Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI Simmetrie Ad ogni simmetria delle Natura corrisponde una quantità conservata (Emmy Noether). Simmetria centrale DEF. Sia P ( x, y ) un punto del piano cartesiano e sia C ( x0 , y0 ) il centro di simmetria. Il punto P '( x ', y ') è per definizione il simmetrico di P rispetto al centro C se e solo se C è il punto medio del segmento PP’. Determiniamo le equazioni di trasformazione di una simmetria centrale. La condizione che lega le coordinate di P a quelle di P’ è dunque che il centro di simmetria C sia il punto medio del segmento PP’. Le coordinate del punto medio di x x' y y' ; y0 un segmento sono le ben note: x0 . Risolvendo queste ultime 2 2 rispetto a x’ e y’ si ottengono le seguenti: x ' x 2 x0 S y ' y 2 y0 ES. Trovare il simmetrico del punto P(4, 5) rispetto al centro C(1, 3). Sol. Utilizzando le si ottiene rapidamente: P’(–2, 1). Verifichiamo che effettivamente 4 2 5 1 , C è il punto medio M del segmento PP’. M 1,3 =C. 2 2 IMPORTANTE ES. Verificare che applicando 2 volte la simmetria centrale ad un punto P, si ottiene P’’ = P. Sol. Al primo passaggio si ottiene: P ' x 2 x0 , y 2 y0 ora a P’ devo applicare un’altra volta la simmetria centrale ossia cambiare di segno la sua x e aggiungere 2x0 e cambiare di segno la sua y e aggiungere 2y0 . Otteniamo: P '' ( x 2 x0 ) 2 x0 , ( y 2 y0 ) 2 y0 P x, y Le simmetrie centrali sono trasformazioni particolari: applicate 2 volte riportano ogni punto alla posizione iniziale. La trasformazione inversa di ogni simmetria centrale si ottiene pertanto applicando di nuovo la simmetria stessa. Le formule di una simmetria e della sua inversa coincidono: S-1 = S. La simmetria centrale è INVOLUTORIA ES. Trovare l’equazione della retta r’ simmetrica di r: y = x + 1 rispetto al centro C(1,- 1). Verificare che applicando 2 volte la simmetria assiale a r si ottiene r’’≡ r. 1 Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI Sol. Per ricavarci l’equazione della retta r’ dobbiamo invertire le rispetto alle vecchie coordinate x e y in modo poi da sostituirle nell’equazione di r. Si avrà dunque: x x ' 2 x0 S 1 y y ' 2 y0 Sostituendo queste coordinate nell’equazione di r si ottiene: y ' 2 x ' 2 1 => y ' x ' 5 . La retta trasformata è sempre parallela a quella data. Verifichiamo che il punto C è anche equidistante dalle rette r ed r’: |1 1 1| 3 dC r 2 2 |1 1 5 | 3 dC r ' 2 2 Se trasformo di nuovo la r’ ottengo r’’: y '' 2 x '' 2 5 => y '' x '' 1 ≡ r !! Riassumiamo i risultati ottenuti in un grafico. Ricerca dei punti uniti e delle rette unite i) Punti uniti DEF. Un punto del piano P si dice UNITO rispetto ad una trasformazione T se e solo se coincide con il suo trasformato P’. 2 Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI Andiamo allora alla ricerca dei PUNTI UNITI di una simmetria centrale imponendo ciò che dice la definizione ossia x’=x e y’=y. Ciò ci conduce alla risoluzione del sistema: x x 2 x0 y y 2 y0 La soluzione di questo sistema permette di trovare i punti uniti di una simmetria centrale. La soluzione si trova facilmente. L’unico punto unito è il centro C ( x0 , y0 ) come c’era da immaginarsi visto che se cerchiamo il simmetrico di C rispetto a se stesso otteniamo ancora C. ii) Rette unite DEF. Una retta r del piano si dice UNITA rispetto ad una trasformazione T se e solo se coincide con la sua trasformata r’. Prima di trovare le rette unite proviamo ad utilizzare l’intuito. Quali sono quelle rette che a seguito di una riflessione rispetto al centro C non cambiano? Non è difficile convincersi del fatto che sono tutte e sole quelle che passano per C stesso ossia tutte le rette del fascio proprio di centro C. Per dimostrarlo facciamo i calcoli. Applichiamo una trasformazione di simmetria centrale alla retta r e otteniamo r’, poi imponiamo che r’ coincida con r. Sim .Centrale r : y mx q r ' : y ' m ' x ' q ' C ( x0 , y0 ) r r' Procediamo come nell’esempio precedente sostituendo al posto di x e y di r le loro espressioni derivate dalle . Si ottiene: r ' : y ' 2 y0 m( x ' 2 x0 ) q Imponendo che r’ = r troviamo la condizione su q: q mx0 y0 e quindi sostituendolo nella retta r otteniamo: y y0 m( x x0 ) Che è proprio il fascio di rette di centro C come avevamo previsto. Ogni retta del fascio proprio di centro C è RETTA UNITA rispetto ad una simmetria centrale di centro C. In conclusione possiamo dire che: Ogni simmetria CENTRALE ha 1 solo punto unito, il centro C, ed infinite rette unite, tutte quelle del fascio proprio di centro C. 3 Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI x ' x 2 ES. Trovare i punti uniti e le rette unite della trasformazione T: . y ' y 4 Disegnare la retta r’ simmetrica di r: y = – x – 1. Sol. La trasformazione T è una simmetria centrale di centro C(–1,2) per cui esiste un unico punto unito C(–1,2) mentre le rette unite sono quelle del fascio proprio ossia di equazione y – 2 = m(x + 1). La trasformata di r è dopo facili calcoli r’: y’ = – x’ + 3. Riassumiamo tutto in un grafico. Simmetria centrale rispetto all’origine O(0,0). Se prendiamo come centro di simmetria l’origine degli assi O(0,0) si ottengono allora le seguenti semplici equazioni di trasformazione: x ' x y' y ES. Il simmetrico rispetto all’origine del punto P(3, 2) è P’(–3, –2). La retta simmetrica di r: y=3x–2 si ottiene semplicemente cambiando i segni di x e y; r’: – y’ = – 3x’ – 2 => y’ = 3x’ + 2. Diamo ora un’ultima definizione. DEF. Una curva del piano cartesiano si dice DISPARI se essa è simmetrica rispetto all’origine degli assi. In altre parole essa non deve cambiare se la sua equazione viene trasformata secondo le . Per quanto già detto, le rette del fascio di centro l’origine di equazione y = mx sono rette unite (ossia proprio quelle che non cambiano sotto la simmetria ) e quindi sono tutte DISPARI. Infatti per le trasformate si ottiene: –y = m(–x) => y = mx che 4 Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI sono uguali alle originali. Tutte le curve rappresentabili con polinomi di grado dispari, es. y 4 x 5 x 3 2 x , sono DISPARI. Infatti per la trasformata si ottiene: y ' 4( x ')5 ( x ')3 2( x) che è uguale all’originale. Un esempio di 3 curve dispari INVARIANTI di una simmetria CENTRALE Altro tema di grande importanza è la ricerca degli invarianti di una trasformazione geometrica ossia di quelle quantità numeriche o proprietà geometriche degli oggetti (punti, rette, figure piane, ecc. ) che non mutano a seguito della trasformazione. Quali sono gli invarianti di una simmetria centrale? 1° Invariante. L’angolo fra rette. Dagli esempi fatti in precedenza, abbiamo visto che la trasformata di una retta r è una retta r’ parallela ad essa. Detto in altri termini se trasformiamo una retta qualunque otteniamo sempre un’altra retta parallela a quella di partenza. Da questo si deduce che se due rette r ed s formano un certo angolo allora anche le loro trasformate r’ ed s’ formano lo stesso angolo . Questa proprietà viene riassunta nella frase: Ogni simmetria CENTRALE conserva gli angoli Dimostriamo tale affermazione. Prendiamo una retta generica di equazione r: ax + by + c = 0 e applichiamo una simmetria centrale le cui equazioni sono le . Otteniamo la trasformata: r’: a( x ' 2 x0 ) b( y ' 2 y0 ) c 0 Notiamo che i coefficienti di x’ e y’ sono stavolta –a e –b che possono essere trasformati in positivo moltiplicando tutto 5 Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI per –1. Dunque anche la retta r’ è parallela alla retta r perché ha lo stesso coefficiente angolare dato da: m = –a/b. ES. Trovare le trasformate di r: y = 2x – 3 e s: y = – x + 1 rispetto ad una simmetria centrale di centro C(1, 2) e disegnarle. Verificare anche graficamente che l’angolo formato dalla coppia di rette r ed s è uguale all’angolo ' formato dalle rette trasformate r’ ed s’. Sol. Come al solito applichiamo le (inverse delle ) e troviamo: r’: y’ = 2x’ + 3 s’: y’ = –x’ + 5 L’angolo ' = perché r//r’ ed s//s’. Disegniamo le due coppie di rette r, s; r’, s’. Come si può vedere i due angoli indicati entrambi con sono uguali. 2° Invariante. La distanza fra punti. L’altro importante invariante è la distanza fra punti. Siano P x1 , y1 , Q x2 , y2 due punti del piano cartesiano e P ' x '1 , y '1 , Q ' x '2 , y '2 i due punti trasformati secondo la simmetria centrale . Vediamo se e come cambia la loro distanza: P 'Q ' x ' 2 x1' y2' y1' 2 x2 2 x0 x1 2 x0 2 2 y2 2 y0 y1 2 y0 2 x2 x1 2 y2 y1 PQ 2 6 Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI Quindi la distanza fra due punti è un invariante sotto questa particolare trasformazione. Questa proprietà viene riassunta nella frase: Ogni simmetria CENTRALE conserva le distanze Come conseguenza diretta di ciò abbiamo che la simmetria centrale trasforma le figure geometriche (triangoli, quadrati, rettangoli, parallelogrammi, trapezi ecc.) in figure geometriche congruenti! Una trasformazione che lasci invariata la distanza fra punti si chiama ISOMETRIA (dal greco iso=stessa metria=distanza). La simmetria centrale è una ISOMETRIA (diretta). A B C X 1 3 4 Y 1 3 9 A' B' C' -1 -3 -4 -1 -3 -9 Riflessione rispetto all'origine 10 5 Esempio di un triangolo di vertici A(1,1), B(3,3) e C(4,9) ed il suo simmetrico rispetto all’origine. Si può notare che sono congruenti. Y 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 -5 -10 X 7 Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI Simmetria assiale DEF. Due punti P e P’ sono simmetrici rispetto alla retta r, detta asse di simmetria, se e solo se la retta r è l’asse del segmento PP’. In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, si vogliono determinare le equazioni di trasformazione di una simmetria assiale. Sia r: y=mx+q la retta asse di simmetria e sia P ( x0 , y0 ) il punto di cui si vuole determinare il simmetrico P '( x0' , y0' ) rispetto a tale retta. Secondo la definizione, P’ è il simmetrico di P rispetto alla retta y=mx+q se essa è l’asse del segmento PP’. Il punto P’ deve stare quindi sulla retta s passante per P e perpendicolare ad r; inoltre il punto H d’incontro fra la retta r ed s x0 x0' y0 y0' , deve essere il punto medio del segmento PP’, ossia H . 2 2 Procediamo dunque a determinare la retta s che passa per P ed è perpendicolare a r. Essa avrà equazione: 1 s : y y0 ( x x0 ) m Intersechiamo ora la retta r con la retta s per trovare le coordinate di H. Avremo: y mx q H 1 y y ( x x0 ) 0 m x0 my0 mq x H 1 m2 H 2 y mx0 m y0 q H 1 m2 Come già detto, P’ deve appartenere alla retta s, ed H deve essere il punto medio del segmento PP’ . Si avranno così le equazioni implicite di trasformazione rispetto ad una simmetria assiale. x0 my0 mq x0 x0' 1 m2 2 y' y 1 ( x' x ) 0 0 0 0 m Risolte rispetto a x0' e y0' , dopo facili calcoli, si ottiene: ' x0 (1 m 2 ) 2my0 2mq x0 1 m2 2 y ' y0 (m 1) 2mx0 2q 0 1 m2 8 Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI Essendo P ( x0 , y0 ) un punto qualunque del piano, possiamo togliere l’indice “0” ed otteniamo le formule generali per una simmetria assiale rispetto alla retta y=mx+q: (1 m2 ) x 2my 2mq x' 1 m2 2 y ' 2mx (1 m ) y 2q 1 m2 ESEMPIO Vediamo ora come poter trovare le equazioni di trasformazione di una simmetria assiale in un caso concreto senza doverci ricordare le formule . Prendiamo come asse di simmetria la retta r: y= x+1 e siano P ( x0 , y0 ) e P '( x '0 , y '0 ) il punto originale ed il suo trasformato. I° Metodo. Operiamo nel modo seguente: a. Imponiamo che il punto medio di PP’ appartenga alla retta r. b. Imponiamo che la retta passante per PP’ sia perpendicolare a r. c. Risolviamo il sistema determinato dalle due condizioni a. e b. y y '0 x0 x '0 1 a. 0 2 2 y '0 y0 1 b. x '0 x0 y0 y '0 x0 x '0 1 2 2 c. la cui soluzione è: y '0 y0 1 x '0 x0 9 Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI II° Metodo. Operiamo nel modo seguente: d. Scriviamo la retta s perpendicolare a r e passante per P. e. Intersechiamo s con r e determiniamo H. f. Imponiamo che H sia il punto medio di PP’. a. y – y0 = –(x–x0) b. r ∩ s ==> c. ==> la cui soluzione è: III° Metodo. Operiamo nel modo seguente: a. Imponiamo che la retta PP’ sia perpendicolare a r. b. Imponiamo che la distanza di P da r sia = alla distanza di P’ da r (asse). c. Risolviamo il sistema con le 2 condizioni precedenti. a. b. c. ==> Il sistema c. si spezza in due. Quello che si ottiene non cambiando i segni della 2° equazione è banale perché fornisce come trasformato di P, P stesso e quindi va scartato. Si può dimostrare che se prendiamo come asse di simmetria la retta r: y = mx+q allora la trasformata di s: y = cx + k è: Questo dimostra che una coppia di rette parallele (stesso c) viene trasformata in un’altra coppia di rette parallele. ES. Determinare il simmetrico di P(3, 1) e della retta s: y = –2x – 1 rispetto alla retta (asse di simmetria) r: y= x+1. Sol. Utilizzando le equazioni appena calcolate: . Troviamo subito: P’(0, 4) mentre per s’: x’+1=–2(y’–1) –1=> y’= –x’/2. Disegniamo i risultati ottenuti. ES. Determinare le equazioni della simmetria assiale di asse r: y=2x–1. Sol. Procediamo come nel caso precedente. a. retta s : y – y0 = –1/2(x–x0) b. => c. Uguagliando le due espressioni di H ricavate in b. e c. si ottiene: 10 Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI IMPORTANTE 1 ES. Verificare che applicando 2 volte la simmetria assiale rispetto alla retta r:y=x+1 ad un punto P, si ottiene P’’ = P. Sol. Al primo passaggio si ottiene: . Adesso a P’ devo applicare un’altra volta la simmetria assiale ossia: la nuova ascissa è la vecchia ordinata diminuita di 1; la nuova ordinata è la vecchia ascissa aumentata di 1. Otteniamo perciò: Questa proprietà è caratteristica di tutte le simmetrie assiali. Le simmetrie assiali (come quelle centrali) sono trasformazioni particolari: applicate 2 volte riportano ogni punto o ogni retta nella situazione iniziale. La trasformazione inversa di ogni simmetria assiale si ottiene pertanto applicando di nuovo la simmetria stessa. Le formule di una simmetria e della sua inversa coincidono: S-1 = S. La simmetria assiale è INVOLUTORIA IMPORTANTE 2 ES. Verificare che applicando 2 simmetrie assiali rispetto a rette perpendicolari si ottiene una simmetria centrale con centro il punto d’incontro degli assi di simmetria (Questa dimostrazione è stata fatta in appendice 1 con DERIVE). Siano per esempio gli assi a1: y = 3x – 4 e a2: y = –1/3 x + 1 e sia P(3, 2) il punto da trasformare rispetto agli assi. Sol. Per prima cosa scriviamo le equazioni di trasformazione rispetto ad a1 ed a2. , ed applichiamo le simmetrie: , . Il punto d’incontro fra gli assi è C( 3/2, 1/2). Scriviamo la simmetria centrale rispetto a C: e quindi il simmetrico di P rispetto al centro di simmetria C è: ≡ P’’ come si voleva dimostrare Ricerca dei punti uniti e delle rette unite Per ricercare i PUNTI UNITI di una simmetria assiale generale risolviamo il sistema: Facilmente si trova che il sistema si riduce a 2 equazioni identiche: . Possiamo concludere che esistono infiniti punti uniti, tutti quelli appartenenti all’asse di simmetria. Essa prende il nome di RETTA DEI PUNTI UNITI. In conclusione: 11 Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI Ogni simmetria ASSIALE ha 1 sola retta dei punti uniti: l’asse di simmetria. INVARIANTI di una simmetria ASSIALE Quali sono gli invarianti di una simmetria ASSIALE? 1° Invariante. L’angolo fra rette. Dagli esempi fatti in precedenza, abbiamo visto che la trasformata di una retta r è una retta r’ NON parallela ad essa. Ma se prendo due rette r ed s che formano un certo angolo , e le trasformo con una simmetria assiale in r’ ed s’, allora anche l’angolo fra r’ ed s’ è ancora . La dimostrazione generale può essere fatta in modo semplice utilizzando la geometria euclidea. Questa proprietà viene riassunta nella frase: Ogni simmetria ASSIALE conserva gli angoli 2° Invariante. La distanza fra punti. L’altro importante invariante è la distanza fra punti. Siano , due punti del piano cartesiano e , i due punti trasformati secondo la simmetria assiale . Vediamo se e come cambia la loro distanza. I trasformati di P e Q sono i punti e . Dunque: Quanto abbiamo visto in questo esempio particolare può essere generalizzato ad ogni simmetria assiale: la distanza fra due punti è un invariante. Questa proprietà viene riassunta nella frase: Ogni simmetria ASSIALE conserva le distanze Come conseguenza diretta di ciò abbiamo che la simmetria assiale trasforma le figure geometriche (triangoli, quadrati, rettangoli, parallelogrammi, trapezi ecc.) in figure geometriche congruenti! Cambia solo il verso di percorrenza dei vertici: se i vertici ABC di un triangolo sono in ordine sinistrorso (orario) i vertici A’B’C’ del triangolo simmetrico sono in ordine destrorso (antiorario) come in uno specchio. Per questo motivo le simmetrie assiali sono dette anche speculari, come se al posto dell’asse di simmetria ci fosse uno specchio. La simmetria assiale è una ISOMETRIA (inversa) A B C X 1 3 4 Y 1 3 9 A' B' C' -1 -3 -4 1 3 9 Esempio di un triangolo di vertici A(1,1), B(3,3) e C(4,9) ed il suo simmetrico rispetto all’asse Y. Si 12 Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI può notare che sono congruenti. Consideriamo infine qualche semplice caso ma di particolare interesse 1) Asse x . Poniamo nella m=0 e q=0. Si ottengono le equazioni di trasformazione per la simmetria rispetto all’asse x. ES. Il simmetrico rispetto all’asse x del punto P(3, 2) è P’(3, –2), mentre la simmetrica di r: y = 3x – 2 è r’: y = –3x + 2 La retta unita è l’asse x stesso. 1 bis) Retta parallela all’asse x. Sia ora m=0 e q=y0. Si ottengono le seguenti equazioni di trasformazione per la simmetria rispetto alla retta di equazione y= y0. ES. Il simmetrico rispetto alla retta y = –2 del punto P(6, –1) è P’(6, –3). 2) Asse y. Se y0 = 0 si ottengono le equazioni di trasformazione per la simmetria rispetto alla retta di equazione x=0. ES. Il simmetrico rispetto all’asse y del punto P(3, 2) è P’(–3, 2), mentre la simmetrica di r: y = 3x – 2 è r’: y = –3x – 2 La retta unita è l’asse y stesso. 2 bis) Retta parallela all’asse y. Si ottengono le seguenti equazioni di trasformazione per la simmetria rispetto alla retta di equazione x=x0 . ES. Il simmetrico rispetto alla retta x=3 del punto P(5,1) è P’(1,1). La retta unita è l’asse stesso ossia x=0. IMPORTANTE 3) Bisettrice I-III quadrante m=1 e q=0. Si ottengono le equazioni di trasformazione per la simmetria rispetto alla retta di equazione y=x. ES. Il simmetrico rispetto alla bisettrice I-III quad. del punto P(3,2) è P’(2,3) mentre la simmetrica di r: y = 3x – 2 è r’: x = 3y – 2. La retta unita è l’asse stesso ossia y=x. 13 Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI Notare che la simmetria rispetto alla bisettrice si riduce a scambiare x con y e viceversa. Ciò sarà molto importante quando cercheremo di determinare il grafico delle funzioni inverse. 4) Bisettrice II-IV quadrante m=–1 e q=0. Si ottengono le equazioni di trasformazione per la simmetria rispetto alla retta di equazione y=-x. ES. Il simmetrico rispetto alla bisettrice II-IV quad. del punto P(3,2) è P’(-2,-3). La retta unita è l’asse stesso ossia y=-x. CURVE PARI DEF. Una curva del piano cartesiano si dice PARI se essa è simmetrica rispetto all’asse y. In altre parole essa non deve cambiare se la sua equazione viene trasformata secondo le . Tutte le curve rappresentabili con polinomi di grado pari (es. ) sono PARI. Infatti per le trasformate si ottiene: che sono uguali alle originali. Due esempi di curve pari 14 Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI Traslazioni Le traslazioni non sono simmetrie ma sono le più semplici trasformazioni che si possono operare in un piano cartesiano. Traslare un punto P(x,y) significa semplicemente spostarlo lungo x di una quantità e lungo y di un’altra quantità . Le equazioni di trasformazione di una traslazione di “vettore” è data da: ES. Del punto P(–2, 3) determinare le coordinate del punto P’ traslato di P del vettore V(1, 2). In secondo luogo determinare la retta r’ traslata di r: y = –2x + 3. Sol. Per P’ si ha: P’(–2+1, 3+2) => P’(–1, 5). Per ricavarci r’ invertiamo le sostituendo le coordinate accentate in r. Per r’ si avrà dunque: y’–2 = –2(x’ – 1) + 3 => y’ = –2x’ + 7. Come si può ben capire la traslazione non è involutoria in quanto applicando 2 volte la stessa trasformazione si ottiene un punto traslato di una quantità doppia rispetto all’originale. ES. Traslare il fascio di rette proprio F: y=mx del vettore . Sol. Per trovare F’ applichiamo le . Si ottiene: F’: che è la ben nota equazione del fascio proprio di centro . Esso non è altro che il traslato dell’origine O(0, 0) ossia il vecchio centro del fascio y=mx. i) Punti uniti A parte la traslazione banale di vettore V(0,0), la traslazione non ha punti uniti perché appunto tutti i punti vengono spostati di una certa quantità lungo x e/o lungo y. Infatti risolvendo l’ormai noto sistema: Ricerca dei punti uniti in una traslazione L’unica soluzione sarebbe quella banale V(0,0), ossia non traslare. ii) Rette unite Andiamo ora alla ricerca delle rette unite. Come al solito determiniamo la nuova retta r’ trasformata di r: y = mx + q e imponiamo che siano uguali. Utilizzeremo ovviamente le . => (r’ ≡ r) => => . Come interpretare questa soluzione? E’ abbastanza semplice rendersi conto che tutte le rette unite di una traslazione di vettore sono solo quelle il cui coefficiente 15 Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI angolare è ossia proprio quelle che hanno la stessa direzione (m) del vettore . Infatti se trasliamo una retta lungo la sua direzione, essa non viene alterata. In sintesi: Ogni TRASLAZIONE non ha punti uniti ma ha infinite rette unite, tutte quelle del fascio improprio di rette parallele alla direzione individuata dalla traslazione Le rette unite sono tutte quelle parallele alla retta OV, dove O è l’origine e V il vettore della traslaz. INVARIANTI di una TRASLAZIONE 1° Invariante. L’angolo fra rette. Dagli esempi fatti in precedenza, risulta chiaro che la trasformata di una retta r è una retta r’ parallela ad essa. Da questo si deduce che se due rette r ed s formano un certo angolo allora anche le loro trasformate r’ ed s’ formano lo stesso angolo . Questa proprietà viene riassunta nella frase: Ogni TRASLAZIONE conserva gli angoli 2° Invariante. La distanza fra punti. Siano , due punti del piano cartesiano e , i due punti trasformati secondo la traslazione . Vediamo che la loro distanza non cambia: Anche le traslazioni lasciarono la distanza fra punti invariata. D’altro canto nessuno si è mai meravigliato che la nostra auto sia lunga uguale se misurata nel nostro parcheggio di casa o in quello presente in piazza. Ogni TRASLAZIONE conserva le distanze La simmetria centrale è una ISOMETRIA (diretta) ES. Dato il triangolo di vertici A(1,2) B(4,1) e C(-2, -3), si determinino le coordinate dei vertici A’, B’ e C’ traslati di A,B,C del vettore V(-5, 2). Trovare area e perimetro dei due triangoli e confrontare i risultati. Verificare che il baricentro G’ di A’B’C’ è il traslato di G, baricentro di ABC. IMPORTANTE ES. Verificare che applicando in sequenza 2 simmetrie CENTRALI di centri rispettivamente C0(x0, y0) e C1(x1, y1) si ottiene una TRASLAZIONE di vettore V(2[x1–x0], 2[y1 –y0]). 16 Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI Sol. Sia P(x, y) il punto da trasformare. Alla prima simmetria si ottiene: P’(–x+2x0 , –y+2y0) . Alla seconda simmetria si ottiene: P’’(–(–x+2x0) + 2x1 , –(–y+2y0)+2y1) = P’’( x+2(x1 –x0), y+2(y1 – y0) ) Che è proprio il traslato rispetto di P di un vettore V(2[x1–x0], 2[y1 –y0]). DEF. Si definisce GLISSOSIMMETRIA (o antitraslazione) la composizione di una simmetria assiale di asse r con una traslazione di vettore V parallelo a r. Teorema. La GLISSOSIMMETRIA è una isometria inversa. Teorema. La composizione di due isometrie: a) dirette è una isometria diretta; b) inverse è una isometria diretta; c) una diretta e l’altra inversa è una isometria inversa. Trasformazione Isometrica Equazione Punti uniti Rette unite Invarianti Ogni Il centro retta del della fascio di simmetria centro C(x0, y0) 1) L’angolo fra rette Simmetria 2) La CENTRALE distanza fra (Diretta) punti 1) L’angolo L’asse di fra rette Simmetria NESSUNO simmetria 2) La ASSIALE y=mx+q distanza fra (Inversa) punti 1) L’angolo Ogni fra rette retta // al Traslazione NESSUNO 2) La vettore (Diretta) distanza fra V(x0, y0) punti Tabella riassuntiva semplificata sulle simmetrie centrali, assiali e traslazioni 17 Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI Appendice 1 Applicando 2 simmetrie assiali PERPENDICOLARI ad un punto P, si ottiene una simmetria centrale con centro il punto d'incontro degli assi Le equazioni #1 e #2 sono quelle di una simmetria rispetto all'asse y = mx + q Le equazioni #3 e #4 sono quelle di una Simmetria rispetto all'asse y = -1/m x + k perpendicolare all'asse precedente. Sostituendo x_1 e y_1 nelle #3 e #4 si ottengono le seguenti: Come si vede le #5 e #6 sono le coordinate di una simmetria centrale di centro dato dalla #8 che rappresenta il punto d'intersezione fra gli assi y = mx + q e y = -1/m x + k 18 Prof. Roberto Fantini Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena SIMMETRIE e TRASLAZIONI 19