Scuola di Storia della fisica
Corso di formazione
l’evoluzione del concetto di campo
dall’ottocento ai giorni nostri
MEMO Multicentro Educativo di Modena Sergio Neri
Col patrocinio del Comune di Modena
27 novembre – 1 dicembre 2006
Che cosa dà in più una descrizione del
campo elettromagnetico in linguaggio
quadridimensionale
Silvio Bergia
Dipartimento di Fisica, Univ. di Bologna
INFN, Sezione di Bologna
Il campo elettromagnetico in linguaggio
quadridimensionale





Elettromagnetismo e relatività: le intuizioni einsteiniane in
(suoi) sommari resoconti.
Equazioni classiche per il campo elettromagnetico nel
vuoto
Trascrizione in forma quadridimensionale
Le regole di trasformazione per le componenti dei campi
diventano automatiche
Semplici esempi significativi che a posteriori confermano
le intuizioni einsteiniane e provano a illustrare il titolo
Elettromagnetismo e relatività: i nessi
intravisti da Einstein
<<Dass die Elektrodynamik Maxwells - wie dieselbe gegenwärtig
aufgefasst zu werden pflegt – in ihner Anwendung auf bewegte
Körper zu Asymmetrien führt, welche den Phänomena nicht
anzuhaften scheinen, ist bekannt. Man denke z.B. an die
elektrodynamiche Wechselwirkung zwischen einem Magneten
und einem Leiter. Das beobachtbare Phänomenon hängt hier nur ab
von der Relativbewegung von Leiter und Magnet, während nach
der üblichen Auffassung die beiden Fälle, das der eine oder der
andere dieser Körper der bewegte sei, streng voneinander zu
trennen sind>>.
A. Einstein, “Zur Elektrodynamik bewegter Körper”, Annalen der
Physik (4) 17, 891, 1905.
<<Che l’ettrodinamica di Maxwell – come si suole intenderla
ordinariamente – nella sua applicazione a corpi in moto porti
ad asimmetrie che non appaiono aderire ai fenomeni è noto.
Si pensi p. es. all’interazione elettrodinamica fra un magnete
e un conduttore. Il fenomeno osservabile dipende qui solo dal
moto relativo di conduttore e magnete, mentre secondo il punto
di vista consueto i due casi, che sia l’uno o l’altro di questi corpi
quello in moto, sono da tenere rigorosamente distinti l’uno
dall’altro>>.
“What led me more or less directly to the special theory of relativity
was the conviction that the electromotive force […] acting on a body
in motion in a magnetic field was nothing else but an electric field.”
Einstein a Robert S. Shankland, “The Michelson’Morley Experiment”,
Scientific American, Novembre 1964, pp. 107-114. Discusso in:
Arthur I. Miler, Albert Einstein’s special theory of relativity –
Emergence (1905) and early interpretation (1905-1911), AddisonWesley, 1981.
Analisi qualitativa nel sistema di riferimento in cui è in quiete
il magnete:
S N
Analisi qualitativa nel sistema di riferimento in cui è in quiete
la spira:
S N
Equazioni classiche per il campo
elettromagnetico nel vuoto
Equazioni di Maxwell nel vuoto
(sistema di Gauss)

  E  4

B  0

 1 B
 E 
0
c t

 1 E 4 
 B 

J
c t
c
Equazioni di collegamento


B   A
Sostituendo nella
Poiché

 1 B
 E 
0
c t
    0

  1 A 
0
   E 

c

t



 1 A
E
 
c t


1 A
E
 
c t
Libertà di gauge

 
A  A'  A  
1 
  '  
c t
La divergenza di

A
è arbitraria:
 1 
 A
0
c t
(condizione di Lorentz)
Trascrizione in forma quadridimensionale
L’invarianza della carica elettrica ci dà subito un risultato.
Partiamo dalla definizione di densità σ di carica:
dq  dV
Moltiplichiamo membro a membro per
dx :

dx
dqdx  dVdx   dVdt
dt
dx 

dt
sono le componenti di un quadrivettore
Equazioni per i potenziali



1

  A  4
c t
2

 1  A
 1  
4 

2
 A  2 2     A 
J

c t
c t 
c

2
Nel gauge di Lorentz
1
4 0
2
    4 
J
2
c t
c
2

 4 
1  A
2
 A 
J
2
2
c t
c
2
 1 2
 
4 
2




A


j
2
2
 c t

c


Introdotto il tensore del campo elettromagnetico
 0 Ex E y Ez 


  E x 0  Bz B y 
F 

  E y Bz 0  Bx 
 E  B B 0 
z
y
x


(matrice rappresentativa delle sue componenti covarianti
F
)
le equazioni di collegamento


B   A


1 A
E
 
c t
si compendiano nelle:
A A
F        A   A
x
x
Le equazioni di Maxwell non omogenee

 1 E 4 
 B 

J
c t
c

  E  4
 F
nelle
0

 Ex
F 
 Ey
E
 z
 Ex
0
Bz
 By

4 

j
c
 E y  Ez 

 Bz B y 

0  Bx 
Bx
0 

j  (c , J )
matrice rappresentativa
delle componenti
controvarianti del
tensore
Le equazioni di Maxwell omogenee
F ,   0
dove il simbolo [ ] significa antisimmetrizazione sui tre
indici, e la virgola derivazione rispetto a
x

nelle
1
(  F    F    F    F   F   F )  0
3!
  F    F   F  0
Le trasformazioni di gauge

 
A  A'  A  
nelle

1 
  '  
c t



A  A'  A   
La condizione di Lorentz
 1 
 A
0
c t

si può poi scrivere come
 A  0
Le regole di trasformazione per le componenti
dei campi diventano automatiche
Che le componenti del campo elettrico e del vettore induzione
siano diventate componenti di un singolo tensore ha una prima
conseguenza formalmente importante: dalle regole prescritte
per come si trasformano le componenti di un tensore passando
da una base ad un’altra si ricavano in modo univoco le regole
di trasformazione per le componenti del campo elettrico e del
campo magnetico.
Ricordiamo le regole di trasformazione per le componenti di un
tensore del second’ordine espresso in termini delle sue componenti
contravarianti:
F
 ' '
'

'

  F
Λ è la matrice rappresentativa della trasformazione di Lorentz
considerata
x
'
'

x

a

Consideriamo una trasformazione di Lorentz speciale, per la
quale

x 0 '   x 0  x1

x1 '   ( x1  x 0 )
x ' x
2
2
x3 '  x3
con
  v/c
e
 
1
v2
1 2
c
La matrice della trasformazione è allora la
  - 

   

0
0

0
0
D’altra parte, la
riscrivere
ossia:
F
F
 ' '
 ' '

'

F
'
0

0
0

1
0
0
1
0
'

  F
  '
F


 ' '

 FˆT
'


 ' '
F
si può

'
( ) 
T
F
 ' '

 FˆT

 ' '
La matrice rappresentativa del tensore campo elettrico nella nuova
base si ottiene quindi come prodotto delle tre matrici in parentesi.
Il risultato è la matrice con i seguenti elementi significativi:
E 'x  E
B ' x  Bx
E ' y   ( E y  Bz )
B' y   ( B y  E z )
E ' z   ( E z  B y )
B' z   ( Bz  E y )
L’uso della trasformazione speciale non pregiudica la
generalità del risultato:

E y ˆj  E z kˆ  E
E x  E //

E '  E ' y ˆj  E ' z kˆ 
  [( E y  Bz ) ˆj  ( E z  B y )kˆ] 
1
ˆ
ˆ
  [ E y j  E z k  ( vBz ˆj  vB y kˆ)]
c


1  
E '   [ E  ( v  B)  ]
c
Analogamente, per il campo magnetico:
Bx  B//

B y ˆj  Bz kˆ  B


1  
B'   [ B  ( v  E)  ]
c
Due esempi significativi che provano a
illustrare il titolo (il secondo conferma a
posteriori le intuizioni einsteiniane)


Carica in quiete in S: campo magnetico in S’
Magnete in quiete in S: campo elettrico in S’
In S è presente solo un campo elettrico:


1  
E '   [ E  ( v  B)  ]
c


E  0, B  0


1  
B'   [ B  ( v  E)  ]
c
E '//  E//
B '//  B//  0
E '  E

  
B '   ( v  E ) 
c
Rispetto ad un sistema di riferimento S’ in moto rispetto a quello in
cui c’è solo un campo elettrico sussiste anche un campo magnetico.
È lecito dire che se IN questa stanza c’è una carica in movimento
IN essa è presente un campo magnetico?
Fissiamo l’attenzione sul fatto che le componenti del vettore
campo elettrico e del vettore induzione diventano componenti
di un unico tensore . Così come qualche componente di un vettore
può annullarsi in una qualche base o, da nulla che era in una,
acquistare un valore finito in un’altra, le componenti di un
tensore possono essere o meno presenti a seconda della base scelta.
In S è presente solo un campo magnetico:


1  
E '   [ E  ( v  B)  ]
c


E  0, B  0


1  
B'   [ B  ( v  E)  ]
c
E '//  E//  0
B'//  B//

  
E '  ( v  B ) 
c
B'  B
Rispetto ad un sistema di riferimento S’ in moto rispetto a quello in
cui c’è solo un campo magnetico sussiste anche un campo elettrico.
“What led me more or less directly to the special theory of relativity
was the conviction that the electromotive force […] acting on a body
in motion in a magnetic field was nothing else but an electric field.”