Prova Meccaniche
Principali tipologie
di sforzi e di deformazioni
che possono agire
su un solido
Sforzo di Trazione
All’applicazione di uno sforzo σ
lungo la direzione z corrisponde
una deformazione del solido lungo
la stessa direzione, εz.
Per piccole deformazioni vale la
relazione:
σ = E⋅ε z
E è detto “modulo di elasticità longitudinale”
o “modulo di Young” o semplicemente
“modulo elastico” del materiale
All’applicazione di σ si ha però anche una deformazione nelle altre direzioni, εx e εy.
Si definisce “coefficiente di Poisson” o “Modulo di Poisson” il rapporto fra le
deformazioni trasversali e longitudinali rispetto alla direzione di applicazione del
carico:
εy
εx
υ=−
εz
=−
εz
Per materiali perfettamente isotropi il modulo di Poisson teorico è pari a 0,25. Il
valore massimo che può assumere è invece pari a 0,50.
Tipici valori del modulo di Poisson variano fra 0,25 e 0,35.
Sforzo di Taglio
All’applicazione di uno sforzo τ
corrisponde una deformazione del
solido individuabile tramite l’angolo
θ.
Per piccole deformazioni vale la
relazione:
τ = G ⋅γ
,
∆y
con γ = tgθ =
Z0
G è detto “modulo di elasticità tangenziale” o “modulo di taglio” del materiale.
Per materiali isotropi vale la seguente relazione fra modulo elastico, modulo di
Poisson e modulo di taglio:
E = 2 ⋅ G (1 + υ )
e G assume pertanto valori vicini a 0,4⋅⋅E.
Prova di Trazione
Generalità
Applicazione di un
carico monoassiale
di trazione su un
provino che può
avere geometrie
diverse.
La prova avviene in
controllo di
spostamento:
si registrano lo
spostamento delle
ganasce e la forza
applicata
(in alcuni casi si
applicano estensometri
direttamente sul provino)
Prova di Trazione
Generalità
1. Deformazione elastica:
M
La deformazione è proporzionale al carico
applicato, rimuovendo il carico non vi è
presenza di deformazioni permanenti;
2. Deformazione plastica:
Il carico continua a crescere con l’aumento
della deformazione. Rimuovendo il carico il
provino mantiene una certa deformazione
permanente;
3. Strizione:
E’ il punto in cui la deformazione sul provino
non è più uniforme, ma si localizza in una sua
sezione. Si ottiene il massimo dell carico
applicato.
4. Rottura:
Il provino si rompe in due parti.
Le deformazioni elastica e plastica sono assistite da meccanismi
microscopici profondamente diversi.
Prova di Trazione
rottura
snervamento
Generalità
Principali parametri che si possono
ricavare da una curva di trazione:
-Resistenza meccanica:
- Carico di snervamento
- Carico di rottura
- Duttilità
- Allungamento uniforme
- Allungamento a rottura
- Tenacità:
- Area sottesa dalla curva
- Modulo elastico
Allungamento
uniforme
Allungamento
a rottura
Altri parametri:
- Strizione percentuale
( = riduzione d’area a rottura)
Tenacità
Modulo elastico
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Analizziamo in dettaglio la deformazione elastica del provino e proviamo a
trovare un modo per correlare il modulo elastico di un materiale alle sue
proprietà microscopiche.
Cosa succede quando si sposta un atomo dalla sua posizione di equilibrio?
Possiamo schematizzare un legame fra due atomi come una molla che li unisce:
Quando sposto un atomo dalla sua posizione di equilibrio nascerà quindi una
forza di richiamo che, opponendosi alla forza esterna, cercherà di riportarlo alla
posizione originale
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Così succede anche quando si sollecita un solido:
All’inizio gli atomi vengono spostati dalle loro posizioni d’equilibrio aumentando la
loro reciproca distanza lungo la direzione di applicazione del carico.
Sono quindi i singoli legami atomo-atomo ad essere sollecitati
Prova di Trazione
M atomi
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Na
to m
i
Per definizione:
P atomi
Ftot
N ⋅M ⋅F
F
= 2
=
σ=
2
A
N ⋅ M ⋅ r0
r0
l − l0 P ⋅ r − P ⋅ r0 r − r0
=
=
ε=
l0
P ⋅ r0
r0
Ci siamo quindi ricondotti alle variabili
microscopiche:
- Distanza interatomica, r
- Forza interatomica, F
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate:
F vs ε
La forza discende dall’andamento
dell’energia potenziale:
È l’aumento di energia potenziale
dovuto all’allontanamento dei due
atomi a far nascere una forza di
richiamo fra essi!
⇒
F =−
dU ( r )
dr
Attenzione ai segni! Questa F è la forza esterna necessaria
per imporre la deformazione
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Ci basta quindi trovare l’andamento dell’energia potenziale con la distanza
interatomica:
Un generico andamento può essere quello mostrato in figura:
parte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale
Uattr ( r ) = −
Potenziale
repulsivo
A
rm
Urepul ( r ) =
Potenziale
Attrattivo
Utot ( r ) = −
A
r
m
B
rn
+
B
rn
con A e B > 0 e n > m
A e B dipendono dal materiale;
n e m dipendono principalmente
dal tipo di legame
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
I parametri di cui disponiamo sono però solitamente la distanza interatomica e
l’energia di legame.
Valgono le relazioni:
dU
F ( r0 ) = −
dr
=0
r = r0
U ( r0 ) = −U b
Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene:
n
A=
U b r0m
n−m
m
B=
U b r0n
n−m
Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza:
m
n
U b   r0 
 r0  
 − n  + m   
U (r ) =
n−m   r 
 r  

n
m
dU ( r )
n ⋅ m 1  r0   r0  
F (r ) = −
= −U b
⋅   −   
dr
n − m r  r   r  


…e della derivata della forza (che ci servirà fra poco):
n
m
dF ( r )
n⋅ m 1 
 r0 
 r0  
= −U b
⋅ ( n + 1)  − ( m + 1)  
dr
n − m r2 
r 
 r  

Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Dalla definizione di modulo elastico, ricordando le relazioni trovate in precedenza,
dσ
E=
dε
ε =0
dσ
=
dε
σ=
r = r0
F
r − r0
ε=
r0
r02
si può scrivere:
dσ
E=
dε
d
r = r0
F
r02
=
r − r0
d
r0
=
r = r0
e quindi:
E=
nm
3
r0
Ub
1 dF
r0 dr
r = r0
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Quindi tanto maggiore è l’energia di legame e quanto minore è la distanza
interatomica, quanto maggiore è il modulo elastico
Metallo
Temperatur
a di fusione
(°C)
Modulo di
Young (Gpa)
Pb
327
14
Mg
650
45.5
Al
660
70
Ag
962
72
Au
1064
79
Cu
1085
127
Ni
1453
209
Fe
1538
210
Mo
2610
304
W
3410
414
Prova di Trazione
Curva di trazione “vera”
Costruzione della curva di
trazione attraverso i seguenti
parametri:
σ=
F
A0
ε=
l − l0
l0
Si ottiene la cosiddetta curva
“ingegneristica” mostrata in
figura.
Sta effettivamente
diminuendo lo sforzo sul
provino?
Prova di Trazione
Curva di trazione “vera”
La sezione del provino
diminuisce all’aumentare della
deformazione.
Vi è la necessità di
passare alle cosiddette
coordinate “vere”:
l
ε t = ∫ dε = ∫
l0
σt =
dl
l
= ln = ln(ε + 1)
l
l0
F
F A0 F l
= σ (ε + 1)
=
=
A A0 A A0 l0
Dove si è fatto uso della relazione:

 A0 l0 = Al

⇒
A0 l 
= 
A l0 
In questa zona le relazioni
utilizzate non sono più valide!
Lo sforzo ingegneristico rimane
invece “ancorato” alla sezione
iniziale…
Prova di Trazione
Curva di trazione “vera”
Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione: la riduzione d’area.
Prova di Trazione
Curva di trazione “vera”
- A partire dalla riduzione
d’area a rottura si calcola
l’allungamento che il
provino avrebbe se
l’allungamento fosse stato
uniforme.
- Si considera poi lo sforzo
calcolato rispetto all’area a
rottura
- Si idenifica il punto finale
della curva
- La curva si fa procedere
linearmente fino al punto di
rottura
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacità
Abbiamo definito la tenacità come l’energia necessaria per portare a rottura il
provino e l’abbiamo correlata con l’area sottesa dalla curva di trazione.
In realtà ciò è valido per la curva di trazione “vera”, mentre nel caso di curva
ingegneristica questa è solo la migliore approssimazione possibile.
l2
∫
ε2
∫
W = Fdl = σ ⋅ A ⋅ l ⋅ dε
l1
ε1
ε2
⇒
W
= σ ⋅ dε
V
∫
ε1
Ci stiamo riferendo a
grandezze “vere”
Data la grande dipendenza della tenacità da geometria del provino e
modalità di applicazione del carico, l’utilizzo dell’area sottesa dalla curva
“ingegneristica” è comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse
o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe.
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacità
La Tenacità contiene in sé sia la Resistenza che la Duttilità del materiale.
Queste due grandezze non sono però quasi mai scorrelate, e al crescere di
una solitamente decresce l’altra (almeno per acciai appartenenti ad una
stessa classe).
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dell’allungamento a rottura
per numerosi acciai di una stessa classe si troverà un andamento grosso
modo iperbolico.
Vale allora la relazione:
R⋅d = cost
Si definisce quindi “Indice di Qualità” il prodotto di Carico di Rottura e
Allungamento a rottura:
I = Rm × A%
Prova di Trazione
Indice di Qualità
Indice di Qualità di acciai per auto:
I = 50 ÷ 70 GPa·%
I = 30 ÷ 45 GPa·%
I = 5 ÷ 20 GPa·%
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione “vera”
Punto di massimo della curva di trazione:
Risultato di due forze concorrenti:
- l’incrudimento del materiale, (l’aumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)
- la diminuzione dell’area resistente del provino dovuta alla sua strizione.
Da ciò Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
⇒ dF = 0.
Dato che F=σA, possiamo scrivere:
.Al
dF = d (σ ⋅ A) = Adσ + σdA = 0
punto di massimo si avrà allora:
dA
dσ
=−
A
σ
.
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica
uniforme, si ha:
dV = 0 ⇒ dV = d ( A ⋅ l ) = ldA + Adl = 0,
cioè :
dA
dl
= − = − dε
A
l
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione “vera”
Si arriva quindi ad enunciare il “Criterio di Considere” per la determinaizone del
punto di strizione:
dσ
σ
= dε
dσ
=σ
dε
Prova di Trazione
Analisi dell’Incrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui è necessario prevedere il
comportamento plastico dei materiali: ad es. stampaggio di lamiere nell’industria
automobilistica)
Si definisce Incrudimento l’aumento dello sforzo necessario per aumentare
la deformazione.
Questa è una caratteristica dei materiali metallici, non tutti i materiali presentano
infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione.
Comportamento
Elasto – plastico incrudente.
Comportamento
Elastico – perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dell’Incrudimento
Si può approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo:
σ = k ⋅ε
n
Detta Legge di Hollomon:
K:
coefficiente di resistenza
n:
coefficiente di incrudimento
La relazione si può riscrivere come: ln σ = ln k + ln ε n = ln k + n ln ε
Da cui deriva:
d ln σ
=n
d ln ε
Prova di Trazione
Analisi dell’Incrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon:
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dell’Incrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon è possibile ricavare tutte le
grandezze caratteristiche della curva di trazione:
DUTTILITA’:
utilizzando la condizione di Considere:
dσ
=σ
dε
si ottiene:
σ = k ⋅ε n
dσ
=σ
dε
⇒
⇒
⇒
dσ
= k ⋅ n ⋅ ε n −1
dε
k ⋅ n ⋅ ε n −1 = k ⋅ ε n
n = εu
Prova di Trazione
Analisi dell’Incrudimento
RESISTENZA:
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione, quando ε = n.
σ = σ ing (ε ing + 1) = σ ing ⋅ e ε ,
σ rottura = σ ⋅ e −ε
ε =n
=
⇒
k ⋅ nn ⋅ e −n
σ ing = σ ⋅ e −ε
 n
= k ⋅ 
e
n
TENACITA’:
n
n
∫
∫
0
0
W
k
n
= σ ⋅ dε = k ⋅ ε ⋅ dε =
n n+1
V
n+1
Prova di Trazione
Analisi dell’Incrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non è l’unico che possa essere
utilizzato. Sono tanti i modelli teorici, empirici o semiempirici che possono
essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio.
Alcuni esempi: