La modellazione
delle strutture
1
Programma
31-1-2012
7-2-2012
Introduzione e brevi richiami al metodo degli
elementi finiti
La modellazione della geometria
14-2-2012
La modellazione degli elementi strutturali
21-2-2012
I collegamenti ed i vincoli
28-2-2012
La modellazione dei materiali
6-3-2012
La modellazione dei carichi
13-32012
L'analisi della struttura
20-3-2012
L'interpretazione dei risultati
27-3-2012
La validazione del calcolo
2
Introduzione e brevi richiami al metodo
degli elementi finiti
1. I tre cicli della progettazione
2. Il concetto di modellazione
3. L’approccio al calcolo strutturale con gli
elementi finiti
4. I dati minimi per un modello
5. Esempio di modellazione con Axis LT
6. I metodi di soluzione delle strutture
7. Analisi matriciale delle strutture
8. Il metodo generale agli elementi finiti
I tre cicli della
progettazione
4
Il concetto di
modellazione
11
La modellazione delle strutture
“Un modello matematico è
una rappresentazione
formale di idee o conoscenze
relative ad un fenomeno
finalizzata alla
comprensione, e controllo
del fenomeno”
E.Malinvaud, Méthod statistiques de l’économetrie
12
Relazione tra realtà e rappresentazione
Ogni rappresentazione impoverisce ed esalta la
realtà (la bontà della rappresentazione dipende
dagli obiettivi)
13
Relazione tra realtà e rappresentazione
Realtà fisica
(percepita
attraverso i sensi)
Rappresentazione FEM
(telaio spaziale che coglie gli
aspetti ingegneristici del
problema, non quelli estetici)
14
La modellazione delle strutture
La rappresentazione solida dei modelli parte da
linee e superfici in cui l’effetto 3D è dato da
sezioni e spessori
15
La modellazione delle strutture
Problema: calcolo deformazione di un
solaio in c.a. (ANALISI DELLA REALTA’)
ASTRAZIONE E RAPPRESENTAZIONE DEL
MODELLO NELLE SUE COMPONENTI
Analisi del modello di calcolo:
1. Ipotesi: strutture integre
2. Ipotesi: strutture fessurate
INTERPRETAZIONE E VALIDAZIONE DEI
RISULTATI RISPETTO ALLA REALTA’
16
L’approccio al
calcolo strutturale
con gli elementi
finiti
17
La modellazione delle strutture
In generale la soluzione esatta è complessa…
…quindi sono limitate a strutture semplici.
18
La modellazione delle strutture
L’evoluzione storica del calcolo strutturale: dallo
studio del continuo (matematici 800) con pochi casi
risolti in modo esatto…
…ai modelli discreti, approssimati, grazie all’informatica
19
La modellazione delle strutture
Modello continuo - di difficile soluzione teorica per i
casi generici (equazioni differenziali):
Modello discreto agli Elementi Finiti - metodo
approssimato ma adatto per qualsiasi tipo di struttura
(da equazioni differenziali a equazioni algebriche FEM):
20
La modellazione delle strutture
Giulio Cesare:
“Divide et impera”
21
La modellazione delle strutture
Modello fisico
continuo…
… attraverso
idealizzazione e
discretizzazione…
…si giunge al
modello discreto
(FEM)
Da Felippa: Introduction to FEM
22
Dal continuo al discreto
Vantaggio Metodo FEM
Facile interpretazione fisica
Basi matematiche solide
Simulazione di strutture complesse
Ampia gamma di problemi esaminati (lineare,
non lineare, dinamica, instabilità, sismica.)
Software affidabili e verificati
23
Dal continuo al discreto
Teorema fondamentale:
FEM = SOFTWARE = FIDUCIA
Corollari: (questioni CNDDN*)
1. E’ necessaria la conoscenza dei concetti
fondamentali del metodo ad elementi finiti
2. Per avere fiducia bisogna conoscere il
software
2.1 Conoscere le scelte fatte dal progettista
del software (area di applicazione e limiti)
2.2 Conoscere i comandi del software
* (Come Non Dormire Di Notte)
24
Dal continuo al discreto
3. Saper applicare il software al caso in
esame (saper modellare le strutture)
3.1 Rappresentare correttamente la
struttura
3.2 Saper interpretare i risultati
25
I dati minimi per
un modello
26
La modellazione delle strutture
Componenti minimi ed essenziali di un modello:
1. Elemento lineare
• Tipo di elemento (bielle)
• Nodi di riferimento
• Materiale
• Geometria sezione
• Vincoli interni tra elementi
2. Coordinate
Nodi x, y, z
3. Carichi (concentrati,
uniformi, termici,
coazioni)
4. Sistema di
riferimento locale
5. Sistema di
riferimento assoluto
6. Gradi di
libertà dei nodi
7. Vincoli
esterni
27
La modellazione delle strutture
Componenti minimi ed essenziali di un modello:
1. Superfici:
. Tipo di elemento
(membrana, guscio)
• Nodi di riferimento
• Materiale
• Spessore
• Vincoli interni tra
elementi
2. Coordinate Nodi x, y, z
4. Sistema di
riferimento locale
3. Carichi (concentrati,
uniformi, termici, coazioni)
5. Sistema di
riferimento assoluto
6. Gradi di libertà dei nodi
7. Vincoli esterni
28
La modellazione delle strutture
Modalità di input 1: dati singoli (nodi, linee, sezioni,
materiali)
29
La modellazione delle strutture
Modalità di input 2: oggetti strutturali completi
Si introducono più informazioni contemporaneamente
Pilastri e travi: nodi, sezione, materiali,
vincoli interni, sistema locale, DOF
Superfici (dominio per
meshatura automatica,
spessore, materiale,
sistema locale, vincoli
interni, DOF)
30
Esempio di
modellazione
con Axis LT
31
I metodi di
soluzione delle
strutture
32
Metodi di analisi strutturale
1. Metodo delle forze
Le sollecitazioni sono incognite
Ricerca unica configurazione
congruente tra tutte le possibili
equilibrate.
Incognite non
univoche: due
possibili soluzioni
Soluzione 1
Soluzione 2
2. Metodo spostamenti
Gli spostamenti sono incogniti
Ricerca unica configurazione equilibrata tra le
tutte le possibili congruenti.
Incognite univoche.
Soluzione
univoca
33
Metodi di analisi strutturale
Il calcolo FEM si basa sul calcolo matriciale:
è particolarmente adatto per il calcolo automatico
delle strutture (una cella corrisponde ad un cella di
memoria)
…
If R = S
a11
Else
a22
End If
Then
= q*l^2/6
= q*l/2
34
Metodi di analisi strutturale
Soluzioni per il calcolo automatico delle strutture:
1. Analisi matriciale delle strutture o
teoria tecnica della trave; limitato
a telai piani e spaziali, metodo
esatto.
2. Metodo FEM: risolve qualsiasi
struttura, metodo approssimato;
usato non solo per il calcolo
strutturale: diffusione termica,
potenziale elettrico, ecc.
3. Altri metodi: BEM, analisi al
contorno; FDM, differenze finite;
FDV, volumi finiti, ecc.
35
Analisi matriciale
delle strutture
36
Analisi matriciale delle strutture
E’ necessario esprimere in “linguaggio matematico” le
condizioni fisiche del modello
1. Principio di congruenza
Mancanza di rotture e di compenetrazioni di materiale
• Le aste che hanno un nodo in
comune assumono lo stesso
spostamento (a meno di
svincoli tra asta e nodo)
• Gli angoli tra gli elementi si
mantengono costanti
90°
37
Analisi matriciale delle strutture
2. Principio di equilibrio (globale e per i nodi)
ΣM=0
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
I nodi sono i punti di passaggio delle sollecitazioni
38
Analisi matriciale delle strutture
3. Legame costitutivo del materiale
Elastico lineare
Elastico non lineare
Elastico plastico
σ=Eε
39
Analisi matriciale delle strutture
4. Principio di sovrapposizione degli effetti
Effetti composti come somma di carichi elementari
+
=
5. Applicazione dei carichi in modo pseudo-statico
Se varia con rapidità: analisi dinamica
40
Analisi matriciale delle strutture
6. Ipotesi piccoli spostamenti
La condizione di equilibrio è espressa nella
configurazione iniziale e non finale.
Non sempre l’ipotesi è verificata: per alcune strutture
l’equilibrio va ricercata nella configurazione finale
deformata (effetti del II ordine in analisi non lineare)
41
Analisi matriciale delle strutture
7. Definizione delle convenzioni
Segno per orientamento elementi (assi locali),
carichi, sollecitazioni, spostamenti.
42
Analisi matriciale delle strutture
Consideriamo un telaio semplice con carico
distribuito che induce deformazioni sulla struttura (i
nodi ruotano e si spostano).
2
2
1
3
3
1
4
43
Analisi matriciale delle strutture
Le sollecitazioni si distribuiscono in funzione del
rapporto tra le rigidezze degli elementi
44
Analisi matriciale delle strutture
Principio di sovrapposizione degli effetti:
=
+
45
Analisi matriciale delle strutture
1. Isoliamo l’asta orizzontale e imponiamo incastri ai
nodi:
µ1
µ2
ρ1
ρ2
s0 =reazioni d’incastro perfetto nel sistema locale
46
Analisi matriciale delle strutture
2. Imponiamo rotazioni e spostamenti ai nodi…
…che generano sollecitazioni
La soluzione del problema si ottiene costruendo un
sistema di equazioni che esprime l’equilibrio dei
nodi con gli spostamenti incogniti.
47
Analisi matriciale delle strutture
Sollecitazioni sono funzione di carichi e spostamenti
Per l’ipotesi di comportamento elastico le relazioni tra
sollecitazioni e deformazioni sono lineari
48
Analisi matriciale delle strutture
Esprimendo il tutto in termini matriciali:
e quindi
s = s0 + k x
s = sollecitazioni negli elementi (M1 R1 M2 R2)
s0 = reazioni d’incastro perfetto (µ1 ρ1 µ2 ρ2)
K = matrice di rigidezza dell’elemento (ki,j)
x = spostamenti incogniti (ϕ1 u1 ϕ2 u2)
49
Analisi matriciale delle strutture
s0 =reazioni d’incastro perfetto nel sistema locale:
M1
M2
R1
R2
50
Analisi matriciale delle strutture
k = matrice di rigidezza dell’elemento, si ottiene
applicando una distorsione unitaria per volta agli
estremi dell’elemento
k11
k21
k12
k32
k21
k31
k22
k42
Colonna 1
Colonna 2
51
Analisi matriciale delle strutture
k = matrice di rigidezza dell’elemento, si ottiene
applicando una distorsione unitaria per volta agli
estremi dell’elemento
k13
k33
k14
k34
k23
k43
k24
k44
Colonna 3
Colonna 4
52
Analisi matriciale delle strutture
Esplicitazione dei dati per una asta singola, espressi
in funzione delle incognite (spostamenti x)
s = s0 + k x
53
Analisi matriciale delle strutture
Matrice di rigidezza per una trave spaziale (12x12)
Prende in conto sforzo normale, torsione, momento
e taglio nei piani y e z)
54
Analisi matriciale delle strutture
Esame della struttura intera
1. Definizione delle incognite (spostamenti dei nodi)
u2
2
φ1
u1
1
1
2
u4
3
φ2
u3
3
4
55
Analisi matriciale delle strutture
Spostamenti nodi nel piano: 3 gradi di libertà
Spostamento X
Spostamento Y
Rotazione Z
Y
56
Analisi matriciale delle strutture
Spostamenti nodi nello spazio: 6 gradi di libertà
X
Z
Y
φy
X
φx
Z
φz
Y
57
Analisi matriciale delle strutture
Esame della struttura intera
1. Definizione delle incognite
u2
φ1
u4
u1
φ2
u3
Semplificazioni per elementi
inestensibili:
u1 = u3 u2 = u4 = 0
Tabella dei gradi di libertà (DOF)
58
Analisi matriciale delle strutture
Esame della struttura intera
Blocchiamo tutti i nodi e studiamo le due strutture
separatamente:
y
=
y0
+
Kx
Anche in questo caso la relazione è lineare: y = y0 + K x
y = sollecitazioni sui nodi
y0 = reazioni incastro perfetto
K = matrice di rigidezza globale
x = spostamenti incogniti (ϕ
ϕi, ui)
59
Analisi matriciale delle strutture
Sbloccando i nodi, le reazioni di incastro perfetto si
distribuiscono sugli elementi in base alle rigidezze J1 e
J2, in modo che il nodo sia in equilibrio
M = M1 + M2
q
M - M1 - M2 =0
M
M2
M1
J1
J2
60
Analisi matriciale delle strutture
Analisi globale della struttura
2. Si scrivono le equazioni di
equilibrio ai nodi in funzione
delle incognite (spostamenti)
sommando il contributo dei
carichi esterni (attraverso le
reazioni di incastro) e quello
degli elementi convergenti
espresso dalla rigidezza degli
elementi
Reazione incastro perfetto
u2
2
2
u1
φ1
1
1
Componente flessionale asta 1
Componente flessionale asta 2
-ql^2/12
+
φ1 * k133
+
φ1 * k211 = 0
ql^2/12
+
φ2 * k233
+
φ2 * k311 = 0
Analisi matriciale delle strutture
Costruzione della matrice di
rigidezza globale della struttura
2
u2
2
u1
φ1
3
u4
φ2
u3
Matrici di rigidezza k aste
1
2
3
1
1
Matrice di rigidezza globale K
3
4
Incognite x
φ1
u1
u2
φ2
u3
u4
La matrice di rigidezza
globale si ottiene da quella
dei singoli elementi per
somma dei termini
omologhi che legano i gradi
di libertà (spostamenti) dei
nodi comuni tra gli elementi
62
Analisi matriciale delle strutture
=
y0
+
Kx
y = sollecitazioni totali ai nodi
y0 = reazioni d’incastro perfetto
K = matrice rigidezza completa
x = spostamenti incogniti
Il sistema viene posto = 0 in
quanto la struttura è equilibrata
Gli spostamenti si ottengono invertendo la matrice di
rigidezza globale della struttura per il vettore delle
reazioni di incastro perfetto.
63
Analisi matriciale delle strutture
Calcolo delle sollecitazioni agli estremi degli elementi
Noti gli spostamenti x, si calcolano le sollecitazioni agli
estremi delle aste tramite l’espressione:
s(t)= so(t) + k(t) * x
L’operazione si
applica per tutte le
aste e per ogni
condizione di carico
64
Analisi matriciale delle strutture
Calcolo delle sollecitazioni lungo gli elementi
1. Ogni elemento viene reso isostatico, estrapolandolo
dall’insieme della struttura;
2. Si applicano le sollecitazioni calcolate all’estremità;
3. Noto il carico si calcolano le sollecitazioni e le
deformazioni lungo l’asta.
M(x) = M1 – qx2/2 + R1 x
M1
R1
x
65
Analisi matriciale delle strutture
Attenzione: non tutti i software FEM effettuano questo
calcolo, alcuni si limitano al calcolo delle sollecitazioni
ai nodi.
Per controllare occorre effettuare una mesh e
confrontare i risultati con lo stesso modello intero:
66
Analisi matriciale delle strutture
Il metodo calcola gli spostamenti dei nodi: gli
spostamenti lungo l’elemento sono un calcolo a parte,
anche in questo caso è bene controllare confrontando
due modelli:
67
Analisi matriciale delle strutture
L’equilibrio delle forze ai nodi avviene nel sistema
assoluto, se l’asta è inclinata occorre riportare i valori
delle reazioni e della matrice di rigidezza dal sistema
locale al sistema assoluto
Rotazione dei valori di
incastro e della
matrice di rigidezza
nel sistema assoluto:
Reazioni d’incastro perfetto nel sistema assoluto:
 qL
s 0n =  −
sen ϕ e
 2
qL
cos ϕ e
2
2
qL
12
−
qL
sen ϕ e
2
qL
cos ϕ e
2
−
qL 

12 
2
T
68
Analisi matriciale delle strutture
Le sollecitazioni sono riportate secondo il sistema di
riferimento locale. Attenzione al verso!
Sollecitazione di taglio
69
Il metodo generale
agli elementi finiti
70
Il metodo FEM
L’analisi matriciale delle strutture può essere
considerata come un caso particolare,
semplificato, del metodo più generale agli
elementi finiti, che dispone di più tipi di elementi
(lineari e di superficie) e di analisi (statica
lineare e non lineare, dinamica, sismica,
instabilità, ecc.)
71
Il metodo FEM
Confronto tra metodo matriciale e metodo FEM
CALCOLO MATRICIALE
METODO FEM GENERALE
• Individuazione elementi finiti
• Individuazione elementi finiti
• Calcolo matrice di rigidezza in modo
diretto
• Definizione delle funzioni di forma e
calcolo matrice di rigidezza
(approssimata)
• Calcolo reazioni incastro perfetto
• Calcolo dei carichi ai nodi
(approssimati)
• Costruzione della matrice globale
della struttura
• Costruzione della matrice globale
della struttura
• Soluzione del sistema di equazioni e
calcolo spostamenti
• Soluzione del sistema di equazioni e
calcolo spostamenti
• Calcolo sollecitazioni e spostamenti
negli elementi
• Stress recovery: calcolo deformazioni,
sollecitazioni e tensioni
(approssimate) e loro adattamento
72
Fine
73