ma verso opposto.
c) PP' ha lo stesso modulo di v, ma direzione diversa.
d) v e PP' hanno stessa direzione, ma moduli diversi.
e) v e PP' hanno stessa direzione e stesso verso.
55
34) In quale caso la traslazione coincide con la trasformazione identica?
35) La traslazione è una trasformazione diretta o inversa?
36) L’affermazione: “Due rette che si corrispondono in una traslazione sono parallele” è vera o
falsa? Perché?
37) Se, in una traslazione, una retta è unita, che relazione esiste tra la retta ed il vettore della
traslazione?
38) Una sola tra le seguenti affermazioni è falsa; quale?
a) La traslazione non è involutoria.
b) La traslazione ha almeno un punto unito.
c) In una traslazione non ci sono rette fisse.
d) Se, in una traslazione, l’immagine del segmento AB è il segmento CD, allora AC ≅ BD.
e) Almeno una delle precedenti affermazioni è falsa.
39) Definisci la rotazione.
40) Spiega perché la rotazione è una isometria.
41) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a) La rotazione è una trasformazione involutoria.
V
F
b) L’identità è una particolare rotazione.
V
F
c) La rotazione può essere una simmetria centrale.
V
F
d) La rotazione può coincidere con una simmetria assiale.
V
F
e) La rotazione ha almeno una retta unita.
V
F
f) Il centro di rotazione è un punto unito.
V
F
g) La rotazione avviene in senso orario se l’angolo di rotazione è positivo.
V
F
h) La rotazione trasforma una retta in una retta ad essa parallela.
V
F
i) Se A'B' è l’immagine del segmento AB in una rotazione, allora OA' ≅ OB'.
V
F
42) Se la rotazione coincide con la trasformazione identica, quali valori assume l’angolo di
rotazione?
56
43) In una rotazione, l’angolo di rotazione è −30°, quanto misura l’angolo di rotazione nella
rotazione inversa?
44) Quali, fra le trasformazioni studiate, sono involutorie?
45) Siano f e g due trasformazioni, quali delle seguenti scritture indica che ad un punto P è stata
applicata prima la trasformazione f e, successivamente, la trasformazione g ?
a)
f (P ) o g ( P )
b)
( f o g )(P )
c)
(g o f )(P )
d) g ( f (P ))
e)
f ( g (P ))
46) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a) Il prodotto di due trasformazioni è commutativo.
V
F
b) Il prodotto di due simmetrie assiali può essere una traslazione.
V
F
c) Il prodotto di una traslazione ed una simmetria assiale non ha rette fisse.
V
F
d) La rotazione si ottiene come prodotto di due simmetrie assiali.
V
F
e) Il prodotto di due simmetrie assiali è una simmetria centrale se gli assi di
V
F
V
F
g) Il prodotto di due traslazioni è commutativo.
V
F
h) Se P il punto di intersezione degli assi di due simmetrie assiali, P è il
V
F
i) Il prodotto di due simmetrie centrali è commutativo.
V
F
l) Il prodotto di due isometrie dirette è un’isometria diretta.
V
F
m) Il prodotto di due isometrie inverse è un’isometria inversa.
V
F
n) Sia f o g una trasformazione geometrica; (f o g)−1 = f −1 o g −1 .
V
F
simmetria sono fra loro perpendicolari.
f) Data la rotazione ρ
0,
π
, la trasformazione ρ
2
0,
π
2
oρ
0,
π
è una simmetria centrale
2
di centro O.
centro di una rotazione.
57
47) Siano σr e σs due simmetrie assiali, quale delle seguenti proposizioni è vera?
a) σr o σs = σs o σr
b) Se r è parallela ad s, σr o σs ha una sola retta unita.
c) Se r non è parallela ad s, σr o σs ha almeno due punti uniti.
d) σs o σr è la trasformazione inversa di σr o σs .
e) L’orientamento dei punti non è invariante per σr o σs .
48) Sia τ una traslazione e σO una simmetria centrale; quale delle seguenti proposizioni è falsa?
a) τ o σO è una trasformazione diretta.
b) τ o σO è un’isometria.
c) τ o σO trasforma una retta in una ad essa parallela.
d) τ o σO ha una sola retta unita.
e) τ o σO è involutoria.
49) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a) Se componiamo due simmetrie assiali, si ottiene l’identità.
V
F
b) Se componiamo due rotazioni, si ottiene sempre una rotazione o una traslazione.
V
F
c) Se una figura F ammette due assi di simmetria perpendicolari, allora ammette
V
F
V
F
e) La composizione di tre vettori non nulli può dare la trasformazione identica.
V
F
f) La composizione di due simmetrie assiali con assi perpendicolari tra di loro
V
F
V
F
necessariamente un centro di simmetria.
d) La composizione di una simmetria di centro O e di una rotazione dello stesso
centro O è commutativa.
è una rototraslazione.
g) La composizione di una simmetria assiale, di asse r , con l’identità è una
traslazione di vettore parallelo ad r .
58
Applicazione
La simmetria assiale
1) Sia σr una simmetria di asse r. Stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali
false:
a) L’asse r è retta unita.
V
F
b) L’asse r è retta unita, luogo di punti uniti.
V
F
c) La σr ha sempre un punto unito.
V
F
d) La σr non ha mai punti uniti.
V
F
e) Due rette che si corrispondono nella σr sono parallele.
V
F
f) La σr non è una isometria.
V
F
g) La σr è un’isometria diretta.
V
F
h) Tutte le rette parallele ad r sono unite.
V
F
i) La σr è involutoria.
V
F
In ciascuno dei seguenti esercizi determina la simmetrica, rispetto all’asse r, della retta di volta in
volta rappresentata:
2)
s
r
59
3)
r
t
.
P
4)
r
u
Completa le seguenti figure, rappresentando il simmetrico del dato poligono rispetto all’asse r:
5)
r
A
B
C
60
6)
r
F
E
D
7)
Q
R
r
P
S
8)
N
I
L
M
r
61
9)
r
C
D
A
B
10)
r
H
N
I
M
L
11)
r
O
.
62
12) Riferendoti alla seguente figura:
D
H
K
C
s
A
T
r
B
e considerando la simmetria assiale di asse r, σr , COMPLETA le relazioni seguenti inserendo al
posto dei puntini il termine corretto:
σr : s → ….
σr : …. → D
σr : AB → ….
σr : H → ….
σr : TK → ….
σr : …. → DCTK
σr : …. → r
13) Disegna un triangolo scaleno ABC e rappresenta il suo corrispondente nella simmetria avente
per asse:
o la retta cui appartiene l’altezza relativa al lato AB;
o la retta della mediana relativa al lato AC;
o la retta della bisettrice dell’angolo di vertice B;
o l’asse del segmento AB;
o la retta passante per A e parallela a BC.
[fai una figura per ciascuna “situazione” proposta]
63
14) Con riferimento alla seguente figura, indicando con σr la simmetria di asse r, stabilisci se le
seguenti affermazioni sono vere o false:
r
C
C'
E
A'
A
D
B
B'
a) σr (A) = A
V
F
b) σr (E) = E
V
F
c) σr (D) = E
V
F
d) σr (AB) = AB
V
F
e) σr (BC) = B'C'
V
F
V
F
f)
σr (ACB) = A'B'C'
15) Riferendoti alla seguente figura:
A
t
*
P
s
H
*
B
r
e considerando la simmetria assiale di asse r, σr , COMPLETA le relazioni seguenti inserendo
al posto dei puntini il termine corretto:
a) σr (s) = ….
b) σr (A) = ….
c) σr (….) = AB
d) σr (….) = P
e) σr (ABP) = ….
64
Negli esercizi che seguono, vi sono coppie di figure che si corrispondono in una simmetria assiale.
Rappresenta l’asse di simmetria in ciascun esercizio.
16)
A
.
B
.
.
B'
.
A'
17)
A
A'
B
B'
C
C'
18)
C
B
A ≡ A'
B'
C'
65
Determina gli assi di simmetria in ciascuna delle seguenti figure:
19)
20)
l
l
l
21)
22) PROVA TU a trovare figure che ammettono assi di simmetria.
23) Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base BC, sia D un punto generico dell’altezza AH relativa
alla base. Indicato con:
o P il punto d’incontro della retta BD con il lato AC;
o P' il punto d’incontro della retta CD con il lato AB,
dimostra che P e P' si corrispondono in una simmetria assiale.
66
La simmetria centrale
24) Sia σo una simmetria centrale di centro O. Stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere
e quali false:
a) σo non ha punti uniti.
V
F
b) Il cento O è l’unico punto unito.
V
F
c) Ogni retta per O è una retta unita.
V
F
d) Ogni retta per O è retta unita, luogo di punti uniti.
V
F
e) La σo non ammette rette unite.
V
F
f) Due rette che si corrispondono nella σo sono parallele.
V
F
g) La σo è una trasformazione involutoria.
V
F
h) Nella σo ad un segmento corrisponde una semiretta.
V
F
i) La σo non è un’isometria.
V
F
j) La σo è un’isometria diretta.
V
F
25) Costruisci i simmetrici dei punti A, B, C, D ed O nella simmetria centrale di centro O:
C.
A.
O.
D.
B.
67
Costruisci i simmetrici delle diverse figure nella simmetria di centro O assegnato:
26)
B.
O.
A.
27)
.
B
.
.
O
A
28)
C
O.
B
A
68
29)
O.
C
B
A
30)
D
C
.O
A
B
31)
O.
r
69
32) Determina il centro della simmetria centrale σO in cui i punti P e P' si corrispondono. Costruisci,
poi, il simmetrico del quadrilatero ABCD nella σO.
.P
D
A
. P'
B
C
33) Con riferimento alla seguente figura, indicando con σO la simmetria di centro O, stabilisci se le
seguenti affermazioni sono vere o false:
B
D
K
.
O
H
A
C
a) σO (A) = D
V
F
b) σO (B) = O
V
F
c) σO (BH) = CK
V
F
d) σO (OH) = OK
V
F
e) σO (AHB) = DOC
V
F
f) σO (retta AD) = retta BC
V
F
g) σO (ABO) = DCO
V
F
70
34) Riferendoti alla seguente figura:
s
D
F
C
.
r
O
A
E
B
e considerando la simmetria centrale di centro O, σo , stabilisci quali tra le seguenti affermazioni
sono vere e quali false:
a) σo : A → D
V
F
b) σo : O → O
V
F
c) σo : r → s
V
F
d) σo : r → r
V
F
e) σo : s → s
V
F
f) σo : AO → CO
V
F
g) σo : BEO → DFO
V
F
h) σo : AB → OE
V
F
i) σo : EO → FO
V
F
j) σo : E → A
V
F
k) σo : B → D
V
F
l) σo : BO → DO
V
F
71
35) Riferendoti alla seguente figura:
C
B
r
~ //
o
A
.O
o
D
s
// ~
E
F
e considerando la simmetria centrale di centro O, σo , COMPLETA le relazioni seguenti
inserendo al posto dei puntini il termine corretto:
a) σo : r → ….
b) σo (s) = ….
c) σo (B) = ….
d) σo : BC → ….
e) σo : …. → DE
f) σo (ABC) = ….
g) σo : …. → EF
h) σo : …. → D
i) σo (O) = ….
j) σo : …. → EO
36) Considera un triangolo isoscele ABC di base AB e disegna il suo simmetrico nella simmetria
centrale avente come centro:
o
il vertice C;
o
il vertice B;
o
il punto medio M della base AB.
72
37) Data una retta r ed un punto P∉r, sia r' la simmetrica di r rispetto a P. Completa la figura
sottostante:
r
.
P
e stabilisci quale tra le seguenti affermazioni è vera:
a) r ed r' sono perpendicolari;
b) r ed r' sono coincidenti;
c) r ed r' sono parallele;
d) r ed r' sono incidenti ma non perpendicolari;
e) r // r' e P ∈ r' ;
f) r ∩ r' = {P}
38) Sia dato il quadrilatero ABCD in figura:
C
D
A
B
Sapendo che il suo vertice B è unito in una simmetria centrale, determinane il centro.
Disegna, riproducendo la figura data sul tuo quaderno, il trasformato del quadrilatero ABCD in
tale simmetria.
73
Negli esercizi che seguono, vi sono coppie di figure che si corrispondono in una simmetria rispetto
ad un opportuno centro.
Indica tale centro per ogni esercizio:
39)
A.
B.
D.
C.
40)
41)
42)
s
r
74
Figure che ammettono un centro di simmetria
43)
44)
45)
46) PROVA TU a trovare figure che ammettono un centro di simmetria.
75
La traslazione
OSSERVAZIONE:
Nella quadrettatura a lato, è rappresentato un vettore v con le seguenti caratteristiche:
modulo:
5 segmentini
direzione: orizzontale
verso:
da destra verso sinistra
v
47) Siano dati i vettori r, s, t, u e z, riportati nella quadrettatura sottostante:
r
t
s
u
z
Descrivi ciascun vettore, completando la seguente tabella (vedi l’osservazione precedente):
vettore
modulo
direzione
verso
r
s
t
u
z
76
Quando un vettore v non ha direzione orizzontale o verticale, lo si scompone in due
vettori ortogonali tra loro, v1 e v2, come nella figura a lato:
v = v1 + v2 (regola del parallelogramma)
v
v1
v2
vettore
v
vettori componenti
modulo
direzione
verso
v1
3 quadratini
verticale
dall’alto verso il basso
v2
1 quadratino
orizzontale
da destra verso sinistra
48) Siano dati ora i vettori r e s riportati nella quadrettatura sottostante:
r
s
Descrivi ciascun vettore, completando la seguente tabella:
vettore
vettori componenti
direzione
verso
77
49) Nella quadrettatura seguente, trova i trasformati dei punti A, B, C e D nella traslazione di
vettore v.
.
v
.
D
C
.
A
.
B
Completa le seguenti figure,rappresentando il trasformato del dato poligono nella traslazione di
vettore indicato:
50)
C
B
A
w
51)
D
C
A
z
B
78
52)
u
53) Completa le seguenti affermazioni:
a) per definire la traslazione di una figura F, è sufficiente dare un …………….. “applicato” ad
un punto di F;
b) in una traslazione, i punti di una figura si spostano tutti nella medesima ………………….. ;
c) i segmenti che hanno per estremi punti che si corrispondono in una traslazione sono
..………………. e …………………. tra loro;
d) il …………….. di traslazione è rappresentato da un segmento che unisce due qualsiasi
………….. corrispondenti;
e) in una traslazione di vettore qualsiasi non esistono .………… …………… ;
f) la composizione di due traslazioni, τv e τz , è una nuova ……………………. , τw , il cui
vettore w è la ..………….. vettoriale di …… e ……, cioè:
τv o τz = …… = τv+ ……
54) Disegna un triangolo acutangolo ABC e fissa un punto G', esterno al triangolo. Dopo aver
trovato il baricentro G del triangolo ABC, costruisci il trasformato del triangolo in una
traslazione di vettore GG'.
79
55) Con riferimento alla seguente figura, indicando con τv la traslazione di vettore v, stabilisci se le
seguenti affermazioni sono vere o false:
v
C
F
B
E
A
D
a)
τv (A) = F
V
F
b)
τv (B) = E
V
F
c)
τv (AC) = DE
V
F
d)
τv (BC) = EF
V
F
e)
τv (ACB) = DFE
V
F
f)
τv (retta AB) = retta DE
V
F
56) Sia dato il triangolo ABC della figura a lato:
C
A
B
Sapendo che il vertice A è unito in una “certa” traslazione, cosa puoi dire della traslazione
stessa?
57) Osserva la seguente figura:
P
.
v
Vi sono rette per P che sono unite nella traslazione di vettore v ?
80
La rotazione
58) Sia ρ0,α una rotazione di centro O e angolo α. Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono
vere e quali false:
a) La rotazione conserva la lunghezza dei segmenti.
V
F
b) La rotazione può trasformare un triangolo acutangolo in un triangolo rettangolo.
V
F
c) La rotazione non ha punti uniti.
V
F
d) La rotazione è una trasformazione involutoria.
V
F
e) La rotazione ha come rette unite tutte le rette che passano per O.
V
F
V
F
g) Se α = 2 π , la rotazione coincide con la trasformazione identica.
V
F
h) La rotazione conserva l’orientamento dei punti.
V
F
i) Se α = 0, la rotazione trasforma una figura in se stessa.
V
F
j) La rotazione trasforma una retta in un’altra retta parallela.
V
F
k) La rotazione ρ0,α e la sua inversa non possono avere lo stesso centro.
V
F
f) Se α =
π
2
, la rotazione coincide con la simmetria di centro O.
59) Completa le seguenti affermazioni:
a) una rotazione del piano è caratterizzata da un punto, detto …………. di ………………….…
e dall’ampiezza di un …..……….. orientato, detto …….……. di …………….……… ;
b) in una rotazione, i punti di una figura si spostano tutti su archi di …...…………….……..
che hanno lo stesso …………. , il …………. di rotazione;
c) in una rotazione, diversa da quella identica, esiste un solo ………… …………… , cioè un
solo punto che corrisponde a se stesso: il centro …. ……………………. ;
d) in una rotazione, la figura di partenza e quella trasformata sono ………………….. ;
e) una rotazione di centro O e angolo orientato α di 180°, cioè piatto, “prende” anche il nome
di …………………… di …………. O (o …………………. centrale).
f) tutte le rette che passano per il ………….. di ……………………. sono trasformate in
………… che passano per il ………….. di ……………………. .
81
Rappresenta la figura corrispondente a quella data nella rotazione di centro O ed angolo
assegnato, riproducendola sul tuo quaderno (cosa puoi dire dell’orientamento dei punti?):
60)
α
C
B
A
.
O
61)
α = 90°
C
.
A
B
O
62)
D
α = 45°
C
B
A
.
O
82
63) Con riferimento alla seguente figura, indicando con ρO,α la rotazione di centro O e ampiezza α,
stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
D
C
A
B
E
α
F
O
a)
ρO,α (A) = D
V
F
b)
ρO,α (B) = E
V
F
c)
ρO,α (O) = O
V
F
d)
ρO,α (AB) = DF
V
F
e)
ρO,α (retta BC) = retta EF
V
F
f)
ρO,α (ABC) = DEF
V
F
64) Dato il triangolo equilatero ABC, individua e rappresenta la rotazione che “porta” il punto C
“sul” punto A e quella che “porta” C “sul” punto B.
C
A
B
(suggerimento: trova il circocentro del triangolo ……………….)
83
65) Dato il triangolo ABC, COMPLETA la costruzione del suo trasformato nella rotazione ρO,-α .
C
. A'
A
B
-α
.
O
66) Riferendoti alla seguente figura, calcola il corrispondente A'B'C' del triangolo ABC nella
rotazione di centro O e angolo α di 90° orientato in senso orario (A' corrispondente di A; …).
C
A
B
.
O
COMPLETA, poi, le relazioni seguenti inserendo al posto dei puntini il termine corretto:
ρO,α : C → ….
ρO,α (AB) = ….
ρO,α (….) = A'
ρO,α (….) = A'B'C'
ρO,α : …. → A'C'B'
84
Composizione di isometrie
67) Osserva la seguente figura:
C'
A'
B'
C''
C
A''
A
B''
B
Il triangolo ABC è stato sottoposto ad una traslazione τv che “ha portato” al triangolo A'B'C' e
questo, a sua volta, sottoposto ad una traslazione τz , “è trasformato” nel triangolo A''B''C''.
I vettori v e z sono di seguito indicati:
v
z
Dall’esame dei triangoli ABC e A''B''C'' cosa deduci?
(suggerimento: il triangolo A''B''C'' può essere ottenuto operando direttamente ….… v + z = w … )
PROVA TU a sottoporre il triangolo ABC alla traslazione τz e, successivamente, alla traslazione τv .
OSSERVAZIONE:
L’esercizio precedente conferma che:
o la composizione di due traslazioni è ……… …………………. ;
o la composizione di due traslazioni è, quindi, ……… ………………. interna all’insieme
delle traslazioni;
o la composizione di due traslazioni gode della …………………. …………………………. .
85
1° Problema risolto
Dati tre punti qualsiasi A, B, C, trova il vettore AB + BC + CA. Successivamente, verifica che la
composizione:
tAB o tBC o tCA
è uguale all’identità I.
Poiché:
AB + BC = AC (regola del parallelogramma):
B
A
C
si ha:
AB + BC + CA = (AB + BC) + CA = AC + CA = 0
Consideriamo ora un generico punto P del piano ed operiamo successivamente la tAB, poi la tBC ed
infine la tCA:
P'
tAB
P
tBC
tCA
P''
Pertanto la composizione:
tAB o tBC o tCA
associa ad ogni punto P del piano il punto P stesso e quindi tale composizione è l’identità I (si tratta
del movimento nel quale “non si muove nulla”; l’identità, cioè, può essere pensata come la
“traslazione di vettore nullo”).
86
2° Problema risolto
Data una traslazione τ di vettore AB, sia r la retta per A perpendicolare ad AB.
Determina:
ALTRA FORMULAZIONE
1) una retta s tale che:
Siano A e B due punti che si corrispondono in una
traslazione. Assegnata una simmetria assiale, di
asse ⊥ al vettore traslazione trovare una seconda
simmetria assiale in modo che componendo le due
simmetrie si ottenga la traslazione.
σs o σr = τAB
2) una retta u tale che:
σu o σs = τAB
τAB traslazione
A.
Hp.:
.B
r ⊥ AB
A∈ r
Th.:
∃ s t.c. σs o σr = τAB
∃ u t.c. σu o σs = τAB
r
Dimostrazione
1) La retta s è l’asse del segmento AB (cioè la perpendicolare ad AB condotta per il suo punto
medio M) [figura 1].
A.
.M
//
r
s
//
.B
fig. 1
87
Infatti, considerato un generico punto P del piano, si ha che:
nella σr : P → P' con PH ≅ P'H ∧ PP' ⊥ r
nella σs : P' → P'' con P'K ≅ P''K ∧ P'P'' ⊥ s
[figura 2]
A.
. /
.
P
.M
//
/ .
H P'
.
*
r
K
.B
//
*
.
P''
s
fig. 2
Pertanto nella σs o σr : P → P''
Osserviamo ora che: PP'' ⊥ r ∧ PP'' ⊥ s
e quindi: PP'' // AB.
Sia:
o R la proiezione di P' su AB;
o Q la proiezione di P'' su AB.
[figura 3]
R
.
A.
. /
P
.
H
r
/ .
P'
Q
.
.M
.
*
K
s
*
.B
.
P''
fig. 3
88
Poiché:
AM ≅ BM
perché M punto medio di AB,
RM ≅ QM
perché RM ≅ P'K, P'K ≅ P''K e P''K ≅ QM (proprietà transitiva della congruenza)
si ha:
AR ≅ BQ
per differenza di segmenti congruenti
e ancora:
AR ≅ BQ ≅ PH ≅ P'H
per cui:
PP'' ≅ PH + HP'' ≅ BQ + AQ ≅ AB
A.
. /
.
H
P
R
/ .
*
.M *
Q
.
/ .
P'
*
.
.
K
r
*
[figura 4]
/
.B
P''
fig. 4
s
Pertanto, nella traslazione τAB , al punto P corrisponde il punto P'' per cui, vista la generalità di P,
possiamo dire che:
σs o σr = τAB
.
2) La retta u tale che σu o σs = τAB è la retta per B parallela alla retta s; basta osservare la fig. 5:
A.
/
R
.
. M * Q.
*
. *
.
P'
r
s
* . /
K P''
/
.B
.
T
u
/
.
P'''
fig. 5
89
e ripetere le stesse considerazioni della prima parte del problema:
P'P''' // AB ∧ P'P''' ≅ AB ;
quindi:
nella σu o σs : P' → P'''
nella τAB : P' → P'''
Pertanto, vista la generalità di P', possiamo dire che:
σu o σs = τAB
C.V.D.
68) Dato un vettore AB ed un punto O, sottoponi un generico punto P [una figura F] alla traslazione
di vettore AB e, successivamente, alla simmetria di centro O (vedi figura):
A
B
.
F
O
Che “relazione” esiste tra il punto P [la figura F] e il corrispondente dopo la seconda
trasformazione?
(suggerimento: considera un vettore A'B' equipollente ad AB e tale che O sia il punto medio di
A'B' ……….. , A' è il ………… )
90
69) Dato il triangolo ABC, applica la traslazione τv di vettore v e, successivamente, la simmetria σr,
di asse r, con v ⊥ r, come indicato in figura:
r
C
A
v
B
Hai così effettuato la composizione σr o τv .
Allo stesso triangolo, applica prima la simmetria di asse r e, successivamente, la traslazione τv .
COMPLETA:
Entrambe le composizioni danno origine a una …………………….. con ……………. diversi.
Quindi la nostra operazione di composizione non è …………………….. , cioè:
σr o τv ….. τv o σr
70) PROVA TU a ripetere il procedimento dell’esercizio 67) , sottoponendo il triangolo ABC ad
una rotazione di dati centro O e ampiezza α e, successivamente, il trasformato A'B'C' ad una
rotazione, sempre di centro O, di ampiezza β, così da ottenere il triangolo A''B''C''.
COMPLETA e VERIFICA:
il triangolo A''B''C'' può essere ottenuto direttamente …………………………………………...
…………………………………………………………………………………………………… .
OSSERVAZIONE:
L’esercizio precedente conferma che:
o la composizione di due rotazioni intorno allo stesso ..……….. è …… ……………….
e, quindi:
o la composizione di due rotazioni intorno allo stesso ..……….. è …… ……………… interna
all’insieme delle rotazioni (intorno allo stesso centro).
91
71) Dato il triangolo ABC, applica la traslazione τv di vettore v e, successivamente, la rotazione di
centro O ed angolo α di 60°, orientato in senso orario, come indicato in figura:
v
60°
B
C
A
.
O
Hai, quindi, operato la composizione:
ρO,α o τv
Applica, ora, allo stesso triangolo prima la ρO,α
e, successivamente, la τv , cioè opera la
composizione:
τv o ρO,α
che prende il nome di “rototraslazione”.
COMPLETA:
L’esame delle due figure, cioè le diverse posizioni dei trasformati del triangolo ABC, permette di
affermare che la composizione di una ………………………... e di una ……………………… non è
…………………………… .
92
72) Siano dati una retta r ed un vettore AB parallelo ad r:
r
B
A
Sottoponi un generico punto P del piano alla simmetria di asse r e, successivamente alla traslazione
di vettore AB (antitraslazione).
Applica, poi, allo stesso punto P prima la traslazione di vettore AB e poi la simmetria di asse r.
Cosa deduci?
COMPLETA:
•
La simmetria assiale di asse r e la traslazione di vettore AB, con AB // r , sono
……………... ……………. tra loro; cioè:
τAB o σr = ………….. .
•
Una generica antitraslazione …… …..
•
L’asse r è una ……….. …………… .
punti ………... .
Si può dimostrare che:
Qualunque isometria è univocamente individuata dalla trasformazione di tre punti non
allineati.
La composizione di un numero pari di isometrie inverse è un’isometria diretta.
La composizione di un numero dispari di isometrie inverse è un’isometria inversa.
La composizione di un numero qualsiasi di isometrie dirette è un’isometria diretta.
Ogni isometria si può ottenere mediante la composizione di non più di tre simmetrie assiali.
93
3° Problema risolto
Nella figura a lato, i punti A e B si corrispondono
nella simmetria di asse r. Preso un punto P ∈ r,
r
B.
.
P
dimostra, senza utilizzare i criteri di congruenza
dei triangoli, che:
AP ≅ BP.
A.
σr simmetria di asse r
Hp.:
σr (A) = B
P∈ r
Th.:
AP ≅ BP
Dimostrazione
Osserviamo che nella σr:
A→ B
per ipotesi;
P→P
perché il punto P appartiene all’asse r (P è un punto unito)
per cui si ha la seguente figura:
r
B.
.
P
A.
Pertanto, nella σr:
AP → BP
perché la simmetria assiale trasforma segmenti in segmenti;
e quindi:
AP ≅ BP
perché la simmetria assiale è un’isometria.
C.V.D.
94
4° Problema risolto
Sia dato un triangolo ABC, isoscele sulla base BC. Prendi su AB e AC rispettivamente i punti D ed
E tali che AD ≅ AE.
Dimostra, senza utilizzare i criteri di congruenza dei triangoli, che, detto M il punto medio di BC, si
ha:
DM ≅ EM .
A
AB ≅ AC
o
o
Hp.:
D
E
BM ≅ CM
Th.:
B
*
*
M
AD ≅ AD'
DM ≅ EM
C
Dimostrazione
Il triangolo isoscele ABC ha come asse di simmetria la retta r che contiene la mediana AM (che è
anche altezza e bisettrice) (fig. 6):
A
o
o
D
B
E
*
r
M
*
C
fig. 6
95
Si ha:
σr (A) = A
perché il punto A appartiene all’asse r;
σr (B) = C
perché AM è anche mediana e altezza relativa alla base BC,
e
per cui:
σr (AB) = AC
perché la simmetria assiale trasforma segmenti in segmenti,
e poiché:
AD ≅ AE per ipotesi, si ha:
σr (D) = E .
Essendo:
σr (M) = M
perché il punto M appartiene all’asse r.
risulta:
DM ≅ EM
perché i loro estremi si corrispondono nella σr .
C.V.D.
ESERCIZIO GUIDATO
In figura a lato sono rappresentati due segmenti congruenti MN e M'N':
N.
. M'
M.
. N'
I due segmenti si corrispondono in una rotazione di cui devi determinare centro O ed angolo α.
(suggerimento: traccia gli assi r ed s rispettivamente dei segmenti MM' ed NN' …………………...
r ∩ s = {…} ,
α = …. )
I due segmenti non devono essere ……………………. .
Perché?
96
Problemi
Risolvere i seguenti problemi ricorrendo alle isometrie (alcuni problemi sono stati già risolti
utilizzando i criteri di congruenza dei triangoli).
73) Sia M il punto medio di un segmento AB. Conduci una retta r passante per M, distinta dalla
retta AB, e prendi su di essa, da parti opposte rispetto ad M, due punti P e Q tali che PM ≅ QM.
Dimostra che AP // BQ.
(suggerimento: utilizza la simmetria centrale ….. )
74) Sulla base AB di un triangolo ABC, considera i punti P e Q tali che AP ≅ BQ.
Dimostra che:
a) i triangoli CAP e CBQ sono congruenti;
b) i triangoli CAQ e CBP sonno congruenti.
75) Sia dato un triangolo PQR, isoscele sulla base PQ. Conduci l’altezza RH e sul suo
prolungamento prendi il punto K tale che KH ≅ RH.
Dimostra che il triangolo PQK è isoscele.
76) Data una retta r, siano A e B due punti, posti nello stesso semipiano di origine r, non
appartenenti ad r. Determina il punto P su r in modo che il percorso APB sia minimo.
(suggerimento: costruisci il simmetrico di B rispetto ……… )
77) Disegna un triangolo PQR e prolunga il lato PR di un segmento RS ≅ PR e il lato QR di un
segmento RT ≅ QR.
Come risultano i triangoli PQR e RST ?
Tali triangoli si corrispondono in qualche trasformazione?
In caso di risposta affermativa, specifica di quale trasformazione si tratta e se essa “ammette”
qualche elemento unito.
78) Date due rette parallele r ed s , siano R ed S due punti rispettivamente su r e su s , tali che il
segmento RS sia perpendicolare alle due rette. Dimostra che la composizione delle due
simmetrie assiali, di asse r e s , è uguale alla composizione delle due simmetrie centrali di
centri R ed S; cioè, in simboli:
σs o σr = σS o σR
(suggerimento: il corrispondente nella σs o σr di un generico punto P del piano ………….. )
97
79) Sia P il punto d’intersezione di due rette r ed s. Detta r' la retta simmetrica di r rispetto ad un
punto O, non appartenente a nessuna delle due rette date, sia r' ∩ s = {A} e AO ∩ r = {B}.
Dimostra che i punti A e B si corrispondono nella σO .
80) Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, siano M, N e P i punti medi rispettivamente di
AB, AC e BC. Indica con:
o Q il simmetrico di M nella simmetria di asse AC;
o R il simmetrico di M nella simmetria di asse BC,
Dimostra che:
1) QM ≅ MR ;
2) σCM: Q → R ;
3) il triangolo QCR è isoscele .
81) Sia dato un triangolo ABC, retto in A. Prendi un punto D sull’ipotenusa BC ed indica con:
o E il corrispondente di D nella simmetria di asse AB;
o F il corrispondente di D nella simmetria di asse AC.
Dimostra che:
1) i punti E, A, F sono allineati;
2) il segmento EF è congruente al doppio del segmento AD.
82) Siano r ed s due rette incidenti in un punto O. Detto α l’angolo orientato rs (figura a lato):
s
.
α
O
r
indica con:
o σr la simmetria di asse r ;
o σs la simmetria di asse s ;
o ρO,α la rotazione di centro O ed angolo α .
Determina una retta t tale che, se σt indica la simmetria di asse t , risulti:
1) σr o σt = ρO,α
2) σt o σs = ρO,α
(suggerimento: considera la bisettrice dell’angolo ………….. )
98
83) Siano dati una retta r e due punti A e B su di essa. Da A e B, in uno stesso semipiano di origine
r , traccia rispettivamente le semiretta a e b tali che ar ≅ br .
Detto C il punto d’intersezione delle due semirette, indica con:
o a' la corrispondente di a nella simmetria σr di asse r ;
o b' la corrispondente di b nella simmetria σr di asse r ;
o C' il punto d’intersezione di a' e b' .
Dimostra che:
CC' ⊥ r .
84) Dimostra che i punti della bisettrice di un angolo sono equidistanti dai lati dell’angolo.
85) Dato il parallelogramma ABCD, traccia la diagonale AC ed indica con O il suo punto medio.
Considera una retta generica per O che incontri i lati AB e CD rispettivamente nei punti P e Q.
Dimostra che il quadrilatero APCQ è un parallelogramma.
86) Sia dato un triangolo ABC:
C
A
B
Dimostra che la somma degli angoli interni del triangolo è un angolo piatto.
(suggerimento: considera la parallela ad AB passante per C e prendi i punti medi dei lati AC e
BC …………………… simmetrie centrali ………………. )
87) Dato il triangolo equilatero ABC, sia CH l’altezza relativa al lato AB. Dal punto H traccia:
o la perpendicolare al lato AC ed indica con P il loro punto d’intersezione;
o
la perpendicolare al lato BC ed indica con Q il loro punto d’intersezione.
Considera, poi:
la simmetria di asse AC, σAC , e sia R il corrispondente di H in tale simmetria;
la simmetria di asse BC, σBC , e sia S il corrispondente di H in tale simmetria.
Dimostra che:
1) CR ≅ RH ≅ CH ≅ HS ≅ CS;
2) la retta CH è asse di RS.
99
88) Dato l’angolo rOs, conduci la bisettrice di tale angolo e prendi un punto P su di essa. Dette PH e
PK le distanze di P rispettivamente dalle semirette r ed s, dimostra che PH ≅ PK.
89) Dato il triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa BC, “costruisci” il suo simmetrico A'B'C'
rispetto alla retta di AC e, successivamente, il simmetrico A''B''C'' di A'B'C' rispetto alla retta di
A'B'.
“Confronta” il triangolo ABC con il triangolo A''B''C'' ; cosa puoi dire in termini di
trasformazione?
(suggerimento: il triangolo ABC è stato sottoposto a due ………………… ………………. con
gli assi …………….… e tale “composizione” (o “prodotto”) equivale ad …………………….)
90) Dato il triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa BC e con l’angolo di vertice B di 30°,
“costruisci” il suo simmetrico A'B'C' rispetto alla retta di BC e, successivamente, il simmetrico
A''B''C'' di A'B'C' rispetto alla retta di A'B'.
“Confronta” il triangolo ABC con il triangolo A''B''C'' ; cosa puoi dire in termini di
trasformazione?
(suggerimento: il triangolo ABC è stato sottoposto a due ………………… ………………. con
gli assi …………….… e tale “composizione” (o “prodotto”) equivale ad …………………….)
91) Osserva la seguente figura:
r
b
C
.
a
A .
.
P.
*
*
.Q
M
.
.
B
D
s
Dagli elementi “riportati” su di essa e sapendo che la tesi è la congruenza dei triangoli ACM e
BDM, scrivi sul tuo quaderno la possibile traccia del problema e procedi alla sua risoluzione.
(suggerimento: dato un segmento PQ, sia ……………….)
100
92) Siano date due rette a ed r :
a
r
Traccia la retta b, simmetrica di a rispetto ad r , cioè:
b = σr (a) .
Da un punto P ∈ r , manda le perpendicolari PH e PK rispettivamente alle rette a e b.
Dimostra che il punto K è il simmetrico del punto H rispetto alla retta r , cioè:
K = σr (H) .
93) Sia dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB. Dal vertice C traccia la retta parallela ad AB
ed indica con D il simmetrico di A rispetto alla retta r , cioè:
D = σr (A) .
Dimostra che la retta AC passa per il punto D.
94) Dato un triangolo equilatero ABC, disegna i suoi trasformati nelle rotazioni di vertice A e
angolo di 60°, sia in verso orario che in verso antiorario.
Che figura ottieni dall’unione dei tre triangoli?
Verifica che ottieni lo stesso risultato se, invece del vertice A, …… “cambi” vertice.
[trapezio isoscele]
101
OLIMPIADI DELLA
MATEMATICA
Ancora !?!
95) La figura B si ottiene dalla figura A tramite:
(A) la simmetria di centro P;
(B) una rotazione di centro Q;
(C) la simmetria rispetto alla retta t;
(D) una traslazione;
(E) la simmetria rispetto a una retta del piano non tracciata in figura.
t
B
.P
A
.Q
(Olimpiadi di Matematica, gara senior, 1990).
[A]
102
96) Quanti assi di simmetria possiede la figura a lato?
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
E. nessuna delle precedenti.
(Giochi di Archimede, biennio 2000)
[E]
97) In figura è rappresentato un pentagono regolare OABCD ed i pentagoni che da esso si ottengono
facendo prima una rotazione di centro O che porti il lato OD a sovrapporsi al lato OA (e OA a
OD'), poi una rotazione di centro O che porti il lato OA a sovrapporsi al lato OD' (e OD' a OA'').
Continuando in questo modo, qual è il minimo numero di rotazioni sufficienti a riportare il
pentagono nella posizione iniziale?
B
a.
6
b.
10
c.
12
d.
15
e.
20
A
C
1
O
D
2
A''
D'
(Kangourou Italia – Cadet 16 marzo 2006)
[b]
103
98) Si consideri una retta r e un triangolo ABC che giace in uno dei semipiani individuati da r. Detti
A', B', C' i simmetrici di A, B, C rispetto a r, si conduca da A' la parallela a BC, da B' la
parallela ad AC e da C' la parallela ad AB. Si dimostri che queste tre rette passano per uno
stesso punto.
(Gara Nazionale, 1994)
99) “Ancora ortogonale, la simmetria! Basta!” Giacomo vuole cambiare le regole di costruzione
affinchè una simmetria rispetto ad una retta non sia più ortogonale, ma obliqua. Perciò inventa
la simmetria obliqua con le seguenti regole: il punto M' simmetrico di M rispetto alla retta AB
parallelamente alla direzione d è tale che:
•
le rette MM' e d siano parallele;
•
il punto medio di MM' appartenga alla retta AB.
60°
M'
.
*
d
M *
.
A
B
Riprodurre sul “foglio risposta” una figura analoga a quella proposta; quindi costruire punto per
punto l’immagine di una circonferenza secondo questa simmetria obliqua.
Le retta AB e d formano un angolo di 60°.
(Matematica senza frontiere – Prova di allenamento 12 febbraio 2003)
104
UNITÀ 5
I QUADRILATERI
5.1 Generalità
Ricordiamo che un quadrilatero è un poligono che ha quattro lati (pag. 27, Tomo 1).
Le figure che seguono sono state ottenute prendendo nel piano quattro punti A, B, C, D (indicati
volutamente sempre con lo stesso “nome”), uniti con i segmenti AB, BC, CD, DA:
C
C
D
D
A
B
fig. 1
A
fig. 2
B
C
D
A
B
fig. 3
In fig. 1 è rappresentato un quadrilatero convesso (la retta di ogni lato lascia il poligono tutto da
una stessa parte).
In fig. 2 è rappresentato un quadrilatero concavo (la retta di qualche lato – in figura la retta AD e
la retta CD – non lascia il poligono tutto da una stessa parte).
In fig. 3 è rappresentato un quadrilatero intrecciato (due lati si tagliano in un punto). [Per quanto
detto a pag. 25, Tomo 1, non rappresenta un poligono].
Quando nel seguito parleremo di quadrilatero senza ulteriore specificazione, intenderemo sempre
quadrilatero convesso.
105
Consideriamo il quadrilatero ABCD di fig. 4:
D
C
A
B
fig. 4
e osserviamo quanto segue:
o i punti A, B, C e D sono i vertici del quadrilatero;
o i vertici A e B, B e C, C e D, D e A si dicono vertici consecutivi del quadrilatero (vertici
che sono estremi di uno stesso lato);
o i vertici A e C, B e D si dicono vertici opposti del quadrilatero (non sono estremi di uno
stesso lato);
o i segmenti AB, BC, CD e DA sono i lati del quadrilatero;
o i lati AB e BC, BC e CD, CD e DA, DA e AB si dicono lati consecutivi del quadrilatero
(ogni coppia di lati ha un vertice in comune);
o i lati AB e CD, BC e DA si dicono lati opposti del quadrilatero (ogni coppia di lati non ha
alcun vertice in comune);
o gli angoli ABC, BCD, CDA e DAB sono gli angoli interni del quadrilatero;
o gli angoli ABC e BCD, BCD e CDA, CDA e DAB sono gli angoli adiacenti del
quadrilatero (ogni coppia di angoli ha i vertici consecutivi);
o gli angoli ABC e CDA, BCD e DAB sono gli angoli opposti del quadrilatero (ogni coppia
di angoli ha i vertici opposti);
o
i segmenti AC e BD sono le diagonali del quadrilatero (uniscono vertici non consecutivi).
Ogni quadrilatero può essere scomposto (da ciascuna delle due diagonali) in due triangoli
[fig. 5]:
D
C
A
B
fig. 5
106
La somma Si degli angoli interni di un quadrilatero è allora congruente alla somma degli angoli
interni di due triangoli, cioè a 2 angoli piatti ( = 2 .180° = 360°) [in accordo, ovviamente, con il
teorema che recita: “la somma degli angoli interni di un poligono convesso di n lati è congruente ad
(n – 2) angoli piatti” (pag. 127, Tomo 1)].
Nel caso, infatti, del quadrilatero, per il teorema richiamato, si ha:
n=4
per cui:
Si ≅ (4 – 2) angoli piatti,
cioè:
Si ≅ 2 angoli piatti (= 2 . 180° = 360°).
La somma degli angoli esterni di un quadrilatero è congruente ad un angolo giro (= 360°) [pag.
128, Tomo 1].
A partire dalla disuguaglianza triangolare (pag. 46, Tomo 1), è possibile dimostrare il seguente
teorema:
In ogni poligono ciascun lato è minore della somma di tutti gli altri lati (teorema della
disuguaglianza poligonale o della disuguaglianza triangolare generalizzata).
Dimostriamo il teorema per un pentagono (fig. 6):
D
Hp.: ABCDE pentagono
E
C
Th.: AB < BC + CD + DE + EA
(e così per ciascun lato)
A
B
fig. 6
Dimostrazione
Conduciamo dal vertice A le diagonali AC e AD (fig. 7):
D
E
C
A
fig. 7
B
107
Applichiamo la disuguaglianza triangolare nei triangoli ABC, ACD e ADE, così da avere
rispettivamente:
AB < BC + CA ;
CA < CD + DA ;
DA < DE + EA .
Sommando membro a membro tali relazioni si ha:
AB + CA + DA < BC + CA + CD + DA + DE + EA
~
~
ed eliminando dai due membri i termini comuni CA e DA, si ottiene:
AB < BC + CD + DE + EA .
C.V.D.
OSSERVAZIONI:
1. Il teorema della disuguaglianza poligonale vale per un poligono con un numero qualsiasi di
lati.
2. L’enunciato del teorema può essere “meglio” esplicitato dicendo che “in ogni poligono il
lato maggiore è sempre minore della somma di tutti gli altri lati”.
3. Il teorema permette di concludere che, dati due punti del piano, il segmento è il percorso più
breve tra i due punti.
PROVA TU a “costruire” il quadrilatero ABCD nei seguenti casi:
a) AB = 9 cm;
BC = 2 cm;
CD = 3 cm;
DA = 1 cm
b) AB = 8 cm;
BC = 6 cm;
CD = 5 cm;
DA = 15 cm
c) AB = 3 cm;
BC = 9 cm;
CD = 7 cm;
DA = 4 cm
d) AB = 4 cm;
BC = 3 cm;
CD = 3 cm;
DA = 11 cm
e) AB = 7 cm;
BC = 10 cm;
CD = 6 cm;
DA = 3 cm
Cosa puoi dire nei casi a) e d) ?
108
5.2 Poligoni congruenti
Per la definizione di figure congruenti, due poligoni sono congruenti quando esiste un movimento
rigido che le sovrappone punto a punto (pag. 11, Tomo 1). In tal caso i due poligoni hanno tutti i lati
e tutti gli angoli ordinatamente congruenti.
Come nel caso dei triangoli, non è necessario, tuttavia, verificare che tutti i rispettivi elementi – lati
e angoli – sono ordinatamente congruenti. Esistono, infatti, tre criteri, noti come criteri di
congruenza dei poligoni, che permettono di stabilire la congruenza di due poligoni sapendo che
sono congruenti alcuni particolari elementi.
Precisamente:
Primo criterio di congruenza dei poligoni
Due poligoni, di ugual numero di lati, sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti tutti i lati
e tutti gli angoli, ad eccezione di un lato e dei due angoli ad esso adiacenti, sui quali non si fa alcuna
ipotesi.
[Dimostriamo il teorema relativamente ai pentagoni in figura].
D
E
~
D'
.
*
E'
C
A
//
~
.
*
C'
B
A'
Hp.:
Th.:
//
B'
AB ≅ A'B'; BC ≅ B'C'; CD ≅ C'D'; DE ≅ D'E'
B ≅ B'; C ≅ C'; D ≅ D'
ABCDE ≅ A'B'C'D'E'
Dimostrazione
Per le ipotesi fatte, esiste un movimento rigido che porta la poligonale ABCDE a coincidere con la
poligonale A'B'C'D'E'. Vengono, così, a coincidere tutti e cinque i vertici e quindi i due poligoni
sono congruenti.
C.V.D.
109
Secondo criterio di congruenza dei poligoni
Due poligoni di ugual numero di lati sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti tutti i lati e
tutti gli angoli, ad eccezione di due lati consecutivi e dell’angolo fra essi compreso, sui quali non si
fa alcuna ipotesi.
[Dimostriamo il teorema relativamente ai pentagoni in figura].
D
D'
o
E
o
*
E'
. C
A
*
. C'
//
A'
B
Hp.:
Th.:
//
B'
AB ≅ A'B'; BC ≅ B'C'; CD ≅ C'D'
A ≅ A'; B ≅ B'; C ≅ C'; D ≅ D'
ABCDE ≅ A'B'C'D'E'
Dimostrazione
Per le ipotesi fatte, esiste un movimento rigido che porta:
•
la poligonale ABCD a coincidere con la poligonale A'B'C'D' (A ≡ A', B ≡ B', C ≡ C', D ≡ D');
•
la semiretta AE a coincidere con la semiretta A'E' (poiché A ≅ A');
•
la semiretta DE a coincidere con la semiretta D'E' (poiché D ≅ D').
Pertanto il punto E, comune alle semirette AE e DE, coincide con il punto E', comune alle semirette
A'E' e D'E'.
Vengono, così, a coincidere tutti e cinque i vertici e quindi i due poligoni sono congruenti.
C.V.D.
110
Terzo criterio di congruenza dei poligoni
Due poligoni, di ugual numero di lati, sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti tutti i lati
e tutti gli angoli, ad eccezione di tre angoli consecutivi, sui quali non si fa alcuna ipotesi.
[Dimostriamo il teorema relativamente ai pentagoni in figura].
D
E
D'
~
*
E'
C
~
*
C'
o
o
//
A
B'
AB ≅ A'B'; BC ≅ B'C'; CD ≅ C'D'; DE ≅ D'E'; EA ≅ E'A'
Hp.:
Th.:
//
A'
B
A ≅ A'; B ≅ B'
ABCDE ≅ A'B'C'D'E'
Dimostrazione
Per le ipotesi fatte, esiste un movimento rigido che porta la poligonale EABC a coincidere con la
poligonale E'A'B'C' e, quindi, coincidono anche le diagonali EC e E'C'.
D
E
D'
~
*
C
///
o
A
E'
~
*
C'
///
o
//
B
A'
//
B'
Consideriamo ora i triangoli CDE e …………… COMPLETA
111
OSSERVAZIONE:
Per “ottenere” i criteri di congruenza dei poligoni è sufficiente riferirsi ai criteri di congruenza dei
triangoli considerando, però, non quello che si ha ma quello che non si ha.
Infatti:
•
Il primo criterio di congruenza dei triangoli afferma che “due triangoli sono congruenti se
hanno due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti” (pag. 31, Tomo 1).
Possiamo allora osservare che due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente
congruenti tutti gli elementi, eccetto un lato e i due angoli ad esso adiacenti.
Questa osservazione porta al primo criterio di congruenza dei poligoni.
•
Il secondo criterio di congruenza dei triangoli afferma che “due triangoli sono congruenti se
hanno un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti” (pag. 32, Tomo 1).
Possiamo allora osservare che due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente
congruenti tutti gli elementi, eccetto due lati e l’angolo fra essi compreso.
Questa osservazione porta al secondo criterio di congruenza dei poligoni.
•
Il terzo criterio di congruenza dei triangoli afferma che “due triangoli sono congruenti se
hanno i tre lati ordinatamente congruenti” (pag. 37, Tomo 1).
Possiamo allora osservare che due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente
congruenti tutti gli elementi, eccetto tre angoli.
Questa osservazione porta al terzo criterio di congruenza dei poligoni.
A differenza di quanto accade nei triangoli, si ha che in due poligoni con più di tre lati,
la congruenza di tutti i soli lati non permette di affermare che i due poligoni sono congruenti (basti
pensare che un rombo e un quadrato di lato congruente non sono congruenti).
112
5.3 Il Trapezio
Il trapezio è un quadrilatero che ha due soli lati opposti paralleli 1 (fig. 8):
D
C
A
B
fig. 8
I lati paralleli vengono detti basi; i lati non paralleli vengono detti lati obliqui.
Relativamente alla fig. 8, si ha che:
•
AB e CD sono le basi: AB la base maggiore, CD la base minore;
•
AD e BC sono i lati obliqui.
Il trapezio si può pensare ottenuto dall’intersezione di una striscia di piano e di un angolo convesso
con i lati che incontrano la striscia (fig. 9):
D
A
C
B
fig. 9
La distanza tra i due lati paralleli si dice altezza del trapezio e può essere tracciata
indifferentemente a partire da un qualsiasi punto della base minore (o della base maggiore).
E’ comunque consuetudine tracciare l’altezza da uno dei due estremi della base minore o da
entrambi (fig. 10):
D
C
CH altezza;
DK altezza.
A
1
K
H
B
fig. 10
vedi fine paragrafo
113
Si ha:
o i punti K e H sono i piedi rispettivamente delle altezze DK e CH;
o i segmenti AK e BH sono le proiezioni rispettivamente dei lati obliqui AD e BC sulla base
maggiore AB;
o le coppie (BAD, ADC) e (ABC, BCD) risultano formate da angoli tra loro supplementari,
perché coniugati interni rispetto alle parallele AB e DC tagliate rispettivamente dalle
trasversali AD e BC.
Vale, pertanto, il seguente teorema:
“in ogni trapezio gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono supplementari”.
Classificazione dei trapezi
Un trapezio si dice:
♦ isoscele se i lati obliqui sono congruenti (fig. 11);
♦ rettangolo se uno dei due lati non paralleli è perpendicolare alle due basi (fig. 12).
D
C
ABCD trapezio isoscele
*
*
A
fig. 11
B
S
R
PQRS trapezio rettangolo
(si dice che ha un solo lato obliquo)
SP altezza del trapezio
Q
P
fig. 12
OSSERVAZIONE:
Molti autori parlano anche di trapezio scaleno cioè di un trapezio i cui lati obliqui non sono
congruenti (fig. 13):
Z
V
TUVZ trapezio scaleno (un trapezio
//
T
che non è né isoscele né rettangolo)
U
fig. 13
114
TEOREMA
In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti.
D
C
Hp.:
*
*
A
Th.:
B
AB // DC
AD ≅ BC
BAD ≅ ABC
ADC ≅ BCD
Dimostrazione
Conduciamo le altezze CH e DK (fig. 14):
D
C
*
*
A
K
H
B
fig. 14
e consideriamo i triangoli ADK e BCH; essi hanno:
AKD ≅ BHC
perché entrambi retti;
AD ≅ BC
per ipotesi;
DK ≅ CH
perché distanze tra due rette parallele (le rette delle basi del trapezio).
I due triangoli, avendo ordinatamente congruenti l’angolo retto, l’ipotenusa ed un cateto, sono
congruenti per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli (pag. 129, Tomo 1). Avranno,
pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
KAD ≅ HBC ,
il che è lo stesso dire:
BAD ≅ ABC .
Segue che:
ADC ≅ BCD
perché supplementari di angoli congruenti (teor. pag. 114: ADC supplementare
di BAD; BCD supplementare di ABC ).
C.V.D.
115
OSSERVAZIONE:
Dalla congruenza dei triangoli ADK e BCH segue che:
AK ≅ BH
cioè in un trapezio isoscele le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono congruenti.
COROLLARIO:
In un trapezio isoscele gli angoli opposti sono supplementari (PROVA TU).
TEOREMA
In un trapezio isoscele le diagonali sono congruenti.
D
C
AB // DC
Hp.:
*
*
A
B
Th.:
AD ≅ BC
AC ≅ BD
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli ABD e ABC; essi hanno:
AB
in comune (o AB ≅ AB per la proprietà riflessiva della congruenza);
AD ≅ BC
per ipotesi;
BAD ≅ ABC
perché angoli adiacenti alla base maggiore di un trapezio isoscele.
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
AC ≅ BD
C.V.D.
116
TEOREMA
In un trapezio isoscele, la retta r che passa per i punti medi delle basi è asse di simmetria del
trapezio.
D
. //
N.
AB // DC
// . C
AD ≅ BC
Hp.:
*
*
A
.
/
M
/
AM ≅ MB
DN ≅ NC
M, N ∈ r
B
r
Th.:
r asse di simmetria di ABCD
Dimostrazione
Poiché:
M è punto medio di AB;
N è punto medio di DC,
per dimostrare che la retta
r
è asse di simmetria del trapezio basta dimostrare che r è
perpendicolare alle basi del trapezio, cioè: r ⊥ AB ∧ r ⊥ DC .
Consideriamo, a tale scopo, i quadrilateri AMND e BMNC; essi hanno:
AM ≅ MB
per ipotesi;
MN
in comune (o MN ≅ MN per la proprietà riflessiva della congruenza);
DN ≅ NC
per ipotesi;
MAD ≅ MBC
perché in un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna base sono
congruenti;
ADN ≅ BCN
perché in un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna base sono
congruenti.
I due quadrilateri, avendo ordinatamente congruenti tutti e quattro i lati (ne bastano tre!) e due
angoli, sono congruenti per il 1° criterio di congruenza dei poligoni. Avranno, pertanto, tutti gli
elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
AMN ≅ BMN
che risultano retti perché adiacenti;
DNM ≅ CNM
che risultano retti perché adiacenti.
Pertanto:
MN ⊥ AB ∧ MN ⊥ DC
e quindi r è asse di simmetria del trapezio.
C.V.D.
117
OSSERVAZIONE:
Per la dimostrazione del teorema precedente si poteva sfruttare la simmetria di asse r, σr .
PROVA TU , quindi, a verificare che:
σr (ABCD) = BADC
cioè che il simmetrico del trapezio ABCD è il trapezio stesso.
Questo ti permetterà di concludere che la retta r è ………………………………………..................
……………………………………… COMPLETA
PROVA TU a dimostrare il seguente
TEOREMA
Un trapezio è isoscele se:
1. gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti;
oppure:
2. le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono congruenti;
oppure:
3. le diagonali sono congruenti.
1
La precisazione che il trapezio ha due soli lati opposti paralleli è dovuta al fatto che, senza di essa, il
parallelogramma può essere visto come un trapezio e, in particolare, come un trapezio isoscele, per cui
dovrebbe godere di tutte le proprietà di tale quadrilatero ma, come vedremo in seguito, questo non è vero
[precisamente, in un generico parallelogramma, le diagonali non sono congruenti, così come risulta, invece,
nel trapezio isoscele (tale proprietà vale solo in particolari parallelogrammi: rettangoli e quadrati)].
Sempre per “evitare” che un parallelogramma sia interpretato come un particolare trapezio, si può dare la
seguente definizione:
Si dice trapezio un quadrilatero convesso con due lati opposti paralleli e non congruenti.
118
5.4 Il parallelogramma
Si dice parallelogramma un quadrilatero avente i lati opposti paralleli (fig. 15):
D
C
A
fig. 15
B
Quindi:
AB // DC e AD // BC .
OSSERVAZIONE:
Il parallelogramma può essere visto come intersezione di due strisce di piano [ricordiamo che una
striscia è la parte di piano limitata da due rette parallele] (fig. 16):
t
C
D
u
A
B
r
fig. 16
s
Si definisce altezza del parallelogramma la distanza di un vertice dal lato opposto, che viene detto
base (fig. 17):
D
C
H
BH altezza relativa al lato AD;
DK altezza relativa al lato AB.
A
K
B
fig. 17
119
TEOREMA
In ogni parallelogramma:
1. ciascuna diagonale lo divide in due triangoli congruenti;
2. i lati opposti sono congruenti;
3. gli angoli opposti sono congruenti;
4. gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari;
5. le diagonali si tagliano scambievolmente per metà.
Riferiamo il teorema al parallelogramma ABCD di fig. 18:
D
A
C
fig. 18
B
1. Limitatamente alla diagonale AC, (fig. 19), si ha:
D
A
C
B
Hp.:
AB // DC ∧ AD // BC
Th.:
ABC ≅ ADC
fig. 19
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli ABC e ADC; essi hanno:
AC
in comune (o AC ≅ AC per la proprietà riflessiva della congruenza) [“segnare AC
con il simbolo / ”];
BAC ≅ DCA
perché angoli alterni interni formati dalle parallele AB e DC tagliate dalla
trasversale AC (“segnare BAC e DCA con il simbolo . ”);
BCA ≅ DAC
perché angoli alterni interni formati dalle parallele BC e DA tagliate dalla
trasversale AC (“segnare BCA e DAC con il simbolo
”).
120
La figura si presenta, quindi, nel seguente modo:
D
.
C
/
.
A
B
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 2° criterio di congruenza dei triangoli.
Se tracciamo la diagonale BD, si dimostra, in modo analogo, che i triangoli ABD e CBD sono
congruenti (PROVA TU).
C.V.D.
2.
Hp.:
AB // DC ∧ AD // BC
Th.:
AB ≅ DC ∧ AD ≅ BC
Dimostrazione
Poiché ABC ≅ ADC (punto 1.), si ha:
AB ≅ DC
∧
AD ≅ BC
cioè i lati opposti di un parallelogramma sono congruenti.
C.V.D.
3.
Hp.:
AB // DC ∧ AD // BC
Th.:
A≅ C ∧ B≅ D
Dimostrazione
Poiché ABC ≅ ADC (punto 1.), si ha:
A≅ C
∧
B≅ D
cioè gli angoli opposti di un parallelogramma sono congruenti.
C.V.D.
121
4. Relativamente agli angoli adiacenti al lato AB, si ha:
Hp.:
AB // DC ∧ AD // BC
Th.:
A + B ≅ angolo piatto
Dimostrazione
Basta osservare che gli angoli A e B risultano coniugati interni rispetto alle parallele AD e BC
tagliate dalla trasversale AB e quindi sono supplementari (la loro somma è, cioè, un angolo piatto).
Procedendo in modo analogo, si dimostra che gli angoli adiacenti agli altri lati sono supplementari
(PROVA TU).
C.V.D.
5.
D
C
Hp.:
.
AB // DC ∧ AD // BC
AC ∩ BD = {O}
O
Th.:
A
AO ≅ OC ∧ BO ≅ OD
B
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli ABO e DCO; essi hanno:
AB ≅ DC
perché lati opposti di un parallelogramma (punto 2.) [“segnare AB e DC
con il simbolo / ”];
BAO ≅ DCO
perché angoli alterni interni formati dalle parallele AB e DC tagliate dalla
trasversale AC (“segnare BAO e DCO con il simbolo . ”);
ABO ≅ CDO
perché angoli alterni interni formati dalle parallele AB e DC tagliate dalla
trasversale BD (“segnare ABO e CDO con il simbolo
”).
La figura si presenta, quindi, nel seguente modo:
D
.
/
C
.
O
.
A
/
B
122
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 2° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
AO ≅ OC
∧
BO ≅ OD .
C.V.D.
[Le relazioni:
BAO ≅ DCO
e
ABO ≅ CDO
potevano essere dedotte direttamente dalla congruenza dei triangoli ABC e ADC (punto 1.)].
OSSERVAZIONE:
Il punto 5. permette di concludere che tutti i parallelogrammi hanno un centro di simmetria che è
il punto d’intersezione delle diagonali (fig. 20):
D
C
/
//
.
//
O
/
A
B
fig. 20
Ogni parallelogramma è quindi trasformato in se stesso dalla simmetria che ha come centro il punto
di intersezione delle due diagonali.
Si può, pertanto, dare anche la seguente definizione:
Si dice parallelogramma un quadrilatero che ha un centro di simmetria.
123
Il teorema seguente stabilisce i criteri (condizioni sufficienti) che devono essere verificati affinchè
un quadrilatero sia un parallelogramma.
TEOREMA
Un quadrilatero convesso è un parallelogramma se:
1. i lati opposti sono congruenti;
oppure:
2. gli angoli opposti sono congruenti;
oppure:
3. le diagonali si tagliano scambievolmente per metà;
oppure:
4. gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari;
oppure:
5. due lati sono paralleli e congruenti.
Riferiamo il teorema al quadrilatero ABCD di fig. 21:
D
C
A
B
fig. 21
1.
D
C
/
*
A
*
/
B
Hp.:
Th.:
AB ≅ DC
AD ≅ BC
ABCD parallelogramma
Dimostrazione
Conduciamo la diagonale AC (fig. 22):
124
D
C
/
*
*
/
A
fig. 22
B
e consideriamo i triangoli ABC e ADC; essi hanno:
in comune (o AC ≅ AC per la proprietà riflessiva della congruenza);
AC
AB ≅ DC
per ipotesi;
BC ≅ AD
per ipotesi.
I due triangoli, avendo tutti e tre i lati ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 3° criterio di
congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in
particolare:
BAC ≅ DCA ⇒ AB // DC
perché tagliati dalla trasversale AC formano angoli alterni interni
congruenti;
BCA ≅ DAC ⇒ BC // AD
perché tagliati dalla trasversale AC formano angoli alterni interni
congruenti.
Poiché:
AB // DC ∧ BC // AD ,
si ha che il quadrilatero ABCD è un parallelogramma.
C.V.D.
2.
D
C
.
Hp.:
.
A
Th.:
A≅ C
B≅ D
ABCD parallelogramma
B
Dimostrazione
Osserviamo che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è congruente a due angoli piatti,
125
cioè:
A + B + C + D ≅ 2π .
Inoltre:
A≅ C
per ipotesi;
B≅ D
per ipotesi;
e
per cui:
A + B≅ π
⇒ AD // BC
perché tagliati dalla trasversale AB formano angoli coniugati
interni supplementari;
B+C ≅ π
⇒ AB // DC
perché tagliati dalla trasversale BC formano angoli coniugati
interni supplementari.
Il quadrilatero ABCD ha, pertanto, i lati opposti paralleli per cui è un parallelogramma.
C.V.D.
3.
D
C
//
/
Hp.:
O
/
AO ≅ OC
BO ≅ OD
//
A
Th.:
B
ABCD parallelogramma
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli ABO e DCO; essi hanno:
AO ≅ OC
per ipotesi;
BO ≅ OD
per ipotesi;
AOB ≅ DOC
perché angoli opposti al vertice (“segnare AOB e DOC con il simbolo . ”).
La figura si presenta, quindi, nel seguente modo:
D
C
//
/
A
/
.
.
O
//
B
126
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
BAO ≅ DCO ⇒
AB // DC
perché tagliati dalla trasversale AC formano angoli alterni
interni congruenti.
Se consideriamo i triangoli ADO e BCO si dimostra, in modo analogo, che i triangoli sono
congruenti e che AD // BC (PROVA TU).
C.V.D.
4.
D
C
A + B≅ π
Hp.:
B + C≅ π
C + D≅ π
D + A≅ π
A
B
Th.:
ABCD parallelogramma
Dimostrazione
Si ha:
A + B≅ π
⇒ AD // BC
perché tagliati dalla trasversale AB formano angoli coniugati
interni supplementari;
B+C ≅ π
⇒ AB // DC
perché tagliati dalla trasversale BC formano angoli coniugati
interni supplementari.
Poiché:
AD // BC ∧ AB // DC ,
si ha che il quadrilatero ABCD è un parallelogramma.
C.V.D.
5.
D
C
/
AB // DC
Hp.:
Th.:
A
/
AB ≅ DC
ABCD parallelogramma
B
127
Dimostrazione
Conduciamo la diagonale AC (fig. 23):
D
/
A
C
/
fig. 23
B
e consideriamo i triangoli ABC e DCA; essi hanno:
AB ≅ DC
per ipotesi;
AC
(o AC ≅ AC per la proprietà riflessiva della congruenza);
in comune
BAC ≅ DCA
perché angoli alterni interni formati dalle parallele AB e DC tagliate dalla
trasversale AC (“segnare BAC e DCA con il simbolo . ”).
La figura si presenta, quindi, nel seguente modo:
D
.
A
.
/
/
C
B
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
BCA ≅ DAC ,
da cui:
BC // AD
perché tagliati dalla trasversale AC formano angoli alterni interni
congruenti.
Poiché:
AB // DC ∧ BC // AD ,
si ha che il quadrilatero ABCD è un parallelogramma.
C.V.D.
[Alla stessa conclusione si perviene considerando come paralleli e congruenti i lati AD e BC].
128
1° Problema risolto
Sia ABCD un parallelogramma e O il punto di intersezione delle sue diagonali. Dimostra che O è
punto medio di ogni corda PQ passante per esso.
D
Q
C
AB // DC
Hp.:
O
BC // AD
AC ∩ BD = {O}
POQ angolo piatto
A
P
B
Th.:
PO ≅ OQ
Dimostrazione
1° modo:
Consideriamo i triangoli APO e CQO; essi hanno:
AO ≅ CO
perché le diagonali di un parallelogramma si tagliano scambievolmente per
metà (“segnare AO e CO con il simbolo / ”);
PAO ≅ QCO perché angoli alterni interni rispetto alle parallele AB e CD tagliate dalla
trasversale AC (“segnare PAO e QCO con il simbolo
”);
AOP ≅ COQ perché angoli opposti al vertice (“segnare AOP e COQ con il simbolo
. ”).
La figura si presenta, quindi, nel seguente modo:
D
Q
/
.
/
A
P
.
C
O
B
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 2° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
PO ≅ OQ .
C.V.D.
129
2° modo:
Poiché il punto O d’incontro delle diagonali di un parallelogramma è centro di simmetria per il
parallelogramma stesso, si ha che ogni punto P del suo contorno ha come simmetrico il punto Q di
intersezione della congiungente PO con il contorno del parallelogramma.
Quindi:
PO ≅ OQ .
C.V.D.
2° Problema risolto
Dato un quadrilatero qualsiasi ABCD, traccia le sue diagonali AC e BD. Dai vertici del quadrilatero
conduci le parallele alle diagonali e dimostra che tali parallele individuano un parallelogramma.
R
D
ABCD quadrilatero
S
Hp.:
d
C
a // BD ; b // AC ; c // BD ; d // AC
a ∩ b = {P} ; b ∩ c = {Q}
c ∩ d = {R} ; d ∩ a = {S}
A
Q
B
b
Th.:
PQRS parallelogramma
c
P
a
Dimostrazione
[Osserviamo innanzitutto che, essendo le diagonali AC e BD incidenti, saranno incidenti anche le
loro parallele condotte dai vertici del quadrilatero].
Poiché:
a // BD ∧ c // BD
⇒
a // c
per la proprietà transitiva del parallelismo;
b // AC ∧ d // AC
⇒
b // d
per la proprietà transitiva del parallelismo,
e
si ha che il quadrilatero PQRS, avendo i lati opposti paralleli, è un parallelogramma.
C.V.D.
130
Parallelogrammi particolari
Esistono parallelogrammi particolari – il rettangolo, il rombo e il quadrato – che, oltre alle
caratteristiche del parallelogramma, godono di particolari proprietà.
5.5 Il rettangolo
Il rettangolo è un parallelogramma che ha i quattro angoli congruenti.
D
C
A≅ B≅ C≅ D
A
B
OSSERVAZIONE:
Si poteva dare la seguente definizione:
Il rettangolo è un quadrilatero che ha i quattro angoli congruenti.
Infatti, un tale quadrilatero, avendo gli angoli opposti congruenti, risulta un parallelogramma e in
più tutti gli angoli risultano retti, essendo la somma degli angoli interni di ogni quadrilatero
congruente a due angoli piatti.
D
C
A≅ B≅ C≅ D≅
A
π
2
B
Un quadrilatero può, ovviamente, avere un angolo retto senza essere un rettangolo (fig. 24):
C
D
A
B
fig. 24
Un parallelogramma che ha, invece, un angolo retto, ha retti tutti gli altri angoli, cioè è un
rettangolo. PERCHE' ?
131
Da qui ancora un’altra possibile definizione:
Il rettangolo è un parallelogramma che ha un angolo retto.
Nel rettangolo ABCD (fig. 25):
D
C
A
fig. 25
B
qualunque lato può essere considerato come base ed il lato ad esso perpendicolare come altezza.
La base e l’altezza si dicono dimensioni del rettangolo.
Il rettangolo, essendo un particolare parallelogramma, gode di tutte le proprietà dei
parallelogrammi.
Vediamo ora una proprietà “propria” del rettangolo.
TEOREMA
In un rettangolo le diagonali sono congruenti.
D
C
A
Hp.:
ABCD rettangolo
Th.:
AC ≅ BD
B
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli ABC e ABD; essi hanno:
AB
in comune (o AB ≅ AB per la proprietà riflessiva della congruenza) [“segnare AB con il
simbolo / ”];
AD ≅ BC
perché lati opposti di un rettangolo (“segnare AD e BC con il simbolo * ”);
ABC ≅ BAD
perché entrambi retti, per definizione di rettangolo (“segnare ABC e BAD
con il simbolo
”)
[fig. 26] :
132
D
C
*
*
/
A
fig. 26
B
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli (o per il criterio di congruenza dei triangoli
rettangoli). Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
AC ≅ BD
C.V.D.
Il teorema seguente stabilisce un criterio (condizione sufficiente) che deve essere verificato
affinchè un parallelogramma sia un rettangolo.
TEOREMA
Se un parallelogramma ha le diagonali congruenti, allora è un rombo.
D
C
*
Hp.:
*
Th.:
A
ABCD parallelogramma
AC ≅ BD
ABCD rettangolo
B
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli ABC e ABD; essi hanno:
AB
in comune (o AB ≅ AB per la proprietà riflessiva della congruenza);
BC ≅ AD
perché lati opposti di un parallelogramma;
AC ≅ BD
per ipotesi.
I due triangoli, avendo tutti e tre i lati ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 3° criterio di
congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in
particolare:
ABC ≅ BAD
e, poiché tali angoli sono supplementari – perché coniugati interni formati dalle parallele BC e AD
con la trasversale AB (ABCD , per ipotesi, è infatti un parallelogramma) – , si ha che:
ABC ≅ BAD ≅
π
2
133
Pertanto il parallelogramma ABCD, avendo due angoli retti (ma ne basta uno, ricordi?), è un
rettangolo.
C.V.D.
OSSERVAZIONE:
Il rettangolo ha due assi di simmetria rappresentati dalle rette che passano per i punti medi
dei lati opposti (fig. 27):
D
C
s
A
*
*
M
B
r
fig. 27
Indicando con σr la simmetria di asse r (r asse di simmetria del lato AB) si ha:
σr :
A→B
σr : AD → BC
perché AD // BC e AD ≅ BC
e quindi:
σr (D) → C
per cui la retta r è asse di simmetria anche del lato DC.
Pertanto il rettangolo ABCD è unito rispetto alla σr e quindi r è asse di simmetria per il rettangolo.
PROVA TU che la retta s, asse di simmetria del lato AD, è anche asse di simmetria del lato BC,
cioè che il rettangolo ABCD è unito rispetto alla σs e quindi che s è asse di simmetria per il
rettangolo.
[I due assi di simmetria vengono detti mediane del rettangolo].
134
5.6 Il rombo
D
Il rombo (o losanga) è un parallelogramma con i quattro lati congruenti
*
(figura a lato).
*
A
OSSERVAZIONE:
C
*
*
Si poteva dare la seguente definizione:
B
Il rombo è un quadrilatero con i quattro lati congruenti.
Infatti, un tale quadrilatero, avendo i lati opposti ……… COMPLETA
L’osservazione ci permette di affermare che ogni rombo è un parallelogramma e, quindi, gode di
tutte le sue proprietà.
Vediamo ora altre proprietà “proprie” del rombo.
TEOREMA
In un rombo:
1. le diagonali sono perpendicolari;
2. le diagonali sono bisettrici degli angoli interni.
1.
D
*
*
Hp.: ABCD rombo (o AB ≅ BC ≅ CD ≅ DA)
Th.:
C
A
*
AC ⊥ BD
*
B
Dimostrazione
Sia O il punto d’intersezione delle diagonali del rombo (fig. 28):
D
*
*
O
A
*
C
*
B
fig. 28
e consideriamo i triangoli AOB e AOD; essi hanno:
135
in comune (o AO ≅ AO per la proprietà riflessiva della congruenza) [“segnare AO con
AO
il simbolo ~ ”];
AB ≅ AD
per ipotesi;
BO ≅ OD
perché, essendo il rombo un particolare parallelogramma, le diagonali si
tagliano scambievolmente per metà (punto 5., teorema pag. 120) [“segnare
BO e OD con il simbolo / ” ).
La figura si presenta quindi nel seguente modo:
D
*
*
~
O
A
C
*
*
B
I due triangoli, avendo tutti e tre i lati ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 3° criterio di
congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in
particolare:
AOB ≅ AOD che, essendo adiacenti, risultano retti.
Quindi risulta:
AC ⊥ BD
C.V.D.
2.
D
Hp.:
*
ABCD rombo
*
BAC ≅ DAC
C
A
*
*
B
Th.:
ABD ≅ CBD
ACB ≅ ACD
ADB ≅ CDB
Dimostrazione
Detto O il punto d’intersezione delle diagonali del rombo (fig. 29):
136
D
*
*
O
A
*
C
*
fig. 29
B
dalla congruenza dei triangoli AOB e AOD (vista nel punto 1.) discende che:
BAO ≅ DAO
e quindi AC è bisettrice dell’angolo BAD.
Si procede in modo analogo per gli altri angoli (PROVA TU).
C.V.D.
Il teorema seguente stabilisce i criteri (condizioni sufficienti) che devono essere verificati affinchè
un parallelogramma sia un rombo.
TEOREMA
Un parallelogramma è un rombo se:
1. le diagonali sono perpendicolari;
oppure:
2. una diagonale è bisettrice di un angolo.
1.
D
Hp.:
C
A
Th.:
ABCD parallelogramma
AC ⊥ BD
ABCD rombo
B
Dimostrazione
Detto O il punto d’intersezione delle diagonali del parallelogramma (fig. 30):
137
D
A
C
O
fig. 30
B
consideriamo i triangoli AOB e AOD; essi hanno:
AO
in comune (o AO ≅ AO per la proprietà riflessiva della congruenza);
AOB ≅ AOD
perché angoli retti per ipotesi;
BO ≅ OD
perché in un parallelogramma le diagonali si tagliano scambievolmente per
metà (punto 5., teorema pag. 120).
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli (o per il criterio di congruenza dei triangoli
rettangoli). Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
AB ≅ AD ( )
e poiché:
AB ≅ DC
perché lati opposti di un parallelogramma;
AD ≅ BC
perché lati opposti di un parallelogramma,
si ha:
AB ≅ BC ≅ DC ≅ AD
per la proprietà transitiva della congruenza.
Pertanto il parallelogramma ABCD, avendo i quattro lati congruenti, risulta essere un rombo.
La relazione (
), con le implicazioni successive, permette di affermare che “se in un
parallelogramma due lati consecutivi sono congruenti, allora il parallelogramma è
un rombo”.
138
2.
Dimostriamo il teorema considerando la diagonale BD bisettrice dell’angolo di vertice B:
D
Hp.:
C
A
Th.:
ABCD parallelogramma
ABD ≅ CBD
ABCD rombo
..
B
Dimostrazione
Osserviamo che:
CBD ≅ ADB
perché angoli alterni interni rispetto alle parallele BC e AD (per ipotesi
ABCD è un parallelogramma) tagliate dalla trasversale BD [“segnare ADB
con il simbolo . ”].
[fig. 31] :
D
.
C
A
..
B
fig. 31
Pertanto:
ABD ≅ ADB
per la proprietà transitiva della congruenza (in fig. 31 sono “segnati” infatti
con lo stesso simbolo . ),
e quindi il triangolo ABD è isoscele sulla base BD, per cui:
AB ≅ AD.
Poiché, inoltre:
AB ≅ DC
perché lati opposti di un parallelogramma;
AD ≅ BC
perché lati opposti di un parallelogramma,
139
si ha:
AB ≅ BC ≅ DC ≅ AD
per la proprietà transitiva della congruenza.
Pertanto il parallelogramma ABCD, avendo i quattro lati congruenti, risulta essere un rombo.
Si procede in modo analogo considerando l’altra diagonale o la congruenza di angoli diversi
(PROVA TU).
OSSERVAZIONE:
Il rombo ha due assi di simmetria rappresentati dalle rette delle diagonali (fig. 32):
D
*
s A
//
O
//
C
*
B
r
fig. 32
Indicando con σr la simmetria di asse r (che “contiene” la diagonale BD) si ha che:
σr : B → B
perché B ∈ r (quindi B è un punto unito);
σr : D → D
perché D ∈ r (quindi D è un punto unito).
Inoltre:
σr : A → C
perché AC ⊥ r ∧ AO ≅ OC .
Pertanto il rombo è unito rispetto alla σr e quindi r è un suo asse di simmetria.
PROVA TU che il rombo è unito rispetto alla σs , dove s è la retta che “contiene” la diagonale AC.
Questo ti permetterà di concludere che s è asse di simmetria per il rombo.
C.V.D.
140
Problema guidato
Dato il rombo ABCD, indica con O il punto di intersezione delle due diagonali. Dimostra che O è
equidistante dai lati del rombo.
D
ABCD rombo
I
L
A
Hp.:
K
H
OH ⊥ AB ; OK ⊥ BC
OI ⊥ CD ; OL ⊥ AD
C
O
AC ∩ BD = {O}
Th.:
OH ≅ OK ≅ OI ≅ OL
B
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli BOH e BOK; essi hanno:
OB
………………. ( o OB ≅ ….. ……………………………………………………………);
OBH ≅ ……..
perché in un rombo le diagonali ………………………………………….;
…… ≅ BKO
perché ....................................................................................................... .
I due triangoli, avendo ………………………………………COMPLETA ………………………...
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
OH ≅ OK .
Procedendo in maniera analoga, ………………. …………...COMPLETA ………………………...
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
e quindi:
OH ≅ OK ≅ OI ≅ OL .
C.V.D.
141
5.7 Il deltoide
Con il termine deltoide si indica un quadrilatero che ha coppie di lati consecutivi congruenti
(fig. 33):
C
/
//
B
D
/
//
fig. 33
A
Un deltoide può essere anche definito come l’intersezione di due angoli convessi che hanno le
bisettrici coincidenti (fig. 34):
B'
O
B
…..
……….
…………….
//
/
……………………..
…………………………...
……………………………
…………………..
/ ………………
//
……….
….
A'
O'
A
fig. 34
Per la sua forma, il deltoide è uno dei primi quadrilateri conosciuti dai bambini (costruzione degli
aquiloni).
142
5.8 Il quadrato
Il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè ha tutti i lati e tutti gli angoli congruenti (fig. 35):
D .
*
. C
*
A
*
.
*
.
B
fig. 35
Il quadrato è pertanto un particolare parallelogramma con tutti i lati congruenti (e quindi è un
rombo) e con tutti gli angoli congruenti (dunque retti e quindi è un rettangolo).
Il quadrato gode, pertanto, di tutte le proprietà del parallelogramma, del rombo e del rettangolo.
Vale, quindi, il seguente TEOREMA (PROVA TU):
In un quadrato:
1. le diagonali sono perpendicolari;
2. le diagonali sono bisettrici degli angoli;
3. le diagonali sono congruenti.
TEOREMA INVERSO
Un parallelogramma è un quadrato se:
1. le diagonali sono congruenti e perpendicolari;
oppure
2. le diagonali sono congruenti e bisettrici degli angoli interni.
1.
D
C
ABCD parallelogramma
Hp.:
AC ≅ BD
AC ⊥ BD
A
B
Th.:
ABCD quadrato
Dimostrazione
Nel quadrilatero ABCD risulta, per ipotesi:
AC ≅ BD
(cioè le diagonali sono congruenti) ⇒ ABCD rettangolo;
AC ⊥ BD
(cioè le diagonali sono perpendicolari) ⇒ ABCD rombo.
Pertanto il parallelogramma ABCD, essendo contemporaneamente rettangolo e rombo, è un
quadrato.
C.V.D.
143
2.
D
C
ABCD parallelogramma
AC ≅ BD
Hp.:
BAC ≅ DAC ; ABD ≅ CBD;
BCA ≅ DCA ; CDB ≅ ADB
A
(ө)
B
Th.:
ABCD quadrato
Dimostrazione
Nel quadrilatero ABCD risulta, per ipotesi:
AC ≅ BD
(cioè le diagonali sono congruenti) ⇒ ABCD rettangolo;
BAC ≅ DAC
(cioè AC è bisettrice dell’angolo in A) ⇒ ABCD rombo.
Pertanto:
il parallelogramma ABCD è un quadrato, essendo contemporaneamente rettangolo e rombo.
C.V.D.
(ө) E' sufficiente indicare una sola congruenza. PERCHE' ?
PROVA TU a rappresentare con un diagramma di Venn la relazione tra i parallelogrammi studiati.
OSSERVAZIONE:
Il quadrato (fig. 36), in quanto rettangolo e rombo, ha quattro assi di simmetria: le rette ……
COMPLETA
……………………………………………
.
D
C
u
r
A
B
s
fig. 36
t
144
3° Problema risolto
Dato il quadrato ABCD, prolunga il lato CD, dalla parte di C, e prendi su tale prolungamento un
punto E. Prolunga, poi, il lato BC, dalla parte di B, di un segmento BF ≅ DE.
Dimostra che il triangolo AEF è rettangolo isoscele.
D
C
*
E
Hp.:
A
B
Th.:
ABCD quadrato
BF ≅ DE
AEF rettangolo isoscele
*
F
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli ABF e ADE; essi hanno:
AB ≅ AD
perché lati di un quadrato;
DE ≅ BF
per ipotesi;
ADE ≅ ABF
perché retti (ABF retto perché supplementare dell’angolo ABC, retto per
ipotesi) [“segnare ABF con il simbolo
D
C
*
A
B
”].
E
*
F
145
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli (o per il criterio di congruenza dei triangoli
rettangoli). Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
AE ≅ AF
(“segnare AE e AF con il simbolo // ”), per cui il triangolo AEF è isoscele
sulla base AF;
BAF ≅ DAE
(“segnare BAF e DAE con il simbolo . ”).
Si ha quindi:
C
*
D
E
//
A
.
.
B
//
*
F
Poiché:
DAE + EAB ≅ DAB ≅ angolo retto
si ha:
BAF + EAB ≅ FAB ≅ angolo retto
per cui il triangolo AEF risulta rettangolo ed isoscele sulla base EF.
C.V.D.
146
5.9 La corrispondenza di Talete 2
Si dice fascio improprio di rette (o fascio di rette parallele) l’insieme di tutte le rette parallele ad
una data retta r (fig. 37):
v
u
s
r
fig. 37
OSSERVAZIONI:
•
Per rappresentare un fascio improprio di rette, disegniamo solo alcune rette parallele tra loro
(in realtà, le rette del fascio sono infinite).
•
Se una retta t interseca una retta del fascio, le interseca tutte (trasversale del fascio)
[fig. 38]:
t
u
s
r
fig. 38
Quando si hanno due trasversali, t1 e t2 , (fig. 39), i punti in cui ogni retta del fascio interseca le
trasversali vengono detti punti corrispondenti e, così, si dicono segmenti corrispondenti i
segmenti che hanno per estremi punti corrispondenti.
t1
t2
v
C.
B.
A.
.C'
u
.B'
. A'
s
r
fig. 39
2
Talete di Mileto (circa 640 a.C. – circa 547 a.C.) – primo, tra i Greci, a “scoprire” la geometria.
147
Si ha, quindi:
A ↔ A'
B ↔ B'
………….
AB ↔ A'B'
BC ↔ B'C'
………….
La corrispondenza che si viene a stabilire è biunivoca ed è detta corrispondenza di Talete.
Teorema del fascio di rette parallele
Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una
trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale.
r // s // u // v // ……
t1 , t2 trasversali
Hp.:
A, B, C, D, … ∈ t1
A', B', C', D', … corrispondenti di A, B, C, D, …
AB ≅ CD
Th.:
A'B' ≅ C'D'
Dimostrazione
1° caso: t1 // t2 (fig. 40):
t1
t2
D.
. D'
*
. C'
C.
B.
. B'
A .*
. A'
v
u
s
r
fig. 40
Basta osservare che:
•
AA'B'B è un parallelogramma (i lati opposti sono paralleli) e quindi i lati opposti sono
congruenti; in particolare:
(o) AB ≅ A'B'
(“segnare A'B' con il simbolo * ”);
148
•
CC'D'D è un parallelogramma (i lati opposti sono paralleli) e quindi i lati opposti sono
congruenti; in particolare:
(oo) CD ≅ C'D'
(“segnare C'D' con il simbolo * ”)
t1
[fig. 41]:
t2
D.
. D'
v
*
. C'
*
C.
B.
u
. B'
s
*
. A'
A .*
r
fig. 41
Quindi, poiché:
AB ≅ A'B' (o) ;
CD ≅ C'D' (oo) ;
AB ≅ CD per ipotesi,
si ha, per la proprietà transitiva della congruenza, che:
A'B' ≅ C'D'
(in fig. 41, A'B' e C'D' sono “segnati” infatti con lo stesso simbolo * )
C.V.D.
2° caso: t1 ∩ t2 = {0} (cioè t1 e t2 incidenti)
[fig. 42]:
O
.
t1
D.
C .*
B.
A .*
t2
. D'
v
.C'
. B'
. A'
u
s
r
fig. 42
149
Tracciamo da B e da D le parallele alla trasversale t2 e siano rispettivamente E ed F i punti di
incontro con le rette r ed u [osserviamo che BE // DF perché entrambe parallele a t2] (fig. 43):
O
.
t1
t2
D .
.D'
C .*
.
B .
A .*
.
v
. C'
. B'
F
. A'
E
u
s
r
fig. 43
Consideriamo i triangoli ABE e CDF; essi hanno:
AB ≅ CD
per ipotesi;
BAE ≅ DCF
perché angoli corrispondenti rispetto alle parallele r ed u tagliate dalla
trasversale t1 (“segnare BAE e DCF con il simbolo . ”);
ABE ≅ CDF
perché angoli corrispondenti rispetto alle parallele BE e DF tagliate dalla
trasversale t1 (“segnare ABE e CDF con il simbolo
”).
[fig. 44]:
O
.
t1
t2
D .
C .*.
.D'
.
B .
A .*.
.
F
v
. C'
. B'
E
. A'
u
s
r
fig. 44
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 2° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
EB ≅ FD (“segnare EB e FD con il simbolo // ”). [fig. 45]:
150
O
.
t1
t2
D .
.D'
C .* // .
B .
A .* // .
v
. C'
. B'
F
. A'
E
u
s
r
fig. 45
Inoltre:
♦ il quadrilatero EBB'A' è un parallelogramma perché, per costruzione, i lati opposti sono
paralleli e quindi:
EB ≅ A'B' (“segnare A'B' con il simbolo // ”);
♦ il quadrilatero FDD'C' è un parallelogramma perché, per costruzione, i lati opposti sono
paralleli e quindi:
FD ≅ C'D' (“segnare C'D' con il simbolo // ”).
[fig. 46]:
O
.
t1
t2
D .
.D'
C .* // .
B .
A .* // .
F
v
// C'
.
. B'
//
E
. A'
u
s
r
fig. 46
Da:
EB ≅ A'B'
per precedente osservazione;
FD ≅ C'D'
per precedente osservazione;
EB ≅ FD
per precedente dimostrazione,
si ha, per la proprietà transitiva della congruenza, che:
A'B' ≅ C'D'
(in fig. 46, A'B' e C'D' sono “segnati” infatti con lo stesso simbolo // ).
C.V.D.
151
Il precedente teorema viene, talvolta, detto “piccolo teorema di Talete”, nel senso di una versione
semplificata del “teorema di Talete” [vedremo il perché in seguito].
COROLLARIO 1
Se per il punto medio di un lato di un triangolo si conduce la parallela ad un altro lato, questa
divide il terzo lato in due segmenti congruenti.
C
AM ≅ MC
M∈s
*
M
Hp.:
N
.
.
s
s // AB
s ∩ BC = {N}
*
A
Th.:
B
BN ≅ NC
Dimostrazione
Basta condurre da C la retta r parallela ad AB (fig. 47):
C
r
*
M
.
.N
s
*
A
B
fig. 47
ed applicare “la corrispondenza di Talete” (teorema precedente) alle rette AB, MN ed r (fascio di
rette parallele), tagliate dalle rette AC e BC che rappresentano le due trasversali.
Quindi, essendo:
AM ≅ MC
per ipotesi,
si ha:
BN ≅ NC.
C.V.D.
152
COROLLARIO 2 (TEOREMA INVERSO)
Il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato ed è
congruente alla sua metà.
C
//
M
Hp.:
N
.
.
//
Th.:
A
AM ≅ MC
BN ≅ NC
MN // AB ∧ MN ≅
1
AB
2
B
Dimostrazione
Per il COROLLARIO 1, se conduciamo da M la parallela al lato AB, si ha che questa incontra il
lato BC nel suo punto medio che è N, vista l’unicità del punto medio di un segmento.
Pertanto:
MN // AB.
Conduciamo, ora, da N la parallela al lato AC e sia T il punto d’intersezione con il lato AB
(fig. 48):
C
//
M
N
.
.
//
A
T
B
fig. 48
COMPLETA:
Per il COROLLARIO 1, si ha che T è punto medio di AB, cioè ..........................................................
e, poiché:
NT // …..
si ha che il quadrilatero AT….. è un ……………………………….. .
Pertanto risulta:
MN ≅ ….. ≅
1
…..
2
C.V.D.
153
Il COROLLARIO 2 può essere dimostrato utilizzando le simmetrie.
Precisamente, prolunghiamo il segmento MN dalla parte di N e, su tale prolungamento, prendiamo
il punto M' tale che:
NM' ≅ MN
(“segnare NM' e MN con il simbolo * ”)
e congiungiamo M' con B (fig. 49):
C
//
M
N
.
M'
.
*
*
//
A
fig. 49
B
Indicata con σN la simmetria centrale di centro N, si ha:
σN : C → B
σN : M → M'
per cui:
σN : CM → BM'
(per il fatto che gli estremi si corrispondono)
e quindi:
CM ≅ BM'
(“segnare BM' con il simbolo / ”);
e
CM // BM'
[fig. 50]:
C
//
M.
*
N
.
M'
*
//
A
B
fig. 50
Segue che:
AM ≅ BM'
per la proprietà transitiva della congruenza (in fig. 50 , i due segmenti sono,
infatti, segnati con lo stesso simbolo / );
e
AM // BM' ,
154
per cui il quadrilatero ABM'M, avendo COMPLETA ………………………………………………
é un ……………………………. e quindi:
…… ≅ ……
∧
…… // …... ,
da cui discende che.
∧
MN // ……
MN ≅
1
……
2
C.V.D.
Applicazione del teorema di Talete
Dato un segmento AB (fig. 51), vogliamo dividerlo in n parti congruenti.
.
.
A
B
fig. 51
Fissiamo n = 6 e conduciamo dall’estremo A una semiretta r che formi un angolo convesso con la
semiretta AB (fig. 52):
r
.
.
A
B
fig. 52
A partire dal punto A riportiamo su r, consecutivamente, sei segmenti congruenti qualsiasi AC, CD,
DE, EF, FG, GH (“segnare AC, CD, DE, EF, FG, GH con il simbolo * ”) [fig. 53]:
H.
G *
.
r
F. *
E. *
D. *
C. *
.
A
*
.
B
fig. 53
155
Congiungiamo H con B e dai punti C, D, E, F, G conduciamo le parallele al segmento BH,
indicando rispettivamente con C', D', E' F', G' i punti d’intersezione con AB (fig. 54):
H.
r
G *
.
F. *
E. *
D. *
C. *
.
A
*
.
.
.
.
.
.
C'
D'
E'
F'
G'
B
fig. 54
Per il teorema di Talete si ha che:
AC' ≅ C'D' ≅ D'E' ≅ E'F' ≅ F'G' ≅ G'B
ed ognuno di tali segmenti è appunto congruente alla sesta parte di AB.
156
ESERCIZI UNITÀ 5
I quadrilateri
Conoscenza e comprensione
1) Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:
a) Siano A, B, C, D quattro punti del piano a due a due non allineati;
V
F
V
F
c) Alcuni quadrilateri non sono poligoni.
V
F
d) In un quadrilatero convesso, due angoli adiacenti hanno un lato in comune.
V
F
e) In un quadrilatero convesso, due vertici opposti possono essere estremi di
V
F
f) Una diagonale divide un quadrilatero convesso in due triangoli congruenti.
V
F
g) In un quadrilatero convesso la somma di due lati qualsiasi è sempre
V
F
V
F
V
F
il quadrilatero ABCD è sicuramente convesso.
b) Se ABCD è un quadrilatero convesso la somma degli angoli interni
è congruente alla somma degli angoli esterni.
uno stesso lato.
maggiore della somma degli altri due.
h) Non esiste un quadrilatero nel quale tre lati, tra loro congruenti, sono
la terza parte del quarto lato.
i) Un quadrilatero può avere tre angoli retti.
2) Quanti e quali sono i criteri di congruenza dei poligoni?
3) Definisci il trapezio.
4) Una sola delle seguenti proposizioni è vera; quale?
a) Un trapezio ha almeno due lati paralleli.
b) In un trapezio gli angoli opposti possono essere congruenti.
c) In un trapezio gli angoli opposti possono essere supplementari.
d) Un trapezio può avere tre angoli retti.
e) In un trapezio due lati opposti possono essere congruenti.
157
5) Osserva la seguente figura:
D
C
30°
*
*
.
A
K
.
B
Qual è l’ampiezza di DAB ?
E quella di ADK ?
6) Le seguenti proposizioni sono vere o false?
a) Se un trapezio ha un asse di simmetria, allora è isoscele.
V
F
b) In un trapezio le proiezioni dei lati obliqui sulla base minore
V
F
c) In un trapezio isoscele gli angoli opposti sono supplementari.
V
F
d) Se gli angoli adiacenti alla base minore sono congruenti, il
V
F
e) L’altezza di un trapezio è sempre interna al trapezio stesso.
V
F
f) In un trapezio rettangolo, le diagonali sono congruenti.
V
F
g) In un trapezio gli angoli adiacenti ad un lato obliquo sono
V
F
h) In un trapezio isoscele le diagonali sono congruenti.
V
F
i) Se un trapezio ha soltanto una coppia di angoli consecutivi
V
F
sono sempre congruenti.
trapezio è isoscele.
supplementari.
congruenti, allora è rettangolo.
7) Definisci il parallelogramma.
8) Enuncia le proprietà del parallelogramma.
9) Che cosa si intende per altezza di un parallelogramma?
158
10) Una sola delle seguenti proposizioni è falsa; quale?
a) Un quadrilatero con i lati a due a due congruenti, è un parallelogramma.
b) Le diagonali di un parallelogramma possono essere congruenti.
c) In un parallelogramma due angoli consecutivi sono supplementari.
d) Il parallelogramma ha un centro di simmetria.
e) In un parallelogramma le diagonali possono essere perpendicolari.
f) In un parallelogramma i lati possono essere congruenti.
11) Il quadrilatero ABCD della seguente figura è un parallelogramma:
D
F.
C
86°
52°
A
B
.E
Qual è l’ampiezza di BCF ?
E l’ampiezza di BDC ?
E quella di DBE ?
12) Il quadrilatero PSRQ della seguente figura è un parallelogramma:
Q
R
35°
. 60°
T
38°
P
S
Qual è l’ampiezza di PRS ?
E quella di PQR ?
13) Definisci il rettangolo.
159
14) Il quadrilatero ABCD è un rettangolo:
D
C
65°
.
Q
A
B
Qual è l’ampiezza di DQA ? E quella di DQC ?
Il segmento AQ misura 2,8 cm; qual è la misura di DB?
15) Definisci il rombo.
16) Definisci il quadrato.
17) Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:
a) Se in un quadrilatero le diagonali sono congruenti, esso è un rettangolo.
V
F
b) Un rettangolo ha soltanto due assi simmetria.
V
F
c) Un quadrilatero con le diagonali perpendicolari è sicuramente un rombo.
V
F
d) Un quadrilatero con quattro assi di simmetria è un quadrato.
V
F
e) Un quadrilatero con quattro lati congruenti è un quadrato.
V
F
f) Un quadrilatero con tre angoli congruenti è un rettangolo.
V
F
g) Un parallelogramma con due assi di simmetria è un rettangolo.
V
F
h) Se le diagonali di un parallelogramma sono bisettrici degli angoli
V
F
i) Un parallelogramma ha, al massimo, quattro assi di simmetria.
V
F
j) Se un rettangolo ha tre lati congruenti, allora è un quadrato.
V
F
k) Se una diagonale divide un quadrilatero in due triangoli rettangoli,
V
F
interni, il parallelogramma è un rombo.
il quadrilatero è un rettangolo.
18) Che cos’è un fascio improprio di rette?
19) Da quante rette è formato un fascio improprio?
160
20) Che cos’è la corrispondenza di Talete?
21) Nella seguente figura il segmento A'B' misura 0,9 cm ed il segmento C'D' misura 1,2 cm.
Qual è la misura del segmento C'E' ?
A.
B .*
. A'
. B'
C.
.C'
D.
. D'
. E'
E .*
t
s
22) Nella seguente figura, S è il punto medio di AC, Q è il punto medio di BC, P è il punto
medio di AB, F è il punto medio di SQ, R è il punto medio di CS, T è il punto medio di CQ.
C
R
S
T
.
Q
F
.
A
B
P
Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:
a) TF // PQ
V
F
V
F
V
F
d) SQ ≅ QB
V
F
e) RS ≅ TF
V
F
f) SP ≅ 2CT
V
F
g) RF // SP
V
F
h) SPA ≅ QPB
V
F
i) CTF ≅ CSP
V
F
b) TR ≅
c) RF ≅
1
AB
4
1
QB
2
161
Criteri di congruenza dei poligoni
In base ai dati riportati nelle varie figure (lati e/o angoli congruenti “segnati” con uno stesso
simbolo), indica se i poligoni sono congruenti e, in caso affermativo, scrivi in base a quale criterio
di congruenza lo sono.
1)
.
.
/
*
/
*
SI
//
NO
Criterio ………………
………………………
//
2)
o
o
//
//
*
*
SI
.
.
/
NO
Criterio ………………
………………………
/
3)
*
/
*
SI
NO
/
//
.
//
.
Criterio ………………
………………………
162
4)
x
x
~
o
*
/
~
o
*
/
//
//
SI
NO
Criterio ………………
………………………
5)
.
.
SI
o
//
o
//
NO
Criterio ………………
………………………
6)
.
.
/
/
//
o
SI
NO
//
o
Criterio ………………
………………………
7)
/
/
*
*
SI
.
//
.
//
NO
Criterio ………………
………………………
163
Costruzione e classificazione di quadrilateri
1) Dato il trapezio ABCD (fig. 1), traccia dal vertice C la parallela al lato obliquo AD. In quali
figure risulta suddiviso il trapezio?
D
C
A
B
fig. 1
2) Disegna un trapezio isoscele di base maggiore AB lunga 13,5 cm, di base minore CD lunga
5,5 cm ed altezza 4 cm. Traccia dai vertici C e D le altezze CH e DK; in quali figure resta
suddiviso il trapezio?
3) Costruisci il parallelogramma ABCD di cui sono dati tre vertici A, B, C (fig. 2):
A
.
.C
B.
fig. 2
4) Dato il parallelogramma ABCD:
D
A
C
B
conduci:
•
l’altezza DH relativa al lato AB;
•
l’altezza DK relativa al lato BC;
•
l’altezza CS relativa al lato AB;
•
l’altezza CT relativa al lato AD.
164
5) Disegna un rettangolo ABCD con la base AB congruente al doppio dell’altezza BC. Prolunga
la base AB, dalla parte di B, di un segmento BE ≅ BC. Unisci i punti C ed E e classifica il
quadrilatero AECD.
6) Disegna un rombo in cui la diagonale minore è congruente alla terza parte della diagonale
maggiore. Conduci, poi, da uno stesso vertice del rombo, le altezze relative a due lati
consecutivi.
7) Disegna un rombo ABCD in cui un angolo misura 60°. Di quali “figure” puoi pensare sia
formato il rombo?
(suggerimento: manda le diagonali ……… )
8) Disegna un segmento AB lungo 7 cm e costruisci il quadrato di lato AB. Prendi, poi, i punti
medi dei lati del quadrato e “verifica” che il quadrilatero ottenuto congiungendo tali punti è un
quadrato.
Riproduci sul quaderno le figure degli esercizi seguenti e “costruisci” le loro simmetriche rispetto
al lato indicato. Classifica, poi, le figure ottenute.
9)
C
*
Simmetrica rispetto a BC.
A
*
B
La figura ottenuta è ……………………
10)
B
//
Simmetrica rispetto ad AB.
C
La figura ottenuta è ……………………
*
A
165
11)
D
C
Simmetrica rispetto a BC.
La figura ottenuta è ……………………
A
B
12)
D
*
C
Simmetrica rispetto ad AD.
*
*
La figura ottenuta è ……………………
A
*
B
13)
C
Simmetrica rispetto a BC.
*
La figura ottenuta è ……………………
A
*
B
14)
D
C
Simmetrica rispetto ad AD.
La figura ottenuta è ……………………
A
B
166
Negli esercizi che seguono, tenendo conto dei dati riportati (lati e/o angoli congruenti “segnati”
con uno stesso simbolo), specifica in base a quale/i teorema/i (o proprietà/definizione) è vera
l’affermazione enunciata:
15)
D
C
“Il quadrilatero ABCD è un trapezio
rettangolo”.
A
B
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
16)
C
D
32°
“Il quadrilatero ABCD è un trapezio
*
*
isoscele”.
32°
A
B
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
17)
D
C
/
*
A
*
/
“Il
quadrilatero
ABCD
è
un
parallelogramma”.
B
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
167
18)
S
R
.
“Il
quadrilatero
PQRS
è
un
parallelogramma”.
.
P
Q
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
19)
D
C
72°
“Il
quadrilatero
ABCD
è
un
parallelogramma”.
108°
72°
A
B
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
20)
C
“Il quadrilatero ABCD non è (o,
D
B
almeno, non è detto) che sia un
parallelogramma”.
[Non farti “ingannare” dalla figura!]
A
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
168
21)
S
R
.
“Il
quadrilatero
PQRS
è
un
parallelogramma”.
.
P
Q
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
22)
H
G
//
“Il
quadrilatero
EFGH
è
un
rettangolo”.
//
E
F
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
23)
D
“Il
quadrilatero
ABCD
è
un
rombo”.
C
A
B
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
169
24)
D
*
“Il
*
quadrilatero
ABCD
è
un
rombo”.
C
A
*
*
B
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
25)
D
C
*
*
A
“Il
quadrilatero
ABCD
è
un
quadrato”.
B
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
26)
D
C
“Il
quadrilatero
ABCD
è
un
quadrato”.
A
B
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
170
Angoli di un quadrilatero
Calcola le ampiezze degli angoli incogniti:
1)
68°
x =…
76°
x
85°
2)
x
120°
x =…
70°
y
y =…
118°
3)
61°
82°
y
x =…
y =…
88°
x
171
4)
D
C
104°
133°
AB // DC
x =…
y =…
x
y
A
B
5)
60°
y
x =…
y =…
x
6)
c
z
108°
x =…
d
b
y
x
a // c
y =…
b // d
z =…
a
7)
/
z
47°
//
x =…
y
48°
/
x
//
y =…
z =…
172
8)
t
75°
x = ……
y
*
s ⊥ t
*
y = ……
x
*
*
s
9)
*
*
x
x
*
*
x = ……
126°
10)
28°
*
x
*
x = ……
y
y = ……
*
*
11)
*
36°
*
x
*
*
x = ……
173
12) In un trapezio gli angoli adiacenti alla base maggiore misurano 52° e 67°. Qual è la misura
degli altri due angoli?
13) In un trapezio gli angoli adiacenti alla base minore misurano 131° e 108°. Qual è la misura
degli altri due angoli?
14) In un trapezio rettangolo un angolo misura 45°. Qual è la misura degli altri angoli?
15) In un trapezio rettangolo un angolo misura 128° 43'. Qual è la misura degli altri angoli?
16) In un trapezio rettangolo gli angoli adiacenti al lato obliquo sono uno il doppio dell’altro.
Qual è la misura degli angoli del trapezio?
17) In un trapezio isoscele un angolo misura 58°. Qual è la misura degli altri angoli?
18) In un trapezio isoscele un angolo misura 98° 58'. Qual è la misura degli altri angoli?
19) In un trapezio isoscele la differenza di due angoli è 40°. Determina le ampiezze degli angoli
del trapezio.
20) In un parallelogramma un angolo misura 52°. Qual è la misura degli altri angoli?
21) In un parallelogramma un angolo misura 42°. Qual è la misura degli altri angoli?
22) In un parallelogramma un angolo esterno misura 82° 12'. Qual è la misura degli angoli del
parallelogramma?
23) In un parallelogramma un angolo esterno è triplo dell’angolo interno ad esso adiacente. Qual
è la misura degli altri angoli?
24) In un rombo un angolo misura 66°. Qual è la misura degli altri angoli?
Di seguito sono riportate le ampiezze di quattro angoli. Indica, per ciascun esercizio, se tali
ampiezze possono essere le misure degli angoli di un quadrilatero e, in caso affermativo, prova a
disegnarlo.
25) 72° ; 72° ; 72° ; 72°
26) 95° ; 140° ; 41° ; 37°
174
27) 70° ; 90° ; 110° ; 90°
28) 60° ; 60° ; 120° ; 120°
29) 52° ; 96° ; 120° ; 92°
30) 110° ; 59° ;
79° ; 82°
31) 90° ; 90° ; 90° ; 90°
Problemi numerici
Determina, sulla base dei dati indicati, gli elementi incogniti nei seguenti problemi:
1)
20 cm
*
D
AD ≅ DC
C
5
AD
2
AB ≅
*
BC ≅ 2 AD
A
B
2p = ?
2)
D 10 cm C
AD ≅ 2 DC
BH ≅ AD
BC ≅
A
2p = ?
B
H
4
(AD + DC)
3
3)
D
C
AD ≅ 2 AK
CD ≅
*
*
1
(AD + AK)
2
2p = ?
A 12 cm K
H
B
175
4)
12 cm C
D
3
DC
2
AK ≅
*
*
2p = 108 cm
AD = ?
K
A
H
B
5)
D
C
//
2
AB
3
AD ≅
2p = ?
//
24 cm
A
B
6)
D
*
*
C
E
BC ≅
5
AB
6
2pABCDE = ?
*
12 cm
A
B
7)
D
*
*
*
A
*
2pABC = 42 cm
C
2pABCD = ?
*
B
176
Problemi sul trapezio
Problema risolto
Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base BC, conduci le bisettrici degli angoli interni di vertici B e
C ed indica rispettivamente con D ed E i punti di intersezione con i lati obliqui AC e AB.
Dimostra che:
1. il quadrilatero BCDE è un trapezio isoscele;
2. BE ≅ CD ≅ ED.
A
AB ≅ AC
Hp.:
ABD ≅ CBD
ACE ≅ BCE
E
D
1. BCDE trapezio isoscele
Th.:
.
.
2. BE ≅ CD ≅ ED
..
B
C
Dimostrazione
1.
Osserviamo che:
ABD ≅ CBD ≅ ACE ≅ BCE
perché metà di angoli congruenti (ABC ≅ ACB perché angoli
alla base di un triangolo isoscele) [in figura abbiamo
rappresentato “in anticipo” i quattro angoli con lo stesso
simbolo . ].
Consideriamo i triangoli BCE e BCD che, per maggiore chiarezza, rappresentiamo a parte:
E
D
.
B
.
C
B
C
177
Essi hanno:
BC
(o BC ≅ BC per la proprietà riflessiva della congruenza);
in comune
EBC ≅ DCB
perché angoli alla base di un triangolo isoscele;
BCE ≅ CBD
per precedente osservazione.
I due triangoli, avendo un lato e gli angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 2° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
BE ≅ CD
(“segnare BE e CD con il simbolo // ”).
Discende, allora, che:
AE ≅ AD
perché differenza di segmenti congruenti (AB ≅ AC ∧ BE ≅ CD)
e quindi il triangolo AED è isoscele sulla base ED.
Osserviamo, poi, che i due triangoli ABC e AED, isosceli rispettivamente sulle basi BC e ED,
avendo l’angolo di vertice A in comune, hanno congruenti tutti e quattro gli angoli alla base; cioè:
ABC ≅ ACB ≅ AED ≅ ADE
(“segnare AED e ADE con lo stesso simbolo
con cui
abbiamo indicato gli angoli ABC e ACB ”).
A
[Non abbiamo più segnato AB e AC
E
con il simbolo / , né AE e AD con altro
D
simbolo …… per evitare confusione]
.
.
B
..
C
Si ha, quindi:
ED // BC
perché tagliati dalla trasversale AB formano angoli corrispondenti
congruenti (AED ≅ ABC);
e quindi BCDE è un trapezio che risulta isoscele perché:
BE ≅ CD
per precedente dimostrazione.
C.V.D.
178
2.
Si ha:
EDB ≅ CBD
perché angoli alterni interni rispetto alle parallele ED e BC tagliate
dalla trasversale DB (“segnare l’angolo EDB con il simbolo . ”).
A
E
.
D
.
.
..
B
C
ma:
CBD ≅ EBD
per ipotesi ,
per cui:
EDB ≅ EBD
per la proprietà transitiva della congruenza (in figura gli angoli EDB ed
EBD sono rappresentati con lo stesso simbolo . ),
e quindi il triangolo BDE è isoscele sulla base BD.
Si ha, pertanto:
BE ≅ CD ≅ ED.
C.V.D.
[La dimostrazione del punto 1. poteva essere affrontata “ragionando” sugli angoli dei triangoli in
cui le diagonali BD e CE dividono il quadrilatero BCDE]
PROVA TU a dimostrare, quindi, in altro modo, che il quadrilatero BCDE è un trapezio isoscele.
1) Nel trapezio ABCD, di base maggiore AB, la diagonale AC è bisettrice dell’angolo di vertice
A. Dimostra che il triangolo ADC è isoscele.
2) Sia dato il trapezio rettangolo ABCD, con il lato AD perpendicolare alle due basi AB e DC.
Indicato con M il punto medio del lato BC, dimostra che il triangolo AMD è un triangolo
isoscele.
179
3) Dimostra che in ogni trapezio la somma delle basi è minore della somma delle diagonali.
4) Nel trapezio rettangolo ABCD la base maggiore AB è congruente al doppio della base minore
CD. Dimostra che la diagonale AC è congruente al lato obliquo BC.
5) Dato il trapezio ABCD, conduci:
•
da D la parallela al lato obliquo CB ed indica con E il punto d’intersezione con la base
maggiore AB;
•
da B la parallela al lato obliquo AD ed indica con F il punto d’intersezione con il
prolungamento della base minore DC.
Dimostra che il quadrilatero EBFD è un trapezio, congruente al trapezio dato.
6) Dato il triangolo ABC, conduci la bisettrice dell’angolo interno di vertice A ed indica con D il
punto d’intersezione con il lato BC. Prolunga, poi, il lato CA di un segmento AE ≅ AB.
Dimostra che il quadrilatero ADBE è un trapezio.
7) In un trapezio isoscele ABCD, i lati obliqui AD e BC sono congruenti alla base minore DC.
Dimostra che:
•
la diagonale AC è bisettrice dell’angolo interno di vertice A;
•
la diagonale BD è bisettrice dell’angolo interno di vertice B.
8) Dato il trapezio isoscele ABCD, di base minore DC, conduci le diagonali AC e BD ed indica
con O il loro punto di intersezione. Dimostra che:
1. i triangoli AOB e CDO sono isosceli;
2. i triangoli ADO e BCO sono congruenti.
9) Sia dato il trapezio ABCD di base maggiore AB e base minore DC. Detto M il punto medio
del lato obliquo AD, conduci da M la parallela alle basi.
Dimostra che tale parallela incontra le diagonali del trapezio nel loro punto medio.
10) Sia dato il trapezio ABCD, rettangolo in A e in D, con la base maggiore AB congruente al lato
obliquo BC. Conduci la perpendicolare AH al lato BC e la bisettrice dell’angolo interno di
vertice B. Detto E il punto d’intersezione della bisettrice con il lato AD, dimostra che:
DH // BD.
180
Problemi sul parallelogramma
Problema risolto
Dato il parallelogramma ABCD, indica con M ed N rispettivamente i punti medi dei lati opposti AD
e BC. Dimostra che il quadrilatero MBND è un parallelogramma.
C
D
M
*
A
ABCD parallelogramma
*
*
N
Hp.:
BN ≅ NC
*
B
AM ≅ MD
Th.:
MBND parallelogramma
Dimostrazione
Osserviamo che:
AM ≅ MD ≅ BN ≅ NC
perché metà di lati congruenti (AD ≅ BC perché lati opposti di un
parallelogramma) [in figura abbiamo rappresentato “in anticipo” i
quattro segmenti con lo stesso simbolo * ].
Il quadrilatero MBND ha quindi due lati opposti, MD e BN, paralleli (perché AD // BC per ipotesi)
e congruenti (per l’osservazione precedente) per cui è un parallelogramma.
C.V.D.
1) Dato il parallelogramma ABCD, unisci:
•
il vertice B con il punto medio M del lato AD;
•
il vertice D con il punto medio N del lato BC.
Dimostra che il quadrilatero BMDN è un parallelogramma.
2) Dato il parallelogramma ABCD, prolunga il lato AB di un segmento BE ≅ AB e il lato AD di
un segmento DF ≅ AD. Dimostra che i punti E, C, F sono allineati.
3) Dato il parallelogramma ABCD, conduci dal suo “centro” O due corde. Dimostra che gli
estremi di tali corde individuano un parallelogramma.
[ricorda che il “centro” del parallelogramma è il punto d’intersezione delle due diagonali]
181
4) Dato il parallelogramma ABCD, siano M ed N i punti medi dei lati AB e CD.
Considera:
•
un punto generico P sulla corda MN;
•
due punti Q ed R, sui prolungamenti della corda MN, tali che:
MQ ≅ NP ∧ NR ≅ MP.
Dimostra che:
1. i quadrilateri APRD e BPRC sono congruenti;
2. i quadrilateri AQPD e RPBC sono congruenti.
5) Dato il parallelogramma ABCD, conduci dal vertice A una retta r che non abbia altri punti in
comune con il parallelogramma.
Indicata con:
•
CH la distanza di C da r ;
•
BK la distanza di B da r ;
•
DT la distanza di D da r ,
dimostra che:
CH ≅ BK + DT.
6) Dato il parallelogramma ABCD, considera sui lati AB, BC, CD e DA rispettivamente i punti
E, F, G ed H, tali che:
AE ≅ BF ≅ CG ≅ DH.
Dimostra che il quadrilatero EFGH è un parallelogramma.
7) Dato il parallelogramma ABCD, conduci le bisettrici degli angoli interni di vertici A e B,
indicando con P e Q i punti d’intersezione rispettivamente con le rette BC ed AD.
Dimostra che:
PQ ≅ CD.
8) Dimostra che congiungendo due punti di una diagonale di un parallelogramma, equidistanti
dagli estremi, con gli estremi dell’altra diagonale, si ha ancora un parallelogramma.
9) Dato il triangolo ABC prolunga il lato AC, dalla parte di C, di un segmento CE ≅ AC e il
lato BC, sempre dalla parte di C, di un segmento CD ≅ CB.
Dimostra che il quadrilatero ABED è un parallelogramma.
182
10) Sia dato un parallelogramma ABCD. Dai punti A e C, traccia le perpendicolari alla
diagonale BD che la intersecano rispettivamente in H e K.
Dimostra che AHCK è un parallelogramma.
11) Dato un triangolo ABC, prolunga la mediana CM di un segmento MD tale che MD ≅ CM.
Dimostra che il quadrilatero ADBC è un parallelogramma.
12) Sia dato un parallelogramma ABCD. Traccia:
o la bisettrice dell’angolo interno di vertice A ed indica con R la sua intersezione con la
retta DC;
o la bisettrice dell’angolo interno di vertice C ed indica con S la sua intersezione con la
retta AB.
Dimostra che i triangoli ADR e CBS sono isosceli e congruenti tra loro.
13) Sia dato un parallelogramma ABCD. Sui lati AB e CD prendi rispettivamente i punti E e G
in modo che AE ≅ CG e sui lati BC e AD rispettivamente i punti F e H tali che BF ≅ DH.
Dimostra che il quadrilatero EFGH è un parallelogramma.
14) Dato un triangolo PQR, isoscele sulla base PQ, conduci la bisettrice dell’angolo esterno
formato dal lato PR e dal prolungamento, oltre R, del lato QR. Considera su tale bisettrice
un punto S tale che RS ≅ PQ.
Dimostra che il quadrilatero PQRS è un parallelogramma.
15) Dato il parallelogramma ABCD, siano E ed F i punti medi rispettivamente dei lati AD e BC.
Congiungi B con E e D con F. Indica con:
•
G il punto d’incontro dei prolungamenti di BE e CD;
•
H il punto d’incontro dei prolungamenti di DF e AB.
Dimostra che il quadrilatero BHDG è un parallelogramma.
16) Sia O “il centro” del parallelogramma ABCD ed r una retta passante per O. Dimostra che r
divide il parallelogramma in due trapezi congruenti o in due parallelogrammi congruenti.
[ricorda che il “centro” del parallelogramma è il punto d’intersezione delle due diagonali]
183
Problemi sul rettangolo
Problema risolto
Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base AB, conduci l’altezza CH relativa ad AB e dal punto H
manda la parallela al lato AC. Indicato con D il punto d’intersezione di tale parallela con la
perpendicolare condotta da B alla base AB, dimostra che il quadrilatero CHBD è un rettangolo.
r
s
C
D
AC ≅ BC
CH ⊥ AB
Hp.:
r // AC
s ⊥ AB
r ∩ s = {D}
.
.
A
H
Th.:
CHBD rettangolo
B
Dimostrazione
Osserviamo innanzitutto che:
CH // DB
perché tagliati dalla trasversale AB formano angoli coniugati interni
supplementari (BHC e HBD sono entrambi retti per ipotesi)
[potevamo anche osservare che CH // DB perché entrambi perpendicolari ad AB].
Inoltre:
BHD ≅ BAC
perché angoli corrispondenti rispetto alle parallele HD e AC tagliate
dalla trasversale AB (“segnare BHD con il simbolo . ”).
r
s
C
D
.
.
A
H
.
B
184
Discende che:
BHD ≅ ABC
per la proprietà transitiva della congruenza (BHD ≅ BAC
∧
BAC ≅ ABC) [in figura gli angoli BHD, BAC e ABC sono
rappresentati con lo stesso simbolo . ].
Consideriamo ora i triangoli BHC e BHD che, per maggiore chiarezza, rappresentiamo a parte:
C
D
.
H
.
B
H
B
Essi hanno:
HB
in comune
(o HB ≅ HB per la proprietà riflessiva della congruenza);
CHB ≅ DBH
perché entrambi retti;
HBC ≅ BHD
per precedente osservazione.
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 2° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
CH ≅ DB ;
BC ≅ HD .
Il quadrilatero CHBS, avendo due lati (CH e DB) paralleli e congruenti, è un parallelogramma con
le diagonali (BC e HD) congruenti e quindi è un rettangolo.
[si poteva osservare che il parallelogramma CHBD, avendo due angoli retti (ne basta, però, uno!), è
un rettangolo]
C.V.D.
185
1) Dato il rettangolo ABCD, conduci da O, punto d’intersezione delle due diagonali, la retta r
parallela ai lati AD e BC. Dimostra che r è bisettrice di due degli angoli formati dalle due
diagonali.
Successivamente, conduci da O la retta s parallela ai lati AB e DC.
Dimostra che s è bisettrice degli altri due angoli formati dalle due diagonali.
2) Dato il rettangolo ABCD, sia O il punto d’intersezione delle sue diagonali. Conduci la
bisettrice di una delle due coppie di angoli opposti al vertice che vengono a determinarsi e
dimostra che tale bisettrice è una mediana del rettangolo.
[suggerimento: “mediana” sta a significare che divide il rettangolo in due rettangoli
congruenti (puoi utilizzare la simmetria …)]
3) Dato il triangolo ABC, retto in C, prendi un punto P sull’ipotenusa e manda, da P, le parallele
ai cateti. Detti Q ed R i punti d’intersezione di tali parallele rispettivamente con BC e AC,
dimostra che il quadrilatero PQCR è un rettangolo.
4) Dato il rettangolo ABCD (figura a lato),
D
C
A
B
siano:
•
a uno dei suoi assi di simmetria (mediana), precisamente quello parallelo ad AB;
•
O il suo centro di simmetria.
Prendi un punto su AB ed indicate con σa la simmetria di asse a e con σo la simmetria centrale
di centro O, si abbia:
σa : P → P' ;
σo : P → Q ;
σo : P' → R .
Dimostra che il quadrilatero PP'QR è un rettangolo.
5) Dato un parallelogramma ABCD, conduci le bisettrici dei suoi angoli interni e dimostra che il
quadrilatero da esse individuato è un rettangolo.
6) Dato il rettangolo ABCD, sia O il punto d’incontro delle diagonali AC e BD. Traccia una
retta, passante per O, che incontri AB in E e CD in F. Dimostra che BE ≅ DF.
186
Problemi sul rombo
Problema risolto
Date due rette parallele r ed s, considera un punto A ∈ r e un punto B ∈ s in modo che la retta AB
non sia perpendicolare alle due rette date. Conduci l’asse a del segmento AB e siano C e D i suoi
punti di intersezione rispettivamente con r ed s.
Dimostra che il quadrilatero ACBD è un rombo.
[Cosa succede se AB è perpendicolare alle due rette?]
r // s
D
A∈ r ; B∈ s
B
s
AB ⊥
Hp.:
r
s
a asse di AB
a ∩ r = {C}
M
a ∩ s = {D}
C
A
a
r
Th.:
ACBD rombo
Dimostrazione
Ricordiamo che l’asse di un segmento è la perpendicolare al segmento condotta per il suo punto
medio (in figura abbiamo “rappresentato” tali relazioni).
Consideriamo i triangoli ACM e BDM; essi hanno:
AM ≅ BM
perché a è asse di AB;
AMC ≅ BMD
perché entrambi retti (a è asse di AB);
CAM ≅ DBM
perché angoli alterni interni rispetto alle parallele r ed s tagliate dalla
trasversale AB.
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 2° criterio di congruenza dei triangoli (o per il criterio di congruenza dei triangoli
rettangoli). Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
AC ≅ BD .
Quindi il quadrilatero ACBD, avendo due lati opposti, AC e BD, paralleli e congruenti, è un
parallelogramma.
187
Inoltre, in tale parallelogramma risulta:
AB ⊥ CD ,
cioè le diagonali sono perpendicolari, per cui si conclude che esso è un rombo.
C.V.D.
[Nel caso in cui AB è perpendicolare alle due rette:
B
.
s
.
r
A
si ha che l’asse a di AB, cioè la perpendicolare ad AB condotta dal suo punto medio M, “non
incontra” le rette r ed s, risultando a loro parallele:
B
.
s
.
M
.
A
a
r
]
1) Dato un angolo acuto rOs , conduci la sua bisettrice b e prendi su di essa un punto P. Dopo
aver mandato da P le parallele ai lati dell’angolo, dimostra che il quadrilatero che si ottiene è
un rombo.
2) Sia dato il parallelogramma ABCD in cui la diagonale AC è congruente al lato AB. Detto M il
punto medio del lato BC, considera la semiretta AM che incontra il prolungamento del lato
DC nel punto E. Dimostra che il quadrilatero ABEC è un rombo.
188
3) Dimostra che il quadrilatero che ha per vertici i punti medi dei lati di un rombo è un
rettangolo.
4) Dimostra che il quadrilatero che ha per vertici i punti medi dei lati di un rettangolo è un
rombo.
5) Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base AB, indica con r la retta della base e con σr la
simmetria assiale di asse r. Sapendo che:
σr (C) = C' ,
dimostra che il quadrilatero ACBC' è un rombo.
6) Dato il triangolo equilatero PQR, conduci le bisettrici degli angoli esterni adiacenti al lato PQ.
Detto S il punto di intersezione di tali bisettrici, dimostra che il quadrilatero PSQR è un
rombo.
(suggerimento: puoi sfruttare la simmetria …………… )
7) Dato il rombo ABCD, di diagonale maggiore BD, conduci:
o dal punto A la parallela a BD ed indica con E il suo punto d’intersezione con la retta CD;
o dal punto E la parallela a AD ed indica con F il suo punto d’intersezione con la retta BD.
Dimostra che il quadrilatero BCFE è un parallelogramma.
8) Dato un angolo acuto xOy, considera sui lati OX e OY rispettivamente due punti A e B tali
che OA ≅ OB. Conduci:
o da A le perpendicolari r ed s rispettivamente ai lati OX e OY;
o da B le perpendicolari t ed u rispettivamente ai lati OX e OY.
Indica:
r ∩ s = {C} ;
s ∩ t = {D} ,
e dimostra che il quadrilatero ACBD è un rombo.
9) Dato un trapezio isoscele ABCD, indica con M, N, P e Q i punti medi dei lati AB, BC, CD,
DA. Dimostra che il quadrilatero MNPQ è un rombo.
[Altra formulazione del problema: Dimostra che i punti medi dei lati di un trapezio sono
vertici di un rombo]
189
Problemi sul quadrato
Problema risolto
Dato il quadrato ABCD, considera sui lati AB, BC, CD e DA, sempre nello stesso verso,
rispettivamente i punti E, F, G ed H tali che:
AE ≅ BF ≅ CG ≅ DH.
Dimostra che il quadrilatero EFGH è un quadrato.
D
G
.
C
*
H.
A
ABCD quadrato
.F
*
*
Hp.:
AE ≅ BF ≅ CG ≅ DH
Th.:
EFGH quadrato
.
*
E
B
Dimostrazione
[in figura, per non creare confusione, non “abbiamo segnato” subito gli elementi congruenti]
Osserviamo che, essendo ABCD un quadrato, i quattro angoli di vertice A, B, C, D sono retti
(“segnare i quattro angoli con il simbolo
AB ≅ BC ≅ CD ≅ DA
”) e:
(cioè i quattro lati sono congruenti).
Pertanto si ha:
EB ≅ FC ≅ GD ≅ HA
perché differenza di segmenti congruenti (“segnare EB, FC, GD ed
HA con il simbolo // ”).
D
G
// .
C
*
//
.F
*
H.
//
A
*
*
. //
E
B
Consideriamo ora i triangoli AEH e EBF; essi hanno:
AE ≅ BF
per ipotesi;
AH ≅ EB
per precedente osservazione;
HAE ≅ EBF
perché entrambi retti.
190
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra di esso compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli (o per il criterio di congruenza dei triangoli).
Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
HE ≅ EF
(“segnare HE ed EF con il simbolo / ”);
AHE ≅ BEF
(“segnare AHE e BEF con α ”);
AEH ≅ BFE
(“segnare AEH e BFE con β ”).
D
G
// .
C
*
//
.F
*
β
*
H.
// α
A
*
α
β
. //
E
B
Osserviamo che gli angoli α e β sono complementari perché l’angolo di vertice A (o B) è retto.
Pertanto:
α + β ≅ angolo retto
e quindi:
HEF ≅ angolo retto
D
perché AEB ≅ angolo piatto (“segnare HEF con il simbolo
G
// .
”).
C
*
//
.F
*
β
*
H.
// α
A
*
β
α
. //
E
B
In maniera analoga si dimostra la congruenza di tutti e quattro i triangoli AEH, EBF, FCG e GDH,
pervenendo così alle relazioni:
HE ≅ EF ≅ FG ≅ GH ⇒ HEFG rombo
e
HEF ≅ EFG ≅ FGH ≅ GHE ≅ angolo retto ⇒ HEFG rettangolo
191
D
G
// .
α
C
β *
α //
.F
*
β
β
*
H.
// α
A
*
β
α
. //
E
B
Il quadrilatero HEFG, risultando contemporaneamente rombo e rettangolo, è, pertanto, un quadrato.
C.V.D.
1) Sia dato un angolo AOB, retto in O. Conduci la bisettrice di tale angolo e da un punto P di
essa traccia le parallele r ed s rispettivamente ai lati OA e OB.
Sia, poi:
r ∩ OA = {R};
s ∩ OB = {S}.
Dimostra che il quadrilatero ORPS è un quadrato.
2) Dato il quadrato ABCD, conduci le sue diagonali ed indica con O il loro punto d’intersezione.
Considera sulla diagonale AC i punti P e Q tali che PO ≅ OQ e siano:
•
r la retta passante per P e parallela ad AB;
•
s la retta passante per Q e parallela ad AB.
Sapendo che:
{M} = r ∩ BD ;
{N} = s ∩ BD ,
dimostra che il quadrilatero PMQN è un quadrato.
3) Nel quadrato ABCD, conduci le diagonali AC e BD. Considera:
•
sulla retta della diagonale AC, esternamente ad AC, due punti E ed F tali che:
AE ≅ CF ,
•
sulla retta della diagonale BD, esternamente a BD, due punti G ed H tali che:
BG ≅ DH ≅ AE ≅ CF .
Dimostra che il quadrilatero EGFH è un quadrato.
192
4) Dato il quadrato ABCD, considera i punti medi E, F, G e H dei suoi lati. Dimostra che il
quadrilatero EFGH è un quadrato.
5) Dato il quadrato ABCD, traccia le diagonali AC e BD. Conduci:
•
dai vertici A e C le parallele alla diagonale BD;
•
dai vertici B e D le parallele alla diagonale AC.
Dimostra che il quadrilatero individuato da tali parallele è un quadrato.
6) Dato il quadrato ABCD, costruisci sul lato AB, internamente al quadrato, il triangolo
equilatero ABP e sul lato BC, esternamente al quadrato, il triangolo equilatero BCQ.
Dimostra che i punti D, P e Q sono allineati.
(suggerimento: “ragionare” sugli angoli ……….)
7) Dato un rettangolo ABCD, costruisci esternamente ad esso i quattro triangoli rettangoli
isosceli ABE, BCF, DCG e ADH, retti rispettivamente in E, F, G ed H.
Dimostra che il quadrilatero EFGH è un quadrato.
8) Sia dato un trapezio isoscele ABCD, con le diagonali AC e BD perpendicolari tra loro.
Considera i punti medi E, F, G ed H rispettivamente dei lati AB, BC, CD e DA. Dimostra che
il quadrilatero EFGH è un quadrato.
9) Dato un quadrato ABCD, considera un generico punto P sulla diagonale AC e conduci da tale
punto le parallele ai lati del quadrato. Dimostra che tali parallele dividono il quadrato in
quattro quadrilateri: due quadrati non congruenti e due rettangoli congruenti.
Cosa succede se P è il punto medio della diagonale AC ?
10) Dato un quadrato ABCD, traccia le sue diagonali AC e BD ed indica con O il loro punto
d’intersezione. Conduci per il punto O due rette r ed s , perpendicolari tra loro.
Dimostra che il quadrilatero che si ottiene, congiungendo i punti in cui le rette r ed s
intersecano i lati del quadrato dato,
11) Dato un rettangolo PQRS, traccia le bisettrici dei suoi angoli. Dimostra che il quadrilatero che
si ottiene è un quadrato.
193
Problemi di riepilogo
Problema risolto
Nel triangolo ABC, isoscele sulla base BC, conduci le mediane BM e CN; prolunga, poi, i lati AB e
AC, dalla parte di A, rispettivamente dei segmenti AP e AQ congruenti tra loro.
Dimostra che il quadrilatero NMPQ è un trapezio isoscele.
Cosa puoi dire di tale quadrilatero nel caso particolare che AP ≅ AQ ≅ AN?
Q
P
* *
A
AB ≅ AC
AM ≅ MC
Hp.:
AN ≅ NB
AP ≅ AQ
N
M
Th.:
NMPQ trapezio isoscele
[cioè NM // QP ∧ NQ ≅ MP]
B
C
Dimostrazione
Osserviamo innanzitutto che:
AM ≅ MC ≅ AN ≅ NB
perché metà di lati congruenti (AB ≅ AC per ipotesi) [in figura
abbiamo rappresentato “in anticipo” i quattro segmenti con lo stesso
simbolo / ].
Pertanto il triangolo ANM è isoscele sulla base NM e quindi:
ANM ≅ AMN
perché angoli alla base di un triangolo isoscele (“segnare ANM e
AMN con il simbolo . ”).
Inoltre, essendo:
AQ ≅ AP
per ipotesi,
si ha che il triangolo AQP è isoscele sulla base QP e quindi:
AQP ≅ APQ
perché angoli alla base di un triangolo isoscele (“segnare AQP e APQ
con il simbolo o ”).
194
Q
o
o
P
* *
A
N .
. M
B
C
E ancora:
NAM ≅ QAP
perché angoli opposti al vertice (“segnare NAM e QAP con il
simbolo
”),
per cui:
ANM ≅ AMN ≅ AQP ≅ APQ
perché la somma degli angoli interni di ogni triangolo è
congruente ad un angolo piatto [se due triangoli isosceli hanno
congruenti gli angoli al vertice, avranno congruenti tra loro gli
angoli alla base].
Nella figura seguente rappresentiamo i quattro angoli alla base con lo stesso simbolo . :
Q
o
o
P
* *
A
N .
B
. M
C
195
Pertanto:
NM // QP
perché tagliati dalla trasversale NP formano angoli alterni interni
congruenti (MNP ≅ QPN)
Il quadrilatero NMPQ, avendo due lati paralleli, è, quindi, un trapezio e poiché le diagonali NP ed
MQ sono tali che:
NP ≅ MQ
perché somme di segmenti congruenti,
il trapezio è isoscele (Teorema pag. 14, fascicolo 4, geometria: “un trapezio è isoscele se le
diagonali sono congruenti”).
C.V.D.
Nel caso particolare in cui:
AP ≅ AQ ≅ AN ( ≅ AM),
si ha che il trapezio NMPQ risulta un parallelogramma (perché le diagonali si tagliano
scambievolmente per metà) con le diagonali congruenti e quindi è un rettangolo.
Q .
. P
A
N .
B
. M
C
196
1) Siano a e b due rette parallele tagliate da una trasversale t rispettivamente nei punti A e B.
Conduci, da A e B, le bisettrici degli angoli coniugati interni ed indica con C e D i loro punti
d’intersezione rispettivamente con le rette b ed a.
a. Dimostra che il quadrilatero ADCB è un rettangolo.
b. Sotto quale condizione il rettangolo ADCB diventa un quadrato?
2) Dato il triangolo ABC, retto in A. indica con σA la simmetria centrale di centro A. Sapendo
che: σA(B) = B' e σA(C) = C' ,
cosa puoi dire del quadrilatero BCB'C'?
3) Conduci per il punto O d’intersezione delle diagonali del rettangolo ABCD una retta che
incontri AB in E e CD in F. Dimostra che il quadrilatero AECF è un parallelogramma.
4) Dato un rombo ABCD, prolunga i lati AB e CD di due segmenti BE e DF congruenti ai lati
del rombo. Dimostra che:
a. Il quadrilatero AECF è un parallelogramma;
b. Il segmento AC è perpendicolare a CE.
5) Siano date due rette parallele r ed s , r ≠ s , tagliate da una trasversale t , non perpendicolare
alle due rette date, rispettivamente nei punti A e B. Detto M il punto medio del segmento AB,
conduci da M la retta u che incontri r ed s rispettivamente in C e D.
Dimostra che il quadrilatero ACBD è un parallelogramma.
Quando il parallelogramma “diventa” un rombo?
6) Dato un triangolo acutangolo ABC, conduci le altezze AH e BK ed indica con D il loro punto
d’intersezione. Traccia:
•
da A la perpendicolare ad lato AC;
•
da B la perpendicolare ad lato BC,
e sia E il loro punto d’incontro.
“Classifica” il quadrilatero ADBE.
7) Sia dato il triangolo ABC, retto in C. Costruisci sui cateti, esternamente al triangolo, i quadrati
ACDE e CBFG. Dimostra che il quadrilatero ABGD è un trapezio isoscele.
197
8) Nel trapezio ABCD, rettangolo in A e in D, la base maggiore AB è congruente al doppio della
base minore CD che, a sua volta, è congruente ad AD. Detto H il piede della perpendicolare
condotta da C ad AB, dimostra che i segmenti BD e CH si tagliano scambievolmente per
metà.
9) Sia dato il quadrilatero ABCD, concavo in C. Dimostra che l’angolo convesso BCD è
congruente alla somma degli angoli interni del quadrilatero con vertici in A, B e D.
(suggerimento: traccia la semiretta di origine A, passante per ......................... teorema angolo
esterno ..... )
10) Dato il quadrilatero convesso ABCD, conduci da ciascun vertice le parallele alle diagonali e
dimostra che il quadrilatero individuato da tali parallele risulta un rettangolo se e solo se le
diagonali del quadrilatero dato sono perpendicolari.
La condizione che il quadrilatero ABCD abbia le diagonali perpendicolari è sufficiente perché
esso sia un rombo? Perché?
11) Disegna un rettangolo ABCD, con la base AB doppia dell’altezza BC. Sul prolungamento di
AB, dalla parte di B, considera un punto E tale che BE ≅ BC.
Unisci C con E e classifica il poligono AECD.
12) Sia dato il trapezio ABCD di base maggiore AB e base minore DC. Detti M ed N i punti medi
rispettivamente dei lati obliqui AD e BC, dimostra che il segmento MN è parallelo alle due
basi ed è congruente alla loro semisomma.
13) Dato un trapezio ABCD, di base maggiore AB e base minore CD, conduci le diagonali AC e
BD. Detti M ed N i punti medi rispettivamente di AC e BD, dimostra che:
MN ≅ AB – CD .
2
14) Dato un segmento AB di lunghezza qualsiasi, dividerlo in:
a) 3 parti congruenti;
b) 4 parti congruenti;
c) 5 parti congruenti;
d) 6 parti congruenti.
Fai una figura per ogni caso esaminato.
198
OLIMPIADI
PER
QUEST’ANNO
E’ FINITA?!
A CHI
LO DICE!
C’E’
QUALCHE
PROBLEMA!
1.
OLIMPIADI
CHE
FATICA!
Quanti angoli maggiori di 90° può avere un quadrilatero (non intrecciato)?
(A) ne ha almeno uno
(B) ne ha al più uno
(C) ne ha al più due
(D) ne ha al più tre
(E) può averne quattro
(Giochi di Archimede, 1996)
[D]
2.
In un quadrilatero convesso ABCD, i lati AB, BC, CD sono uguali. Inoltre AC = BD = AD,
quanto misura l’angolo in D?
(Gara Provinciale Giochi di Archimede 1997)
[72°]
3.
Un esagono equiangolo ha quattro lati consecutivi lunghi nell’ordine 5, 3, 6 e 7. determinare
le lunghezze degli altri due lati.
(Gara Provinciale Giochi di Archimede 2001)
[8 ; 1]
199
4.
Quali delle seguenti affermazioni è corretta?
(A) Se un quadrilatero ha tutti i lati uguali, allora ha anche tutti gli angoli uguali.
(B) Se un quadrilatero ha tutti gli angoli uguali, allora ha anche tutti i lati uguali.
(C) Se un quadrilatero ha due angoli uguali, allora ha anche due lati uguali.
(D) Esiste un triangolo con tutti gli angoli uguali, ma in cui i lati non sono tutti uguali.
(E) Esiste un pentagono con tutti gli angoli uguali, ma in cui i lati non sono tutti uguali.
(Giochi di Archimede 1999)
[E]
5.
Conoscendo i quattro angoli A, B, C, D, quanto vale la somma degli angoli E ed F?
B
(A) A + B + C + D
(B)
1
(A + B + C + D)
2
A
(C) 360° – A – B – C – D
E
F
(D) 360° + A – B – C – D
(E) Non è determinata
D
C
(Gara Junior, 1993)
[A]
6.
Nella figura l’angolo DCE vale 70° e ABCD e DEFG sono quadrati uguali. L’angolo
convesso ADG vale:
A
G
(A) 110°
D
(B) 120°
(C) 130°
B
F
(D) 140°
(E) 160°
70°
C
E
(Giochi di Archimede, 1994)
[D]
200
IL PRESENTE VOLUME E' STATO REALIZZATO DA
Prof. TIRALONGO SALVATORE