Scuola di Storia della fisica
Corso di formazione
l’evoluzione del concetto di
campo dall’ottocento ai giorni
nostri
MEMO Multicentro Educativo di Modena Sergio Neri
Col patrocinio del Comune di Modena
27 novembre – 1 dicembre 2006
Perché una teoria relativistica del campo
gravitazionale deve essere tensoriale
Silvio Bergia
Dipartimento di Fisica, Univ. di Bologna
INFN, Sezione di Bologna
``What is (not) wrong with scalar gravity’’
Domenico Giulini
arXiv:gr-qc/0611100
19/11/2006
Una teoria relativistica del campo
gravitazionale








Una breve Premessa storica
Perché deve essere tensoriale
Una costruzione autoconsistente delle equazioni di campo
Il limite non relativistico
Ci vogliono anche le equazioni del moto! La prima versione di
Nordström e il perché del cambiamento di rotta da parte di Einstein
Somiglianza formale delle equazioni di campo con quelle della teoria
einsteiniana
La teoria formulata è in effetti un’approssimazione (linearizzata) della
teoria completa, valida in approssimazione di campo debole.
Serve a qualcosa? Per esempio per trattare le onde gravitazionali.
Premessa storica
“In 1907, it seemed that any number of minor modifications could
make Newtonian gravitation theory compatible with Einstein’s new
new special theory of relativity”.*
“In particular, what of the possibility of a small modification to
Newtonian gravitation theory in order to render it Lorentz invariant
and thus compatible with special relativity? Had Einstein considered
this possibility? It turns out that Einstein had considered and rejected
this conservative path in the months immediately prior to his first
publication of 1907 on relativity and gravitation.”**
John D. Norton, “Einstein and Nordström: Some Lesser-Known Thought
Experiments in Gravitation”, in The Attraction of Gravitation, edited by
J. Earman, M. Janssen, J.D. Norton, Birkhäuser, Boston, 1993: * p.3; ** p. 4.
Perché una teoria relativistica del campo
gravitazionale deve essere tensoriale
Abbiamo un esempio: quello dell’elettromagnetismo
 F

4 

j
c

F ,   0


1

  A  4
c t
2

 1  A
 1  
4 

2
 A  2 2     A 
J

c t
c t 
c

2
Le relazioni fra campi e potenziali nondeterminano questi ultimi
univocamente: i campi vanno in se stessi sotto la trasformazione,
detta di gauge,



A  A  
dove

 


x
e Λ è una funzione arbitraria del punto.
Nel gauge di Lorentz
1  2 A
4 
2 
 A 
j
2
2
c t
c

j  (c , J )
(1

 j  0
Campi o potenziali? La teoria newtoniana provvede un’equazione
per il (un) potenziale:
 2  4G
(2
che presenta una somiglianza formale con la (1).
Non ci è dato nulla che presenti una somiglianza formale con le
equazioni elettrodinamiche scritte in termini dei campi
propriamente detti.
La teoria einsteiniana della gravitazione – non solo quindi la sua
forma linearizzata – è formulata in termini di potenziali e non di
campi.
La (2) soddisfa a due requisiti richiesti da una teoria di campo:
Le sorgenti sono descritte da una densità
Le soluzioni sono funzioni del punto
E però sono statiche: il campo (del potenziale) non si propaga.
La somiglianza formale suggerisce un’immediata estensione
della (2):
2
dovrebbe essere sostituito da
1 2
2


2
2
c t
Osservazione parentetica: l’operatore differenziale in questione
è relativisticamente invariante.
Infatti per l’operatore

x'



x



x' x
 

x

vale la regola di trasformazione
Le

si trasformano quindi come le componenti di un
quadrivettore covariante (“secondo le derivate delle vecchie
coordinate rispetto alle nuove”).
Le
     
1 0 0 0 


 0 -1 0 0 
 
0 0 -1 0 


 0 0 0  1

(η è il tensore metrico:
)
si trasformano allora come le
componenti di un quadrivettore
controvariante.
è quindi un invariante.
Ma
      



x x


2
x 
0 2
 
e dunque (cvd) è un invariante l’operatore
1 2
2

2
2
c t
Il campo incognita dell’equazione di Poisson è scalare.
Verrebbe fatto di dire: l’estensione relativistica naturale
si otterrà semplicemente sanzionando che le soluzioni della
nuova equazione siano scalari invarianti di Lorentz.
L’idea fu sanzionata dal fisico finlandese Gunnar Nordström nel 1907 (cfr. Norton,
op. cit. p. 9). Norton esaminò a fondo la (amichevole) critica mossa da Einstein a
questo lavoro. Forti del senno di poi seguiremo qui una strada indipendente.
Allora il primo membro sarà a sua volta uno scalare invariante
di Lorentz. Ma, se è così, dovrà esserlo anche il secondo membro.
Ma ρ non lo è:
per una trasformazione speciale di
Lorentz da S’ a S
dV  dxdydz  1 

dm

dV
dm
v2
1  2 dV '
c

v2
c
2
dx  1 
dx' dy' dz '  1 
dm
1

'
v 2 dV '
v2
1 2
1 2
c
c
v2
c
2
v2
c
2
dx'
dV '
1
(m è un invariante!)
Ma una massa può scomparire, la corrispondente energia di
riposo trasformandosi integralmente (caso dell’annichilazione
elettrone-positrone) in energia cinetica. E non possiamo pensare
che l’energia, l’energia cinetica in particolare, “non graviti”.
Si dovrà sostituire alla densità di massa una densità d’energia.
Ma le cose vanno allora ancora peggio: E/c è la componente
temporale del quadrivettore energia-impulso e, come tale, si
trasforma secondo la
E'
E
 E '
v2
1 2
c
Passare da m a E, anziché eliminare il fattore γ, ne introduce un
secondo!
Parentesi:
Come si trasformano le componenti del quadrivettore energiaimpulso (sotto una trasformazione speciale di Lorentz)?
E'
E
0
0
1
 P '   ( P  P )   (  Px )
c
c
Se il sistema di riferimento “senza apice” è quello comovente,
l’impulso è nullo.
La densità d’energia DEVE figurare come sorgente. E non è un
invariante.
Ma – e questo è il punto centrale – è UNA COMPONENTE DI
UN TENSORE DOPPIO SIMMETRICO.
Introduciamo questo tensore. Denotiamo con
 0 ( x)
(x indica la dipendenza generica dall’evento) la densità propria
del fluido, cioè quella che sarebbe misurata da un osservatore
in moto con il fluido, e con
dx   x 
u x  
ds

(le componenti della) “quadrivelocità” del filetto di fluido.
N.B.: la densità è quella di massa relativistica: per avere quella
d’energia basta moltiplicare per
c2;
s è l’elemento di linea. Si può alternativamente usare τ, ottenendo
una quadrivelocità senza virgolette.
Introduciamo allora:





dx
x
dx
x

T x   0  x 
ds
ds
Si tratta delle componenti di un tensore doppio simmetrico.
Osservato che
dx 0 d ct  dt



ds d c  d
abbiamo
T
00
T
00
1
v2
1 2
c

 0  
2
è quindi proprio la “densità di massa relativistica” vista
da un sistema inerziale esterno rispetto al quale il filetto di fluido
ha il corrispondente valore di γ (la corrispondente densità d’energia
si ottiene da essa moltiplicando per il quadrato di c).
Poiché, come abbiamo detto, la densità d’energia deve figurare come
sorgente ed è d’altra parte una componente di un tensore, sarà quel
tensore che si candida a costituire la sorgente.
Quel tensore? Proprio quello? Ci torneremo. Per il momento vediamo
di analizzarne le altre componenti.
Si verifica facilmente che si ha
T
0i
i
u

c
(si tratta quindi delle componenti
della densità d’impulso)
e
T 
ij
Per comprendere pienamente il significato fisico del tensore, è
opportuno considerare le equazioni
T 
x
  T   T  ,  0
u iu j
c2
Se ne ottengono le equazioni esplicite seguenti: dalla
T 0 ,  0


    u   0
t
la
che esprime la legge di conservazione locale della massa-energia.
Dalle
le
T i ,  0
  u i

i
 u  u   0
2  t
c 

Quella che compare in parentesi quadra è la derivata euleriana delle
componenti della velocità. Le equazioni descrivono allora il moto
libero del fluido; in altri termini, la conservazione delle tre
componenti dell’impulso.
Abbiamo capito che cosa sono le componenti 00 e 0i del tensore:
ma che cosa ci stanno a fare le componenti i j?


L’integrazione su un volume arbitrario della
    u   0
t
ci porta alla
d

0i
ˆ

dV



u

n
dS


c
T


  d i
dt V
S
S i
d i  ni dS
dove
Quella delle
  u i

i
 u  u   0
2  t
c 

alle
d
i
2
ij

u
dV


c
T

 d j
dt V
S
L’impulso all’inteno di un volume può variare se c’è un flusso
della “densità di sforzo”.
Ammesso che sia un tensore di questo tipo a dover a descrivere
le sorgenti della gravitazione, ci siamo chiesti se, nel caso, dovrà
essere proprio questo.
La risposta sta nell’osservazione che esso è il “tensore energiaimpulso” per un fluido piuttosto particolare: non potrebbe costituirlo,
per esempio, per il caso che si trattasse di un gas, visto che i gas
sono caratterizzati, oltre che da una densità, anche da una pressione;
né, per motivi analoghi, potrebbe costituirlo per un campo
elettromagnetico, che è pure portatore di energia e impulso.
In ogni caso però ci si riduce a un tensore doppio simmetrico.
Abbiamo detto che la densità di massa-energia deve essere
sorgente della gravitazione. Ma siamo sicuri che questo comporti
che le sorgenti in generale debbano essere descritte da un tensore
energia-impulso?
La risposta è sì, e la ragione risiede nel fatto che una trasformazione
di Lorentz da un sistema in cui sussista la sola componente 00 ad un
altro fa di norma comparire altre componenti del tensore.
A questa ragione, di per sé sufficiente, affianchiamo altri motivi
che, in assenza di essa, ci renderebbero inclini alla scelta.
Il primo è che, in ambito relativistico, le leggi di conservazione
di energia e impulso sono indissolubilmente legate.
Il secondo ha a che fare con un parallelismo che riscontriamo,
fatta la nostra scelta, con il caso dell’elettromagnetismo.
Le sorgenti del campo elettromagnetico stanno nella quadricorrente,
che obbedisce, come ricordavamo, alla

 j  0
che esprime la legge di conservazione locale della carica.
Ci dà una visione armoniosa delle cose il fatto che, nel caso del
campo gravitazionale, le sorgenti siano parimenti soggette a leggi
di conservazione locale, quelle espresse dalle
T

,
0
Le sorgenti della gravitazione sono espresse da un tensore doppio
simmetrico. Ma allora anche l’argomento dell’operatore
1 2
2


2
2
c t
dovrà essere un tensore doppio simmetrico!
Sembra dunque che dovremmo scrivere le nostre equazioni di
campo nella forma
 1 2
 
2

h  KT 


 c 2 t 2



con K costante da determinarsi (più avanti ne estrarremo un segno meno e
la scriveremo - k).
Questo sembra segnare la fine della nostra storia:
dato che l’incognita della nostra equazione di campo – per il (i)
potenziale – è un tensore (doppio) diremo che essa caratterizza
la costruenda teoria della gravitazione come tensoriale, nella
terminologia in uso in elettromagnetismo, teoria che chiamiamo
vettoriale perché l’incognita dell’equazione di campo – per il (i)
potenziale – è in quel caso un vettore.
Ma non lo è ...
Perché? Perché, rifacendoci al caso dell’elettromagnetismo,
la forma
 1 2
  4 
2

A 


j
 c 2 t 2

c


non è la più generale possibile, ma deriva da una scelta di gauge,
quella del gauge di Lorentz, fissata dalla condizione

 A  0
o
A

,
0
L’equazione scritta sembra implicare una scelta di gauge. Dunque,
a monte di questa, una libertà di gauge.
Nel trattato Gravitazione e spaziotempo, di Hans Ohanian e Remo
Ruffini, si mostra come, partendo dall’equazione di campo più
generale lineare del secondo ordine nel tensore h, che contiene
costanti arbitrarie, queste si determinano sulla base di considerazioni
generali e della richiesta che, posto che si annulla la quadridivergenza
del tensore sorgente a secondo membro, lo stesso avvenga per la
quadridivergenza dell’espressione a primo membro dell’equazione.
Hans C. Ohanian, Remo Ruffini, Gravitazione e spazio-tempo,
Zanichelli, 1997, p. 122 segg.
Gli stessi autori mostrano poi come l’equazione ottenuta vada
in se stessa sotto la trasformazione
h

h

 


   
dove le Λ sono funzioni arbitrarie del punto. L’equazione appare
il corrispettivo della



A  A  
esprimente l’invarianza di gauge dell’elettromagnetismo: la
comparsa di due termini derivativi nelle funzioni di gauge appare
inevitabile data la simmetria del tensore. Si noti tuttavia che, in
questo contesto, non entrano in gioco le relazioni fra potenziali e
campi, posto che questi ultimi semplicemente non ci sono.
La libertà di gauge permetterà, in linea di principio, come nel caso
dell’elettromagnetismo, una semplificazione delle equazioni di
campo. Introdotto formalmente il nuovo tensore
h

h

1 
  h
2
dove
hh


si mostra che è sempre possibile trovare un gauge nel quale sia
soddisfatta la
h

,
0
Le equazioni appaiono il corrispettivo
esprimente la scelta del gauge di Lorentz.
A

,
0
Fatta questa scelta di gauge, l’operatore che agisce sui potenziali
nel primo membro dell’equazione si riduce effettivamente a
1 2
2


2
2
c t
Tuttavia esso non agisce sul tensore di partenza, ma proprio su
h

h

1 
  h
2
e le equazioni di campo assumono (finalmente) la forma:
1 
2  



h


kT
 2 2

 c t

Il limite non relativistico
Si tratta di dieci equazioni indipendenti (le matrici rappresentative
dei tensori a primo e secondo membro sono quattro per quattro, ma
sono simmetriche!). Il passaggio a una versione relativistica, quindi,
ci porta da una a ben dieci equazioni. Il limite non relativistico della
nuova teoria dovrà dunque lasciarne sopravvivere una. È facile
pronosticare che sarà quella in cui i due indici diventano entrambi 0.
Ricordiamo infatti che si ha
T
00
 0  
2
e che nel limite non relativistico la densità di massa-energia si
riduce semplicemente a densità di massa.
Si mostra poi che, in quel limite, l’equazione si scrive
 2 h 00  k
cioè nella stessa forma dell’equazione di Poisson
 2  4G
La calibrazione sull’equazione di Poisson ci dà:
h
00

2
c
2
k
8G
c2
Ma che succede nel limite delle altre equazioni? È presto detto …
Ricordiamo l’espressione delle altre componenti del tensore
densità di energia-impulso:
T 0i
ui

c
T 
ij
u iu j
c2
Esse sono dunque piccole del primo e del secondo ordine nel
rapporto fra le componenti della velocità del fluido materiale
alla velocità della luce nel vuoto, quindi trascurabili rispetto
alla componente 00 del tensore nel (pieno) limite non relativistico.
Le altre equazioni tratteranno dunque, in quel limite, piccole
correzioni alla trattazione newtoniana.
E le equazioni del moto?
Pare che abbiamo riposto compiutamente alla domanda implicita
posta nel titolo: non solo una teoria relativistica della gravitazione
DEVE essere tensoriale, ma essa PUÒ essere costruita in un modo
che sembra essere autoconsistente e possedere il corretto limite
newtoniano.
Però una (completa) teoria della gravitazione deve anche dotarsi
di equazioni che dicano come si muove un corpo di prova in un
campo i cui potenziali siano determinati dalle equazioni
1 
2  



h


kT
 2 2

 c t

Norton ci dice che Nordström aveva la risposta*: si trattava di
covariantizzare la legge fondamentale della dinamica nel caso di
forze gravitazionali, partendo intanto dalla

F  mg 
o

F   mg
xi
i
La relazione forza-potenziale si estenderebbe come:

F  mg
x

*Norton, op. cit., p. 7.

F  mg
x

Questo non è corretto per due motivi. Il primo è che la f=ma
relativistica si scrive nella forma

dU
K   mi
d
dove le componenti spaziali della “quadriforza di Minkowski” K
valgono
K  F
i
i
e nella formula covariantizzata si dovrebbe scrivere K e non F.
Ma proviamo ad andare avanti. Dimenticandoci del γ, scriveremmo
dU 

mi
  mg
d
x
Eseguiamo la semplificazione fra i due fattori di massa (inerziale
e gravitazionale!) e scriviamola per il moto di caduta lungo la
verticale (asse z):
dU z


d
z
Ora è
dU z dU z dt
d (u z )


d
dt d
dt
Abbiamo quindi
d (u z )



dt
z
La derivazione a primo membro comporterebbe un termine nella
componente z della velocità, ma, se consideriamo il caso di un
moto per il quale ad un dato istante (diciamo, per definitezza, quello
iniziale) quella componente si annulli, si ottiene:
 v 2  
du z
 1  2 
dt
 c  z
Una componente x non nulla della velocità iniziale comporterebbe
dunque un’accelerazione verticale ridotta.
Notiamo che, se avessimo tenuto conto del fattore γ che distingue
la quadriforza dalla forza, avremmo un tale fattore a moltiplicare
la derivata del potenziale a secondo membro. La forma dell’ultima
equazione cambierebbe allora nel senso che il fattore che produce
il guasto finirebbe sotto radice. Ma la conclusione qualitativa non
cambierebbe: corpi lanciati da un’altura con componenti diverse
di velocità orizzontale raggiungerebbero il suolo in tempi diversi!
Questo è il nocciolo della critica einsteiniana a Nordström. Di
più: la sua ragione per abbandonare del tutto il tentativo di approdare
a una versione relativistico-ristretta di una teoria della gravitazione.
*Norton, op. cit., p. 7.
“I now abandoned as inadequate the attempt to treat the problem
of gravitation […] within the framework of the special theory of
relativity. It clearly failed to do justice of the most fundamental
property of gravitation.”*
*A.Einstein, “Notes on the Origin of the General Theory of
Relativity”, in Ideas and Opinions, Carl Seelig ed., Sonja Bargmann
trad., Crown, New York 1954. Citato in Norton, op. cit.
Appaiono opportune alcune considerazioni:
1) Ho detto che il procedimento di Nordström non era corretto
per due motivi, ma ho menzionato solo il primo. Il secondo
emerge dalla considerazioni generali svolte su come formulare
una teoria relativistica della gravitazione, che implicano la
sostituzione di un potenziale scalare (?) con un potenziale tensoriale.
2) Il cambiamento di rotta da parte di Einstein avvenne, a quanto
pare, all’insegna di una riflessione approfondita di quello che
chiamò il “principio d’equivalenza”, per semplificare l’uguaglianza
di massa inerziale e gravitazionale. Ma questa ha poco a che fare
con la dipendenza del tempo di caduta dalla componente orizzontale
della velocità! L’effetto di Nordström sussiste dopo aver cancellato
le due masse fra primo e secondo membro!
3) Quello che occorre modificare non sono le equazioni del campo,
ma quelle del moto.
4) Siamo sicuri che l’effetto legato alle componenti orizzontali della
velocità non sussista né sperimentalmente né come previsione della
teoria corretta?
5) Possiamo affrontare, nell’ambito della teoria linearizzata, anche
il problema del moto di un corpo di prova in un campo dato?
Abbiamo appreso che non va bene l’equazione
dU  

d
x
Ebbene, essa è sostituita dalla:
dU 
1
 k (h ,   h ,  )U U 
d
2
Ohanian, Ruffini, op. cit., p. 134.
dU 
1
 k (h ,   h ,  )U U 
d
2
Poiché a primo membro figurano le componenti della quadriaccelerazione, a
secondo membro figurano quelle della quadriforza per unità di massa.
Ebbene, esse dipendono dalle componenti della quadrivelocità del corpo di prova,
e poiché
U  u
i
i
dipendono anche dal modulo della velocità ordinaria (si noti,inoltre, che nelle
equazioni del moto si ha una sommatoria doppia sulle componenti della
quadrivelocità, ciò che comporta la presenza di tutte le componenti della velocità
ordinaria).
Somiglianza formale delle equazioni di campo
con quelle della teoria einsteiniana
Le equazioni di campo della teoria einsteiniana si scrivono:
R

1 
 g R  kT 
2
Dunque sono anch’esse tensoriali, con lo stesso termine di
sorgente! Ma la loro stessa struttura ricorda da vicino quella
della teoria esposta:
1  
1 
2  



h


h


kT
 2 2


2

 c t

hh


R  R 
   g 
 2 1  2  
 
h  R 
2

2

t


R

sono il risultato di operatori
differenziali che agiscono su
e R
(ricordiamo che
 2 1 2 
 
h  R
2

2

t




g

g

)
La teoria einsteiniana non è lineare (basta pensare al termine
g

R)
La teoria formulata è in effetti
un’approssimazione della teoria completa
È un’approssimazione lineare della teoria einsteiniana (“Teoria
linearizzata”). Si ottiene da essa come “approssimazione di campo
debole”, se cioè si ha
g      h 
con
h    
Allora “tutto va come se” lo spazio tempo fosse piatto, cioè
con metrica minkowskiana η, e su questo “giacesse”, o
“viaggiasse” un campo tensoriale h.
Serve a qualcosa?
Certo: tutte le volte che è fisicamente soddisfatta la condizione di
campo debole.
E ci dice qualcosa di più, in tal caso, rispetto alla teoria newtoniana?
Si è già usato il termine “viaggiasse”: la teoria linearizzata prevede
soluzioni che si propagano.
L’equazione omogenea
1 
2  


 2 2
h  0
 c t

descrive la propagazione di un campo gravitazionale libero.
Essa è il corrispettivo della
 1 2
 
2

A  0


 c t 2



descrivente la propagazione di onde elettromagnetiche nel vuoto
in termini di potenziali.
Non appare necessario ricordare che essa avviene alla velocità c.
Né, crediamo, insistere sul fatto che la nostra equazione prevede
la propagazione di onde piane monocromatiche alla stessa velocità.
La natura tensoriale del campo comporterà differenze per quanto
riguarda gli stati di polarizzazione.
È infine forse opportuno che il limite newtoniano della teoria
einsteiniana della gravitazione è un limite
a) di campo debole (per avere – intanto – la teoria linearizzata)
b) non relativistico
c) statico