Il comportamento sismico delle strutture in muratura Ogni programma di calcolo strutturale è basato su di una teoria da cui prendono spunto gli algoritmi per lo sviluppo dell'analisi. Il software 3Muri è ad oggi il software più avanzato per il calcolo delle strutture in muratura in quanto prende in conto il maggior numero di parametri che condizionano il calcolo sismico di queste strutture. Prima quindi di entrare nel dettaglio delle varie opzioni che 3Muri mette a disposizione dei progettisti, è utile esaminare in via sintetica quali sono le principali variabili che costituiscono gli elementi indispensabili per un'accurata analisi strutturale. La concezione strutturale del "sistema scatolare" Le strutture in muratura hanno dimostrato di resistere bene al terremoto grazie alla capacità di resistenza fornita dal cosiddetto comportamento scatolare. Le pareti in muratura offrono infatti una resistenza alle forze orizzontali nel loro piano medio (2) decisamente superiore a quella offerta per carichi ortogonali al piano (1) al punto che questa componente può essere trascurata. Se le pareti ed i solai sono solidalmente collegati tra loro la resistenza globale è rilevante. Per comprendere bene questo concetto è sufficiente esaminare una semplice scatola realizzata in carta: 1) ogni parete, cioè ogni foglio esaminato singolarmente, offre scarsa resistenza alle sollecitazioni; 2) collegando le pareti tra loro si ottiene un considerevole aumento di resistenza; 3) la presenza di un elemento orizzontale (coperchio) aumenta ancora la resistenza globale; 4) la ragione di questa capacità offerta dal comportamento scatolare è comprensibile considerando che ogni forza può essere scomposta in due componenti parallele ai piani delle pareti sfruttando in questo modo la massima capacità di resistenza di ogni singola parete. Perché questo si realizzi è però necessario che le pareti siano ben collegate tra loro. Anche in questo esempio si vede chiaramente come l'inserimento di una terza parete verticale irrigidisce immediatamente la struttura fornendo capacità di sopportare spinte orizzontali. A seconda della direzione del terremoto,sono efficaci solo le pareti disposte parallelamente alla direzione del sisma in quanto sollecitate nel piano. Le altre non offrono resistenza ai carichi in quanto sollecitate fuori dal loro piano. In una costruzione in muratura è possibile identificare molteplici strutture resistenti a seconda della condizione di carico considerata. Tuttavia possono essere identificati come elementi resistenti le pareti verticali e gli orizzontamenti (intendendo con tale termine la categoria più ampia di solai, volte, coperture) sia pure con un diverso comportamento a seconda della sollecitazione considerata. La necessità di ammorsamento tra le pareti e con i solai consente inoltre la migliore distribuzione dei carichi verticali trasmessi non solo nella zona di incidenza ma anche in zone limitrofe. I meccanismi di danno Il primo requisito indispensabile per la sicurezza delle strutture in muratura è che sia garantita l’integrità della tessitura. Murature costituite da materiale incoerente possono raggiungere il collasso prima che si manifesti qualsiasi meccanismo in grado di offrire una resistenza apprezzabile. Verificate questa caratteristica, l'osservazione dei danni causati da eventi sismici evidenzia altri due possibili meccanismi di danno. Il primo comprende il collasso delle pareti fuori dal piano medio per forze agenti perpendicolarmente ad esso, il secondo prende in esame il comportamento della parete nel piano medio. Generalmente il primo tipo di meccanismo produce danni locali con espulsione di parte o della intera parete, quindi l'analisi è localizzata e limitata alle zone potenzialmente critiche, trattandosi quindi dello studio di cinematismi locali. Il secondo tipo di meccanismo coinvolge l'intera struttura ed è quindi un'analisi di tipo globale. In figura si vedano esempi reali di danneggiamenti di strutture muratura per meccanismi di danno di modo I. L'effetto del danno è spesso limitato ad una zona relativamente modesta con il collasso e l'espulsione della zona interessata. Nel caso del meccanismo di modo II, il danneggiamento è più diffuso e interessa ampie superfici. Come verrà descritto in seguito, dall'esame di queste immagini è possibile individuare uno schema a telaio costituito dalle parti resistenti in muratura. La vulnerabilità degli edifici in muratura In figura si riporta un elenco degli elementi che concorrono ad aumentare la vulnerabilità sismica delle strutture in muratura e che sono oggetto di attenta analisi in fase conoscitiva. Al contrario questo elenco consente di ridurre la vulnerabilità attraverso meccanismi che in ultima analisi incidono sulla capacità di duttilità della struttura. Il comportamento non lineare dei materiali e delle strutture Una delle principali novità delle Norme Tecniche per le Costruzioni è la presa in conto del comportamento non lineare dei materiali e delle strutture altrimenti detto "Performance based design". "Performance-based design" significa “Progettazione basata sulla richiesta di prestazioni strutturali”, indicando come fine ultimo il rispetto di standard prestazionali predefiniti in funzione del tipo di terremoto e del rischio sismico di riferimento. L’ottica è centrata sul reale comportamento strutturale, esaminando l’evoluzione oltre la fase elastica. Per comprendere meglio questa metodologia è necessario porre alcune premesse che implicano dirette conseguenze di carattere operativo (e normativo). Al crescere dell’intensità dell’azione sismica, corrisponde un diverso degrado strutturale, come indicato nella figura a fianco, attraverso i diversi stati limite: Operatività, Danno, salvaguardia della Vita, Collasso Come si può vedere, prendendo come parametro lo spostamento laterale ed il taglio alla base, ad un aumento dello spostamento, si ottiene inizialmente un livello di taglio crescente e la struttura è ancora in fase elastica. Aumentando lo spostamento si ha il superamento della fase elastica e l’inizio del danneggiamento. Da questo momento in avanti l’operatività si riduce, mantenendosi ancora la possibilità di riparare la struttura a causa dei danni subiti (stato limite di danno). In seguito si raggiunge il limite di riparabilità, cioè il limite di convenienza economica al recupero della struttura. Da notare il limite di salvaguardia della vita umana, una situazione in cui la struttura, seppur danneggiata, possiede ancora ancora una buona capacità portante ai carichi verticali. Ovviamente si tratta di una situazione molto critica, ma occorre anche ricordare che la durata dell’evento sismico varia da pochi secondi a 20-30 secondi, e che quindi tutta la sua prestazione è concentrata in questo breve lasso di tempo. In ultimo ci si avvicina allo stato limite di collasso. Obiettivo primario indicato dalla normativa tecnica è sempre la salvaguardia della vita umana, soprattutto in caso di eventi eccezionali, e solo in seguito la prevenzione dei danni materiali in modo da ridurre gli eventuali costi di ripristino. Ad eventi sismici di intensità maggiore corrisponde una probabilità minore di accadimento, occorre quindi fissare i livelli di probabilità della prestazione che saranno diversi in funzione del diverso livello di protezione sismica richiesta. In pratica una bassa intensità sismica ha una maggiore probabilità di accadimento: sarà quindi più facile che la struttura sia impegnata nel garantire la prestazione di riparabilità. Diventa accettabile invece, proprio per la bassa probabilità di accadimento di un sisma di elevata intensità, che si possa raggiungere il livello limite di salvaguardia della vita umana. Per questo le prestazioni considerate devono tener in conto non solo fattori di tipo tecnico ma considerare anche livelli prestazionali di tipo socio-economico. Si tratta di armonizzare istanze di tipo etico, tecnico ed economico. Il metodo PBD (Performance Based Design), inverte il processo di progettazione: gli spostamenti sono il parametro primario di controllo per gli edifici in base ai valori attesi dal sisma, in funzione della sua intensità. Si tratta quindi di uno strumento più aderente alla realtà, in grado di cogliere aspetti significativi del comportamento strutturale, in particolar modo per la situazione sismica che presenta caratteristiche peculiari. Per questo è necessario analizzare l’effettivo comportamento superata la fase elastica, tenendo in conto le caratteristiche delle strutture in muratura e la presenza di elementi in c.a., acciaio, legno. Lo studio del comportamento non lineare delle strutture avviene prendendo in conto le caratteristiche di duttilità dei materiali cioè la capacita di offrire resistenza anche al superamento della fase elastica come riportato nell'immagine a destra. L’immagine a sinistra riporta invece il tipico andamento di una struttura fragile, che raggiunge il collasso al termine della fase elastica. In generale i materiali sono caratterizzati da tre parametri: dalla rigidezza espressa come inclinazione del tratto in cui il comportamento è elastico (modulo elastico), dalla resistenza caratterizzata allo snervamento e dallo spostamento ultimo del materiale prima della rottura. Il materiale muratura La muratura è un materiale composto naturale (pietrame) o artificiale (laterizi) e presenta in genere buona resistenza a compressione mentre è scarsa la resistenza a trazione (circa 1/30 dei valori di compressione) e quindi trascurabile. Per questo il comportamento delle strutture in muratura è intrinsecamente non lineare in quanto all'inversione delle forze corrisponde un diverso comportamento della struttura. La valutazione delle caratteristiche meccaniche del materiale viene effettuata sperimentalmente e la normativa indica le modalità operative per eseguire le prove. La scarsa duttilità e la rottura fragile sono compensate dalla massività del materiale che solitamente costituisce la quasi totalità della struttura resistente. Le murature offrono ottima resistenza ai carichi verticali (peso proprio, carichi variabili) con effetti di compressione. I carichi sismici si manifestano con azioni orizzontali e possono indurre stati di sollecitazione (trazioni) incompatibili con la capacità di resistenza del materiale. Il contributo delle pareti Le pareti costituiscono l'elemento portante principale per la resistenza alle azioni sismiche. L'osservazione del danneggiamento nel piano delle pareti in muratura, a seguito di eventi sismici, ha permesso di classificare alcuni comportamenti tipici. Si possono individuare tre tipologie di danneggiamento che variano in funzione della geometria, delle caratteristiche dei materiali, delle condizioni di vincolo e del rapporto tra carichi verticali e orizzontali: rottura per pressoflessione e schiacciamento negli spigoli; rottura per scorrimento; rottura per taglio. Inoltre le rotture avvengono in zone ben definite, cioè su porzioni di muratura delimitate dalle aperture. Da questa osservazione scaturisce l'ipotesi che il comportamento delle pareti è rappresentabile con "macroelementi", cioè da porzioni di muratura ben individuate geometricamente. Le pareti si possono suddividere in componenti elementari: maschi, fasce ed elementi rigidi. In particolare gli elementi "maschio" sono disposti a fianco delle aperture, gli elementi "fascia" sono disposti sopra e sotto le aperture. La muratura restante che non confina con aperture e che risulta quindi contenuta, si può considerare infinitamente rigida rispetto agli altri elementi e viene modellata con elementi di rigidezza infinita. . La ricerca teorica e sperimentale ha confermato che il comportamento di maschi e fasce, pur coinvolgendo elementi di superficie, può essere reso equivalente ad un elemento lineare realizzando in questo modo un telaio piano sovrapponibile alla parete in grado di simulare il comportamento della parete stessa. Il contributo dei cordoli Un primo contributo dei cordoli si manifesta attraverso l'interazione di questi con i solai e le pareti. Nella figura sono illustrate alcune ipotesi che saranno riprese in modo più esaustivo nel capitolo dedicato ai meccanismi locali. Nel caso le pareti siano realizzate con materiali diversi e con eventuali discontinuità i cordoli hanno la funzione di ridistribuire le azioni orizzontali creando un sistema iperstatico attraverso la loro rigidezza flessionale nel piano della parete. Esaminando la risposta delle pareti muratura dotate di apertura per azioni nel piano si possono individuare due modelli estremi. Il modello a) schematizza la parete con semplici mensole collegate da cordoli che si suppongono di scarsa rigidezza flessionale e quindi non in grado di influenzare il comportamento complessivo. In questo caso la distribuzione delle sollecitazioni flettenti sono rappresentate in figura. All'altro estremo, modello b), si ipotizza la presenza di cordoli e fasce di grande rigidezza, tipica del modello POR, e in questo caso i momenti flettenti risultanti sono tipici di un telaio che offre principalmente rigidezza a taglio. In realtà la situazione più comune è intermedia tra le due, rappresentata in figura c) dove l'interazione tra mensole e cordoli deve essere valutato confrontando le rispettive rigidezze. Anche il risultato delle sollecitazioni flettenti è intermedio tra l'ipotesi a) e b). Il contributo delle catene La presenza di catene consente la trasformazione di meccanismi di collasso dal modo I al modo II. In questo caso si ottiene un sensibile aumento della resistenza globale della struttura in quanto l'energia necessaria perché si verifichi il danneggiamento è decisamente superiore con la presenza delle catene. Un altro meccanismo che si attiva con la presenza delle catene è illustrato in figura. In assenza di catene si ha un meccanismo di rottura delle fasce in quanto non sono in grado di sopportare sollecitazioni di trazione; con le catene si attiva un effetto biella-puntone che aumenta sensibilmente la resistenza della parete. Il contributo dei solai e delle volte Il modello 3D della struttura realizzato con 3Muri è costituto da pareti e solai con l'ipotesi di collegamento tra loro. In generale, il primo compito dei solai è riportare i carichi verticali alle pareti producendo sollecitazioni di flessione e taglio nel solaio; per la verifica di questa condizione si procede con l'analisi statica. In presenza di sisma i solai collegano le pareti trasferendo a loro le forze sismiche orizzontali. E' importante sottolineare che la rigidezza nel piano del solaio relazionata alla rigidezza delle pareti condiziona il comportamento della struttura nel suo insieme. Nel caso di solaio flessibile, il setto centrale riceve una componente verticale pari al 50% del carico totale e si genera una forza sismica doppia rispetto alle forze che agiscono sui setti laterali. A causa della flessibilità del solaio ogni parete lavora in modo indipendente e il collasso di una parete provoca il collasso di tutta la struttura. Nel caso di solaio rigido, il setto centrale, pur interessato da un carico verticale doppio rispetto ai setti laterali, riceve una quota sismica pari a circa 1/3 del carico totale orizzontale, le azioni si distribuiscono uniformemente su tutti i setti grazie alla rigidezza del solaio evidenziando l'influenza di questo componente strutturale Questa caratteristica risulta ancora più importante al superamento della fase elastica. Nel caso di solaio rigido le pareti laterali sono chiamate a collaborare anche nel caso di un cedimento localizzato. Per questa ragione spesso si riporta nei manuali tecnici la richiesta di solai infinitamente rigidi nel loro piano e ben collegati alle murature. Questo è certamente utile, ma non sempre è necessario, soprattutto se per realizzare tale condizione si deve intervenire pesantemente sulle strutture esistenti. Infatti, in caso di interventi di recupero o di adeguamento sismico, la sostituzione di solai in legno o simili con solai in c.a. comporta l'aumento della massa con incremento delle azioni sismiche. Inoltre le operazioni di smontaggio e getto delle nuove strutture può richiedere massicci interventi demolitivi e danneggiare le pareti indebolendole in corrispondenza dei collegamenti dei solai. Il solaio infinitamente rigido non deve quindi essere necessariamente prescritto, anche se risulta utile; ciò che è invece necessario è valutare correttamente il comportamento della struttura tenendo conto dell'effettiva rigidezza dei solai e il comportamento d'insieme. In figura si riportano le deformate in pianta di due modelli ottenuti con l'ipotesi a) di solaio infinitamente rigido e l'ipotesi b) di solaio flessibile ottenendo risultati sensibilmente diversi. Nel primo caso la struttura deformata ha subito semplicemente un roto-traslazione mantenendo la forma iniziale. Nel secondo caso si vede chiaramente come la flessibilità del solaio induce spostamenti e rotazioni relative tra i vari blocchi; in particolare si nota come la parete di sinistra non sia più allineata. Anche se si evidenziano queste deformazioni non è detto che la struttura b) non sia verificata; se la struttura è verificata anche con l'ipotesi di solaio flessibile è inutile procedere all'irrigidimento del solaio, ancorché auspicabile. Ciò che è importante è la necessità di tenere conto della reale flessibilità del solaio al fine di simulare correttamente la struttura in esame. I meccanismi locali Il comportamento globale della struttura all’azione sismica è fortemente influenzato, ancor prima che dalle caratteristiche intrinseche dei singoli elementi strutturali, dal grado di connessione presente tra essi. Le carenze nel collegamento tra le pareti ortogonali e tra pareti ed orizzontamenti, comportano che la struttura non sia in grado di sviluppare, durante il terremoto, una risposta globale che chiama a collaborare fra loro le diverse pareti ed a ripartire tra esse le sollecitazioni indotte: le singole pareti mostreranno, quindi, una risposta indipendente tra loro. In questo caso la risposta che la parete tende ad esibire è dominata dal comportamento fuori piano. La presenza di un buon ammorsamento tra le pareti o di connessioni anche puntuali, ottenibili ad esempio tramite l’inserimento di catene metalliche, innesca la collaborazione nella risposta tra le varie componenti dell’organismo funzionale. La probabilità d’insorgenza di meccanismi di ribaltamento fuori piano è decisamente diminuita dalle condizioni di vincolo in cui si viene a trovare la parete e può ridursi ulteriormente grazie al collegamento fornito dagli orizzontamenti. La rigidezza dei solai nel proprio piano assume un ruolo fondamentale, in particolare nei riguardi dell’azione sismica. Solai rigidi ripartiscono le azioni fra le pareti in base alla loro rigidezza ed alla posizione in pianta, favorendo, inoltre, l’instaurarsi di meccanismi di collasso nel piano. Di contro, nel caso di solai molto flessibili, la ripartizione delle azioni sulle varie pareti resistenti avviene in funzione della loro area d’influenza dei carichi verticali, accentuandone il comportamento indipendente. I casi seguenti schematizzano il diverso comportamento strutturale in funzione del diverso grado di collegamento tra le pareti e della differente rigidezza dei solai. Caso a) Condizioni di vincolo Il solaio è collegato solo con la parete perpendicolare alla direzione del sisma, mentre non esiste ammorsamento tra le pareti e tra il solaio e la parete parallela alla direzione del sisma. Meccanismo di collasso Lo schema mette in luce il collasso dovuto a collegamenti insufficienti. In questo caso di ottiene lo scorrimento del solaio rispetto alle pareti, scaricando le forze sismiche di piano solo sulle pareti tipo B, perpendicolari all’azione sismica che reagendo fuori dal loro piano tendono a danneggiarsi rapidamente in quanto lo schema statico è a mensola, con sezione reagente pari allo spessore del muro. Le pareti tipo A, parallele al carico sismico sono caricate dalle forze sismiche proprie, sempre con schema a mensola, ma con spessore pari a tutta la lunghezza. Queste strutture necessitano interventi di consolidamento per ridurre l’instaurarsi del meccanismo che, determinando facilmente il collasso della struttura, rende superflua l’analisi globale. Caso b) Condizioni di vincolo Il solaio è collegato solo con la parete A parallela alla direzione del sisma e non esiste ammorsamento con le pareti B. Meccanismo di collasso Questa condizione è migliore rispetto alla precedente in quanto il carico sismico di piano è correttamente sopportato dalle pareti tipo A che reagendo nel piano sono in grado di manifestare il massimo della loro resistenza. Restano comunque agenti sulle pareti tipo B i carichi sismici propri, che possono comunque essere fonte di crisi. Gli schemi statici sono simili alla situazione precedente. Anche queste strutture necessitano di interventi di consolidamento per ridurre l’instaurarsi del meccanismo di collasso precoce. In caso di impossibilità di ripristinare il collegamento, prima di effettuare l’analisi globale è necessario verificare, con lo schema statico proposto, la stabilità delle pareti di tipo B. Caso c) Condizioni di vincolo Il solaio è collegato con tutte le pareti, ammorsate tra di loro; inoltre il solaio è particolarmente flessibile nel suo piano. Questa situazione è facilmente riscontrabile nel caso di solai in legno. Meccanismo di collasso Si ottiene quindi un’elevata deformazione del solaio che scarica l’azione sismica nel centro delle pareti perpendicolari alla direzione del sisma (pareti tipo B) invece di convogliarla correttamente verso le pareti tipo A Lo schema statico tipo A è sempre a mensola, mentre le pareti B, se il rapporto tra lunghezza del muro e altezza non è troppo elevato, assumono lo schema a piastra incastrata su tre lati. Anche in questo caso si ottiene la condizione della parete B caricata fuori dal piano, quindi da verificare prima dell’analisi globale. È necessario irrobustire il solaio per evitare il fenomeno di danneggiamento precoce. Caso d) Condizioni di vincolo Il solaio, sufficientemente rigido, è collegato con tutte le pareti, ma queste non sono ammorsate tra di loro. Meccanismo di collasso Lo schema statico per le pareti A risulta sempre di mensola incastrata sollecitata dalle forze sismiche di piano, e reagente su tutta la lunghezza del muro, mentre per le pareti B si può adottare lo schema a trave semplicemente appoggiata. Anche in questo caso si ottiene la condizione della parete B caricata fuori dal piano, quindi da verificare prima dell’analisi globale per il carico sismico dovuto al solo peso proprio della parete. Caso e) Condizioni di vincolo Il solaio, sufficientemente rigido, è collegato con tutte le pareti, e queste sono ammorsate tra di loro. Meccanismo di collasso Si tratta della condizione migliore, in quanto i vincoli relativi ottimizzano la risposta della struttura. Lo schema statico vede ancora una volta la parete A incastrata alla base e caricata dal carico di piano e le pareti B simulate da piastre, incastrate su tutti i lati sollecitate solo dal carico sismico dovuto al peso proprio. Con opportuni interventi di adeguamento, anche puntuali, è possibile limitare l’insorgere di meccanismi fuori piano, trasferendo, ad esempio, la risposta fuori piano della facciata alle pareti di spina. Per evitare i meccanismi sopra descritti, è necessario che i collegamenti siano efficaci con l’impiego di cordolature, incatenamenti ed un buon ammorsamento della tessitura di elementi murari. Compito del progettista, che si appresta a verificare la possibilità di meccanismi locali, è individuare un numero limitato di meccanismi che potrebbero interessare la struttura. Data la complessità del panorama architettonico degli edifici in muratura esistente, il numero di meccanismi teoricamente possibili è talmente elevato da rendere poco praticabile la verifica di tutti quelli possibili. Molti di questi sono spesso poco significativi o fisicamente improbabili, ad esempio per una parete con cordolo in sommità, difficilmente la muratura potrà ribaltarsi fuori dal suo piano poichè l'effetto cerchiatura del cordolo costituisce un vincolo che impedisce tale movimento. Attraverso l'analisi del quadro fessurativo, è necessario procedere all'individuazione di porzioni rigide che potrebbero ragionevolmente essere interessate da un movimento reciproco. Il sistema di corpi rigidi, connessi tra di loro in modo da individuare un sistema labile, prende il nome di catena cinematica. La catena cinematica così individuata, è interessata dalle forze peso dei singoli blocchi di muratura e dai carichi provenienti da altri elementi strutturali ad essi collegati e incidenti come i solai, le volte ed eventuali catene. Poichè lo scopo ultimo di questo tipo di analisi è individuare l'entità dell'accelerazione che attiva il meccanismo, assumiamo che le forze sismiche agenti siano una funzione lineare dei carichi . FS=α Fv assumendo: FS= forze sismiche Fv = forze statiche verticali (solai, volte, carichi di elementi superiori). Sarà quindi necessario individuare il moltiplicatore di attivazione α=α0 che attiva il meccanismo, trasfomando la condizione di equilibrio stabile in una condizione cinematica (equilibrio instabile). L'individuazione di questo moltiplicatore avviene attraverso l'applicazione del principio dei lavori virtuali. Individuato il moltiplicatore di attivazione, noti i carichi totali applicati al sistema e la massa equivalente, si individua facilmente il valore dell'accelerazione di attivazione del meccanismo. L'accelerazione di attivazione del meccanismo così individuata, costituisce l'offerta di accelerazione della struttura che, per garantire il superamento della verifica, dovrà essere superiore alla domanda di accelerazione ricavata direttamente dallo spettro sismico. A seconda delle condizioni di vincolo (a terra o in quota), la normativa fornisce le formule che permettono di ricavare l'accelerazione di domanda in base alla forma dello spettro sismico. Come precedentemente anticipato, questo metodo di calcolo presenta risultati attendibili a fronte di una accurata ed estesa analisi preliminare dei piani fessurativi e del livello di immorsamento degli elementi. Le immagini sulla destra, mostrano un caso di ribaltamento di una parete i cui muri di spina presentano un buon livello di cucitura negli angolari individuando i punti deboli nelle fessure già presenti sulle murature di spina. La presenza di efficienti cuciture d'angolo, permettono di contemplare nel sistema cinematico la presenza di cunei murari con funzione stabilizzante (l'accelerazione che attiva il meccanismo è molto più elevata in caso di presenza di cuneo). L'esame delle fessure, permette di individuare il meccanismo più significativo, valutando ad esempio quanti piani della struttura possono interessare il meccanismo (vedi figura). Altra tipologia di meccanismo, può nascere dall'effetto di "martellamento" di un solaio intermedio sulla muratura perimetrale, creando una rottura del paramento murario per flessione verticale. La figura mostra lo schema di rottura per flessione e come si presenta una struttura danneggiata da un meccanismo di questo tipo. Il mancato bilanciamento delle forze spingenti provenienti da volte e coperture in corrispondenza degli angoli può generare l'espulsione del cantonale. Questo tipo di rottura, suggerisce al progettista di riservare particolare attenzione a meccanismi che possono nascere da elementi sismicamente secondari; questi, data la loro disposizione, possono dare origine a azioni di fuori piano particolarmente pericolose. Il programma 3Muri 3Muri è il programma per il calcolo sismico delle strutture in muratura aggiornato al DM 14-1-2008 "Norme Tecniche per le Costruzioni". 3Muri esamina grandi e piccole strutture in muratura semplice e armata, anche con elementi in c.a., acciaio, legno come travi, pilastri, setti 3Muri consente la verifica di nuove strutture e di edifici esistenti. Punto di forza di 3Muri è il metodo di calcolo innovativo, (FME Frame by Macro Element) che schematizza la struttura attraverso un telaio equivalente costituito da un particolare tipo di elemento finito, detto macroelemento. Il macroelemento consente di cogliere al meglio il comportamento sismico delle strutture in muratura e fornire tutte le informazioni necessarie al progettista per un esame accurato della struttura stessa. Dall'esame del reale comportamento della struttura è possibile quindi prevedere interventi di adeguamento sismico mediante il rinforzo delle murature esistenti, l'inserimento di nuovi elementi in muratura, muratura armata, FRP o elementi lineari in c.a., acciaio e legno. Il programma dispone di un modulo grafico per l’introduzione della struttura con comandi intuitivi, di un solutore per la creazione del modello di calcolo e la relativa soluzione, di un post-processore per la presentazione immediata dei risultati e la creazione della relazione di calcolo. 3Muri nasce dall'obiettivo di S.T.A. DATA, da sempre rivolta alle soluzioni innovative, di sviluppare un nuovo potente prodotto per l’analisi sismica delle strutture in muratura. Per questo motivo è stato scelto, come solutore, il motore di calcolo dotato della migliore capacità di simulazione del comportamento non lineare degli edifici in muratura, sviluppato in ambito di ricerca da un’equipe di specialisti guidata dal prof. Sergio Lagomarsino (Ordinario di Tecnica delle Costruzioni presso l'Università di Genova), l'ing. Andrea Penna, l'ing. Alessandro Galasco, l'ing. Serena Cattari. Dalla fruttuosa collaborazione tra S.T.A. DATA e gli autori del motore di calcolo è nato e continua a rinnovarsi 3Muri, uno strumento efficiente, affidabile e sempre aggiornato per la pratica professionale. Il metodo FME Il metodo FME (frame by macro elements) è la sintesi di anni di ricerca e studi nel campo del comportamento sismico delle strutture in sola muratura o con la presenza di travi, setti e pilastri in c.a., quindi in grado di calcolare tutte le strutture che si presentano nel variegato panorama edilizio italiano. 3Muri è il software che ha ha implementato da anni per primo questo metodo ed è il più utilizzato dai progettisti italiani e non solo. Grazie alla sua diffusione presso i principali centri di ricerca universitari europei e internazionali, sempre di più si sta diffondendo come standard "de facto" per questo tipo di analisi. Il telaio equivalente La ricerca teorica e sperimentale ha confermato che il comportamento di maschi e fasce, pur coinvolgendo elementi di superficie, può essere reso equivalente ad un elemento lineare. Collegando quindi questi elementi si ottiene uno schema a telaio, detto appunto telaio equivalente. Il telaio equivalente consente di ben rappresentare il comportamento delle strutture in muratura; inoltre semplifica l'analisi, in quanto riduce i gradi di libertà rispetto ad altri schemi, come per esempio gli elementi finiti di superficie velocizzando i tempi di calcolo. 3Muri crea automaticamente la "mesh", cioè la divisione in maschi, fasce ed elementi rigidi, anche per pareti complesse ed esegue l'analisi non lineare al fine di determinare lo spostamento massimo e quindi valutare la vulnerabilità della struttura. Il macroelemento La costruzione di un macroelemento, rappresentativo di un intero pannello murario, deve permettere la formulazione di equazioni d’equilibrio che coinvolgano un numero limitato d’incognite e deve poter rappresentare un modello cinematico capace di cogliere i meccanismi elementari di deformazione, danneggiamento e dissipazione delle strutture murarie. Si consideri un pannello di larghezza b e spessore s costituito di tre parti: la deformabilità assiale sia concentrata nei due elementi di estremità • e ƒ di spessore infinitesimo D, infinitamente rigidi ad azioni taglianti, e la deformabilità tangenziale sia situata nel corpo centrale ‚ di altezza h che, viceversa, è indeformabile assialmente e flessionalmente. Il modello cinematico completo per il macroelemento deve, quindi, contemplare i tre gradi di libertà dei nodi i e j e quelli dei nodi di interfaccia • e ‚. Le ipotesi di rigidità introdotte consentono di semplificare la cinematica del macroelemento imponendo opportune condizioni di congruenza all’interno delle singole sottostrutture •, ‚ e ƒ. Avendo indicato con w gli spostamenti assiali, con u quelli trasversali e con j le rotazioni, si può affermare che u1 = ui ; u2 = uj (infatti i corpi • e ƒ hanno rigidezza tagliante infinita e spessore D tendente a zero) e w1 = w2 = d; j1 = j2 = f (il corpo centrale è assialmente e flessionalmente rigido e d, f rappresentano rispettivamente lo spostamento assiale e la rotazione). Dal punto di vista cinematico il modello è quindi descritto da otto gradi di libertà: le sei componenti di spostamento dei nodi di estremità (ui, wi, ji, uj, wj, jj) e le due componenti del macroelemento (d e f). Il meccanismo di ribaltamento del pannello, favorito dall’assenza di una significativa resistenza a trazione del materiale, viene rappresentato ipotizzando un contatto elastico monolatero nelle interfacce • e ƒ, mentre il meccanismo di rottura a taglio è schematizzato, considerando uno stato di tensione uniforme nel modulo centrale ‚ ( si assume Ti = Tj), attraverso un legame tra le componenti cinematiche ui, uj, f, lo stato tensionale e le variabili descrittive del comportamento plastico (il grado di danneggiamento a e lo scorrimento plastico gp). Il danneggiamento per fessurazione sulle fasce diagonali, dove si verificano meccanismi di taglio-scorrimento, è, infatti, rappresentabile mediante la componente anelastica di spostamento gp che si attiva quando viene superata una condizione limite per attrito alla Coulomb. Il legame Gambarotta-Lagomarsino consente di descrivere, attraverso le variabili a e gp, l’evoluzione ciclica del degrado di rigidezza e del deterioramento della resistenza associato al progressivo danneggiamento a taglio (Gambarotta et al., 1996; Galasco, 2001). Nelle due estremità dell’elemento è concentrato il comportamento a flessione: le relazioni che legano la normale di compressione N ed il momento M alle componenti di spostamento w e j derivano direttamente dalle equazioni elastiche di legame. Fintanto che il centro di pressione risulta interno al nocciolo centrale d’inerzia non si verifica la parzializzazione della sezione di estremità del pannello. In figura si riporta la matrice di rigidezza del macroelemento. Il modello cinematico completo per il macroelemento contempla quindi i tre gradi di libertà dei nodi i e j e quelli dei nodi di interfaccia. Il legame precedentemente descritto viene completato dall’inserimento di un meccanismo di collasso: coerentemente con le diverse normative sono definite deformazioni massime (drift) accettabili per il pannello, dovuti ai meccanismi di taglio e pressoflessione. Se questi valori vengono superati, il pannello non è più considerato in grado di sopportare azioni orizzontali e quindi viene ridotto o annullata la sua capacità resistente. L'elemento è sostituito da una biella, in grado di trasmettere ancora forze normali, ma senza alcuna resistenza per le azioni sismiche. Il modello complessivo è costituito dall'unione delle singole pareti a formare una struttura tridimensionale in cui si individuano i macro elementi sopra descritti. L'ambiente grafico L'ambiente grafico è suddiviso in quattro aree principali: Definizione Pareti Le caratteristiche geometriche della struttura, la disposizione in pianta delle pareti e le altezze dei piani costituiscono un supporto di base per l’inserimento degli “oggetti strutturali” . Le pareti, sono introdotte in modo grafico direttamente o lucidando un file in formato DXF o DWG. Caratteristiche Struttura La struttura è costituita da oggetti strutturali che costituiscono gli elementi resistenti. Gli oggetti previsti sono principalmente pannelli di muratura verticali con eventuali rinforzi (catene, cordoli, pilastri), solai per la ripartizione delle azioni orizzontali, elementi lineari (travi, pilastri) nelle varie tipologie di materiali (c.a., acciaio, legno). Nella barra verticale di sinistra, sono presenti diversi comandi che permettono di inserire entità grafiche utilizzabili come linee guida per la creazione del modello. Il suo utilizzo permette al progettista di avere a disposizione linee guida con cui procedere alla creazione del modello. Un disegno in formato DXF o DWG importato è disponibile come grafica di supporto. Oltre a questi comandi di input grafico, sono disponibili svariati altri comandi di aiuto alla fase di input, qui di seguito riportiamone alcuni: Zoom Questi comandi gestiscono lo zoom sul disegno del progetto. Lo zoom può essere anche gestito mediante la rotella del mouse. Ridisegna Questo comando permette di rigenerare il disegno in caso di errori di visualizzazione. Strumenti di misura Questi comandi gestiscono la misura degli elementi del disegno. Esaminiamo con maggiore dettaglio i comandi dei due ambienti principali di input (pareti e struttura). Pareti Per parete si intende un tratto continuo di muratura, setti, travi, catene (costituito anche da più segmenti che giacciono sulla stessa retta). Le pareti costituiscono uno scheletro per la struttura su cui si potrà andare a definire degli elementi strutturali. Struttura L'ambiente struttura è divisibile in due macro categorie, la definizione del materiale e l'asegnazione degli oggetti strutturali. Le proprietà dei materiali, sono reperibili direttamente dalle librerie disponibili all'interno del programma oppure definibili come nuove direttamente da parte del progettista. Gli oggetti strutturali inseribili sono: travi e pilastri c.a., acciaio, legno, catene, setti c.a. e pannelli murari. I pannelli murari, possono essere combinati con elementi trave per inserire cordoli sopra le murature. A input terminato, la generazione della mesh costruisce il "telaio equivalente" riportato in dettaglio nel prospetto per ciascuna delle pareti presenti nel modello. Il generatore di mesh automatico, mostra le sue potenzialità anche nei confronti di strutture irregolari sia in pianta che in elevazione. E' comunque possibile vedere la mesh e, se lo si ritiene opportuno, apportare delle modifiche. Durante la fase di input è possibile che si realizzino errori di modellazione; per questo 3Muri dispone di un sistema automatico di controllo e diagnostica che aiuta il progettista a validare il modello evidenziando anomalie e disfunzioni. E' così possibile intervenire ed apportare le correzioni necessarie al fine di garantire la bontà dei risultati. La costruzione del modello La figura riporta la sequenza di calcolo in cui sono evidenziate le tre fasi principali in cui si sviluppa il programma, costituite dalla introduzione del modello (input), dalla fase di analisi a sua volta suddivisa in due blocchi (definizione del telaio equivalente e analisi push-over) e dalla fase di verifica finale in cui si controllano gli spostamenti richiesti dalla normativa e quelli offerti dalla struttura evidenziati nelle analisi precedenti. Se gli spostamenti offerti (A) sono maggiori degli spostamenti richiesti (B) la struttura è verificata, in caso contrario è possibile intervenire attraverso modifiche alle caratteristiche della struttura e procedere con altri tentativi per il controllo del raggiungimento delle verifiche richieste. È importante sottolineare che il passaggio precedente implica la verifica globale e complessiva della struttura e non sono più necessarie verifiche dei singoli elementi come invece succede nei metodi più semplificati come l'analisi dinamica modale La costruzione del modello viene eseguita in modo interattivo, introducendo graficamente la struttura e controllando in ogni momento i dati ed i risultati. La prima fase prevede l’input completamente grafico della struttura attraverso “oggetti strutturali”: pannelli di muratura, travi e pilastri in c.a., acciaio, legno, muratura, catene, cordoli. Per facilitare la definizione della geometria è possibile avvalersi di file in formato DXF che vanno a costituire uno sfondo da lucidare. 3Muri calcola automaticamente i parametri fondamentali per l’analisi “push-over” come la flessibilità dei solai prendendo in conto le diverse tipologie (solai in legno, in acciaio e laterizio, in c.a. semplici o incrociati, volte, ecc.). Il modello viene completato con i carichi introdotti direttamente sui solai, i vincoli, le caratteristiche del terreno. Le diverse opzioni di calcolo consentono di modellare qualsiasi struttura, anche la più complessa, con semplicità e sicurezza. Il modello complessivo è costituito dalla unione delle diverse pareti e inserendo i solai. I punti indicati in rosso in figura sono nodi che costituiscono collegamenti tra pareti e solai. Oltre alle pareti ed ai solai è possibile introdurre elementi lineari come travi, pilastri e catene costituiti da diversi materiali (acciaio, cemento armato, legno). La definizione delle pareti avviene graficamente inserendo segmenti che rappresentano il piano medio delle pareti stesse. Tali segmenti devono essere collegati tra loro al fine di garantire la continuità strutturale; questi collegamenti rappresentano i nodi del telaio equivalente. In figura è indicato il tracciamento del primo segmento. L'ambiente grafico di cui 3Muri dispone consente di collegarsi automaticamente (snap agli oggetti, ai nodi, alle linee) alle riferimento grafico di base potendo così operare rapidamente e con sicurezza. Per pareti si intende un elemento in muratura che si può ricondurre ad un segmento. Nel caso fossero presenti diverse tipologie di materiali all'interno della stessa parete, è possibile suddividere la parete e definire ogni tratto con le sue caratteristiche specifiche. Questo modo di procedere si è verificato come il più pratico ed affidabile, per quanto riguarda la velocità di introduzione ed anche, e soprattutto, in quanto rappresenta bene la logica del calcolo strutturale in relazione al comportamento scatolare delle strutture in muratura. Continuando l'operazione di introduzione delle pareti si definisce la geometria di base a cui seguirà l'attribuzione dei parametri e delle caratteristiche meccaniche dei materiali. L'inserimento di nuove pareti ortogonali o comunque inclinate rispetto alle precedenti genera automaticamente i nodi di intersezione necessari per la definizione del telaio e dei gradi di libertà relativi. In figura sono riportate le due tipologie di noti generati automaticamente in fase di introduzione delle pareti e ulteriormente incrementati durante la fase di costruzione della mesh. Il metodo FME prevede due tipologie di nodi: 2D e 3D. I nodi 2D sono posizionati sulle singole pareti e sono caratterizzati da 3 gradi di libertà: spostamento verticale spostamento orizzontale secondo l'asse della parete e rotazione nel piano della parete. Essendo la parete non attiva fuori dal piano viene esclusa la rotazione secondo questa direzione. I nodi 3D sono posizionati in corrispondenza del collegamento tra pareti e tra pareti e solai. Sono caratterizzati da cinque gradi di libertà: spostamento secondo X, spostamento secondo Y, spostamento secondo Z, rotazioni secondo i piani medi delle pareti. Come si vedrà meglio in seguito, il telaio spaziale è generato automaticamente con possibilità di modifica da parte dell'utente. La prima operazione da eseguire esaminando il rilievo strutturale è la selezione degli elementi che sono effettivamente significativi e che partecipano alla resistenza globale della struttura. Questa fase è estremamente importante in quanto un modello realizzato con un numero eccessivo di dettagli invece di affinare le analisi può creare problemi di labilità locale in realtà inesistenti. La figura sopra riporta il rilievo di tutte le pareti, mentre la figura a fianco riporta le pareti che che sono state definite per il modello strutturale; gli elementi non in rosso sono stati trascurati in quanto ritenuti ininfluenti per la costruzione del modello globale Il modello è realizzato attraverso la costruzione di un piano per volta denominati livelli, con possibilità di duplicare integralmente un piano procedendo quindi ad introdurre le differenze. In questo modo è possibile introdurre agilmente strutture anche molto complesse e articolate come quelle riportate nelle figure seguenti. Pannelli murari, pilastri, travi e catene Dopo aver definito la disposizione in pianta delle pareti è necessario attribuire la tipologia e le caratteristiche geometriche e dei materiali che costituiscono la parete stessa. 3Muri mette a disposizione dei veri e propri oggetti strutturali che semplificano questa fase di introduzione dei dati a partire dalle tipologie illustrate nelle figure seguenti. Il primo tipo di parete è il pannello semplice in cui le variabili sono spessore e materiale. Nel caso siano presenti aperture come finestre è possibile definire lo spessore e il materiale per le zone sopra e sotto le aperture. Nel caso si debbano realizzare nuove aperture o semplicemente rinforzare quelle esistenti è possibile definire telai di cerchiatura che saranno inseriti nel modello partecipando attivamente alla resistenza globale offerta dalla struttura. Oltre ai pannelli di muratura sono previsti anche elementi isolati (colonne e travi) in cemento armato, acciaio, legno. Anche questi elementi partecipano alla resistenza globale della struttura attraverso il comportamento non lineare tipico di ogni elemento. In seguito sono forniti maggiori dettagli in relazione ai modelli costitutivi di questi elementi In figura sono riportate combinazioni degli elementi precedenti, ad esempio un pannello murario dotato di apertura con presenza di cordoli in cemento armato e acciaio. Altri elementi complessi si possono realizzare combinando pannelli con la presenza di cordoli in legno o di catene metalliche che, rispetto ai cordoli precedenti, non offrono resistenza flessionale. La figura rappresenta un balcone di cui verrà tenuto conto il contributo in termini di massa e quindi di spinta sismica. Altri elementi complessi sono costituiti da pannelli con pilastri e cordoli in diversi materiali. Una parete può essere suddivisa al fine di definire con esattezza la tipologia di materiale di ogni singolo tratto. La figura riporta la parete precedente in cui il tratto centrale, evidentemente di scarsa qualità, è stato sostituito con materiale nuovo. Tra le diverse tipologie di rinforzo è previsto anche l'inserimento di setti in cemento armato tra pareti esistenti o di nuova realizzazione. Pur essendo sconsigliabile questo tipo di interventi a causa delle forti differenze di rigidezza tra i vari elementi, è comunque possibile realizzare un modello con setti in cemento armato in quanto 3Muri prende in conto i modelli costitutivi e i comportamenti non lineari di queste strutture. Lo stesso per quanto riguarda strutture miste con la presenza di elementi in acciaio. Oltre a interventi puntuali, come travi e pilastri, sono previsti interventi di rinforzo diffusi sulle superfici, come la presenza di muratura armata o la realizzazione di intonaci armati ed eventuali armature di rinforzo localizzate ai lati delle aperture. Lo stesso tipo di rinforzo diffuso può essere realizzato con fibre, disposte come in figura. Anche in questo caso 3Muri è in grado di valutare correttamente l'apporto di questi interventi. La figura riporta sinteticamente un modello con tutte le diverse tipologie di elementi costituenti. 3Muri è uno strumento di grande potenza e affidabilità che consente di modellare nel miglior modo possibile le strutture nelle diverse tipologie presenti nella realtà. Solai e volte Solai e volte interagiscono con le pareti trasferendo i carichi sismici generati su di esse grazie alla loro rigidezza nel piano e tangenziale. Questi elementi sono modellati come elementi finiti di tipo "membrana ortotropa" di forma triangolare o quadrangolare che incidono nei nodi 3D del telaio spaziale . La definizione della membrana di solaio avviene attraverso la definizione dei parametri: Ex modulo elastico nella direzione X; Ey modulo elastico nella direzione Y; G rigidezza tangenziale; modulo di Poisson; s spessore. E' necessario quindi individuare le caratteristiche della membrana equivalente al solaio reale; il concetto di "equivalenza" risiede nel valutare rigidezza assiale e tagliante. Importanza del tutto trascurabile ha la rigidezza flessionale che si manifesta per carichi verticali, lo scopo primario per cui vengono inseriti i solai nel modello di calcolo è la possibilità di trasferire le azioni sismiche alle murature portanti, e la rigidezza flessionale non influisce nell'ambito delle piccole deformazioni. La possibilità di definire distintamente i due moduli elastici Ex ed Ey permette di tenere in conto la differenza di rigidezza che un solaio manifesta nella direzione principale di orditura rispetto alla direzione secondaria Per esempio nel caso di solai a travetti in c.a. la rigidezza è funzione dello spessore di cls, diverso nelle due direzioni. 3Muri consente di calcolare agevolmente queste caratteristiche considerando le tipologie più comuni di orizzontamenti. Sarà pertanto sufficiente inserire i parametri geometrico meccanici di ogni tipologia per calcolare automaticamente i parametri di rigidezza. Le tipologie di solai presenti sono: Legno con travetti affiancati e tavolato singolo Legno con travetti affiancati e tavolato doppio Legno con travetti affiancati e soletta di completamento Putrelle e tavelloni Putrelle e voltini Latero cemento Resta possibile inserire elementi di cui è già nota la rigidezza attraverso l'introduzione diretta dei parametri sopra elencati. La figura presenta due piante identiche sulle quali il medesimo solaio è stato definito con un unico inserimento oppure con due inserimenti distinti. Il caricamento delle tre pareti interessate dal solaio (perpendicolari all'orditura; solai (a), (b), (c)), avviene in ugual misura in entrambi i casi poiché anche per i solai definiti con una unica poligonale vengono individuate automaticamente le intersezioni con le murature. E' necessario definire impalcati mediante campi singoli solo a fronte del cambio della direzione di orditura del solaio, della tipologia o della quota dello stesso. In figura si riportano le formule per la determinazione della rigidezza equivalente per diverse tipologie di solai. Anche per le strutture voltate è previsto il calcolo automatico; oltre ad analizzare l'equivalenza di rigidezza di piano 3Muri procede al calcolo del carico permanente dovuto al materiale di riempimento della volta ridotto a carico uniforme. Tale valore è sufficiente ai fini dell'analisi sismica. Le tipologie di volte disponibili sono: Volta a vela volta a botte volta a crociera volta a padiglione volta a botte con testa di padiglione Il calcolo della rigidezza equivalente delle volte è un'operazione particolarmente complessa, e per questo sono stati condotti studi mediante solutori agli elementi finiti su volte in cui si sono variate le caratteristiche geometriche studiando le deformazioni che interessavano quelle strutture su precise condizioni di vincolo e carico. Le condizioni di vincolo e carico prescelte, sono quelle atte a mettere in luce il comportamento assiale e tangenziale della volta. I valori di rigidezza così ottenuti sono diagrammabili in modo adimensionale (es. freccia/luce), in modo da poter tracciare dei "fusi" di valori dai quali sono estrapolabili i parametri di rigidezza richiesti. Porte e finestre Le porte e le finestre sono introdotte nel modello attraverso la definizione della loro geometria e il posizionamento su di ogni singola parete o tratto di parete. Questa operazione avviene semplicemente collegamenti (snap) al disegno base. utilizzando i Nel caso sia stato previsto un pannello di parete con materiale diverso per le zone sopra e sotto le aperture, il programma provvederà a costruire un telaio equivalente che tenga conto di queste caratteristiche. Una delle caratteristiche più importanti di 3Muri è la completa libertà circa il posizionamento delle aperture non necessariamente allineate e disposte regolarmente. Si riporta in figura un esempio di una parete particolarmente complessa comunque risolta in automatico dal modulo per la determinazione del telaio equivalente. Fondazioni Nel modello che 3Muri è in grado di elaborare possono essere previsti piano di fondazione e piano di campagna a quote diverse in modo che l'azione sismica sia applicata correttamente. Una apposita finestra per l'introduzione dei dati consente di definire le caratteristiche delle fondazioni al di sotto delle pareti in muratura. La modellazione delle fondazioni è simulata con vincoli elastici di tipo puntuale, con la possibilità del progettista di definire i coefficienti elastici relativi ai gradi di libertà disponibili. Per quanto riguarda la verifica sul terreno e il progetto di fondazioni complesse (platee, graticci di travi, fondazioni profonde come pali e setti) è disponibile il collegamento automatico con il software di calcolo agli elementi finiti Axis VM che consente di effettuare tutte le analisi e le verifiche desiderate. Balconi Attraverso questa finestra è possibile introdurre lo sviluppo superficiale e soprattutto i carichi relativi a balconi aggettanti. Tali elementi non forniscono contributo alla resistenza della struttura ma sono in grado di apportare un contributo in termini di massa. I balconi introdotti sono rappresentati nel modello in modo realistico. L'analisi della struttura Tabella in figura riassume le metodologie di analisi sismica delle strutture esistenti, in particolare per quanto riguarda le murature esistenti. Anche se la normativa prevede ancora analisi di tipo lineare, classicamente usate per le strutture nuove, è ribadito chiaramente che la complessità intrinseca del materiale muratura e la varietà di tipologie possibili poco si presta ad un'analisi corretta attraverso calcoli di tipo lineare ma è necessario tenere in conto il comportamento non lineare che più si avvicina alla realtà Quanto sopra è ancora più vero in condizioni sismiche dove è necessario determinare con esattezza l'effettivo comportamento nell'ipotesi di sollecitazioni di elevata intensità. L'alternativa, attraverso l'analisi di tipo lineare, è sottostare a criteri di eccessiva prudenza a causa di modelli poco rappresentativi e non in grado di cogliere aspetti che solo l'analisi non lineare è in grado di schematizzare correttamente. Occorre sottolineare che alcuni limiti posti dalle NTC per il calcolo di strutture in muratura relativamente all'applicazione dell'analisi non lineare sono superati dalla Circolare, come indicato in figura. Tale metodo è quindi applicabile in modo generalizzato per tutte le strutture nuove ed esistenti in muratura. L'unica alternativa possibile alla analisi push-over è la analisi dinamica non lineare, improponibile per le applicazioni professionali a causa della sua estrema complessità. Dopo aver completato la costruzione del modello ed inserito le caratteristiche degli elementi, dei materiali, dei vincoli e i carichi è possibile procedere con la fase dedicata all'analisi. Questa fase prevede due passaggi: il primo è relativo alla definizione del telaio equivalente, il secondo alla analisi push-over vera e propria. La costruzione del telaio equivalente Come già visto le pareti resistenti in muratura si possono suddividere in tre componenti elementari: maschi, fasce ed elementi rigidi. In particolare gli elementi "maschio" sono disposti a fianco delle aperture, gli elementi "fascia" sono disposti sopra e sotto le aperture. La muratura restante che non confina con aperture e che risulta quindi contenuta, si può considerare infinitamente rigida rispetto agli altri elementi e viene modellata con elementi di rigidezza infinita. La ricerca teorica e sperimentale ha confermato che il comportamento di maschi e fasce, pur coinvolgendo elementi di superficie, può essere reso equivalente ad un elemento lineare. Collegando quindi questi elementi si ottiene lo schema a telaio su cui applicare l'analisi push-over. Il telaio equivalente consente di ben rappresentare il comportamento delle strutture in muratura; inoltre semplifica i termini dell'analisi, riducendo i gradi di libertà rispetto ad altri schemi, come per esempio gli elementi finiti di superficie, velocizzando i tempi di calcolo senza perdita di precisione. 3Muri crea automaticamente la "mesh", cioè la divisione in maschi, fasce ed elementi rigidi, anche per pareti complesse ed esegue l'analisi non lineare su tale modello. Definire il telaio equivalente significa determinare tutte le sue caratteristiche: gli elementi lineari, equivalenti appunto a maschi, fasce, elementi rigidi, i nodi terminali di connessione, le caratteristiche di ogni asta espresse attraverso la matrice di rigidezza, i vincoli esterni. Passo cruciale per la creazione del telaio equivalente è rappresentata dalla identificazione della geometria delle porzioni schematizzabili come rigide e di quelle in cui concentrare la non linearità (maschi e fasce). Il programma di calcolo 3Muri propone un algoritmo di generazione automatica della mesh (definito a partire da una serie di regole empiriche basate sul riscontro con il danno osservato a seguito di eventi sismici) che tuttavia può essere poi modificato arbitrariamente dall’utente quando quest’ultimo ritenga più appropriata l’adozione di criteri alternativi. Ad esempio è possibile modellare quadri fessurativi esistenti sulla struttura in esame.. Le figure illustrano un esempio dell’idealizzazione della parete in telaio equivalente nel caso di disposizione di aperture regolari ed irregolari rispettivamente in accordo ai principi utilizzati per la generazione automatica della mesh. Nella figura si riportano alcuni criteri adottati per la creazione automatica della mesh. La schematizzazione a telaio nel caso siano presenti aperture, è in grado di cogliere il comportamento locale di variazione degli sforzi principali attraverso la disposizione di nodi e aste in grado di cogliere queste particolarità. La modifica del telaio equivalente In alcuni casi può essere necessario intervenire manualmente modificando il telaio generato automaticamente da 3Muri. In figura sono riportati i comandi messi a disposizione per agire sui nodi e sugli elementi con le funzioni aggiungi, elimina, modifica. La figura illustra un caso in cui il telaio equivalente è stato modificato manualmente, si tratta comunque di casi molto particolari. L'analisi push-over L'analisi statica non lineare, comunemente denominata push-over, prevede l'applicazione statica dei carichi, cioè questi sono fatti incrementati in modo lineare senza tener conto della loro variazione temporale. La non linearità deriva dalla presa in conto delle leggi costitutive dei materiali che sono intrinsecamente di tipo non lineare, cioè la resistenza varia in funzione del livello di carico a causa del degrado subito. La normativa indica i criteri di resistenza delle murature cioè le condizioni il cui superamento significa l'incapacità di sopportare ulteriori carichi. Tali criteri sono espressi in termini di spostamento diviso l'altezza dell'elemento stesso (drift ultimo). In figura sono riportati i limiti per quanto riguarda le sollecitazioni di taglio e pressoflessione. In figura sono riportate le formule per la definizione dei domini di resistenza delle murature per le condizioni di pressoflessione, taglio scorrimento, taglio trazione con fessurazione diagonale. Gli elementi non in muratura sono schematizzati anch'essi come elementi lineari. Anche per gli altri materiali, come il cemento armato, è necessario stabilire le leggi costitutive e i relativi domini di resistenza per presso flessione e taglio. Il modello strutturale precedentemente definito viene soggetto a carichi crescenti in modo progressivo ed il controllo della reazione della struttura è effettuato attraverso la misura dello spostamento di un noto particolare, detto nodo di controllo in genere posto in sommità della struttura. Si tratta di una sorta di collaudo a cui la struttura è sottoposta per valutare il suo comportamento. Aumentando i carichi alcuni elementi manifestano fessurazioni e decadimenti localizzati, come si riporta in figura. Aumentando ancora i carichi alcune parti della struttura superano la loro capacità di resistenza alle azioni orizzontali e quindi devono essere escluse. Questi elementi sono automaticamente sostituiti con bielle che rappresentano ancora la capacità di sopportare i carichi verticali senza offrire nessun contributo alle forze orizzontali. Aumentando ulteriormente i carichi sismici si ottiene un progressivo decadimento della resistenza della struttura con la sostituzione di altri elementi portanti con altrettante bielle. In ultimo si otterrà il collasso della intera struttura dopo che si sono state esaurite tutte le capacità resistenti offerte. Nella figura si riporta la sintesi dell'analisi push-over indicando sotto ad ogni livello di degrado raggiunto dalla strutture in muratura il relativo diagramma taglio alla base-spostamento. Come si può notare i primi due livelli indicano un comportamento pressoché lineare ma dal terzo in poi la perdita di capacità della struttura si evidenzia con dei bruschi cambiamenti di pendenza sino all'inversione della pendenza stessa prima del collasso come evidenziato nel livello 6. La verifica della intera struttura si riduce quindi al confronto tra i due spostamenti (offerto dalla struttura e richiesto dalla normativa). Lo spostamento offerto è una caratteristica intrinseca della struttura in quanto durante l'analisi push-over non sono state fatte ipotesi di localizzazione sismica, ma si studia la risposta della struttura all'aumento del carico. Lo spostamento richiesto è funzione invece delle condizioni sismiche locali che tengono conto di tutte le caratteristiche del terreno attraverso la sua qualificazione geotecnica e sismica, dell'uso della struttura (normale, strategico o rilevante) e di conseguenza della vita utile. La curva taglio al base-spostamento del nodo di controllo ricavata dalla analisi push-over può essere interpretata come curva inviluppo ottenuta congiungendo i valori massimi delle curve di isteresi che si ottengono attraverso l'analisi dinamica non lineare. La normativa indica la metodologia di calcolo per determinare lo spostamento ultimo offerto dalla struttura attraverso una elaborazione numerica della curva taglio alla base-spostamento. La struttura viene dichiarata fuori uso quando si ha una riduzione del 20% del taglio rispetto al picco massimo determinando in questo modo il valore dello spostamento massimo du. Regole analoghe si applicano per la determinazione dello spostamento elastico che individua la curva bi-lineare equivalente ad un solo grado di libertà. In questo modo, attraverso lo spettro di progetto sismico utilizzabile per un sistema ad un di libertà, è possibile ricavare lo spostamento richiesto dalla normativa. Il metodo di calcolo non lineare può essere applicato controllando l'aumento dei carichi o imponendo degli spostamenti da cui si ricavano le forze equivalenti da applicare alla struttura. 3Muri usa questo secondo metodo che, rispetto al primo, è in grado di cogliere il il tratto della curva calante oltre il picco massimo, impossibile da realizzare in controllo di forza in quanto risulterebbe indeterminata la forza da applicare raggiunto il valore massimo. La figura riporta l'evidenza del danneggiamento progressivo sui singoli elementi strutturali che risultano dalle analisi push-over. Questa informazione è importante nel caso di esito negativo della verifica in quanto si individuano le zone di maggiori criticità per eventuali interventi di rinforzo. I dati per l'analisi push-over L'analisi push-over consente di valutare la risposta strutturale secondo una direzione di applicazione del carico ma, in conseguenza della non linearità della risposta, non è applicabile il principio di sovrapposizione degli effetti, quindi per valutare la risposta secondo il verso opposto dello stesso asse è necessario ripetere l'analisi con i carichi orientati correttamente. Altre analisi dovranno essere realizzate per conoscere il comportamento strutturale in tutte le direzioni. La normativa richiede una doppia distribuzione dei carichi, la prima proporzionale alle masse poste ai piani, la seconda proporzionale al primo modo di vibrare. Tale richiesta è giustificata dal fatto che la struttura presenta una risposta dinamica diversa secondo il livello di fessurazioni raggiunto in quanto le inerzie degli elementi si riducono sensibilmente all'aumentare della fessurazione. Inizialmente quando la struttura è ancora in fase elastica, le forze sismiche sono distribuite secondo il primo modo di vibrare, man mano che la struttura si degrada le azioni sismiche saranno sempre più proporzionali alla distribuzione delle masse di piano. Come riportato in figura, effettuando le diverse analisi push-over con le due distribuzione di carichi, si comprendono tutte le situazioni intermedie. La normativa richiede l'applicazione di una eccentricità accidentale del tutto convenzionale tra centro di massa e centro di rigidezza per tener conto delle imprecisioni e alla disposizione dei carichi non sempre uniformemente distribuiti sui piani. Combinando tutte queste richieste si verifica la necessità di calcolare la struttura in 24 modalità diverse, ottenendo quindi 24 risultati diversi. Il minore di questi valori rappresenta il dato da confrontare con lo spostamento richiesto dalla normativa. Con un comando di 3Muri è possibile riportare in un unico grafico i risultati delle 24 analisi effettuate. In orizzontale sono riportati i risultati secondo l'asse X, in verticale i risultati secondo l'asse Y. La zona centrale di colore scuro indica il limite al di sotto del quale la struttura non sarebbe verificata, ed in questo caso tutte le analisi sono verificate ma si evidenzia chiaramente una maggiore labilità nella direzione X rispetto alla direzione Y. Il nodo di controllo Il nodo di controllo fornisce gli spostamenti in relazione al taglio alla base. E' importante la scelta del nodo al fine di evitare falsi risultati. Per esempio scegliendo un nodo che manifesta scarso spostamento rispetto agli altri, la struttura potrebbe risultare erroneamente non verificata. 3Muri offre diverse opzioni riportate in figura che, di volta in volta, potranno essere scelte dal progettista. La soluzione degli spostamenti medi pesati in generale è la più adatta. Resta comunque la possibilità al progettista di effettuare diversi tentativi con diversi modi di controllo e scegliere il risultato che più si adatta al problema in esame. Le normative e i linguaggi disponibili 3Muri implementa le principali normative tecniche italiane ed internazionali ed altre ancora sono in fase di implementazione. La finestra di scelta consente di scegliere il tipo di struttura da esaminare, se nuova o esistente e la normativa desiderata. 3Muri e disponibile nelle seguenti lingue: italiano tedesco inglese francese I comandi e la relazione di calcolo si adattano automaticamente in funzione della lingua scelta. Attraverso un'apposita finestra è possibile definire le unità di misura che si desiderano utilizzare per geometrie materiali carichi e risultati. Le finestre per l'introduzione dei dati, la presentazione dei risultati e la relazione di calcolo saranno coerenti con le unità di misura scelte. La presentazione dei risultati Completato il modello ed eseguito il calcolo, il programma fornisce in output la curva di capacità (pushover) della struttura; questa curva dipende esclusivamente dalla struttura ed è totalmente indipendente dallo spettro sismico. Dalla curva di capacità è direttamente individuabile l'offerta di spostamento della struttura, i parametri sismici portano invece a definire la domanda di spostamento. Se l'offerta di spostamento risulta maggiore delle domanda di spostamento la struttura risulta verificata. La presentazione dei risultati è suddivisa in quattro finestre. Zona 1) Deformazione nel piano della singola parete illustrata con una gamma di colori per ogni singolo elemento che, in base ad una legenda, permettono di individuare il livello di danneggiamento (taglio o pressoflessione). Ad esempio in rosso sono indicati gli elementi che hanno raggiunto la rottura. Zona 2) Visualizzazione della curva di capacità con presentazione del valore limite della domanda e dell'offerta dello spostamento. Attraverso questa immagine è possibile individuare immediatamente se la struttura che verificata o meno. Zona 3) Visualizzazione della pianta deformata. Attraverso questa presentazione è visualizzato l'andamento globale del piano evidenziando, ad esempio, l'influenza della rigidezza o cedevolezza dei solai e l'insorgere di eventuali problemi torsionali. Zona 4) La tabella presenta i dati numerici dei singoli elementi/nodi in termini di sollecitazioni e spostamenti nodali. Tutti i valori qui presentati sono mostrati per ogni singolo passo della pushover e sono selezionabili ed esportabili ad altri software. Siccome il calcolo pushover è una verifica globale di edificio, controllare il livello di danneggiamento della struttura parete per parete è spesso poco significativo in termini di visione d'insieme. Una vista assonometrica, in cui in ogni singolo elemento è mappato il livello di danno, aiuta il progettista a localizzare i possibili punti della struttura in cui intervenire a fronte della necessita di decidere gli interventi di miglioramento/adeguamento più idonei per eliminare le criticità. Nella medesima visualizzazione, per edifici di dimensioni importanti, può essere utile mostrare esclusivamente gli elementi rotti omettendo tutte le porzioni murarie che hanno un livello di danneggiamento intermedio (integro o plastico). Mentre che per la verifica allo stato limite di vita (SLV), l'offerta di spostamento corrisponde alla perdita di resistenza del 20% dal suo valore massimo, il criterio da utilizzare per lo stato limite di danno (SLD) si presenta più complesso. Il valore dello spostamento limite di danno è dato dal minor valore tra lo spostamento corrispondente al valore massimo del taglio e quello che genera in un punto della struttura il superamento del drift limite di interpiano (drift=spostamento interpiano/H piano). In una finestra dedicata sono visualizzati i dettagli delle analisi e delle verifiche richieste. Nella parte alta, vengono mostrate le verifiche in termini di confronto tra spostamento di domanda e di offerta per ciascuno dei tre stati limite esaminati. La tabella per la valutazione della "Vulnerabilità Sismica" riporta i parametri α , calcolati come descritto nel seguito, per ciascuno degli stati limite: αPGA=PGAC/PGAD ; αTR=TRC/TRD PGAC: Accelerazione di capacità limite per ciascuno degli stati limite (indipendente dallo spettro sismico). PGAD: Accelerazione spettrale per ciascuno degli stati limite (dipendente dallo spettro sismico). TRC: Periodo di ritorno dell'azione sismica di capacità limite per ciascuno degli stati limite. TRD: Periodo di ritorno spettrale per ciascuno degli stati limite. Entrambe le accelerazioni (PGA) sono valutate, per convenzione, su suolo rigido tipo A. Alcune schede tecniche richiedono il calcolo delle suddette accellerazioni sul suolo di riferimento, in tal caso sarà necessario moltiplicare il valore calcolato dal programma per il fattore "S" (S=SS*ST), definito nei parametri dello spettro. La relazione di calcolo Al termine delle diverse analisi è possibile stampare la relazione di calcolo che contiene i dati del modello ed i risultati del calcolo sismico. Sono previsti due formati: uno esteso con il dettaglio completo ed uno ridotto con la sintesi delle analisi svolte. Ancora è possibile ottenere la stampa della verifica statica e dei meccanismi locali. La relazione così ottenuta può essere ancora integrata con altri documenti attraverso il programma Piano Report. L'analisi statica 3Muri esegue la verifica statica utilizzando lo stesso modello realizzato per l'analisi sismica, senza introdurre altri dati. La presentazione dei risultati è analoga a quella vista per i risultati sismici, in figura è illustrata la presentazione della verifica per carichi verticali eccentrici. La figura riporta la presentazione dei risultati per quanto riguarda la verifica di snellezza. Anche in questo caso è prevista una rappresentazione tridimensionale con l'evidenza degli elementi non verificati. L'analisi modale L'analisi modale consente di visualizzare il numero selezionato di modi di vibrare evidenziando la massa partecipante e la frequenza. La zona 1 riporta la deformata per ogni parete, la zona 2 i valori degli spostamenti modali, la zona 3 la deformata modale in pianta per ogni piano, e la zona 4 i parametri di ogni forma modale (periodo, massa e massa % secondo gli assi X, Y e Z. L'analisi dei meccanismi locali La definizione dei meccanismi locali è realizzata partendo dal modello globale definito ai fini del calcolo push-over, da cui si ricabvano direttamente le caratteristiche geometriche della struttura e i carichi delle murature e dei solai. L'ambiente di lavoro è diviso in tre aree grafiche: Prospetto di parete In questo ambiente è possibile l'input del meccanismo mediante l'inserimento dei blocchi rigidi e dei vincoli tra i singoli elementi ed il resto della struttura. Pianta della parete Evidenziando in pianta le porzioni interessate dal meccanismo è subito individuabile nel complesso strutturale. Sezione deformata Nella vista di sezione è verificabile il corretto input attraverso l'individuazione della posizione dei vincoli e della configurazione deformata. La deformazione della parete permette di verificare visivamente che l'input del meccanismo sia stato eseguito correttamente. Normalmente un edificio può essere interessato da differenti meccanismi ritenuti significativi la cui scelta non può che essere definita dall'operatore sulla base della sua sensibilità. Per agevolarne l'input e la presentazione dei risultati, ai singoli meccanismi è possibile assegnare un nome identificativo che ne facilita la selezione e la memorizzazione. I blocchi rigidi che definiscono il meccanismo, sono inseribili tracciando una poligonale chiusa di forma generica. La genericità della forma, permette di seguire in modo più aderente il quadro fessurativo rilevato in base alle indagini eseguite in sito. In questo modo è possibile inserire meccanismi dotati di qualsiasi forma e genericità. La genericità della forma dei blocchi cinematici, può interessare pareti differenti in modo da seguire il più possibile la complessità della struttura. Se si desidera esaminare un caso di ribaltamento di una porzione di muratura come quella rappresentata nella figura a lato , il caso da esaminare sarà quello di un blocco che ruota intorno all'asse X-X. In corrispondenza di tal punto si dovrà inserire un vincolo tra un blocco cinematico e una porzione di muratura che resta ferma. In tal caso si dovrà inserire un vincolo di tipo "Cerniera Esterna". In caso di flessione verticale, il blocco inferiore è direttamente appoggiato su una porzione non deformata della muratura. In posizione E-E si inserirà la "Cerniera Esterna" In posizione I-I confluiscono due blocchi, si inserirà la "Cerniera Interna". In posizione A-A il meccanismo deformativo non permetterà alcun spostamento di fuoripiano. I punti di tale parete potranno spostarsi solo verticalmente nel piano della parete, si inserirà un "Appoggio". I risultati di questo calcolo prevedono sia la verifica a stato limite di vita (SLV) che a stato limite di danno (SLD), anche se la norma prevede soltanto la prima analisi. a*0 >a*0-min a*0-min = ag S / q a*0-min = Se(T1) ψ(Z) γ/ q a*0 : accelerazione sismica spettrale di attivazione del meccanismo ag : è funzione della probabilità di superamento dello stato limite scelto e della vita di riferimento come definiti al § 3.2 delle NTC; S : definito al § 3.2.3.2.1 delle NTC ; q : fattore di struttura, assunto uguale a 2.0 Se(T1) : spettro elastico definito nel § 3.2.3.2.1 delle NTC, funzione della probabilità di superamento dello stato limite scelto (in questo caso 63%) e del periodo di riferimento VR come definiti al § 3.2. delle NTC, calcolato per il periodo T1; ψ(Z) : primo modo di vibrazione nella direzione considerata, normalizzato ad uno in sommità all’edificio; in assenza di valutazioni più accurate può essere assunto ψ (Z)=Z/H, dove H è l’altezza della struttura rispetto alla fondazione; γ : coefficiente di partecipazione modale (in assenza di valutazioni più accurate può essere assunto γ =3N/(2N+1), con N numero di piani dell’edificio). Sollecitazioni in fondazione e tensioni sul terreno Un apposito comando consente di visualizzare le sollecitazioni dei nodi di fondazione per ogni passo di carico della push-over. Un altro comando visualizza una tabella che riporta la lista dei segmenti di parete. Per ciascuno segmento, viene mostrata la tensione a contatto con il suolo (terreno-fondazione) al passo corrente ed il valore massimo tra il primo passo e quello corrispondente al valore di spostamento pari a Dmax. La verifica del metodo FME In figura si riportano i dati sperimentali ricavati da una ricerca effettuata su di una struttura al vero in muratura. Gli stessi dati ricavati con 3Muri evidenziano una notevole sovrapposizione rispetto ai dati sperimentali. Il municipio del comune di Castelnuovo Belbo in provincia di Asti è stato soggetto ad un sisma di bassa intensità che ha comunque procurato alcune leggere lesioni. Il confronto delle lesioni rilevate sulla struttura reale e le previsioni realizzate con 3Muri sono riportati in figura e in buona approssimazione sono del tutto coincidenti. Il confronto con altre analisi Confronto metodo FME con metodo POR Il primo metodo esaminato è il cosiddetto metodo POR, sviluppato negli anni 80, cioè in un periodo di ancora scarsa diffusione dei computer. Uno degli obiettivi di questo metodo era infatti rendere possibile, nonostante le difficoltà connesse all’analisi incrementale a collasso, l’applicazione anche attraverso procedimenti di calcolo manuale. Per questo schematizza la struttura in modo molto semplificato, tenendo conto del contributo resistente dei soli elementi murari disposti verticalmente senza prendere in esame la rigidezza reale delle fasce orizzontali di muratura. La scelta di considerare il solaio a rigidezza infinita, come sistema di collegamento tra le diverse pareti murarie in sostituzione dell’effettiva rigidezza del sistema solaio più fascia, equivale ad utilizzare un modello di calcolo in cui gli elementi murari verticali sono da considerarsi a rotazioni impedite all’estremità. In figura sono riportate le principali caratteristiche del metodo POR, superate dal metodo FME. Confronto metodo FME con metodo elementi finiti Un edificio in muratura può essere analizzato discretizzando le pareti mediante elementi finiti di superficie con programmi FEM convenzionali. L'analisi è tanto più significativa quanto maggiore è il grado di dettaglio della mesh, quindi risulta “mesh dependent” e fortemente condizionata dalle operazioni di definizione del modello, quindi questa tipologia di analisi risulta decisamente più onerosa in termini computazionali. Nel caso in cui venga considerata una legge costitutiva non lineare del materiale, il metodo può prendere in esame il corretto degrado della muratura, riducendo la resistenza degli elementi danneggiati. La definizione dei parametri richiede una accurata conoscenza del materiale murario ad un livello di dettaglio non esplicitamente contemplato nelle normative la cui valutazione si può ricavare solo attraverso accurate analisi sperimentali. La mancanza di questi parametri o la non corretta valutazione, equivale ad ottenere, come risultato di un’analisi statica non lineare, una curva “pushover” che non prende in esame il tratto discendente che si forma a causa del danneggiamento strutturale. I risultati di analisi di questo tipo forniscono mappe come quelle indicate in figura che mettono in luce il livello tensionale localizzato della muratura. Il valore puntuale di tensione superiore al valore limite non rappresenta la rottura del pannello murario. I criteri di resistenza per gli elementi murari dipendono infatti da valori delle caratteristiche di sollecitazione che non hanno una corrispondenza diretta con lo stato tensionale, considerando quindi non gli effetti puntuali delle tensioni, ma anche possibili ridistribuzioni dovute al comportamento non lineare ed al degrado. Per eseguire una analisi corretta e coerente, è quindi necessario rielaborare i risultati della modellazione, tramite operazioni di media ed integrazione non sempre del tutto affidabili. Il collegamento con Axis VM Un apposito comando consente il passaggio dei dati dal modello realizzato con 3Muri verso il software di calcolo di elementi finitiAxis VM. Il modello così ottenuto può essere successivamente elaborato inserendo ulteriori elementi come elementi di copertura e di fondazione, sfruttando tutte le potenzialità di calcolo offerte da Axis VM. 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