Fatti “noti”
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la luce si propaga nel vuoto alla velocità c=2,998 ·108
m/s;
in un mezzo omogeneo e isotropo la luce si propaga in
tutte le direzioni con la stessa velocità v=c/n, con n>1
indice di rifrazione del mezzo;
la luce è un’onda elettro-magnetica;
In ogni punto dello spazio dove la luce si propaga, l’onda
elettromagnetica consiste nell’oscillazione del vettore campo elettrico
e del vettore campo magnetico. Questi vettori sono perpendicolari alla
direzione di propagazione della luce (onda trasversale) e il campo
elettrico e magnetico sono perpendicolari tra di loro e i loro moduli
hanno rapporto costante. Visto che campo elettrico e magnetico sono
legati tra di loro in modo noto si preferisce semplificare il problema e
pensare al solo vettore campo elettrico.
L’immagine mostra il vettore campo elettrico in un punto dello spazio
sull’asse Z (il riferimento cartesiano è scelto con la direzione dell’asse
Z parallela alla direzione di propagazione della luce quindi il campo
elettrico è perpendicolare all’asse Z)
Scomponiamo il vettore campo elettrico
lungo le direzioni X e Y.
Polarizzazione lineare
Se i componenti del campo oscillano di moto armonico in fase tra di
loro, allora il vettore campo elettrico rimane su una retta ed oscilla di
moto armonico.
Si parla in questo caso di onda trasversale polarizzata linearmente.
Nel caso di una corda questa situazione può essere facilmente
visualizzata:
Polarizzazione ellittica
Se i componenti del campo oscillano di moto armonico non in fase tra
di loro, allora il vettore campo elettrico percorre una ellisse nel piano
perpendicolare alla direzione di propagazione della luce.
Si parla in questo caso di onda trasversale polarizzata ellitticamente.
Nel caso di una corda questa situazione può essere facilmente
visualizzata (caso particolare di polarizzazione circolare):
La frequenza di oscillazione del campo elettrico è legata al colore percepito.
Nei casi descritti precedentemente questa frequenza è unica e si parla di luce
monocromatica.
Colore
λ (nm)
ν (10¹⁴ Hz)
Violetto
380-430
7.9-7.0
Indaco
430-460
7.0-6.5
Blu
460-490
6.5-6.1
Verde
490-560
6.1-5.4
Giallo
560-580
5.4-5.2
Arancio
580-620
5.2-4.8
Rosso
620-780
4.8-3.8
La luce naturale (proveniente dal sole o da una lampadina per
esempio) può essere pensata come la sovrapposizione disordinata di
molte onde polarizzate in direzioni diverse e con frequenze diverse tra
loro. In questo caso si parla di luce non monocromatica e non
polarizzata.
Anche se si parte con luce inizialmente non polarizzata, questa in
genere risulta almeno parzialmente polarizzata in seguito
all’interazione con la materia (ad esempio per riflessione, diffusione,
ecc…). Ci sono appositi dispositivi (detti polarizzatori) basati su
principi differenti che fanno in modo di polarizzare linearmente, in una
direzione scelta, la luce incidente.
Analogia con il caso di un’onda su una corda: una fenditura verticale
permette il passaggio della sola componente verticale dell’onda
incidente
Intensità luminosa
I nostri occhi e gli strumenti sono sensibili alll’intensità luminosa
(l’energia trasportata dalla luce per unità di tempo e di superficie).
L’intensità è direttamente proporzionale al quadrato dell’ampiezza del
campo elettrico:
I∝E2
Consideriamo un fascio di luce naturale (quella del Sole, di una lampada ad
incandescenza, ecc...) che attraversa un polarizzatore lineare:
Ruotando il polarizzatore misuro
sempre la stessa intensità I₀ della luce
trasmessa.
Inseriamo un secondo polarizzatore (detto analizzatore) sul cammino
della luce:
Ruotando il secondo polarizzatore
misuro una intensità I della luce
trasmessa in funzione dell’angolo di
rotazione ϴ.
legge di Malus
Il precedente esperimento ha la seguente interpretazione:
• la luce è un’onda trasversale;
• esistono
dispositivi che trasmettono luce polarizzata linearmente in una
certa direzione mentre assorbono quella polarizzata in direzione
ortogonale (come il polarizzatore);
• la luce naturale è non polarizzata;
• la luce in uscita dal primo polarizzatore è linearmente polarizzata;
• l’intensità della luce in uscita dal secondo polarizzatore è nulla nel caso
che i polarizzatori siano “incrociati”.
Dimostrazione legge di Malus
Birifrangenza
Se un materiale è anisotropo le sue proprietà (comprese quelle
ottiche) in generale non sono le stesse in tutte le direzioni.
Se facciamo incidere su un materiale birifrangente luce polarizzata
linearmente, in generale in uscita dal materiale la luce risulta
polarizzata ellitticamente.
Esistono due direzioni (detti assi principali) del materiale, tra loro
perpendicolari, tali che se la luce incidente è polarizzata linearmente
lungo una delle due direzioni, in uscita continua ad essere polarizzata
linearmente nella stessa direzione.
Il motivo di questo risiede nel fatto che la disposizione delle molecole
del materiale non è isotropa, quindi risultano birifrangenti molti cristalli
ed anche materiali amorfi a patto che venga introdotta una anisotropia
dall’esterno (come vedremo in seguito).
Indichiamo con X e Y gli assi gli assi principali del materiale e
immaginiamo di incidere con luce monocromatica (per semplificare il
ragionamento) polarizzata linearmente in una direzione che non
coincida con X o Y.
I due componenti lungo X e Y oscillano inizialmente in fase (come
visto in precedenza)
La birifrangenza consiste nel fatto che l’indice di rifrazione del materiale per la luce
polarizzata lungo X è diversa da quello per la luce polarizzata lungo Y.
Questo vuol dire che una delle due componenti viaggia più veloce dell’altra e quindi
impiega meno tempo ad attraversare il materiale.
La differenza nei tempi di percorrenza è:
dove l è lo spessore del materiale.
Questo significa che se inizialmente le due componenti oscillano in fase, dopo aver
attraversato il mezzo si trovano ad essere sfasate e la loro composizione determina
una polarizzazione ellittica della luce.
L’ellisse descritta dal vettore campo elettrico è tangente al rettangolo i
cui lati sono paralleli a X e Y e la cui diagonale rappresenta
l’oscillazione lineare dell’onda incidente.
Ci sono due casi particolari da esaminare:
1. all’uscita dal mezzo le componenti oscillano in quadratura di fase
(quando una è al suo massimo l’altra si annulla e così via).
gli assi dell’ellisse coincidono con gli assi principali del materiale
2. all’uscita dal mezzo le componenti oscillano in opposizione di fase
(quando una è al suo massimo l’altra è al minimo e così via).
l’ellisse degenere in un segmento: la luce in uscita è polarizzata
linearmente, ma con direzione parallela all’altra diagonale del
rettangolo
Per chi ha nozioni di goniometria possiamo scrivere l’oscillazione delle
componenti X e Y della luce incidente in questo modo (ponendo il
campo iniziale nullo all’istante t=0):
Si tratta di due oscillatori armonici in fase tra loro.
In seguito al passaggio per il materiale di spessore l, le componenti
risultano sfasate:
Lo sfasamento φ è un angolo, in radianti, che si può esprimere in
funzione del tempo di ritardo τ, scritto in precedenza, di una
componente rispetto all’altra:
Se indichiamo con λ la lunghezza d’onda della luce e notiamo che
λ⋅f=c, possiamo scrivere:
Possiamo ora affermare che se
con m intero, le componenti in uscita risultano in opposizione di fase e
la polarizzazione della luce risulta nuovamente lineare ma diretta
lungo l’altra diagonale del rettangolo, rispetto alla direzione di
polarizzazione della luce incidente.
Birifrangenza indotta da stress (foto-elasticità)
Un campione di vetro o di plastica trasparente in condizioni normali è isotropo, ma
quando è soggetto a compressione o tensione diventa birifrangente. Se questo
stress non è uniforme in intensità e/o direzione all’interno del campione la
birifrangenza varia in generale da punto a punto.
Assumiamo che il campione sia un
parallelepipedo e supponiamo sia
soggetto alla compressione
uniforme di due superfici opposte.
I due assi principali di birifrangenza
saranno allora diretti uno
parallelamente alla compressione e
l’altro in direzione perpendicolare
Per quanto riguarda la differenza tra gli indici di rifrazione abbiamo
che essa è direttamente proporzionale alla pressione esercitata sul
campione:
La costante di proporzionalità dipende dal materiale. Per le
plastiche essa è dell’ordine di 10-10 Pa-1
Fintanto che il campione perde la birifrangenza acquisita e ritorna
nelle condizioni iniziali quando si cessano gli sforzi si parla di
fotoelasticità.
Set-up sperimentale
Set-up sperimentale
L’esperimento
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prima di iniziare a comprimere il campione, ruotare l’analizzatore fino a
che non si ha lettura nulla sul fotodiodo (polarizzatore e analizzatore sono
incrociati e non passa luce dall’analizzatore)
iniziare a comprimere il campione. La lettura sul fotodiodo dovrebbe
crescere, quindi un po’ di luce passa attraverso l’analizzatore (se non
dovesse cambiare nulla nella lettura del fotodiodo è probabile che il
polarizzatore abbia l’asse parallelo con uno dei due assi del campione
compresso, quindi la polarizzazione della luce non cambia in uscita dal
campione e risulta comunque perpendicolare all’asse dell’analizzatore. In
questo caso provare a ruotare leggermente il polarizzatore ed iniziare di
nuovo la procedura riportando il campione nella situazione iniziale)
comprimendo il campione si arriva ad un primo massimo di intensità
luminosa sul fotodiodo. Comprimendo ancora il campione l’intensità torna
a diminuire.
Cerchiamo di capire perché osserviamo questo andamento dell’intensità.
In uscita dal polarizzatore la luce è polarizzata linearmente lungo la direzione
dell’asse del polarizzatore. In uscita dal campione la luce in generale è polarizzata
ellitticamente.
L’ampiezza della componente del campo elettrico in uscita
dall’analizzatore corrisponde alla proiezione dell’ellisse sull’asse
dell’analizzatore.
L’ampiezza massima in uscita dall’analizzatore si ha quando l’ellisse
degenera nella diagonale del rettangolo
Quando l’ampiezza è massima anche l’intensità è massima e
questo spiega l’andamento dell’intensità sul fotodiodo.
La condizione di massimo corrisponde alla condizione di
opposizione di fase tra le componenti X e Y del campo elettrico in
uscita dal campione. Questo avviene quando:
Comprimendo il campione, il primo massimo si trova quando:
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misura con il calibro lo spessore l del campione attraversato dalla luce
conoscendo la lunghezza d’onda della luce utilizzata per l’esperimento,
determina la differenza degli indici di rifrazione nx-ny corrispondente al
massimo di intensità luminosa misurata dal fotodiodo
varia leggermente la compressione agendo sul morsetto e cerca di nuovo
il massimo. Determina nuovamente nx-ny e stima l’errore su nx-ny tenendo
conto anche dell’incertezza derivante dalla riproducibilità nella
determinazione del massimo
assumendo C= 10-10 Pa-1 stima la pressione esercitata sul campione in
corrispondenza del primo massimo di intensità luminosa
determina la forza esercitata dal morsetto sulla faccia superiore del
campione
Verifica della legge di Malus
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porta il morsetto alla compressione corrispondente al primo
massimo di intensità luminosa e fermati
ruota l’analizzatore e misura l’intensità luminosa rivelata dal
fotodiodo in corrispondenza dell’angolo di rotazione
dell’analizzatore
riporta in grafico l’intensità luminosa in funzione del coseno
quadrato dell’angolo θ
verifica dal grafico che l’intensità luminosa segue la legge di
Malus (I∝cos2θ)
puoi concludere che la luce uscente dal campione in
corrispondenza del primo massimo di intensità luminosa è
polarizzata linearmente come ti aspetti?
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Osserva i campioni a disposizione, compressi nel morsetto, alla
luce naturale, disponendoli tra polarizzatori incrociati
cerca di spiegare le frange colorate osservate (considera che la
luce bianca è composta da luce di lunghezza d’onda diversa e a
ciascuna lunghezza d’onda corrisponde un colore diverso…)
ritieni che la compressione è uniforme nel campione (in intensità
e direzione)?
Foto-plasticità
Taglia una striscia dal sacchetto di plastica in dotazione e comincia
a stirarla osservandola tra polarizzatori incrociati. Compaiono le
frange dovute alla birifrangenza indotta dallo stiramento. Superato
un certo valore della tensione, la birifrangenza rimane anche una
volta cessato lo sforzo (si parla quindi di foto-plasticità).
Un altro caso di fotoplasticità si presenta quando un materiale
plastico, riscaldato fino a 92liquefarlo, viene colato in una “forma”
metallica per ottenerne oggetti di forma definita: a contatto colla
“forma”, la plastica si raffredda bruscamente, ma spesso in maniera
non omogenea, e solidifica. Il raffreddamento ineguale provoca delle
tensioni interne nel materiale che non possono riassestarsi, poiché
nel frattempo il materiale è indurito, e rimangono quindi “congelate”
nel pezzo.