Pitagorici, i numeri figurati
Roma, Domenica 1 novembre 2009
L’insegnante di matematica di scuola
superiore che rimprovera due
studenti sorpresi a giocare di
nascosto una partita di filetto invece
di stare attenti alla lezione, farebbe
meglio a fermarsi e chiedersi: “Per
questi studenti questo gioco è più
interessante, dal punto di vista
matematico, di ciò che sto loro
dicendo?”. In effetti, una discussione
in aula sul filetto non sarebbe una
cattiva introduzione a diverse
branche della matematica moderna.
Martin Gardner,
Enigmi e giochi matematici, Vol. I,
Sansoni 1972
Martin Gardner, 1914
LIFE
John Horton Conway, 1937
Germogli
1 - Un organismo sopravvive
fino
alla
generazione
seguente se ha due o tre
vicini.
2 - Un organismo muore,
rimane cioè al suo posto
una cella vuota, se ha
quattro o più vicini oppure
se ne ha soltanto uno o
nessuno. Isolati o in un
ambiente sovraffollato, gli
organismi non riescono a
sopravvivere.
3 - Ogni cella vuota, con tre
vicini, diventa una cellula di
nascita e alla generazione
seguente viene occupata
da un organismo.
Roger Penrose, 1931
Esamondi
Tetraexi
Solomon W.Golomb, 1932
Pentamini
Esaflexagoni
Richard Feynman, 1918 - 1998
Sam Loyd, 1841 - 1911
Quello che si studia con diletto non sarà
mai più dimenticato, ma la conoscenza
non si può mettere in testa a forza.
L’insegnante non deve insegnare regole
a memoria; ogni cosa dev’essere
spiegata in modo tale che gli studenti
possano riformulare le regole nel proprio
linguaggio. L’insegnante che insegna
soltanto
regole
sarà
bravo
unicamente
per
addestrare
pappagalli.
Sam Loyd, Cyclopedia of 5000 Puzzles
L’insegnamento
scientifico
dev’essere
allegro,
vivo,
divertente e non freddo,
pesante
e
formale.
Conserviamo la nostra autorità
per
gli
appuntamenti
universitari.
François Édouard Anatole
Lucas, 1842 - 1891
Henry Perigal fotografato
all’età di 96 anni, nel 1897
La dimostrazione del teorema di Pitagora fatta
nel 1830 da Henry Perigal (1801 – 1898). Egli
divise il quadrato costruito sul cateto maggiore
in quattro parti, con due segmenti passanti per
il centro del quadrato stesso, uno dei quali
parallelo e l'altro perpendicolare all'ipotenusa
BC, e ricompose poi i quattro pezzi, insieme al
quadrato costruito sull’altro cateto, nel quadrato
dell’ipotenusa.
Un numero esagonale è
equivalente a un numero
rettangolo alto n e largo 2n - 1
1
2
12
3
22
4
32
5
42
…n
52
… n2
(n + 1)2 = n2 + (2n + 1)
6 al quadrato è uguale alla somma dei primi 6 numeri dispari
Gnomone di 13
Erone di Alessandria, I sec. A. C.
Erone definì lo gnomone come
“quello che aggiunto a qualcosa,
numero o figura, fa il tutto simile a
quello a cui è stato aggiunto”.
Lo gnomone di 15
Uno degli gnomoni di 72:
il quadrato di 9 meno il quadrato di 3
1
3
6
10
15
21
…
I numeri pentagonali: 1, 5, 12, 22, 35, …
Numeri esagonali e numeri Hex
1,
6,
15,
28,
Numeri esagonali centrati
1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, ...
45, ...
Nel 1830 Legendre provò che
ogni numero maggiore di 1791
è uguale alla somma di quattro
numeri esagonali. Nel 1990
Duke
e
Schulze-Pillot
perfezionarono
questa
dimostrazione portandola a tre
numeri esagonali per ogni
numero
sufficientemente
grande.
Δn = 1/2n(n + 1)
Esagn = n(2n – 1)
Ogni numero esagonale è un numero triangolare poiché:
n(2n – 1) = ½( 2n – 1)[(2n – 1) + 1]
Formule dei numeri figurati
Numeri al quadrato
n2
Numeri al cubo
n3
Numeri biquadratici
n4
Numeri al triangolo
½ n(n + 1)
Numeri al pentagono
½ n(3n - 1)
Numeri all’esagono
n(2n – 1)
Numeri all’eptagono
n(5n – 3)/2
Numeri all’ottagono
n(3n – 2)
Numeri al decagono
n(4n – 3)
Numeri al tetraedro
1/6 n(n + 1)(n + 2)
Numeri alla piramide a base quadrata
1/6 n(n + 1)(2n + 1)
Numeri gnomonici
2n - 1
Numeri epatagonali e nonagonali
1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, ...
1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261, 325, 396, 474, 559, 651, 750, 856, 969, ...
I numeri nonagonali
centrati, sono i
numeri nonagonali
con un punto
centrale in più:
10, 28, 55, 91, ...
Numeri Stella
1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337,
433, 541, 661, 793, 937, ...
1
8
27
64
...
Da 43 a 53 con lo gnomone tridimensionale di 5
I numeri tetraedrici: 1, 4, 10, 20, 35, …
I numeri piramidali quadrati: 1, 5, 14, 30, … Pirn = 1/6n (n + 1)(2n + 1)
Diofanto,
200, 284 d. C.
Dati tanti numeri quanti vogliamo, a partire da 1 e con
una differenza costante fra due termini successivi, se
tale differenza è uguale a 1, la somma di tutti i numeri
è un numero triangolare; se è uguale 2 è un quadrato,
uguale a 3 è un numero pentagonale, e così via. Inoltre
il numero degli angoli è uguale alla differenza comune
più 2, mentre il numero del lato è il numero dei termini
sommati fra loro, incluso 1.
Il numero poligonale di lato l e avente d + 2 angoli, per un
numero n, si ottiene dalla somma dei primi n termini della
progressione aritmetica di ragione d e il cui primo termine
sia sempre 1.
Ad esempio per i numeri al pentagono:
1, 1 + 3 = 4, 4 + 3 = 7, 7 + 3 = 10, 10 + 3 = 13, 13 + 3 = 16, ...
P4 = 1 + 4 + 7 + 10 = 22
Teorema di Nicomaco
La somma dei primi n cubi è uguale al quadrato
dell’n-esimo numero triangolare
1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ...
= (1) + (3 + 5) + (7 + 9 + 11) + (13 + 15 + 17 + 19) + (21 + 23 + 25 + 27 + 29) + ...
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 ...
=
4 9 16 25 36 49....
13 = (T1)2
23 = (T2)2 - (T1)2
33 = (T3)2 - (T2)2
43 = (T4)2 - (T3)2
53 = (T5)2 - (T4)2
63 = (T6)2 - (T5)2
…
3
3
3
3
3
3
2
1  2  3  4  5  ...  n  (Tn )
3
n  (Tn )
2
 (T
)
n1
2
La somma dei cubi dei numeri
successivi, da 1 a n, è uguale al
quadrato del triangolo di n.
Un numero triangolare al quadrato è uguale alla somma di cubi
n2 = Tn + Tn – 1
Tn – 1 = Tn - n
n2 = Tn + Tn - n
2Tn = n2 + n
2
Tn 
n n
2
n( n  1)

2
E in generale a2 + b2 = c2, dove a2 = b + c
89/55 = 1,61818
Il prodotto di tre interi
consecutivi è sempre un
multiplo di 6.
1
4
10
20
35
56
1
2
3
4
5
6
7
2
4
6
8
10
12
14
3
6
9
12
15
18
21
4
8
12
16
20
24
28
5
10
15
20
25
30
35
6
12
18
24
30
36
42
7
14
21
28
35
42
49
Numeri al tetraedro
84
LA CONGETTURA DI FERMAT
Nel 1638 Fermat affermò che ogni
numero intero positivo è uguale alla
somma al massimo di 3 numeri
triangolari, 4 numeri quadrati, 5
numeri pentagonali e n numeri n –
poligonali. Fermat disse di aver
dimostrato questo risultato, ma la
dimostrazione non venne mai
trovata. Gauss provò il caso dei
numeri triangolari. Eulero non riuscì
a dimostrare il caso dei quadrati del
Teorema di Fermat, che venne risolto
successivamente da Jacobi e
indipendentemente da Lagrange. Per
questo viene definito il Teorema dei
quattro quadrati di Lagrange. Nel
1813 Cauchy dimostrò la congettura
in generale.
Questo è forse il
più bel problema
dell’Aritmetica
Fermat
21 + 28 = 49
Numeri al triangolo
Numeri al tetraedro
Numeri all’ipertetraedro
o Pentatopo
56 + 84 = 140 =
= 100 + 36 + 4
35 + 70 = 105 =
1 + 4 + 36 + 64
Quadrato di Fermat e Pascal, chiarito da Giovanni Bernoulli
Δn + Δn-1 = 1 + 2 + 3 + ... + n + 1 + 2 + ... (n – 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1)
Tre piramidi quadrate riempiono una scatola rettangolare
Teorema di Conway e Guy (1996)
=
=
BIBLIOGRAFIA E SITIGRAFIA
J. H.Conway e R. K Guy Il libro dei numeri, Cap. II – Numeri dalle figure:
come fare aritmetica e algebra con la geometria, pp. 25 – 54, Hoepli, 1999
School Mathematics Project, Configurazioni numeriche, pp. 95 – 108,
Zanichelli, 1972
Uwe Kraeft, Bernoulli, Euler, Stirling, Figurate Numbers and Factorials,
Shaker Verlag GmbH, 2006
Mathworld:
http://mathworld.wolfram.com/FigurateNumber.html
Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Polygonal_number
PlanetMath:
http://planetmath.org/encyclopedia/PolygonalNumber.html
Un
insegnante
di
matematica,
indipendentemente da quanto ami la sua
materia e da quanto vigore metta nel suo
desiderio di comunicarla, deve sempre
affrontare una difficoltà soverchiante:
come tenere svegli gli studenti. Mi è
sempre sembrato che il modo migliore per
rendere interessante la matematica agli
studenti e ai profani sia quello di
accostarvisi con uno spirito giocoso. Sta di
fatto che il miglior modo di tener sveglio
uno studente è presentargli giochi
matematici interessanti, enigmi, trucchi,
battute, paradossi, modelli, limerick o una
qualsiasi delle centinaia di cose che gli
insegnanti ottusi tendono a evitare perché
paiono loro frivole».
Brian
Butterworth,
Matematica, Rizzoli, 1999
Intelligenza
http://polito.it/polymath