Esercitazione di Statistica Verifica di Ipotesi I test di ipotesi Etimologia della parola “TEST” Dal latino Testa, vaso di terracotta nel quale venivano portati ad alta temperatura i metalli leggeri per separarli dalle impurità. Dal latino Testis, cioè testimone, risolutore delle controversie Principali di test di ipotesi Test di ipotesi Test parametrici μ μ 1- μ2 σ2 σ21/ σ22 Test non parametrici π π1 - π2 Bontà di adattamento Indipendenza Regole di decisione Ho Vera Accetto H0 Decisione Corretta Ho Falsa Rifiuto H0 Decisione Errata Accetto H0 Decisione Errata Errore α Errore β Rifiuto H0 Decisione Corretta Test sulla media μ σ2 nota Ipotesi H0:μ= μ0 H1:μ≠ μ0 H1:μ≥ μ0 H1:μ≤ μ0 Z X 0 n Esercizio 1 Un biologo rinviene una grossa quantità di scheletri che ritiene appartenenti ad una specie estinta. E’ noto che la lunghezza di un certo osso appartenete alla specie estinta segue una distribuzione normale con media μ=176 mm e σ=1,5 mm. Il biologo analizza 9 scheletri e ne calcola la media che è pari a 174,125 mm. Appartengono alla specie estinta? Eseguire il test ad un livello di significatività del 10%. Test sulla media μ σ2 non nota – piccoli campioni Ipotesi H0:μ= μ0 H1:μ≠ μ0 H1:μ≥ μ0 H1:μ≤ μ0 X 0 t Sˆ n Esercizio 2 In passato una macchina ha prodotto guarnizioni il cui spessore medio è 0,05 pollici. Per determinare se la macchina lavora regolarmente, un campione di 10 guarnizioni viene esaminato e si constata che la media è 0,053 pollici e deviazione standard pari a 0,003 pollici. Si verifichi che il macchinario stia funzionando regolarmente ad un livello di significatività del 5%. Test sulla media μ σ2 non nota – grandi campioni Ipotesi H0:μ= μ0 H1:μ≠ μ0 H1:μ≥ μ0 H1:μ≤ μ0 X 0 Z Sˆ n Esercizio 3 Un agricoltore ha utilizzato per anni un certo fertilizzante riscontrando che il grano prodotto (questa variabile si distribuisce normalmente) è pari a 4,2 tonnellate. Un rappresentante gli propone un nuovo fertilizzante con il quale in 60 appezzamenti ottiene mediamente 5,3 tonnellate di grano con una deviazione standard pari a 4. L’agricoltore deve utilizzare il nuovo fertilizzante? Test sulla differenza di due medie, varianze note Ipotesi H0:μ1= μ2 H1:μ1≠ μ2 H1: μ1 ≥ μ2 H1: μ1 ≤ μ2 Z X1 X 2 2 1 n 2 2 m Esercizio 4 Il peso medio di 50 studenti maschi di una scuola che partecipano attivamente alle gare atletiche è stato calcolato ed è pari a 68,2 kg con una deviazione standard pari a 2,5 kg, mentre quello di 40 studenti che non partecipano è stato calcolato ed è pari a 67,5 kg con una deviazione standard di 2,8 kg. Si verifichi ad un livello di significatività del 10% che il peso degli studenti che partecipano alle gare atletiche è superiore a quello dell’altro gruppo. Test sulla differenza di due medie, varianze uguali ma non note Ipotesi H0:μ1= μ2 H1:μ1≠ μ2 H1: μ1 ≥ μ2 H1: μ1 ≤ μ2 Sc n 1 Sˆ1 m 1 Sˆ2 nm2 X1 X 2 t 1 1 Sˆc n m X n Sˆc i 1 X 1 X 2i X 2 2 1i n i 1 nm2 2 Esercizio 5 Un ricercatore sta effettuando delle ricerche sugli effetti causati dall’inquinamento. E’ noto che il peso di una determinata specie di pesci, segue una distribuzione normale. Da due differenti fiumi, pesca dei pesci e li pesa: Fiume 1 20 10 17 7 10 18 Fiume 1 16 6 10 8 9 7 7 6 8 Il peso dei pesci dei due fiumi ha varianza uguale. Si verifichi che il peso dei due fiumi è uguale. Test sulla differenza di due medie per campioni appaiati Ipotesi H0:μ1= μ2 D T SˆD n H1:μ1≠ μ2 H1: μ1 ≥ μ2 H1: μ1 ≤ μ2 D D n SˆD i 1 n 2 i n 1 D D i 1 n i Esercizio 6 Un test misura i tempi di reazione in decimi di secondo di un campione casuale di 6 pazienti prima e dopo la somministrazione di un certo farmaco e produce i seguenti risultati: Pazienti 1 2 3 4 5 6 Prima 6,1 6,7 4,2 5,6 5,9 4,4 Dopo 12,1 11,7 4,1 8,6 5,7 8,4 Il farmaco fa aumentare i tempi di reazione? Test sulla frequenza di una popolazione Ipotesi H0:π= π0 H1: π ≠ π0 H1: π ≥ π0 H1: π ≤ π0 Z f 0 0 1 0 n Esercizio 7 Una ditta farmaceutica sta sviluppando un nuovo farmaco per curare l’emicrania. Indagini condotte in passato hanno rilevato che il farmaco attualmente prodotto è efficace sul 50% dei soggetti. L’azienda, prima procedere alla produzione su larga scala del farmaco, decide di condurre un test. A tal fine somministra il nuovo farmaco su 36 soggetti di cui 14 risultano guariti. E’ consigliabile produrre il nuovo farmaco? Eseguire un test ad un livello di significatività del 10%. Test sulle frequenze di due popolazioni Ipotesi H0:π1= π2 H1: π1 ≠ π2 H1: π1 ≥ π2 H1: π1 ≤ π2 Z f1 f 2 1 1 f c 1 f c n m nf1 mf 2 fc nm Esercizio 8 In un determinato paese viene indetto un referendum riguardante l’unione monetaria. Una società di sondaggi d’opinione vuole verificare se esiste una differenza tra il nord ed il sud del paese. A tal fine, intervista un campione di 5000 persone del nord del paese, di cui 2800 si dichiarano favorevoli, mentre di 6000 intervistati del sud, 3500 hanno dichiarato di voler votare a favore. Questi dati suggeriscono che l’opinione generale dei cittadini è la stessa nel nord e nel sud del paese? Test sulla varianza Ipotesi H0:σ2= σ02 σ2 H1: ≠σ0 H1: σ2 ≥ σ02 H1: σ2 ≤ σ02 2 Y 2 ˆ n 1 S 2 0 Esercizio 9 La varianza del peso di un tipo di pacchetto di sigarette è di 0,25 grammi. Il responsabile qualità dell’azienda è preoccupato che il macchinario di riempimento sia fuori taratura. Estrae un campione causale di 20 pacchetti e constata che la varianza è pari a 0,32. E’ significativa al 5% tale aumento di variabilità? Test sulle varianze di due popolazioni Ipotesi H0:σ12= σ22 H1: σ12≠ σ22 H1: σ12 ≥ σ22 H1: σ12 ≤ σ22 2 ˆ Smax F 2 ˆ S min Esercizio 10 Si considerino i dati dell’esercizio 5 Questi dati sono sufficienti ad affermare che le varianze del peso dei due fiumi sono uguali? Eseguire un test di ampiezza 5%. Determinazione della numerosità campionaria Approssimazione n z z 2 2 Esercizio 11 Si supponga di voler verificare l’ipotesi H0:μ0=40200 Contro H1:μ1=40400 Di un determinato fattore con deviazione standard pari a 1600. Quale deve essere la numerosità campionaria che garantisca un errore α pari al 5% ed un errore β pari a 3%?
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