ITCG CATTANEO CON LICEO DALL’AGLIO - via M. di Canossa - Castelnovo ne’ Monti (RE)
SEZIONE I.T.I.
Michele Iori 2° G
Ricerca di fisica
Il moto dei satelliti, Keplero ,
Newton e la gravità
Da Aristotele allo spazio
Fino al 1600 la fisica terrestre era considerata diversa da quella celeste .
Si credeva, seguendo il pensiero di Aristotele, che i pianeti fossero fatti di una
materia eterna e immutabile (la quintessenza) e che ruotassero eternamente intorno
alla Terra in orbite circolari .
Si studiava solo la cinematica dei corpi celesti , riuscendo anche a prevedere il loro
corso, ma non se ne studiava la dinamica, cioè il "che cosa fa muovere i pianeti”.
Oggi , per noi che abbiamo assistito allo sbarco sulla Luna e a molte spedizioni
spaziali , sembra normale applicare le leggi fisiche e chimiche terrestri anche agli
altri corpi celesti, ma in passato si sono dovute attendere le intuizioni di Keplero e
Copernico per compiere il grande passo.
Dopo l’enunciazione delle leggi di Keplero e della gravitazione universale sono stati
fatti grandi passi in campo astronomico. Si è giunti a una migliore conoscenza del
sistema solare e della Via Lattea, in cui il Sole è in periferia ; sono stati scoperti 10
miliardi di galassie e 1000 miliardi di miliardi di stelle.
Nell’ultimo secolo si è sviluppata l’esplorazione spaziale grazie a una rapida
evoluzione tecnologica del razzo.
Il razzo ha una differenza fondamentale rispetto agli altri mezzi di trasporto , è
autonomo rispetto all’ambiente circostante .
L 'automobile sfrutta l'attrito con l'asfalto per muoversi come l'areoplano sfrutta la
spinta dell'aria. Il razzo, invece , è un sistema completo che ha al suo interno
l'apparato propulsore ; si può muovere perciò anche nel vuoto interstellare. Si può
considerare un sistema isolato a cui è applicabile la legge di conservazione della
quantità di moto: la quantità di moto acquistata dai gas di scarico si trasmette , con la
stessa direzione e verso opposto , al razzo.
L'astronautica come scienza nasce dal fisico russo Tsiolkovski all'inizio del nostro
secolo e prosegue per scopi bellici col tedesco Von Braun che realizza il primo razzo.
Ecco i suoi parametri caratteristici :
- gittata 320 Km
- quota 185 Km
- velocità 1600 m/s,
- durata della spinta dei gas 65s
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Nel 1957 il russo Korolev realizza lo Sputnik, il primo satellite artificiale . Nel 1961
Gagarin è il primo uomo in orbita nello spazio : al decollo subisce un'accelerazione di
5g e al rientro di 9g .
Inizia così la "corsa allo spazio" : nel 1969 Armstrong è il primo uomo a mettere
piede sulla Luna e vi arriva grazie ad un razzo a tre stadi. Ogni stadio contiene
propellenti che imprimono una data velocità al mezzo; quando il combustibile finisce,
il primo stadio si stacca ed entra in funzione il secondo , che si comporta allo stesso
modo. Così l'ultimo stadio acquista un'alta velocità (11.2 Km/s) , perché le
accelerazioni sono inversamente proporzionali alle masse.
Al ritorno dalla Luna si è cercato di costruire un mezzo riutilizzabile per diversi
viaggi: lo Shuttle, il primo dei quali viene completato nel 1981. Un grave incidente
nel 1986 ( 7 morti) ne rallenta lo sviluppo. Le ultime realizzazioni riguardano una
stazione orbitante ed il lancio di molte sonde che sono tuttora nello spazio e ci
inviano preziose informazioni.
Keplero : cenni storici e leggi
Nel 1532 Nicolò Copernico avanza l'idea del sistema eliocentrico
in cui tutti i pianeti orbitano intorno al Sole e non intorno alla
Terra , la quale perde quindi la posizione privilegiata datale dal
sistema geocentrico universalmente accettato a quell’epoca.
Dopo quarant’anni (1571) nasce Keplero ( Johannes Kepler) un
tedesco che già a vent’anni diviene un grande astronomo.
Keplero sostiene la teoria copernicana, apportando fondamentali cambiamenti in
campo astronomico; inventa il primo rifrattore (o telescopio kepleriano) , scrive le
sue tavole planetarie (tavole rudolfine ) ma soprattutto intuisce che le orbite dei
pianeti non sono cerchi ma ellissi.
Partendo da questa osservazione, comincia a studiare il moto dei pianeti, basandosi
sui tantissimi dati sperimentali raccolti, in una vita di studi , dal danese Tycho Brahe ,
suo maestro.
Enuncia cosi tre famose leggi matematiche (leggi di Keplero) che , come tutte le leggi
di questo tipo , non sono solo raccolte di dati e numeri, ma consentono di prevedere il
risultato di nuove osservazioni.
Prima legge di Keplero.
Le orbite descritte dai pianeti intorno al Sole sono ellissi di cui il Sole occupa uno
dei due fuochi (l'altro fuoco non è occupato da nulla in particolare).
Questa legge descrive la forma delle orbite. Un 'ellisse è costituita da tutti i punti
percui la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, ha un valore costante.
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C
F’
’
F
B
A
FA + F’A = FB + F’B = FC + F’C
Un'ellisse e' quindi, grosso modo, un cerchio schiacciato . In generale le orbite
planetarie sono ellissi poco schiacciate i cui fuochi sono molto vicini e che quindi
sono molto simili a circonferenze
Seconda legge di Keplero.
il raggio vettore che dal Sole va a un pianeta spazza aree uguali in intervalli di
tempo uguali (costanza della cosiddetta velocità areolare)
La seconda legge tratta della velocità dei pianeti , sottolineando il fatto che essa non è
costante; in pratica si afferma che il pianeta si muove tanto più velocemente nella sua
orbita ellittica quanto più si trova vicino al sole.
Il punto dell’orbita più lontano dal Sole si dice afelio , quello più' vicino perielio.
Perielio
Afelio
Le due aree tratteggiate in rosso, descritte dal raggio vettore in uguali intervalli di tempo, hanno lo
stesso valore, per cui la velocità nel tratto P-P’ è maggiore di quella relativa al tratto A-A’
(percorre uno spazio maggiore nel medesimo intervallo di tempo).
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Terza legge di Keplero.
Il rapporto fra il cubo del raggio dell'orbita e il quadrato del periodo di rivoluzione è
Io stesso per tutti i pianeti.
Questa legge illustra la relazione fra le distanze dei pianeti dal Sole ed il tempo che i
pianeti impiegano a percorrere interamente la loro orbita. Nasce così la seguente
formula:
3
R
----- = K
T2
dove R è il raggio medio Pianeta - Sole, T il tempo o periodo di rivoluzione e K una
costante uguale per tutti i pianeti che orbitano intorno al Sole. Ovviamente, in un
altro sistema planetario K ha un valore diverso, ma è pur sempre costante per tutti i
pianeti e i satelliti di quel sistema . E' altrettanto ovvio che se aumenta la distanza dal
Sole l'orbita diviene più lunga ed aumenta il tempo che occorre per percorrerla .
Newton e la Legge di Gravitazione Universale
Si sa che, per il principio di inerzia , in assenza di forze un corpo
si muove in linea retta a velocità costante . Nello spazio , però i
pianeti percorrono orbite ellittiche attorno al Sole, quindi su di
loro agisce una forza (la stessa cosa vale anche per i satelliti)
Questa forza è stata genialmente definita da Newton che ha avuto la grande
capacità di intuire che è la stessa forza di gravità terrestre ad agire anche nello
spazio ; Newton ha superato la barriera fra fisica celeste e fisica terrestre , forse
grazie alla famosa storia della mela.
Lo scienziato arrivò a concludere che la forza di attrazione gravitazionale fosse
espressa da questa formula:
F = G m1 m2 / r2
dove m1 ed m2 sono le masse dei due corpi , r è la distanza fra i due corpi e G è
la costante di gravitazione universale , valida per qualsiasi corpo in ogni luogo.
Questa formula ci dice che la forza è direttamente proporzionale a ciascuna
delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza.
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Quindi più due masse sono grandi più si attraggono . La distanza incide ancora
di più sulla forza: se raddoppia la distanza, la forza diviene un quarto , se
triplica la distanza, la forza diviene un nono ecc. .
In fisica l'inverso del quadrato compare molte volte, come per esempio nella legge di
Coulomb (che formalmente è molto simile a quella di gravitazione universale ma
riguarda la forza tra corpi dotati di carica elettrica) .
Il grafico dato da una funzione del tipo y = 1/x2 è simile ad un ramo di iperbole
equilatèra , che è generata dalla funzione y =1/x
Dalla legge di gravitazione universale si può ricavare il valore della costante G .
Per determinarla numericamente si considera un oggetto sulla superficie terrestre.
Visto che la Terra si comporta come un punto materiale, cioè come se la sua massa
fosse tutta concentrata nel centro, il raggio r è uguale a quello terrestre, m1 è la massa
della terra, m2 ed F sono la massa ed il peso dell'oggetto (cioè la forza di attrazione
fra Terra ed oggetto). Il risultato ottenuto da Newton in base ai dati conosciuti sulla
massa e sulle dimensioni della terra fu :
G = 6 * 10-11 Nm2/Kg2
Nel 1798 lo scienziato inglese Cavendish ricavò sperimentalmente in modo più
preciso il valore di G , ottenendo :
G = 6.67*10-11 Nm2/Kg2
La costante è un numero molto piccolo (per questo noi non sentiamo attrazione
nemmeno quando siamo vicini a masse molto grandi, come le montagne) , ma
conoscendola si può calcolare la forza gravitazionale con cui un oggetto di massa
pari ad 1 Kg e la Terra si attraggono:
F = 6,67 * 10
-11
24
1*(5,98
*
10
) = 9.8 N
*
6 2
(6.38*10 )
La massa della Terra è 5.98 * 1024 Kg e il suo raggio medio è 6.38 * 106 m. Si
spiega così, partendo dalla legge di gravitazione universale, il noto valore della
accelerazione gravitazionale . Per il terzo principio della dinamica anche l'oggetto
attrae la Terra con una forza di 9.8 N , ma il pianeta non ne risente a causa della sua
enorme massa.
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I satelliti
Già nel XVII secolo Isaac Newton spiegò come fosse possibile far girare un satellite
intorno alla Terra ; il suo ragionamento è questo :
Supponiamo di trovarci su una montagna molto alta e di sparare un proiettile con un
cannone potente.
La gittata sarà di qualche chilometro ; ripetendo il lancio con velocità sempre
crescenti si osserverà che la traiettoria sarà caratterizzata da una curvatura sempre
minore ed il proiettile cadrà sempre più lontano.
Una volta raggiunta una velocità sufficiente esso continuerà a cadere seguendo una
traiettoria la cui curvatura corrisponde a quella della superficie terrestre e non
toccherà più il terreno : come si usa dire sarà “entrato in orbita”.
Il moto del satellite non dipende dalle dimensioni
del pianeta. E' come se tutta la massa fosse
concentrata in un unico punto materiale posto nel
baricentro del pianeta stesso.
Per calcolare la velocità del satellite è possibile
considerare una traiettoria circolare ; in questo
caso la forza di gravità si identifica con la
forza centripeta che determina il moto circolare
uniforme del satellite.
Uguagliando le espressioni delle due forze
si ottiene :
Fc = m V2/r
ms* V2/r = G* ms*mp/r2
dove ms è la massa satellitare , mp è la massa planetaria, V è la velocità del
satellite ed r è il raggio orbitale . Semplificando si avrà:
V2 = G*mp/r
da cui
v = G*mp/r
Questa formula consente di calcolare la velocità del satellite in orbita circolare. La
velocità è la stessa con cui il satellite deve essere sparato in direzione ortogonale alla
forza di gravità, da un'altezza h ( tale che r = rt + h), per entrare in orbita.
E' interessante notare che nella formula non compare la massa del satellite: V è
quindi la stessa per tutti ì satelliti lanciati da uno stesso pianeta .
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Si noti che V è inversamente proporzionale ad r , cioé più l'orbita è alta più
lentamente si muove il satellite. Di conseguenza aumenta anche il periodo di
rivoluzione.
Un satellite si comporta quindi come un proiettile sparato con una velocità tale da
non permettergli di atterrare anche se non viene ovviamente sparato dall’alto di una
montagna.
I satelliti artificiali vengono fatti salire fino ad un’altezza opportuna con un missile a
più stadi , diretti “parallelamente” alla terra e portati alla velocità necessaria perché
si mantengano in orbita a quella quota.
Esistono infinite orbite che un corpo può seguire a seconda della
velocità con cui viene lanciato.
Se la velocità è inferiore al cosiddetto valore critico il corpo si
comporta come un proiettile in quanto la sua traiettoria è un arco di
ellisse, uno dei cui fuochi è il centro della terra, che interseca la
superficie (di solito si approssima tale traiettoria ad una parabola
considerando costante la attrazione di gravità). Se la velocità è uguale o superiore al valore critico
la traiettoria ellittica non interseca più la superficie terrestre per cui il proiettile diventa un
satellite della terra (linee blu). La traiettoria circolare è solamente un caso particolare di queste
ultime in quanto la circonferenza non è altro che un’ellisse con i due fuochi coincidenti.
Se la velocità è molto elevata e supera la cosiddetta velocità di fuga il corpo può sfuggire per
sempre dalla terra seguendo traiettorie a forma di iperbole (linee rosse).
I due tipi di curve sono separati da una traiettorie particolare (linea verde) a forma di parabola
che corrisponde al valore della velocità di fuga , pari a 11200 m/s cioè circa 40000 Km/h.
Ogni corpo celeste, a seconda delle sue dimensioni e della sua densità ha un particolare valore
della velocità di fuga. A questo proposito vale la pena ricordare che nel caso di corpi “piccoli” ma
di densità elevatissima può accadere che la velocità di fuga sia superiore a quella della luce (circa
300000 Km/s) per cui neppure i raggi luminosi riescono ad uscire da un tale campo gravitazionale;
è il caso dei cosiddetti Buchi Neri di cui è popolato l’universo.
Se un satellite ruotasse su un'orbita giacente nel piano equatoriale, nello stesso senso
in cui la Terra gira su se stessa (cioè da ovest verso est, visto che noi vediamo
muoversi il Sole da est a ovest) ed alla giusta altezza, potrebbe sembrare immobile ad
un osservatore che lo guardi dall'equatore. Questo perché il satellite si muoverebbe
alla stessa velocità angolare della Terra ; in tal caso la sua orbita
viene definita geostazionaria , cioè ferma rispetto alla Terra. L'orbita
geostazionaria del nostro pianeta è ad un'altezza di 35800 Km ed è
quella normalmente utilizzata dai satelliti per le Telecomunicazioni
internazionali e per le previsioni metereologiche.
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