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Geometria euclidea
1. Uguaglianza dei triangoli
Quando affermiamo che due figure geometriche sono uguali, intendiamo dire che possono essere
sovrapposte in modo che tutti i loro punti coincidano. Spesso al posto del termine uguaglianza si
usa isometria o congruenza: per noi questi saranno dei sinonimi.
Il poligono più semplice e più fondamentale, nel senso che ci permette di costruire tutti gli altri, è il
triangolo. Cominciamo quindi a fornire tre criteri di uguaglianza dei triangoli, cioè tre condizioni
sufficienti per riconoscere che due determinati triangoli sono uguali. Per dimostrare questi criteri,
dovremmo dare una serie di definizioni e di assiomi riguardanti il concetto di movimento rigido
(quello che ci permette di spostare una figura senza deformarla). Poiché non lo faremo, in pratica
tratteremo i criteri di uguaglianza dei triangoli come dei postulati.
1° criterio di uguaglianza dei triangoli.
Se due triangoli hanno rispettivamente uguali due lati
e l'angolo compreso tra di essi, allora i due triangoli
sono uguali.
 P , AC =PR
Ipotesi: AB=PQ , A=
Tesi:
ABC =PQR
Fig. 1
2° criterio di uguaglianza dei triangoli.
Se due triangoli hanno ordinatamente uguali due angoli e un
lato, allora i due triangoli sono uguali.
 R
 , AB=RP , B=
 P
Ipotesi: A=
Tesi:
ABC =PQR
Fig. 2
3° criterio di uguaglianza dei triangoli.
Se due triangoli hanno rispettivamente uguali i tre lati,
allora i due triangoli sono uguali.
Ipotesi: AB=PQ , BC =QR , AC =PR
Tesi:
ABC =PQR
Fig. 3
2
Osservazione
Puoi chiederti se, nell'enunciato del 1° criterio di uguaglianza dei triangoli, sia importante precisare
che l'angolo uguale sia quello compreso tra i due lati rispettivamente uguali. In altri termini,
potremmo proporre un "1° criterio allargato" che affermerebbe: "se due triangoli hanno
rispettivamente uguali due lati e un angolo, allora i due triangoli sono uguali".
Fai vedere con un controesempio che tale criterio non è valido.
Criterio di uguaglianza dei triangoli rettangoli
Se due triangoli rettangoli hanno rispettivamente
uguali l'ipotenusa e un cateto, allora i due triangoli
rettangoli sono uguali.
Questo è l'unico caso in cui può essere generalizzato
il 1° criterio di uguaglianza.
Fig. 4
Fig. 5
Osservazione
Nel 2° criterio di uguaglianza, l'avverbio "ordinatamente" serve a ricordarci che il lato uguale deve
avere la stessa posizione nei due triangoli (ad esempio, può essere adiacente ai due angoli uguali,
oppure adiacente ad uno di essi ed opposto all'altro). La fig. 5 ci mostra un esempio di due triangoli
che hanno un lato uguale e due angoli uguali, ma non sono triangoli uguali, in quanto il lato uguale
non occupa la stessa posizione nei due triangoli (in uno è
adiacente ai due angoli uguali, nell'altro è adiacente ad
uno degli angoli uguali e opposto all'altro).
Osservazione
Se due triangoli hanno gli angoli rispettivamente uguali,
possiamo affermare con certezza che sono uguali? No,
Fig. 6 Triangoli simili
3
sono simili, cioè hanno la stessa forma, ma dimensioni diverse (fig. 6).
Teorema 1.
Se un triangolo è isoscele, allora gli angoli alla base (cioè gli angoli opposti ai due lati uguali) sono
uguali.
Ipotesi: AB= AC
Tesi:
 C
B=
Dimostrazione
 .
Traccia la bisettrice AP dell'angolo al vertice A
Considera i triangoli ABP e ACP. Essi hanno:
•
AB=AC per ipotesi
•
il lato AP in comune
•

 per costruzione.
BAP=
CAP
Fig. 7
Ne segue che i triangoli ABP e ACP sono uguali per il 1° criterio di uguaglianza; di conseguenza
 C c.v.d.
hanno tutti gli elementi corrispondenti uguali, ed in particolare B=
Prova a ripetere la dimostrazione tracciando la mediana relativa alla base, anziché la bisettrice:
questa volta userai il 3° criterio di uguaglianza dei triangoli.
Se invece consideri l'altezza relativa alla base, utilizzerai il criterio di uguaglianza dei triangoli
rettangoli.
Corollario 1
In un triangolo isoscele, la bisettrice, la mediana e l'altezza uscenti dall'angolo al vertice e relative
alla base risultano coincidenti.
Dimostrazione
Riprendiamo la dimostrazione del teorema 1.
Il segmento AP è bisettrice dell'angolo al vertice per costruzione.
Dall'uguaglianza dei triangoli ABP e ACP segue che BP=PC, quindi AP è anche mediana relativa
alla base.


Sempre per l'uguaglianza dei triangoli ABP e ACP, ho APB=
; di conseguenza l'angolo
APC
 viene diviso in due angoli uguali, e quindi retti. Pertanto AP è anche altezza relativa
piatto BPC
alla base.
Nota. Un teorema che risulta essere una conseguenza immediata di un altro teorema o di un
postulato viene detto corollario. Un corollario ha pertanto la stessa struttura logica di un qualunque
4
altro teorema. Il nome particolare indica semplicemente che, in questo contesto, la sua
dimostrazione viene ritenuta banale.
Corollario 2
Se un triangolo è equilatero , allora è anche equiangolo.
Infatti, basta ripetere la dimostrazione precedente per due coppie di lati uguali.
Ricordiamo che un teorema è una proposizione in cui si afferma che da una certa proprietà H, detta
ipotesi, si deduce un'altra proprietà T, detta tesi. Un teorema può quindi essere scritto nella forma
"se H, allora T".
Per ogni teorema, possiamo considerare il teorema inverso, che si ottiene scambiando tra loro la tesi
e l'ipotesi, e che quindi ha la forma "se T, allora H". Abbiamo però visto in logica che, se un
teorema è vero, non sempre è vero anche il suo inverso. Quindi l'inverso di un teorema (se è valido)
deve essere anch'esso dimostrato, e non può essere ritenuto una conseguenza del teorema diretto.
Ad esempio, il teorema 1 è invertibile, ma il suo teorema inverso va dimostrato.
Teorema 2 (inverso del teorema 1)
Se un triangolo ha due angoli uguali, allora è un triangolo isoscele, e precisamente ha come lati
uguali quelli opposti agli angoli uguali.
 = ACB

Ipotesi: ABC
Tesi:
(fai riferimento alla fig. 7)
AB= AC
Prova a svolgere questa dimostrazione come esercizio.
Corollario 3
Se un triangolo è equiangolo , allora è anche equilatero.
E' sufficiente ripetere la dimostrazione precedente per due coppie di angoli uguali.
Osservazione
Se due angoli sono opposti al vertice, allora sono uguali.
Infatti, gli angoli opposti al vertice  e  sono entrambi adiacenti
all'angolo , e quindi sono uguali perché la loro misura è 180 °− .
Fig. 8
5
2. Angoli di un poligono
Due rette a e b formano con una terza retta t, detta trasversale, otto angoli che vengono accoppiati
nel modo seguente:
•
angoli alterni interni:
 e ' ;  e '
•
angoli alterni esterni:
 e ' ;  e '
•
angoli coniugati interni:  e ' ;  e '
•
angoli coniugati esterni:  e ' ;  e '
•
angoli corrispondenti:
 e ' ;  e ' ;  e ' ;  e '
In pratica, due angoli si dicono:
Fig. 9
•
alterni se si trovano da parti opposte rispetto alla trasversale (uno a destra e uno a sinistra)
•
coniugati se appartengono entrambi alla zona compresa tra le due rette o entrambi alla zona
esterna, e se inoltre si trovano dalla stessa parte (destra o sinistra) rispetto alla trasversale
•
corrispondenti se appartengono uno alla zona compresa tra le due rette e l'altro alla zona esterna,
e se inoltre si trovano dalla stessa parte (destra o sinistra) rispetto alla trasversale.
Teorema 3 (criterio di parallelismo tra rette)
Se due rette tagliate da una trasversale formano con essa:
•
una coppia di angoli alterni uguali
•
oppure una coppia di angoli corrispondenti uguali
•
oppure una coppia di angoli coniugati supplementari
allora le due rette sono parallele.
Ipotesi: = (o un'altra tra quelle enunciate)
Tesi:
a∥b
Non affrontiamo la dimostrazione, in quanto si basa sul metodo
Fig. 10
indiretto o "per assurdo". Osserviamo che in realtà si tratta di un
gruppo di teoremi, che abbiamo raccolto in un unico enunciato.
Teorema 4 (inverso del teorema 3)
Se due rette sono parallele, allora, tagliate da una trasversale, esse formano:
•
coppie di angoli alterni (sia interni che esterni) uguali
•
coppie di angoli corrispondenti uguali
•
coppie di angoli coniugati (sia interni che esterni) supplementari.
Ipotesi: a∥b
6
Tesi:
= etc.
Anche in questo caso, non riportiamo la dimostrazione per assurdo.
Teorema 5
La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un
angolo piatto.
Ipotesi: ABC è un triangolo
Tesi:
 B
 C =180 °
A
Dimostrazione
Fig. 11
Dato il triangolo ABC, sia CD il prolungamento del lato BC dalla parte di C.
Traccia la retta t parallela al lato AB e passante per il vertice C (tale retta esiste ed è unica per il
postulato delle parallele nella forma di Euclide).
Considera le rette parallele AB e CE:
•
 ACE

tagliate dalla trasversale AC, esse formano gli angoli A=
uguali perché alterni interni
•

 ECD
tagliate dalla trasversale BC, esse formano gli angoli B=
uguali perché corrispondenti.



La ovvia uguaglianza: BCA
ACE
ECD=180
°
 B
 C =180 ° c.v.d.
diventa per le uguaglianze precedenti: A
Osservazione
Poiché per dimostrare questo fondamentale teorema abbiamo fatto uso del postulato delle parallele
nella forma di Euclide, puoi comprendere come il teorema 5 non sia più valido nelle geometrie non
euclidee. In particolare, la somma degli angoli interni di un triangolo:
•
è sempre maggiore di 180° nella geometria di Riemann (immagina un "triangolo" tracciato su
una superficie sferica)
•
è sempre minore di 180° nella geometria di Lobacevskij.
Dimostrazione "alternativa" del teorema 5
Immagina di percorrere il perimetro del triangolo ABC:
in ciascuno dei tre vertici devi fare una "svolta" di
ampiezza pari all'angolo esterno avente quel vertice.
Poiché alla fine del percorso hai compiuto un giro
completo, la somma degli angoli esterni del triangolo è
uguale ad un angolo giro. D'altra parte, un angolo
interno ed il relativo angolo esterno sono adiacenti, e Fig. 12
7
quindi supplementari. Ricavo quindi:
somma degli angoli interni
= somma di tutti gli angoli - somma degli angoli esterni =
= 3 angoli piatti - 1 angolo giro
=
540°-360°
=
180°.
Corollario 4
In un triangolo equilatero, e quindi equiangolo, ciascun angolo misura 60°.
Corollario 5
Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari.
Corollario 6
La somma degli angoli interni di un quadrilatero è uguale a 360°.
Infatti, un quadrilatero viene diviso da una diagonale in due triangoli,
per ognuno dei quali la somma degli angoli interni è 180°.
Fig. 13
Teorema 6
La somma degli angoli interni di un poligono convesso avente N lati è uguale a  N −2⋅180 ° .
Infatti, tracciando le N-3 diagonali uscenti da un vertice, suddivido il poligono in N-2 triangoli, per
ognuno dei quali la somma degli angoli interni è 180°.
Un'altra dimostrazione è esemplificata dalla figura 14 per il caso del
pentagono. Considero un punto generico P interno al poligono convesso
e lo congiungo con ciascun vertice. Il poligono viene così suddiviso in N
triangoli, la cui somma degli angoli interni è N⋅180 ° . Da questa
somma devo però sottrarre l'angolo giro formato da tutti gli angoli di
vertice P, che non sono angoli interni del poligono.
Fig. 14
La somma degli angoli interni del poligono è quindi data da:
N⋅180 °−360 °= N⋅180 °−2⋅180 °= N −2⋅180 °
c.v.d.
Teorema 7
La somma degli angoli esterni di un poligono convesso è uguale a 360°.
Dimostrazione
In ogni poligono, la somma tra un angolo interno e il rispettivo angolo esterno ad esso adiacente è
180°. Se il poligono ha N vertici, quindi, la somma di tutti gli angoli esterni ed interni è N⋅180 ° .
Ma, per il corollario 7, la somma degli angoli interni è  N −2⋅180 ° . Quindi la somma degli
8
angoli esterni è N⋅180 °− N −2⋅180 °= N⋅180 °− N⋅180 °2⋅180 °=360 ° c.v.d.
Dimostrazione "alternativa" del teorema 7
Come nel caso del triangolo, puoi immaginare di percorrere il
perimetro di un poligono (un esagono in fig. 15) ed osservare che ad
ogni vertice esegui una "svolta" di ampiezza uguale all'angolo
esterno avente quel vertice. Poiché alla fine del percorso hai
compiuto un giro completo, la somma degli angoli esterni di un
qualunque poligono convesso è uguale ad un angolo giro.
Fig. 15
Teorema 8 (disuguaglianza triangolare)
In un triangolo, ciascun lato è minore della somma degli altri due.
Se, ad esempio, ho BC  AB AC , il teorema afferma che:
BC BA AC (le altre due disuguaglianze sono ovvie).
Fig. 16
Non riportiamo la dimostrazione, ma osserviamo che l'enunciato del teorema afferma in pratica che
"la retta è il cammino più breve tra due punti" (il percorso diretto che collega B e C è più breve di
quella che passa per A).
9
3. Quadrilateri
Nota: Le dimostrazioni dei teoremi di questo paragrafo sono abbastanza semplici; pertanto ti chiedo
di svolgerle come esercizi precisando, dove mancano, l'ipotesi e la tesi.
Distanza tra un punto e una retta
Dati un punto P e una retta r, traccia la retta n passante per P e
perpendicolare ad r.
Chiamiamo H il punto di intersezione tra le rette r ed n.
Diciamo che il segmento PH è la distanza tra il punto P e la retta r,
mentre il punto H viene chiamato proiezione ortogonale (o
semplicemente proiezione) del punto P sulla retta r.
Il segmento PH ha la proprietà di essere minore di qualunque altro
Fig. 17
segmento che congiunga il punto P con la retta r.
Se due rette sono parallele, tutti i punti dell'una hanno la stessa distanza dall'altra; questa viene
quindi detta distanza tra le due rette parallele.
Trapezio
Diciamo trapezio un quadrilatero convesso avente due
lati paralleli. I lati paralleli si dicono basi; gli altri due
lati vengono detti lati obliqui. La distanza tra le due rette
parallele alle quali appartengono le basi si chiama
altezza del trapezio.
Fig. 18 Trapezio generico
Un trapezio si dice isoscele se i lati obliqui sono uguali; si dice rettangolo se un lato obliquo è
perpendicolare alle basi.
Fig. 19
Teorema 9 (proprietà del trapezio)
a) In un trapezio gli angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari.
Ipotesi: AB∥CD
Tesi:
 D=
 B
 C =180 °
A
(vedi fig. 18)
10
b) In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna delle basi sono uguali e le diagonali sono
uguali.
Ipotesi: AB∥CD ; AD=BC
(vedi fig. 19)
 B
 ; C = D
 ; AC =BD
A=
Tesi:
Definizione
Si dice parallelogrammo un quadrilatero convesso avente i lati
opposti paralleli.
In fig. 20, il segmento DH (distanza tra le rette parallele a e b) è
l'altezza rispetto alle basi AB e CD, e il segmento BK (distanza tra
le rette parallele c e d) è l'altezza rispetto alle basi AD e BC.
Fig. 20
Teorema 10 (proprietà del parallelogrammo)
In ogni parallelogrammo:
a) i lati opposti sono uguali
b) gli angoli opposti sono uguali
c) gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari
d) le diagonali si dividono scambievolmente a metà.
Ipotesi: AB∥CD ; AD∥BC
Tesi:
Fig. 21 Parallelogrammo
(vedi fig. 21)
 C ; B=
 B=180
 D=180
 D
 ; A


AB=CD ; AD=BC ; A=
° ; A
° ; AG=GC ; BG=GD
Teorema 11 (criteri per riconoscere se un quadrilatero è un parallelogrammo)
Se un quadrilatero convesso ha:
a) i lati opposti uguali, oppure
b) gli angoli opposti uguali, oppure
c) gli angoli adiacenti a ciascun lato supplementari, oppure
d) le diagonali che si tagliano scambievolmente a metà, oppure
e) due lati paralleli e uguali
allora il quadrilatero è un parallelogrammo.
Osservazione
Si potrebbe pensare di rendere meno rigidi i punti a, b, c del teorema 11 riscrivendoli nel modo
seguente: "Se un quadrilatero ha i lati a due a due uguali, oppure gli angoli a due a due uguali,
oppure gli angoli a due a due supplementari, allora è un parallelogrammo".
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Trova dei controesempi alle affermazioni precedenti.
Definizione
Chiamiamo rettangolo un quadrilatero avente i quattro angoli interni uguali.
Dal corollario 6 segue che il rettangolo ha quattro angoli retti.
Dal teorema 11b (o 11c) segue che il rettangolo è un parallelogrammo, e quindi anche per il
rettangolo valgono le proprietà elencate nel teorema 10.
Teorema 12 (proprietà del rettangolo)
In ogni rettangolo le diagonali sono uguali.
Fig. 22 Rettangolo
Teorema 13 (criterio per riconoscere se un parallelogrammo è un rettangolo)
Se un parallelogrammo ha le diagonali uguali, allora è un rettangolo.
Osservazione
Potremmo pensare di estendere la validità del teorema 13 enunciandolo così: "Se un quadrilatero ha
le diagonali uguali, allora è un rettangolo".
Trova un controesempio che ci convinca che tale affermazione è falsa.
Definizione
Chiamiamo rombo un quadrilatero avente i quattro lati uguali.
Dal teorema 11a segue che il rombo è un parallelogrammo, e quindi anche per il rombo valgono le
proprietà elencate nel teorema 10.
Teorema 14 (proprietà del rombo)
In ogni rombo:
a) le diagonali sono perpendicolari
b) le diagonali sono bisettrici degli angoli interni.
Fig. 23 Rombo
Teorema 15 (criteri per riconoscere se un parallelogrammo è un rombo)
Se in un parallelogrammo:
a) le diagonali sono perpendicolari, oppure
b) le diagonali sono bisettrici degli angoli interni
allora il parallelogrammo è un rombo.
12
Osservazione
Anche in questo caso potremmo pensare che la proprietà 15a sia vera per tutti i quadrilateri, ovvero:
"Se un quadrilatero ha le diagonali perpendicolari, allora è un rombo".
Trova un controesempio che dimostri che tale affermazione è falsa. E' invece un po' più laborioso
trovare un controesempio per la analoga generalizzazione della proprietà 15b.
Definizione
Chiamiamo quadrato un quadrilatero che abbia i quattro angoli interni
uguali e i quattro lati uguali.
Ovviamente un quadrato è un parallelogrammo, è un rettangolo ed è un
rombo; quindi anche per il quadrato valgono tutte le proprietà espresse
nei teoremi 10, 12, 14.
Fig. 24 Quadrato
13
4. Luoghi geometrici
Definizione
Un insieme di rette parallele, ovvero aventi una stessa direzione, si chiama fascio di rette parallele
o fascio improprio di rette. Una retta che interseca le rette del fascio viene detta trasversale.
Se un fascio di rette parallele viene tagliato da due
trasversali,
viene
definita
una
corrispondenza
biunivoca tra i punti di intersezione e tra i segmenti
situati
sulle
due trasversali,
che viene
detta
corrispondenza parallela di Talete.
Ad
esempio,
riferendosi
alla
fig.
25,
sono
corrispondenti i punti A e A'; B e B' e così via; sono Fig. 25 Corrispondenza parallela di Talete
anche corrispondenti i segmenti AB e A'B' etc.
Teorema 16 (piccolo teorema di Talete)
Se un fascio di rette parallele è tagliato da due trasversali e se due segmenti su una trasversale sono
uguali, allora anche i segmenti corrispondenti sull'altra trasversale sono uguali.
Ipotesi: AA'∥BB '∥CC '∥DD ' ; AB=CD
Tesi:
A' B ' =C ' D '
Dimostrazione
Conduco le rette AP e CQ passanti rispettivamente per A e per
C e parallele alla trasversale t'.
I triangoli ABP e CDQ hanno:
•
AB=CD per ipotesi
•


perché angoli corrispondenti formati dalle rette BB' e DD' (parallele per ipotesi)
ABP=
CDQ
Fig. 26
con la trasversale t
•


perché angoli corrispondenti formati dalle rette AP e CQ (parallele per
BAP=
DCQ
costruzione) con la trasversale t.
I triangoli ABP e CDQ sono quindi uguali per il secondo criterio di uguaglianza, e in particolare
hanno AP=CQ.
Osserva che i quadrilateri AA'B'P e CC'D'Q sono dei parallelogrammi per definizione, in quanto
hanno i lati opposti paralleli ( AA '∥PB per ipotesi e AP∥A ' B ' per costruzione), quindi hanno i
lati opposti uguali (teorema 10a). Ne segue che: AA' = AP=CQ=C ' D ' c.v.d.
14
Definizione
Si chiama luogo geometrico l'insieme di tutti e soli i punti che rendono vera una determinata
proprietà, detta proprietà caratteristica del luogo geometrico.
Per essere sicuro che una certa figura sia un luogo geometrico, devo quindi dimostrare che:
•
tutti i punti che appartengono alla figura possiedono la proprietà caratteristica
•
tutti i punti che verificano la proprietà caratteristica appartengono alla figura.
Un semplice esempio di luogo geometrico è la circonferenza, che definiremo come il luogo dei
punti del piano la cui distanza dal centro è uguale al raggio.
Definizione
Si chiama asse (o asse di simmetria) di un segmento la retta perpendicolare al segmento stesso e
passante per il suo punto medio (fig. 27).
Teorema 17
L'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del
segmento.
Dimostrazione 1
Ipotesi: PM ⊥ AB ; AM =MB
Tesi:
PA=PB
Dimostrazione 2
Ipotesi: PA=PB ; AM =MB
PM ⊥ AB
Tesi:
Fig. 27
Svolgi le dimostrazioni per esercizio.
Definizione
Ricordiamo che si chiama bisettrice di un angolo la semiretta uscente dal vertice che divide
l'angolo in due parti uguali (fig. 28).
Teorema 18
La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti del piano
equidistanti dai lati dell'angolo.
Dimostrazione 1


Ipotesi: HVP=
PVK
Tesi:
dist  P , a=dist  P , b
Fig. 28
15
Dimostrazione 2
Ipotesi: dist  P , a=dist  P , b
Tesi:


HVP=
PVK
Anche queste dimostrazioni possono essere svolte come esercizio.
Teorema 19
Gli assi dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto, detto circocentro; tale punto ha la
proprietà di essere equidistante dai vertici del triangolo.
Dimostrazione
Traccio la retta h, asse di AB, e la retta k, asse di BC.
Chiamo O il punto di intersezione delle rette h e k.
Dal teorema 17 ho:
•
OA=OB perché O appartiene all'asse di AB
•
OB=OC perché O appartiene all'asse di BC
Fig. 29
quindi OA=OC; pertanto O appartiene anche all'asse di AC c.v.d.
Nota: per quale motivo ritieni che il punto di intersezione degli assi abbia ricevuto il nome di
circocentro? (pensa alla sua proprietà caratteristica)
Teorema 20
Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo passano per uno stesso punto, detto incentro; tale
punto ha la proprietà di essere equidistante dai lati del triangolo.
Dimostrazione
 e B
 e chiamo Q il loro
Traccio le bisettrici degli angoli A
punto di intersezione. Indico con:
•
QK la distanza di Q dal lato AB
•
QR la distanza di Q dal lato BC
•
QH la distanza di Q dal lato AC.
Fig. 30
Per il teorema 18 ho:
•

QH=QK perché Q appartiene alla bisettrice di A
•
QK=QR perché Q appartiene alla bisettrice di B
quindi anche QH=QR; pertanto Q appartiene anche alla bisettrice di C
c.v.d.
Attenzione: le distanze del punto Q dai lati sono perpendicolari ai lati stessi, pertanto in generale
non si trovano sulle bisettrici (i disegni possono trarre in errore).
Nota: per quale motivo ritieni che il punto di intersezione delle bisettrici abbia ricevuto il nome di
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incentro? (pensa alla sua proprietà caratteristica)
Teorema 21
Le rette su cui giacciono le altezze di un triangolo passano per uno stesso punto, detto ortocentro.
Teorema 22
Le mediane di un triangolo passano per uno stesso punto, detto baricentro. Esso ha la proprietà di
dividere ciascuna mediana in due parti tali che quella che contiene il vertice è doppia dell'altra.
Facendo riferimento alla fig. 31, ho che le tre mediane si
intersecano in G, e inoltre:
PG=2 GM 1 ;
QG=2 GM 2 ;
RG=2 GM 3 .
Le dimostrazioni degli ultimi due teoremi sono un po'
laboriose, pertanto non le riportiamo.
Fig. 31
1
Esercizi geometria euclidea
Criteri di uguaglianza dei triangoli e triangolo isoscele
1. Sulla base AB del triangolo isoscele ABC prendi due punti P e Q tali che AP=BQ. Dimostra che
il triangolo CPQ è isoscele.
2. E' dato un triangolo isoscele ABC di base AB. Sui prolungamenti della base prendi due segmenti
uguali AR e BS. Dimostra che il triangolo RSC è isoscele.
3. Disegna il triangolo isoscele PQR, di vertice R. Determina sui lati RP e RQ rispettivamente due
punti S e T tali che RS=RT. Dimostra che i triangoli PTR e QSR sono uguali. Fai lo stesso per i
triangoli PTS e QST.
4. Dimostra che le bisettrici di due angoli adiacenti sono complementari.
5. Disegna il triangolo isoscele ABC, di vertice A. Sia M il punto medio della base BC. Scegli sui
lati AB e AC rispettivamente due punti P e Q tali che AP=AQ. Dimostra che MP=MQ.
6. Sia ABC un triangolo isoscele di base BC. Prolunga i lati BA e CA rispettivamente di due
segmenti uguali AP e AQ. Dimostra che BQ=CP.
7. E' dato il triangolo ABC, isoscele sulla base AB. Trova il punto O di intersezione delle bisettrici
degli angoli alla base. Dimostra che il triangolo ABO è isoscele.
 e la sua bisettrice OZ. Da un punto P di OZ traccia due rette r ed s che
8. Disegna l'angolo XOY
formino con OZ angoli uguali (da parti opposte della bisettrice). Individua i punti: A=r∩OX ,
B=r∩OY , C =s∩OX , D=s∩OY . Dimostra che: PB=PC; PA=PD; AB=CD.
9. Dimostra che, in un triangolo isoscele, le mediane relative ai lati obliqui sono uguali. Ripeti la
dimostrazione per le bisettrici e le altezze relative ai lati obliqui.
10.Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Prolunga i lati obliqui dalla parte di A e di B
rispettivamente e traccia le bisettrici degli angoli esterni così ottenuti. Detto P il punto di
intersezione di tali bisettrici, dimostra che il triangolo PAB è isoscele.
11.Sia ABC un triangolo equilatero. Prendi sui suoi lati, nello stesso senso, i tre segmenti uguali
AP=BQ=CR. Dimostra che il triangolo PQR è equilatero.
12.Dimostra che, in un triangolo isoscele, le mediane relative ai lati obliqui si tagliano in parti
rispettivamente uguali.
13.Sui lati di un angolo di vertice O prendi due segmenti uguali OP=OQ; quindi, di seguito, altri
due segmenti uguali PR=QS. Detto A il punto di intersezione dei segmenti PS e QR, dimostra
che PA è la bisettrice dell'angolo dato.
14.Dimostra che il triangolo ottenuto congiungendo i punti medi dei lati di un triangolo isoscele è
anch'esso isoscele.
2
15.Dato il triangolo ABC, prolunga CA di un segmento AR=AB e BA di un segmento AS=AC.
Detto Z il punto di intersezione delle rette CB ed SR, dimostra che i triangoli ZRB e ZSC sono
isosceli.
16.Nel triangolo ABC si ha: AB= AC =2 BC . Chiama O il punto di intersezione delle mediane
BM e CN. Congiungi i punti M ed N. Trova nella figura ottenuta sei triangoli isosceli, quattro
coppie di triangoli uguali e una coppia di triangoli isosceli uguali.
[I triangoli isosceli sono: ABC, NBC, MCB, BOC, MON, AMN. Le coppie di triangoli uguali
sono: MBC=NBC, ABM=ACN, BON=COM, BMN=CNM. I triangoli isosceli uguali sono
NBC=MCB.]
17.Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base BC, prendi sui lati AB e AC rispettivamente due
segmenti uguali AP=AQ. Dimostra che i segmenti PC e QB sono uguali e si tagliano in parti
rispettivamente uguali. Dimostra poi che il triangolo che ha per vertici P, Q e il punto medio
della base BC è isoscele.
18.Dato il triangolo isoscele ABC, prolunga i lati obliqui CA e BA di due segmenti uguali AD=AE.
Sia O il punto di intersezione delle rette BD ed EC. Dimostra che il triangolo OBC è isoscele.
In quale caso la dimostrazione non è più valida?
Angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale
19.Sia ABC un triangolo isoscele di base BC. Da un punto P del lato AB conduci la parallela alla
base che interseca in Q il lato AC. Dimostra che il triangolo APQ è isoscele.
20.Date due rette parallele, r ed s, tagliate in A e in B rispettivamente dalla trasversale t, indica con
M il punto medio di AB. Conduci per M la retta v che interseca r ed s in H e K rispettivamente.
Dimostra che HM=KM.
21.Dimostra che due angoli aventi i lati rispettivamente paralleli e nello stesso verso sono uguali.
 S . Conduci per il vertice P la retta r
22.Disegna un quadrilatero convesso PQRS, avente R=
parallela a QR che interseca in T il lato RS. Dimostra che PS=PT.
23.Nel triangolo ABC traccia la bisettrice BE dell'angolo B . Per il punto E conduci la parallela a
BC che interseca in D il lato AB. Dimostra che il triangolo BDE è isoscele.
 . Detta E la sua
24.Dato il triangolo ABC, conduci per B la parallela alla bisettrice dell'angolo A
intersezione con la retta del lato AC, dimostra che il triangolo ABE è isoscele.
25.Date due rette a e b, secanti in O, prendi su a, da parti opposte rispetto ad O, due segmenti
OP=OQ, e su b, sempre da parti opposte rispetto ad O, due segmenti OR=OS. Dimostra che le
rette PR ed SQ sono parallele.
26.Date due rette parallele tagliate da una trasversale, dimostra che:
3
•
le bisettrici di due angoli alterni interni sono parallele
•
le bisettrici di due angoli corrispondenti sono parallele
•
le bisettrici di due angoli coniugati interni sono perpendicolari.
27.Per il punto medio di un segmento AB conduci una retta r. Prendi su r due punti distinti P e Q
tali che MP=MQ. Dimostra che le rette AQ e BP sono parallele.
 e B
 e sia D il loro punto di
28.Nel triangolo ABC traccia le bisettrici degli angoli A
intersezione. Da D manda la parallela al lato AB che interseca i lati AC e BC nei punti P e Q
rispettivamente. Dimostra che
PQ= APBQ .
29.Nel triangolo ABC prolunga la mediana AM di un segmento MD=AM. Dimostra che la retta BD
è parallela alla retta AC.

30.Nel triangolo ABC si ha B=2
C . Traccia la bisettrice BL e da L manda la parallela al lato BC
che interseca in M il lato AB. Da M manda la parallela a BL che interseca in N il lato AC.
Dimostra che il triangolo LMN è isoscele.
Angoli di un triangolo
31.Dato il triangolo ABC, prolunga il lato CA di un segmento AE=AB. Dimostra che la bisettrice
 è parallela alla retta EB.
dell'angolo BAC
32.Dimostra che, in un triangolo isoscele, la bisettrice dell'angolo esterno adiacente all'angolo al
vertice è parallela alla base.
33.Sia ABC un triangolo isoscele di base AB. Sui lati AC e BC prendi due segmenti AP=BQ.
Dimostra che PQ è parallela ad AB.
34.Sia ABC un triangolo rettangolo in B. Internamente all'angolo B , traccia la semiretta che
forma con BC un angolo uguale a C . Dimostra che tale semiretta interseca il lato AC nel suo
punto medio.
35.Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base AB, prolunga AB di un segmento BD=BC. Dimostra
1 

BAC .
che BCD=
2
36.Sia ABC un triangolo equilatero. Prolunga il lato AB di un segmento BD uguale al lato stesso.
Dimostra che il triangolo ACD è rettangolo.

37.Nel triangolo ABC abbiamo A=2
B . Prendi sul lato AB un punto P e prolunga il lato CA di
un segmento AQ=AP. La retta PQ interseca il lato BC nel punto R.

 e CRP=

 .
Dimostra che ABC=
AQP
CAP
38.E' dato il triangolo ABC, rettangolo in A. Prolunga BA di un segmento AD=AC e CA di un
4
segmento AE=AB. Traccia l'altezza AH relativa al lato BC e prolungala dalla parte di A fino ad
incontrare DE nel punto K. Dimostra che:
•
i triangoli ABC e AED sono uguali;
•
i triangoli AEK e ADK sono isosceli;
•
K è il punto medio del segmento ED.
 e yOz
 sono adiacenti; r ed s sono rispettivamente le loro bisettrici. Da un
39.Gli angoli xOy
punto P ∈ y manda le perpendicolari ad r ed s che intersecano la semirette x e z in A e B
rispettivamente. Dimostra che:
•

l'angolo APB
è retto;
•
i triangoli AOP e BOP sono isosceli;
•
A e B sono equidistanti da O.
40.Sia ABC un triangolo isoscele e rettangolo in C. Da un punto D dell'ipotenusa AB manda la
perpendicolare ad AB che interseca le rette AC e BC nei punti P e Q rispettivamente. Dimostra
che il triangolo PCQ è isoscele e che la retta passante per C e per il punto medio del segmento
PQ è parallela ad AB.
Quadrilateri particolari
41.Dimostra che, dei quattro triangoli in cui un trapezio isoscele è diviso dalle diagonali, due sono
uguali e due sono isosceli.
 .
42.Nel trapezio ABCD, AB è la base maggiore e la diagonale AC è bisettrice dell'angolo A
Dimostra che il lato obliquo AD è uguale alla base minore.
43.Sia ABC un triangolo isoscele di base BC ed r una retta parallela a BC che interseca i lati AB e
AC rispettivamente nei punti D ed E. Dimostra che il quadrilatero BDEC è un trapezio isoscele.
44.Sia ABC un triangolo isoscele di base BC ed r una retta parallela a BC che interseca i
prolungamenti dei lati AB e AC rispettivamente nei punti D ed E. Dimostra che il quadrilatero
BDEC è un trapezio isoscele.
45.Prolunga i lati AC e BC di un triangolo rispettivamente dei segmenti CD=AC e CE=BC.
Dimostra che il quadrilatero ABDE è un parallelogrammo.
46.Disegna il parallelogrammo ABCD e indica con P e Q i punti medi di AD e BC. I prolungamenti
di BP e CD si intersecano in E, mentre quelli di DQ e AB in F. Dimostra che BFDE è un
parallelogrammo.
47.Dimostra che il punto medio della base di un triangolo isoscele è equidistante dai lati obliqui.
48.Nel triangolo ABC, indica con M il punto medio di AB e con D il punto di intersezione tra la
retta MC e la retta passante per A e parallela a BC. Dimostra che ADBC è un parallelogrammo.
5
49.Sui lati AB, BC, CD, DA di un parallelogrammo, prendi i segmenti uguali AP, BQ, CR, DS.
Dimostra che il quadrilatero PQRS è un parallelogrammo.
50.Sui prolungamenti dei lati AB, BC, CD, DA di un parallelogrammo, prendi i segmenti uguali
BP, CQ, DR, AS. Dimostra che il quadrilatero PQRS è un parallelogrammo.
51.Dato un parallelogrammo ABCD, prendi sulla diagonale AC due punti E ed F tali che AE=CF.
Dimostra che il quadrilatero EBFD è un parallelogrammo.
52.Dato un parallelogrammo ABCD, prolunga la diagonale AC, in entrambi i versi, di due segmenti
AE=CF. Dimostra che il quadrilatero EBFD è un parallelogrammo.
53.Dato il parallelogrammo ABCD, prolunga i lati AB e AD di due segmenti BM e BN, uguali
rispettivamente ai lati AD e AB. Dimostra che:
•
i triangoli DNC e BMC sono isosceli
•
 =180 ° ).
i punti M, N, C sono allineati (Suggerimento: dimostra che l'angolo MNC
54.Dati due parallelogrammi ABCD e ABEF aventi la base AB in comune, dimostra che il
quadrilatero CDEF è un parallelogrammo. In quale caso la dimostrazione non è valida?
55.Nel parallelogrammo ABCD, prolunga AB e AD di due segmenti BE e DF rispettivamente
uguali ai lati AB e AD stessi. Dimostra che i punti E, C, F sono allineati.
56.Sia PQRS un parallelogrammo ed M il punto medio di QS. Una retta per M taglia PQ in T ed RS
in V. Dimostra che il quadrilatero PTRV è un parallelogrammo.
57.Dato il parallelogrammo PQRS, la retta per R parallela a QS incontra i prolungamenti dei lati PS
e PQ in T e V rispettivamente. Dimostra che TR=RV.
58.Nel trapezio isoscele ABCD, AB è la base maggiore. Conduci da C la parallela ad AD che
interseca AB in E. Dimostra che il triangolo EBC è isoscele.
59.Nel parallelogrammo ABCD siano E ed F le proiezioni ortogonali rispettivamente di A e di C
sulla retta BD. Dimostra che il quadrilatero AECF è un parallelogrammo.
 e C e siano rispettivamente
60.Nel parallelogrammo ABCD conduci le bisettrici degli angoli A
E ed F le loro intersezioni con i lati DC ed AB. Dimostra che:
•
i triangoli ADE ed FBC sono uguali ed isosceli;
•
il quadrilatero AFCE è un parallelogrammo;
•
i segmenti BD ed EF si bisecano scambievolmente.
61.Dimostra che le bisettrici di due angoli consecutivi di un parallelogrammo sono perpendicolari.
Dimostra, quindi, che le bisettrici degli angoli di un parallelogrammo formano un rettangolo.
 manda le parallele ai lati dell'angolo che
62.Da un punto P della bisettrice di un angolo aOb
intersecano in Q ed R i lati stessi. Dimostra che il quadrilatero OQPR è un rombo.
63.Sia ABCD un rombo. Prendi sulla diagonale AC due punti P e Q tali che AP=CQ. Dimostra che
6
il quadrilatero PBQD è anch'esso un rombo.
64.Dal punto medio della base di un triangolo isoscele manda la parallele ai lati. Dimostra che tali
parallele formano, con i lati del triangolo, un rombo.
65.Sia ABCD un quadrato. Prolunga i lati AB; BC; CD; DA rispettivamente dei segmenti BP; CQ;
DR; AS tra loro uguali. Dimostra che il quadrilatero PQRS è anch'esso un quadrato.
66.Dimostra che:
•
il quadrilatero che ha per vertici i punti medi dei lati di un rettangolo è un rombo;
•
il quadrilatero che ha per vertici i punti medi dei lati di un rombo è un rettangolo;
•
il quadrilatero che ha per vertici i punti medi dei lati di un quadrato è un quadrato.
67.Sia ABC un triangolo isoscele di base AB. Prolunga i lati obliqui, dalla parte di C, di due
segmenti CD e CE uguali ai lati stessi. Dimostra che il quadrilatero ABDE è un rettangolo. Come
deve essere il triangolo ABC, perché ABDE sia un quadrato?
68.Sia ABC un triangolo e AM la mediana relativa al lato BC. Prolunga la mediana di un segmento
MD=AM e dimostra che ABDC è un parallelogrammo. Come deve essere il triangolo ABC
perché ABDC sia un rombo, un rettangolo o un quadrato?
69.Dimostra che in un rombo le due altezze sono uguali.
70.Sia ABCD un parallelogrammo in cui il lato AB e la diagonale AC sono uguali. Detto M il punto
medio del lato BC, congiungi A con M e prolunga AM di un segmento EM=MA. Dimostra che:
•
il quadrilatero ABEC è un rombo;
•
i punti D, C, E sono allineati.
71.E' dato un trapezio in cui le bisettrici degli angoli adiacenti alla base maggiore si intersecano in
un punto della base minore. Dimostra che quest'ultima è uguale alla somma dei lati obliqui.
72.Il quadrilatero ABCD è un parallelogramma (non particolare). Prolunga la diagonale AC, in
entrambi i versi, di due segmenti AP=CQ e la diagonale BD, in entrambi i versi, di due segmenti
BR=DS. Dimostra che il quadrilatero PRQS è un parallelogrammo. Può essere un rettangolo?
Può essere un rombo? Se sì, in quali casi?
Luoghi geometrici e punti notevoli dei triangoli
73.Sia ABC un triangolo isoscele di base BC. Conduci da B la perpendicolare alla retta BA e da C
la perpendicolare alla retta CA. Le due perpendicolari si intersecano nel punto D. Dimostra che la
retta AD è l'asse della base BC.
74.Nel triangolo ABC, sia CM la mediana relativa al lato AB. Da M conduci le parallele agli altri
due lati. Dimostra che i quattro triangoli in cui il triangolo ABC viene così suddiviso sono a due
a due uguali.
7
75.Sia ABC un triangolo isoscele di base BC. Conduci da B la perpendicolare alla retta AC e da C
la perpendicolare alla retta AB. Le due perpendicolari si intersecano nel punto D. Dimostra che la
retta AD è l'asse della base BC.
 . Dal vertice B manda
76.Il triangolo ABC sia rettangolo in A e AD sia la bisettrice dell'angolo A
la perpendicolare alla retta AD e sia E il suo punto di intersezione con la retta AC. Dimostra che
la retta AD è l'asse del segmento BE.
Ricapitolazione
77.Sia ABC un triangolo equilatero. Sui prolungamenti del lato BC prendi due segmenti BD e CE
uguali a BC; da E manda la perpendicolare alla retta BC e sia F la sua intersezione con la retta
AD. Calcola le misure in gradi di tutti gli angoli in figura. Dimostra che i triangoli ACF ed ECF
sono uguali e che le rette AB ed FC sono parallele.
 , prendi sui lati a e b due segmenti uguali OA e OB. Dal punto A manda
78.Dato un angolo aOb
la perpendicolare alla semiretta a e sia C la sua intersezione con la b; dal punto B manda la
perpendicolare alla b e sia D la sua intersezione con la a. Sia E l'intersezione delle due
perpendicolari. Dimostra che:
•
OC=OD; EC=ED; EA=EB;
•
 ;
la semiretta OE è la bisettrice dell'angolo aOb
•
la semiretta OE è asse sia del segmento AB che del segmento DC;
•
il quadrilatero ABCD è un trapezio isoscele.
79.Nel triangolo ABC, rettangolo in A, AH è l'altezza relativa all'ipotenusa. Dette rispettivamente D
 e HAC

ed E le intersezioni con l'ipotenusa delle bisettrici degli angoli BAH
, dimostra che:
•
il triangolo ABE è isoscele sulla base AE;
•
il triangolo ACD è isoscele sulla base AD;
•
vale l'uguaglianza: AB AC =BC  DE .
80.Dagli estremi del segmento AB conduci due rette parallele r ed s, giacenti entrambe nel
medesimo semipiano avente per origine le retta AB. Prendi su AB un punto P, su r un punto C
tale che AC=AP e su s un punto D tale che BD=BP. Dimostra che le rette PC e PD sono
perpendicolari.
81.Sia ABC un triangolo rettangolo isoscele di ipotenusa AB. Per un punto P del lato AB conduci la
perpendicolare ad AB che interseca le rette AC e BC rispettivamente in E ed F. Dimostra che il
triangolo EFC è isoscele e che la sua mediana CM è parallela ad AB.
 e sia P la sua intersezione con il lato
82.Dato il triangolo ABC, conduci la bisettrice dell'angolo A
BC. Da P conduci la parallela ad AB e sia Q la sua intersezione con il lato AC. Traccia poi la
8

bisettrice dell'angolo AQP
e siano rispettivamente R ed S le sue intersezioni con AP e con AB.
Dimostra che:
•
R è il punto medio del segmento AP;
•
il quadrilatero ASPQ è un rombo.
83.Sia ABCD un rettangolo in cui AB=2 BC . Traccia la bisettrice dell'angolo A che interseca in
P il lato CD e in Q la retta del lato BC. Dimostra che i triangoli APB e ABQ sono isosceli e che
BP è un'altezza del triangolo ABQ.

84.Nel triangolo ABC si ha A=2
B . Prendi sul lato AB un punto P, prolunga il lato CA di un
segmento AQ=AP e indica con R l'intersezione delle rette PQ e BC. Dimostra che:
•
•
i triangoli APQ ed RPB sono isosceli;

 .
CRP=
BAC
85.Due rette parallele sono tagliate da una trasversale nei punti A e B. Conduci le bisettrici delle
due coppie di angoli coniugati interni e siano C e D i loro punti di intersezione. Dimostra che:
•
il quadrilatero ACBD è un rettangolo;
•
la retta DC è parallela alle rette date.
Stabilisci in quale caso il quadrilatero ACBD è un quadrato.