appunti delle lezioni del ccorso di Statica
CA
ARATTER
RIZZAZIIONE CIINEMATIICA DEI VINCOL
LI INTER
RNI
Nelle struutture sono spesso prresenti variie travi co
ollegate tra loro tram
mite dei disspositivi dii
connessionne che imppongono delle restriziooni sugli sp
postamenti relativi deggli elementti collegati..
Questi sisteemi di connnessione ven
ngono appuunto detti VIINCOLI IN
NTERNI.
Sebbene laa configurazzione dei viincoli internni sia la stesssa dei vinccoli esterni (biella, dop
ppio-doppioo
pendolo, cerniera, dopppio pendolo) e, sebbeene anche per
p i vincoli interni siaa possibile individuaree
una direzioone efficacee del vincolo insieme a una o più
ù equazioni che ne traaducono la condizionee
cinematicaa, i vincoli interni impo
ongono dell e restrizioni sugli spostamenti relaativi dei traatti collegatii
e non suglii spostamennti assoluti come
c
nel caaso dei vinco
oli esterni.
z
bo
Quindi la ccondizione di vincolo interno,
i
ovvvero l’annulllamento dello spostam
mento o dellaa rotazione,,
va esplicatta consideraando gli spostamenti rellativi:
Δu Pnvi = Δ u P ⋅ n vi = 0
Δθ = 0
za
ntre:
dove n vi inndica il verssore della direzione effficace del viincolo, men
d
trra lo spostaamento dellaa sezione di connessioone della traave destra e
Δu Pnvi = u Pnvi,d − u Pnvi, s la differenza
lo spostam
mento lungo la stessa dirrezione dellla sezione di
d connessio
one della traave sinistra;
one di con
nnessione ddella trave destra e laa
Δθ = θ d − θ s la differenza tra laa rotazione della sezio
rotazione ddella sezionne di connessione della trave sinistra.
Anche nel caso dei vinncoli intern
ni risulta utille individuaare i potenzziali centri ddi rotazione individuatii
a
di rrotazione ma
m di centrii
dai vincolii. In questoo caso però non si puòò più parlaree di centri assoluti
relativi.
Quindi nell caso di siistemi di trravi in cui siano preseenti vincolii interni è nnecessario classificaree
cinematicaamente anchhe i vincolii interni e andare a definire il lo
oro grado ddi moltepliccità sc. che,,
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o dal tipo dii vincolo m
ma anche dall numero dii
diversamennte dai vinccoli esterni, esso dipen de non solo
tratti colleggati (nt):
sc = s ( nt − 1)
dove s è laa molteplicittà del corrisspondente vvincolo esterrno.
Biella o p
pendolo intterno: le prrestazioni ccinematiche di questo vincolo intterno sono analoghe a
quelle del corrispondeente vincolo esterno, oovvero impone delle restrizioni suulla compo
onente delloo
l
la suaa direzione eefficace:
spostamentto relativo lungo
Δu Pnvi = Δ u P ⋅ n vi = 0 → ( u P ,d − u P , s ) ⋅ n vi = 0
Ovvero im
mpedisce gli spostamentti relativi seecondo il prroprio asse. Se inserito tra soli duee corpi, essoo
z
bo
è caratterizzzato da unaa relazione scalare cin ematica e possiede
p
dun
nque moltepplicità sc=1
1. Se invecee
collega nt tratti, esso è caratterizzzato da m
molteplicità sc = nt − 1 . Questo vinncolo, analo
ogamente a
ntro di rotaazione relativa se esistte deve apppartenere all’asse dellaa
quello esteerno impone che il cen
biella.
za
Doppio-dooppio pend
dolo interno
o: questo vinncolo impo
one una restrrizione sullla rotazione relativa traa
i tratti che collega:
Δθ = 0
i
tra soli due corpi,
c
esso è caratterizzzato da un
na relazionee
Come nel caso della biella, se inserito
molteplicità sc=1. Se invece colllega nt traatti, esso è
scalare cinnematica e possiede dunque m
caratterizzaato da moltteplicità sc = nt − 1 . Q
Questo vinco
olo, analogamente a qquello estern
no, imponee
che il centrro di rotazioone relativa se esiste è improprio.
Cerniera interna: laa cerniera in
nterna impeedisce gli spostamenti
s
relativi deelle estremittà dei trattii
collegati:
2
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2
⎪⎧ Δ u P ⋅ e = 0
Δu P = 0 ⇒ ⎨
3
⎪⎩ Δ u P ⋅ e = 0
Ovvero see collega duue soli corp
pi essa com
mporta duee relazioni cinematiche
c
e scalari e dunque haa
molteplicittà sc=2 com
me la cernierra esterna. S
Se invece collega nt>2 corpi, la m
molteplicità sarà pari a::
na coincidee
sc = 2 ( nt − 1) . Il poteenziale centtro di rotaziione relativa individuaato dalla cerrniera intern
proprio conn la cernieraa.
Doppio peendolo o glifo
g
intern
no: questo vincolo im
mpone restrrizioni sia sugli spostamenti, inn
particolaree non consennte lo sposttamento rellativo lungo
o la direzion
ne individuaata dal suo asse, sia laa
z
bo
rotazione rrelativa:
⎧ Δu Pnvi = Δ u P ⋅ n vi = 0
⎨
⎩ Δθ = 0
Quindi se collega duee soli tratti ha
h moltepliicità pari a due. Inoltree individua un centro di
d rotazionee
coincidentee con il punnto impropriio del suo aasse.
za
A questi anndrebbero aggiunti
a
il vincolo
v
di ccontinuità una
u sorta di incastro innterno, che rappresenta
r
a
proprio la continuità del
d materialle. Così com
me, all’oppo
osto, il vinccolo di discoontinuità deel materialee
d sistema..
detto anchee taglio chee isola rendeendo indipenndenti due o più tratti del
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Figurra 1. Vincoli interni
i
AN
NALISI CINEMAT
C
TICA DI SISTEMI DI TRA
AVI
d sistemi costituiti da nt travi rigiide in preseenza di vinccoli esterni e di vincolii
L’analisi ccinematica di
interni devve essere coondotta veriificando chhe i 3·nt graadi di libertàà di rototraaslazione po
osseduti dall
sistema in assenza deii vincoli siano appunto impediti daa questi.
ndizione neecessaria per stabiliree
In pratica,, anche in questo caso è possibbile ricavaare una con
l’efficacia dei vincooli nell’imp
pedire rotottraslazioni congruentii (si dice anche chee i vincolii
z
bo
costituiscoono un bloccco cinematicco):
s + sc ≥ 3nt
dove:
s: grado tottale di moltteplicità dei vincoli esteerni
nt: numero di tratti cosstituenti il sistema
s
za
sc: grado ddi moltepliciità dei vinco
oli interni
nel seguitoo la somma delle molteeplicità dei vincoli inteerni ed esterrni verrà inddicata con s + sc = s e
quindi la condizione necessaria
n
su
ul numero ddi vincoli seemplici interni ed estern
rni diventa:
s ≥ 3nt
vi, le equazi oni che esp
primono le condizioni
c
ccinematichee dei vincolii
Anche nel caso di sisttema di trav
ogeneo del tipo:
esterni ed iinterni conssentono di riicavare un ssistema omo
V q=0
ne s × 3nt ) dalla qualee si posson
no ricavaree
dove V è appunto la matrice dei vincolli (di ordin
informaziooni circa l’effficacia dei vincoli, ovvvero classifficare cinem
maticamentee il sistema di
d travi.
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nte una conndizione sufficiente dii
Infatti, meentre la conndizione s + sc < 3nt rrappresenta chiaramen
labilità dell sistema, puuò invece acccadere chee:
•
s
ddel sistema V q = 0 è indeterminaata quindi il
i sistema è
s ≥ 3nt → R (V ) < 3nt la soluzione
labile: l > 0 ovvero
o
non tutti i vinccoli sono efficaci;
e
allo
o stesso tem
mpo il sistema risultaa
rimossi senzza variare ill
altrresì iperdeteerminato i > 0 , ovveroo alcuni dei vincoli possso essere ri
graado di labilità del sisstema. i = s − R (V ) raappresenta proprio il grado di ridondanzaa
cinematica o di
d iperdeterrminazione.. l = 3nt − R (V ) rappreesenta invecce il grado di labilità,,
metri caratterrizzanti il moto
m del siste
tema di trav
vi.
ovvvero individdua il numerro di param
•
z
bo
s = 3nt → R (V ) = 3nt in questo casoo i vincoli sono tutti efficaci a sopprimeree i gradi dii
libeertà del sisttema di trav
vi, ovvero è una cond
dizione di blocco
b
cinem
matico: l = 0 i = 0 . Ill
sisttema V q = 0 ammettee come uniica soluzion
ne quella baanale e il ssistema di trravi si dicee
blooccato cinem
maticamentee o isodeterm
minato.
•
meno tre viincoli semp
plici sono effficaci, ovvvero: l = 0 ; allo stessoo
s > 3nt → R (V ) = 3nt : alm
za
tem
mpo è possiibile osserv
vare che c’èè un numerro di vincolli sovrabbonndanti indiv
viduato dall
graado di ridonndanza cinem
matica che risulta i > 0 . Questi vincoli potreebbero esserre eliminatii
e i rrestanti rim
manere efficaaci a bloccaare il moto rigido
r
di rottotraslazionee.
dove si è inndicato conn:
i = s − R (V ) grado di ridondanzaa cinematicaa
d labilità
l = 3nt − R (V ) grado di
(
)
dai quali seegue l = 3nt − s − i , ovvero
o
3nt − s = l − i .
Nelle struutture isodeeterminate si ha: l = 0, i = 0 ⇒ 3nt − s = 0 , ovvero lee seguenti condizionii
sufficienti di isodeterm
minazione:
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⎧⎪ 3nt − s = 0
,
⎨
⎪⎩ l = 0
⎪⎧ 3nt − s = 0
⎨
⎪⎩ i = 0
mentre le ccondizioni che
c caratteriizzano le strrutture labilli e iperdeteerminate sonno:
strutture laabili: l > 0
strutture ipperstatiche: i > 0 .
za
z
bo
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