Dipartimento di Elettronica e Informazione
Corso di Onde Elettromagnetiche e Ottica
Cap. 3 - I Sistemi Ottici
Antonio Canciamilla
[email protected]
Materiale didattico
 Dispense del corso
 J.W. Goodman, “Introduction to Fourier optics”, McGraw Hill
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Sommario
 Le lenti e la loro azione
 La lente come operatore di Fourier
 Il sistema di formazione dell’immagine (SFI)
 La funzione di trasferimento di un SFI in luce coerente
 La funzione di trasferimento di un SFI in luce incoerente
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Richiami ottica geometrica
 Lunghezza focale
 1
1  nl
1 
   1  
f  nm  R1 R2 
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Richiami ottica geometrica
 Legge delle lenti
Magnificazione
1 1 1
 
z1 z2 f
M 
z1>2f
z2
f

z1 f  z1
 M<1
z1=z2=2f  M=1
2f<z1<f  M>1
z1
z2
Lente convessa-convessa con z1>f
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Richiami ottica geometrica
 Legge delle lenti
Magnificazione
1 1 1
 
z1 z2 f
M 
z2
A. Canciamilla
z1
z2
f

z1 f  z1
Lente convessa-convessa con z1<f
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Richiami ottica geometrica
 Legge delle lenti
Magnificazione
1 1 1
 
z1 z2 f
M 
z2
f

z1 f  z1
z1
Lente concava-concava
A. Canciamilla
z2
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Richiami ottica geometrica
Richiami ottica geometrica:
 http://www.wainet.ne.jp/~yuasa/EngF5.htm
 http://www.educypedia.be/education/physicsopticslenses.htm
Softwares propagazione attraverso lenti:
 http://www.iapht.unito.it/tidf/LENTI2.htm
 http://www.iapht.unito.it/tidf/LENTI.htm
 http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=48
 http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Geometric_Optics
Approfondimenti (aberrazioni)
 http://fr.video.yahoo.com/people/721837
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Le lenti e la loro azione
Lente = operatore di fase dei sistemi ottici
Dispositivo ottico che introduce una forte perturbazione nella
propagazione libera (quindi nell’integrale di Huygens-Fresnel),
ma attraverso un effetto di sola fase.
Elemento ottico con simmetria assiale, che
trasmette e rifrange la luce, facendo
convergere o divergere il fascio.
Lente tradizionale: porzione di materiale
trasparente (tipicamente vetro),
con n omogeneo,e isotropo,
limitata da almeno una superficie sferica.
y
x
n
z
Δφ1(x1,y1)
Δφ2(x2,y2)
Superficie sferica  variazione di cammino ottico (= variazione di fase)
in funzione delle coordinate x,y.
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Le lenti e la loro azione
Lente = operatore di fase dei sistemi ottici
Dispositivo ottico che introduce una forte perturbazione nella
propagazione libera (quindi nell’integrale di Huygens-Fresnel),
ma attraverso un effetto di sola fase.
Lenti GRIN (GRaded Index Lenses):
spessore costante,
variazione n(x,y) dell’indice di rifrazione
Variazione indice n(x,y)  variazione cammino ottico (= variazione di fase)
in funzione delle coordinate x,y.
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Le lenti e la loro azione
Lente sottile: ritarda un’onda incidente in modo
proporzionale allo spessore della lente in ogni punto
Ul’
Ritardo di fase tra i piani A e B alla coordinata x,y:
Ul’’
 ( x, y)  kn( x, y)  k[00  ( x, y)]
Δ(x,y)
Propagazione in aria
n
Propagazione nella lente
Δ00
Quindi i campi complessi Ul’ e Ul’’ sono legati dalla relazione:
A
U l( x, y)  tl ( x, y)U l( x, y)
B
con
tl ( x, y)  exp[ jk00 ] exp[ jk (n  1)( x, y)]
Trasformazione di fase operata dalla lente
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Le lenti e la loro azione
Valuto lo spessore Δ(x,y), come somma dei due semi-spessori Δ1(x,y) e Δ2(x,y)
( x, y)  1 ( x, y)   2 ( x, y)

1 ( x, y)   01  R1  R12  ( x 2  y 2 )
(x,y)
R1
x2  y2
2
2 

(
x

y
)

  01  R1 1  1 
2


R
1


R12  ( x 2  y 2 )
R1  R12  ( x 2  y 2 )
Convenzione: procedendo nel senso della propagazione (z):
A. Canciamilla
 1 (x2  y2 ) 

  01  R1 
2
R1
2

Approssimazione parassiale:
Δ01
lente convessa  R>0

(x2  y2 )
(x2  y2 )
1
 1
R12
2 R12
lente concava  R<0
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Le lenti e la loro azione
Allo stesso modo per l’altro semi-spessore:
(attenzione: R2<0)
(x,y)
-R2

 2 ( x, y)   02   R2  R22  ( x 2  y 2 )
x2  y2
R22  ( x 2  y 2 )
2
2 

(
x

y
)

  02  R2 1  1 
2


R
2


 1 (x2  y2 ) 

  02  R2 
2
R2
2

 R2  R22  ( x 2  y 2 )
Approssimazione parassiale:
Δ02
Convenzione: procedendo nel senso della propagazione (z):
lente convessa  R>0
A. Canciamilla
lente concava  R<0
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici

Le lenti e la loro azione
Lo spessore totale sarà dunque:
( x, y)  1 ( x, y)   2 ( x, y)
(x2  y2 )  1
1 
(x2  y 2 )  1
1 
     00 
  
  01   02 
2
2
 R1 R2 
 R1 R2 
E lo sfasamento totale:
 ( x, y)  kn( x, y)  k[00  ( x, y)]

(x2  y2 )  1
1  
(x2  y 2 )  1
1 



 kn 00 
   k  00   00 
 


2
2
 R1 R2  
 R1 R2 

(x2  y 2 )  1
1 
  
 kn 00  k (n  1)
2
 R1 R2 
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Le lenti e la loro azione
Definendo allora la lunghezza focale f
1
1
1 
 (n  1)  
f
 R1 R2 
Lo sfasamento introdotto da una lente sottile in approssimazione parassiale sarà
(x2  y2 )
 ( x, y)  kn 00  k
2f
E possiamo definire la funzione di trasmissione della lente come
t ( x, y)  e
A. Canciamilla
jkn 00
j
e
k
( x2  y 2 )
2f
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Le lenti e la loro azione
Lente come operatore di fase: significato fisico

k
2
2 


U l ( x, y )  exp  j
( x  y )
U l( x, y)  exp  jkz
 2f

Onda Piana

Onda Sferica
f>0  Onda sferica convergente nel fuoco (f) dietro alla lente
Lente positiva
Piano-convessa
Doppio-convessa
Menisco positivo
f<0  Onda sferica divergente nel fuoco (f) davanti alla lente
Lente negativa
Piano-concava
A. Canciamilla
Doppio-concava
Menisco negativo
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Le lenti e la loro azione
Lente come operatore di fase: significato fisico
k
kf ( x 2  y 2 )
kf 2
2
2
j
(x  y )  j

j

2
2f
2
f
2
(x,y)
f
Onda sferica che si propaga da (x,y) verso il fuoco:
x2  y2
jkf (1  cos  )  jkf

f (1  cos  )
Proprietà legata all’approssimazione parassiale:
1 2

2
1
cos   1  sen 2  1   2  1   2
2
 Approssima fronti d’onda sferici con fronti d’onda parabolici
 E’ la stessa usata sulle onde sferiche di Huygens per trasformare l’integrale di
diffrazione in un integrale di Fourier
Quando l’approssimazione parassiale viene meno
 Aberrazioni cromatiche
A. Canciamilla
 Aberrazioni geometriche
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
L’azione della lente sulla diffrazione
Lente come “operatore di Fourier”
Consideriamo l’effetto della lente sull’integrale di Huygens-Fresnel
Oggetto
Lente Piano focale
Caso A
 Oggetto posto immediatamente prima della lente
 Oggetto con trasmissione tO(x,y)
 Illuminazione con un’onda piana di ampiezza A
A
tO(x,y)
Ul’
P(x,y)t(x,y)
Ul’’
Uf
Campo in ingresso alla lente:
U l( x, y)  U ogg ( x, y)  At O ( x, y)
Funzione di trasferimento
della lente con pupilla P(x,y):
P(x,y)t(x, y)  1 e
0
A. Canciamilla
j
Campo in uscita dalla lente:
k
( x2  y2 )
2f
U l( x, y)  U l( x, y) P( x, y)e
j
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
k
( x2  y 2 )
2f
L’azione della lente sulla diffrazione
Oggetto
Voglio valutare l’effetto della propagazione tra un
punto P1(x1,y1,z1) sul piano oggetto e un punto
P0(x0,y0,z0) sul piano immagine
Lente
 Scrivo l’integrale di Huygens-Fresnel
jk
( x02  y02 )
2 ( z0  z1 )
e jk ( z0  z1 )  e
U ( P0 ) 
j ( z0  z1 )
 U l( P1 )  e
jk
Ul’(P1)
( x12  y12 )
2 ( z0  z1 )
e
 j 2 ( f x 0 x1  f y 0 y1 )
dx1dy1

U ( P0 ) 
e
jk ( z0  z1 )
jk
2 ( z0  z1 )
e
j ( z0  z1 )
 U l( P1 ) 1 e
 jk
( x12  y12 )
2f
e
jk
( x12  y12 )
2 ( z0  z1 )
e
 j 2 ( f x 0 x1  f y 0 y1 )
x0
;
 ( z0  z1 )
y0

;
 ( z0  z1 )
f x0 
f y0
Funzione di trasferimento lente
( x02  y02 )
Ul’’(P1) U(P0)
dx1dy1

Se osservo il campo alla distanza focale f dalla lente, cioè per P0=Pf=(xf,yf,zf) e (zf-z1)=f:
U ( Pf ) 
e
jkf
jk
( x 2f  y 2f )
e
jf
2f
 U l( P1 ) 1 e
( x2  y2 )
 jk 1 1
2f
e
( x2  y 2 )
jk 1 1
2f
e
 j 2 ( f xf x1  f yf y1 )
f xf 
dx1dy1

La lente annulla esattamente il termine di fase all’interno dell’integrale di HF
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
f yf 
xf
f
yf
f
;
;
L’azione della lente sulla diffrazione
Sul piano focale:
U f ( P0 ) 
e
jkf
jk
( x 2f  y 2f )
e
jf
2f
f xf 
 U l( P1 )  e
 j 2 ( f xf x1  f yf y1 )
dx1dy1

La lente realizza sul suo piano focale la condizione di campo lontano
(o di Frauhnofer), a meno di un termine di fase.
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
;
f
yf
f yf 
;
f
Trasformata di Fourier
Campo nel fuoco  Termine di fase 
del campo in ingresso alla lente
Lente = operatore Trasf. Di Fourier in campo vicino
xf
L’azione della lente sulla diffrazione
Oggetto
Lente Piano focale
Caso B
 Oggetto posto a distanza d dalla lente
 Oggetto con trasmissione tO(x,y)
 Illuminazione con un’onda piana di ampiezza A
A
tO(x,y)
Uogg
Ul’
P(x,y)t(x,y)
Ul’’
Uf
1- Considero l’effetto della propagazione lungo d
attraverso l’integrale di HF
Lavoro nel dominio degli spettri angolari
Spetto angolare sul piano oggetto
Fogg ( f x , f y )  T .d .F U ogg ( x, y) T .d .F At O ( x, y)
Funzione di trasferimento
della propagazione
Risposta all’impulso della
diffrazione di Fresnel
 e jkd
  2
H prop( f x , f y )  T.d.F
exp  j
x  y2
 d
 jd


jkd
2
2
  e exp  j d f x  f y





Spetto angolare all’ingresso della lente
Fl( f x , f y )  T .d .F U l( x, y)  H prop( f x , f y ) Fogg ( f x , f y )  e e

2
2
jkd  j d f x  f y

Fogg ( f x , f y )
(Eq.1)
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
L’azione della lente sulla diffrazione
Oggetto
Lente Piano focale
2- Considero l’azione della lente
come operatore di Fourier
jk
A
tO(x,y)
Uogg
e jkf  e
U f ( P0 ) 
jf
P(x,y)t(x,y)
Ul’
Ul’’
( x 2f  y 2f )
jk
Uf
2f
 U ( P )  e
l
 j 2 ( f xf x1  f yf y1 )
1
dx1dy1

( x 2f  y 2f )
e jkf  e

j f
2f
T .d .F U l( x, y )
(Eq.2)
Sostituendo Eq.1 in Eq.2:
U f ( P0 ) 
e
jkf
jk
( x 2f  y 2f )
e
jf
2f
e e
jkd

 j d f x2  f y2

(Eq.3)
Fogg ( f x , f y )
Trascurando i termini costanti, il termine di fase davanti all’integrale di HF diventa:
jk
e
( x 2f  y 2f )
2f
e
 j d

f x2  f y2

e
2
2
( x 2f  y 2f )  j d   xd    yd  




jk
  d   d  
2f


e
A. Canciamilla
e
jk
( x 2f  y 2f )
2f
e
e
jk
2 
j
( xd2  yd2 )
 2 d
( x 2f  y 2f )
2f
e
 j d
e
jk
( xd2  yd2 )
2 d 2
( x 2f  y 2f )
2f
e
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
( xd2  yd2 )
 jk
2d
L’azione della lente sulla diffrazione
Oggetto
Lente Piano focale
Per d=f
(oggetto posto nel piano focale di fronte alla lente)
A
tO(x,y)
Uogg
e
P(x,y)t(x,y)
Ul’
Ul’’
Uf
jk
( x 2f  y 2f )
2f
e
( xd2  yd2 )
 jk
2d
e
jk
( x 2f  y 2f ) ( x 2f  y 2f )
2f
L’esponente del termine di fase prima
dell’integrale di HF si annulla
L’Eq.3 diventa:
e 2 jkf
U f ( P0 ) 
Fogg ( f x , f y )  cos t  T .d .F U ogg ( x, y)
jf
Se pongo un’immagine a distanza f dalla lente, sul piano focale ho la
sua trasformata di Fourier esatta
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
L’azione della lente sulla diffrazione
Lente
Oggetto Piano focale
Caso C
 Oggetto posto dopo la lente, a distanza d dal piano
focale
 Oggetto con trasmissione tO(x,y)
A
tO(x,y)
Uogg
Ul’
 Illuminazione con un’onda piana di ampiezza A
P(x,y)t(x,y)
Ul’’
Uf
Ottengo lo stesso risultato del caso A (oggetto sul piano
della lente), a meno del fattore di scala f/d
U f ( P0 ) 
e
jkd
jk
( x 2f  y 2f )
e
jd
2d
f
 j 2 ( f xf x1  f yf y1 )

U
(
P
)

e
dx1dy1
l
1
d 
f xf 
xf
;
d
yf
f yf 
;
d
Mi dà un grado di libertà in più nei problemi di filtraggio spaziale:
Oggetto più lontano dal piano focale  d più grande  Immagine più grande
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
L’azione della lente sulla diffrazione
Lente come operatore di Fourier: significato fisico ed esempio numerico
yo
Piano oggetto
xo
ES:
yl
Piano lente
f=58mm (obiettivo macchina
fotografica)
xl yf
Piano focale
Xf=20um
Luce visibile: λ≈600nm (rosso)
xf
Sul piano focale vedo un’intensità
nel punto di coordinata xf=20um
z
 L’oggetto conteneva frequenze spaziali pari a:
20 10 6
3
f xf 


0
.
57

10
linee/m 0.57 linee/mm
λf
0.6 10 6  58 10 3
xf
Per xf=200um (x10):
f xf 
 5.7  linee/mm (x10)
λf
xf
 Tanto più è estesa l’immagine sul piano focale, tanto più
l’oggetto di partenza ha frequenze spaziali elevate (alta risoluzione)
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Colore
Violetto
Blu
Verde
Giallo
Arancione
Rosso
λ
380–450 nm
450–495 nm
495–570 nm
570–590 nm
590–620 nm
620–750 nm
L’azione della lente sulla diffrazione
Lente come operatore di Fourier in campo vicino
yo
Piano oggetto
xo
yl
Piano lente
xl yf
Piano focale
A) Obiettivo macchina fotografica
xf
s=10mm (apertura)
f=50mm (focale)
z
Trasformata di Fourier dell’oggetto per
z = f = 50 mm
B) Senza lente (solo pupilla di diametro s):
Trasformata di Fourier dell’oggetto quando verifico la
condizione di Fraunhofer
z 
k
2 2
2s 2 
s  z > 1 km
2

 
s = 0.1 mm
(x 1/100)
 z > 100 mm
[ Stenoscopia]
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
L’azione della lente sulla diffrazione
Finora abbiamo trascurato le dimensioni della lente
C’è sempre una pupilla di dimensioni finite
 taglio le frequenze spaziali più alte
Utilizzo un’approssimazione geometrica:
Caso ideale: tutti i punti dell’oggetto che presentano le frequenze spaziali f x1 e fy1
contribuiscono al valore di intensità nel punto (x1,y1).
Caso reale: solo un insieme finito di raggi passa dall’apertura della lente e contribuisce
all’intensità in (x1,y1). Questo insieme può essere valutato retro-proiettando l’apertura della
lente rispetto al punto (x1,y1). Tale insieme varia al variare del punto sul piano focale.
yo
Fenomeno di vignettatura dell’immagine
Piano oggetto
xo
yl
 diminuzione di contrasto sui bordi
Piano lente
xl yf
Piano focale
xf
(x1,y1)
z
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
L’azione della lente sulla diffrazione
Esempio di trasformata di Fourier ottica di un’immagine
Il carattere ‘3’ può essere visto come la sommatoria
di tre pupille note:
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Il sistema di formazione delle immagini (SFI)
Lente = operatore di Fourier  Utilizzo inusuale
Lente: tipicamente utilizzata per formare immagini
Riporta l’informazione ottica
da un piano oggetto distante ad un piano immagine vicino
do
di
xo
xi
Introduce un fattore di ingrandimento detto magnificazione
tra le coordinate del piano oggetto e del piano immagine
M 
A. Canciamilla
xi
 xi   Mxo
xo
Il segno tiene conto dell’eventuale ribaltamento
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Il sistema di formazione delle immagini (SFI)
Lente = formatore di immagini
Qual è la sua funzione di trasferimento?
(xo, yo)
0
(xi, yi)
1
2
do
Ipotesi: luce coerente
3
di
Considerando la lente come un sistema lineare:
 h( x , y ; x , y )  U
U i ( xi , yi )  U o ( xo , yo ) * h( xi , yi ; xo , yo ) 
Campo immagine
i
i
o
o
Σoggetto
Risposta all’impulso della lente
o
( xo , yo )dxo dyo
Campo oggetto
0- Sorgente puntiforme (impulsiva):
U o ( xo , yo )   ( xo , yo )
1- Secondo HF, ogni punto dell’oggetto (xo,yo) è una sorgente di onde sferiche
che divergono verso la lente.
Il campo che investe la lente in ogni punto (x,y) è quindi (appross. parassiale):
( x  xo )
j
1
2do
U l ( x, y ) 
e
jd o
k
A. Canciamilla
2
 ( y  yo ) 2

Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
(Eq.4)
Il sistema di formazione delle immagini (SFI)
Lente = formatore di immagini
Qual è la sua funzione di trasferimento?
(xo, yo)
0
(xi, yi)
1
2
do
3
di
2- Il campo uscente dalla lente U’l sarà il campo entrante Ul moltiplicato per
la funzione di trasferimento della lente:
U l( x, y)  U l ( x, y) P(x,y)t(x, y)
  j 2kf ( x 2  y 2 )

P(x,y)t(x, y)  1 e

0
(Eq.5)
3- Si tiene conto della propagazione lungo di mediante l’integrale di HF:
( xi  x )
j
e  jkdi
2 di
U i ( xi , yi )   U l( x, y ) 
U l( x, y )e

jdi lente
Fresnel
k
A. Canciamilla
2
 ( yi  y ) 2

dxdy
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
(Eq.6)
Il sistema di formazione delle immagini (SFI)
Lente = formatore di immagini
Qual è la sua funzione di trasferimento?
(xo, yo)
0
(xi, yi)
1
2
do
3
di
Metto insieme i contributi espressi dalle Eq.4-5-6 e trascuro i termini di fase costanti.
Avendo considerato una sorgente impulsiva, il campo di uscita coincide con la
risposta all’impulso del sistema  Ui(xi,yi)=h(xi,yi; xo,yo):
k
k
k


j
( x  xo ) 2  ( y  yo ) 2 
( xi  x ) 2  ( yi  y ) 2 
 j ( x2  y2 )  j
1 1
2do
2di
2f
h( Pi , Po ) 
e
P
(
x
,
y
)

1

e
e
dxdy

jdi jd o lente
j
h( Pi , Po ) 
A. Canciamilla
e

k
xi 2  yi 2
2 di
jdi

j
e

k
xo 2  yo 2
2do
jd o

 P ( x, y )  1  e
 k 1 1 1  2 2 
 j     ( x  y ) 
 2  d o d i f 

e
 x x
 jk   o  i
  d o d i
lente
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
  y o yi
 x   
  do di
 
 y 
 
dxdy
Il sistema di formazione delle immagini (SFI)
j
h( Pi , Po ) 
e

k
xi 2  yi 2
2 di
jd i

j
e

k
xo 2  yo 2
2do
jd o
Indipendenti da (x,y)

 P ( x, y )  1  e
lente
 k 1 1 1
  j   
 2  d o d i f
 2 2 
 ( x  y ) 


e
 x x
 jk   o  i
  d o d i
  y o yi
 x   
  do di
 
 y 
 
dxdy
Dipendenti da (x,y)
Approssimazioni:
Poniamo pari a 1 i termini quadratici di fase indipendenti da (x,y)
ragionevole quando:
- si è interessati solo all’intensità sul piano immagine (non alla fase);
- l’oggetto e l’immagine giacciono su una sfera che ha per centro la lente;
- in un SFI, solo una piccola regione del piano oggetto contribuisce significativamente al
campo visto in un particolare punto del piano immagine. L’approssimazione è valida se
all’interno della regione del piano oggetto, il contributo quadratico di fase varia di una
quantità molto piccola (<< 1 radiante)
Poniamo pari a 1 il termine quadratico di fase dipendente da (x,y)
E’ una condizione di “messa a fuoco”: annulliamo l’effetto di broadening
della risposta all’impulso sul piano oggetto

1 1 1
 
do di f
E’ la legge delle lenti dell’ottica geometrica
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Il sistema di formazione delle immagini (SFI)
Risposta all’impulso del sistema
h( Pi , Po ) 
1
2 d o d i
 P ( x, y )  e
  y o yi
 x   
  do di
 
 y 
 
dxdy
lente
Definendo la magnificazione come:
1
h( Pi , Po )  2
 d o di
 x x
 jk   o  i
  d o d i
M 
 P( x, y)  e
j
di
do
2
 x  Mxo  x   yi  Myo  y 
d i i
dxdy
(Eq.7)
lente
A meno di un fattore di scale aggiuntivo 1/λdo, la risposta all’impulso della lente è
il pattern di diffrazione di Fraunhofer dell’apertura della lente (cioè della sua
funzione pupilla), centrato alle coordinate sul piano immagine (xi=Mxo, yi=Myo).
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Funzione di trasferimento di un SFI coerente
Relazione tra oggetto e immagine
Per l’ottica geometrica, in un SFI ideale,
l’immagine è una replica capovolta e ingrandita dell’oggetto
y  1
1
 x
U i ( xi , yi ) 
U o   i , i  
U o ( xo , yo )
M
M
M
M


Per l’ottica di Fourier la corrispondente risposta all’impulso dovrebbe essere una
δ di Dirac del tipo:
h( Pi , Po ) 
x
y 
1 
  xo  i , yo  i 
M 
M
M
L’ottica geometrica non tiene però conto della diffrazione.
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Il sistema di formazione delle immagini (SFI)
L’ottica di Fourier tiene conto anche della diffrazione
Prendo l’Eq.7 e normalizzo le coordinate oggetto
e la risposta all’impulso, per rimuovere il fattore
di magnificazione e l’inversione:
Introduco le frequenze spaziali:
fx 
 1
~
x
~
U i ( xi , yi )   h ( xi  xo , yi  yo ) 
Uo  o
M
 M
U i ( xi , yi ) 
~
yo  Myo
~
xo  Mxo
x
d i
~
y
, o
M
fy 
~
1
h
h
M
y
d i
 ~ ~
 dxo dyo

~
~
1
U o ( xo , yo ) * h  U geom ( xi , yi ) * h
M
~
 j 2  f x x  f y y  ~ ~
h ( Pi , Po )   P(di f xi , di f yi )  e
dx dy  T .d .F .P( xi , yi )
 L’immagine prodotta da un SFI ideale è una replica scalata e invertita dell’oggetto.
 Effetto della diffrazione: convoluzione dell’immagine ideale con il pattern di
diffrazione di Fraunhofer della pupilla della lente.
Convoluzione  smoothing  filtraggio passa-basso delle frequenze spaziali
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Funzione di trasferimento di un SFI coerente
Relazione tra oggetto e immagine
Passo nel dominio trasformato:
Fi ( f x , f y )  Fgeom ( f x , f y )  H ( f x , f y )
Ricavo la Funzione di Trasferimento in Luce Coerente
(Coherent Transfer Function o CTF):

~
CTF  H ( f x , f y )   h  P( xi , yi )  CTF  P( xi , yi )  P(di f xi , di f yi )
Risposta all’impulso
 T.d.F.(Pupilla)
Funzione di trasferimento  Pupilla valutata alle coordinate del piano immagine
Il SFI si comporta come un filtro di ampiezza
con trasmissione 1 all’interno e 0 all’esterno
Nella banda passante del filtro (in frequenze spaziali!), il SFI segue le
regole dell’ottica geometrica.
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Funzione di trasferimento di un SFI coerente
Esempio:
Pupilla circolare di diametro l:
 x2  y2 

P( x, y )  circ
 l/2 


= 1 per arg < 1
x2  y 2  l / 2
= 0 per arg > 1
x2  y 2  l / 2
l
La Funzione di trasferimento coerente è:
 f 2 f 2
y
 x
CTF  H ( f x , f y )  circ 
 l /( 2d i )

Frequenza di cut-off:
(oltre la quale H(fx,fy)=0)




f cutoff 
H
= 1 per arg < 1
= 0 per arg > 1
fy
l
2d i
fx
fcut-off=l/(2λdi)
Indicatore della risoluzione del SFI, cioè della sua capacità di vedere dettagli
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Funzione di trasferimento di un SFI coerente
Esercizio:
Pupilla circolare di diametro l = 1 cm
λ = 630 nm (rosso)
di = 25 mm
f cutoff
1102
5



3
.
17

10
linee/m  317 linee/mm
6
6
2di 2  0.63 10  25 10
l
Frequenza di cut-off calcolata sul piano immagine.
Sul piano oggetto xo=xi/M, quindi anche la fcut-off sarà moltiplicata per un fattore 1/M
Se il piano oggetto contiene frequenze f > fcut-off /M,
esse vengono filtrate e non concorrono a formare l’immagine
 smoothing dell’immagine
 fcut-off = 7.9 linee/mm
Aumento di  fcut-off diminuisce
di = 1 m
Diminuisco l  fcut-off diminuisce
l = 1 mm (cellulari)  fcut-off = 31.7 linee/mm
Obiettivo fotografico: grande apertura l; piccola focale f
 fcut-off elevate: risolve frequenze più alte
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Funzione di trasferimento di un SFI coerente
In fotografia:
Oggetti molto distanti rispetto alle dimensioni della camera
 di ≈ f
Si definisce un parametro di qualità degli obiettivi:
f-numero = f/l
Indicatore sintetico del potere risolutivo di un sistema ottico:
f cutoff 
1
2  f  numero
f-numero piccolo  risoluzione elevata
Esercizio:
f-numero = 2.8;
f cutoff 
1
1

 283 linee/mm
2  f  numero 2  0.63 106  2.8
Apertura obiettivo:
A. Canciamilla
f = 58 mm
l = f/f-numero = 20.7 mm
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Funzione di trasferimento di un SFI coerente
Significato della fcut-off nel diagramma di dispersione
Alte frequenze spaziali  Componenti di propagazione più inclinate
 Componenti con v > vcut-off
 Componenti con β < βcut-off
ω
Componenti
filtrate


Zona di
accettazione
1
2
ω0
Zona di propagazione
proibita
βcut-off
β
k0
A. Canciamilla


 cutoff  k0 1  ( f cutof  ) 2 
k0
θ
β
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Funzione di trasferimento di un SFI incoerente
Relazione tra oggetto e immagine
Ipotesi: luce incoerente  sorgente “termica”, con grande larghezza spettrale
Non è possibile definire un valore di fase (varia in modo casuale durante le propagazione)
 Il SFI deve essere analizzato in termini di intensità invece che di campo
I i ( xi , yi )  Autocorr U i ( xi , yi )  U i ( xi , yi )U i ( xi , yi )

Valor medio per t>>tc
Relazione tra i campi per i SFI coerenti  relazione tra le intensità per SFI incoerenti
~
U i ( xi , yi )  U geom( ~
xo , ~
yo ) * h
In forma integrale:

~2
I i ( xi , yi )  I geom ( ~
xo , ~
yo ) * h
2
~
I i ( xi , yi )   I geom ( ~
xo , ~
yo ) * h ( xi  ~
xo , yi  ~
yo ) d~
xo d~
yo

A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Funzione di trasferimento di un SFI incoerente
Relazione tra oggetto e immagine
Passo nel dominio trasformato:
T.d.F. {Intensità} = Spettro di Potenza
Optical Transfer Function (OTF) incoerente =
= T.d.F. normalizzata { |Risposta all’impulso coerente|2 }
Si ( f xi , f yi )  Si ( f ~x o , f ~yo )  T ( f xi , f yi )
2  j 2 ( f x  f y )
~
x i
y i
h
(
x
,
y
)
e
dxi dyi
i
i

OTF  T ( f x , f y ) 
2
~
 h ( xi , yi ) dxi dyi

  
~ ~
~ ~
OTF   h  h *   h  h *  H ( f x , f y )  H * ( f x , f y )  Autocorr H ( f x , f y )
La funzione di trasferimento in luce incoerente (OTF) è l’autocorrelazione
normalizzata della funzione di trasferimento in luce coerente (H).
A. Canciamilla
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Funzione di trasferimento di un SFI incoerente
Relazione tra oggetto e immagine
Si ottiene quindi:
CTF  P( xi , yi )  P(di f xi , di f yi )  OTF  Autocorr H ( x, y)  Autocorr P( xi , yi )
La funzione di trasferimento in luce incoerente (OTF) è l’autocorrelazione
normalizzata della funzione pupilla (P).
OTF: funzione complessa
Spesso risulta utile conoscerne anche solo il modulo:
MTF (Modulation Transfer Function) = |OTF|
Importante parametro di descrizione dei SFI
Proprietà autocorrelazione:
T(0,0)=1;
Valore 1 nell’origine (del piano delle frequenze spaziali)
T(fx,fy) ≤ T(0,0);
Andamento generalmente decrescente con fx (passa basso)
T(fx,fy) ≤ T*(-fx,-fy);
A. Canciamilla
Funzione simmetrica
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Funzione di trasferimento di un SFI incoerente
Come si calcola l’autocorrelazione della funzione pupilla?
Prendo due repliche sovrapposte della funzione pupilla e le faccio scorrere in due
direzioni opposte: l’area di sovrapposizione ad ogni passo è l’autocorrelazione.
y
y
x
Si dimostra che:
x
λdi|fy|
f cutoff incoerente  2  f cutoff coerente 
A. Canciamilla
λdi|fx|
l
di
Onde Elettromagnetiche e Ottica - Capitolo 3 - I sistemi ottici
Dipartimento di Elettronica e Informazione
Corso di Onde Elettromagnetiche e Ottica
Cap. 3 - I Sistemi Ottici