Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Onde
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Onde: richiami
Definizione
Tipi di onde
“Anatomia”:
frequenza
periodo
Enricoe Silva
- proprietà intellettuale non ceduta
lunghezza
d’onda
e numero d’onda
Non è permessa, in particolare,
la riproduzione anche parziale
ampiezza
della presente opera.
Perfase
l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
velocità
opera
è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Trasporto di energia
L’equazione delle onde
Interferenza
Diffrazione
Onde stazionarie
Onde elettromagnetiche
•
•
•
•
•
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
•
Perturbazione che si propaga con
velocità finita
•
Compie lavoro, e quindi possiede e
Enrico Silva - proprietà intellettuale
ceduta
può cedere non
energia
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto
dell’autore (E. Silva)
Superficie dello stagno imperturbata
Direzione del moto dell’onda
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Onde viaggianti
Perturbazione: in generale (in una sola dimensione)
ψ(x, t)
Consideriamo una perturbazione viaggiante il cui profilo non si deformi
(moto non dispersivo)
Esempio:
una perturbazione
su una corda tesa
Enrico Silva - proprietà
intellettuale
non ceduta
Non è permessa,
in particolare, la riproduzione anche parziale
v
Deve essere:
della presente opera.
t=0
ψ(x
= 0)la=presente
ψ(x0 + vt, t)
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte
o 0in, ttutto
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore
Silva)
Quindi:
Per ogni x(E.
0
x0
x
ψ(x, t) = ψ+ (x − vt)
t>0
x0 + vt
rappresenta un’onda viaggiante
nella direzione positiva delle x.
(onda progressiva)
x
Esercizio: verificare sostituendo i valori dell’esempio
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Onde viaggianti (2)
v
t=0
Esattamente alla stessa maniera, se l’onda
viaggia nella direzione negativa delle x, sarà
non ceduta
xEnrico
0
x Silva - proprietà intellettuale
ψ(x,
t)
= ψanche
vt)
− (x +
Non è permessa, in particolare, la riproduzione
parziale
t>0
della presente opera.
(onda regressiva)
Per l’autorizzazione
a riprodurre in parte o in tutto la presente
x
x0 − vt
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
• In generale, un’onda potrà essere una combinazione sia di onde
regressive che progressive. L’espressione più generale è quindi:
ψ(x, t) = ψ+ (x − vt) + ψ− (x + vt)
• Le ! determinano la forma della perturbazione ondosa.
• L’argomento (detto a volte fase) individua se l’onda è viaggiante
o meno: solo le funzioni di argomenti x ± vt sono onde viaggianti.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Onde: rappresentazione analitica
Le funzioni che descrivono un’onda soddisfano l’equazione delle onde:
∂2ψ
1 ∂2ψ
= intellettuale
Enrico Silva - proprietà
non ceduta
∂x2
v 2 ∂t2
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione
a riprodurre
parte
in tutto la presente
La perturbazione
può essere
vettoriale,inper
cui ol’equazione
delle onde è:
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
→
−
→
1 ∂2 ψ
2−
∇ ψ = 2
v ∂t2
ovvero tre equazioni scalari.
In un determinato problema, la forma della perturbazione (soluzione) è
determinata dalla soluzione dell’equazione delle onde con le opportune
condizioni al contorno, che pertanto definiscono interamente il problema.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Onde piane
La perturbazione può dipendere anche dalle altre coordinate spaziali.
Ad esempio,
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
rappresenta
un’onda progressiva
chein
si parte
propaga
Per l’autorizzazione
a riprodurre
o inlungo
tutto la direzione
presente x.
In questo caso,
ogni x0 fissato,
la fase
rimane
inalterata(E.alSilva)
variare di y e z:
operaper
è richiesto
il permesso
scritto
dell’autore
il piano x=x0 è equifase.
Una tale onda è detta onda piana.
Se a(y,z)=cost, l’onda è detta piana uniforme.
k
Nello spazio 3D, un’onda piana che si propaghi nella direzione !
può essere rappresentata come:
→
− −
ψ( k · →
r − vt)
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Sovrapposizione
Quando due onde
si propagano nella stessa
regione diEnrico
spazio,Silva
la perturbazione
risultante ènon
la somma
- proprietà intellettuale
ceduta delle due
ondein(principio
di sovrapposizione):
Non è permessa,
particolare,
la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Infatti la perturbazione risultante soddisfa ancora l’equazione delle onde.
Esercizio: determinare in questo caso la velocità della perturbazione risultante.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Onde armoniche
Consideriamo un’onda progressiva sinusoidale:
N.B.: ogni onda “ragionevole” può essere studiata in termini di sovrapposizione di onde sinusoidali (Fourier)
! "
#
$
x
t
ψ(x, t) = A cos[k(x − vt) + φ] = A cos 2π
−
+ φ = A cos(kx − ωt + φ)
λ T
•
•
•
•
•
•
Enrico
Silva - proprietà intellettuale non ceduta
fase
dell’onda
Non è permessa, in particolare, la riproduzione
parziale
quando laanche
fase dell’onda
varia di 2!,
A : ampiezza. ! [A]: dipende dalla grandezza fisica
l’onda
si
riproduce
identicamente
della
presente
opera.
T : periodo. !
[T] = s
" : pulsazione.
!
["] = rad s–1 legataaalla
frequenza da
= 2#$ o
conin[$]
= s–1la
= Hz
Per l’autorizzazione
riprodurre
in"parte
tutto
presente
% : lunghezza d’onda. [%] = m
opera è! richiesto
dell’autore
(E. Silva)
k : numero d’onde.
[k] = m–1 il permesso scritto
v = ω/k = λν
velocità
dell’onda
& : costante di fase. ! [&] = rad
%
T
cresta
x
Acos&
2A
ventre
“istantanea” al tempo t = 0
t
evoluzione temporale a x fissato
(o anche t = ± nT. Discutere.)
(o anche x ± n%. Discutere.)
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
TravelWaves.swf
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa,
in particolare,
la riproduzione
anche parziale
L’animazione
riporta l’evoluzione
del profilo
della
presente
opera.
spaziale
dell’onda.
Per l’autorizzazione
a riprodurre
parte
o intracciato
tutto la presente
Si noti il grafico
temporaleinche
viene
e
operache
è richiesto
il
permesso
scritto
dell’autore
(E.
Silva)
riguarda la posizione di un punto specifico.
L’animazione è reperibile su:
http://www.upscale.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/ClassMechanics/TravelWaves/TravelWaves.html
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Rappresentazione complessa
! "
#
$
x
t
ψ(x, t) = A cos[k(x − vt) + φ] = A cos 2π
−
+ φ = A cos(kx − ωt + φ)
λ T
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Funzioni
Non èsinusoidali
permessa, in particolare, la riproduzioneAmpiezze
anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Esponenziali immaginari
Ampiezze complesse
x
t
ψ(x, t) = Aei[k(x−vt)+φ] = Aei[2π( λ − T )+φ] = Aei(kx−ωt+φ)
= Āeikx e−iωt = ψ̄(x)e−iωt
N.B.: le grandezze fisiche sono le parti reali.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Intensità
In generale, gli strumenti (inclusi i nostri sensi) sono
sensibili all’ intensità, e non al campo.
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
Intensità istantanea locale:
I(x, t) ∝ |Re{ψ(x, t)}|2
della presente opera.2
2
per onde piane monocromatiche:
= A ocos
(kx −
+ φ)
Per
l’autorizzazione a riprodurre in parte
in tutto
la ωt
presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
!
1 T
I∝
|Re{ψ(x, t)}|2 dt
Intensità media:
T 0
A2
per onde piane monocromatiche:
=
2
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Onde stazionarie
Consideriamo due onde armoniche, di uguale ampiezza e fase
ψ+ (x, t) = Āeikx e−iωt = ψ̄(x)e−iωt
Progressiva:
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
ψ− (x,
t) = Āeikx e+iωt
=parziale
ψ̄(x)e+iωt
Regressiva:
Non è permessa, in particolare,
la riproduzione
anche
della presente opera.
L’ondaPer
risultante
è la sommaa riprodurre
delle due onde
(principio
di sovrapposizione):
l’autorizzazione
in parte
o in tutto
la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
... oppure la loro differenza
(la differenza equivale a una somma con diversa fase relativa: verificare)
Le dipendenze temporale e spaziale sono disaccoppiate: l’onda si presenta
con un profilo in cui in alcuni punti !=0 sempre (nodi), e dove creste e ventri
evolvono l’uno nell’altro con periodo T.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
standwave.swf
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non
è permessa,riporta
in particolare,
la riproduzione
parziale
L’animazione
l’evoluzione
di un’ondaanche
stazionaria,
della
presente
opera. progressiva e
composta da due
onde
sinusoidali,
Perregressiva,
l’autorizzazione
a riprodurre
inriflesse
parte o da
in pareti
tutto larigide.
presente
di uguale
ampiezza,
opera
è richiesto
permesso
scrittoadell’autore
(E. Silva)
Un sistema
fisicoil che
corrisponde
questa situazione
è
l’oscillazione di una corda vibrante fissata agli estremi.
Esercizio: determinare perché nella riflessione l’onda si capovolge.
L’animazione è reperibile su:
http://faraday.physics.utoronto.ca/IYearLab/Intros/StandingWaves/Flash/standwave.html
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Onde stazionarie: armoniche.
Consideriamo una corda vincolata a due estremi rigidi (pareti) distanti L.
Si possono instaurare solo alcune onde stazionarie:
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
L
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
λ/2
3λ/2
λ
... etc etc.
Onde stazionarie fra due estremi vincolati devono avere:
λ=
2L
, n = 1, 2, 3...
n
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Interferenza
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Interferenza
La formazione di onde stazionarie è solo un aspetto del fenomeno
generale della interferenza delle onde.
Ogniqualvolta due onde con fase differente si sovrappongono si ha interferenza.
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Richiamo:
nel senso più generale,
la fase
è il termine
negli
esponenziali:
Per l’autorizzazione
a riprodurre
in parte
o in tutto
la presente
opera è richiesto il permesso
scritto
!
" dell’autore (E. Silva)
x
t
k(x − vt) + φ = 2π
−
+ φ = kx − ωt + φ
λ T
L’interferenza prenderà varie forme:
– onde stazionarie (viste poco fa)
– battimenti
– ...
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Interferenza: esempio
Consideriamo due onde armoniche viaggianti,
di uguale ampiezza e fase iniziale differente per '&:
Silva -ikx
proprietà
ψEnrico
e−iωt =intellettuale
ψ̄(x)e−iωt non ceduta
1 (x, t) = Āe
Non è permessa, in particolare,
la riproduzione
anche parziale
i(kx+∆φ) −iωt
−iωt +i∆φ
ψ2 (x, t) = Āedella
e
=
ψ̄(x)e
e
presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera
è richiesto
il permesso
dell’autore
(E.t)Silva)
ψ(x, t)scritto
= ψ1 (x,
t) + ψ2 (x,
L’onda
risultante
è:
!
"
∆φ
ψ(x, t) = ψ̄(x)e−iωt 1 + ei∆φ = ψ̄(x)e−iωt 2ei 2 cos ∆φ
2
interferenza
L’ampiezza varia del termine
ei
∆φ
2
2 cos ∆φ
2
ha modulo 1: è solo un termine di fase comune.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Interferenza: esempio (cont)
!
"
∆φ
ψ(x, t) = ψ̄(x)e−iωt 1 + ei∆φ = ψ̄(x)e−iωt 2ei 2 cos ∆φ
2
interferenza
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
∆φ
= (2n +in1)π
Non è permessa,
particolare,
riproduzione
anche
parziale
ondelasfasate
di mezza
lunghezza
d’onda
della presente opera.
onda risultante: nulla.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
∆φ = 2nπ
onde in fase
ampiezza doppia
intensità istantanea quadrupla
Le onde stazionarie possono essere considerate
come sovrapposizioni di onde sfasate di 2"t (controllate).
N.B.: è una differenza di fase variabile nel tempo.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Interferenza
Sovrapposizione di due onde armoniche di uguale ampiezza,
con fase relativa variabile.
L’animazione riporta il profilo spaziale dell’onda risultante
Enrico Silva
proprietà
intellettuale
non ceduta
al -variare
della
fase relativa.
Non della
è permessa,
in particolare,
la riproduzione
anche parziale
Il valore
fase è riportato
sulla circonferenza
goniometrica
in verde.
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Con fase 2n#
l’interferenza è
completamente
costruttiva.
animazione reperibile su:
http://phys23p.sl.psu.edu/phys_anim/waves/indexer_waves.html
Con fase di
(2n+1)#
l’interferenza
è distruttiva.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Interferenza: battimenti
Due onde; stessa ampiezza e fase iniziale; pulsazioni (= sia frequenze che
numeri d’onda in mezzi non dispersivi) differenti:
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o2πin tutto la presente
δω
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore
(E. Silva)
t
ψ(x, t) = ψ1 (x, t) + ψ2 (x, t)
2π
ω0
definendo:
ω1 + ω2
2
ω1 − ω2
δω =
2
ω0 =
si ha:
ψ(x, t) = Āei(k0 x−ω0 t) 2 cos(δk · x − δω · t)
Esercizio: verificare
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Battimenti: un esempio
Battimenti generati da due sorgenti sonore:
440 Hz
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
442Non
Hz è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
insieme
ψ(x, t) = ψ̄(x)e
−iω0 t
ω1 + ω2
2
ω1 − ω2
δω =
2
ω0 =
2 cos(δω t)
2π
δω
t
2π
ω0
p.es. in x=0.
Esercizio: contare il numero di massimi sonori in cinque secondi.
Quanti sono? a che frequenza corrispondono? Discutere.
L’esempio è tratto da un’animazione reperibile su: http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/ClassMechanics/Beats/Beats.html
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Velocità di fase e velocità di gruppo
Due onde; stessa ampiezza e fase iniziale; pulsazioni differenti:
ψ(x, t) = Āei(k0 x−ω0 t) 2 cos(δk · x − δω · t)
Enrico Silva - proprietà intellettuale
ω1 + non
ω2 ceduta
ω
=
0
Non è permessa, in particolare, la riproduzione
anche parziale
2
con:
ω1 − ω2
della presenteδωopera.
=
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o2 in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
si definiscono:
Se il mezzo è non dispersivo,
ovvero v non dipende da k, si ha:
velocità di fase:
e si verifica subito che
velocità di gruppo:
altrimenti...
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Class 9: 2 Feb 2005
Velocità
diVelocity
gruppo
Superpositions:
Group
Phys 222 Spring 2005
! Snapshots different times:
2
t = 0s
1
-4
-3
-4
-3
Enrico
Silva
-5 proprietà
intellettuale
non ceduta
1
2
3
4
6
7
8
9
x
Non è-1 permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
-2
della presente opera.
−iω0 t
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte
la presente
ψ(x,ot)in=tutto
ψ̄(x)e
2 cos(δω t)
2
opera
è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
1
t = 1s
ω1 + ω2
ω
=
0
0
2
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
-1
ω1 − ω2
δω =
-2
vg = 2 m/s
2
-2
-1
0
0
5
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Applet GroupVelocity.html
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare,
la riproduzione
= 1 (unità
arbitrarie) anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Applet reperibile su:
http://Galileo.phys.Virginia.EDU/classes/109N/more_stuff/Applets/sines/GroupVelocity.html
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Pacchetti d’onda
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Posizione vs. numero d’onda
Onda armonica (a t=0). Infinitamente estesa.
Lunghezza d’onda %0. Numero d’onda k0=2"/%0
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare,
y la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
x
Ampiezza
Posizione completamente delocalizzata.
Numero d’onda completamente noto.
k
k0
“dove si trova l’onda” è una domanda mal posta.
“qual è la lunghezza d’onda” è una domanda ben posta.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Posizione vs. numero d’onda (2)
|Ampiezza|
Si consideri un tratto, di lunghezza 'x,
di onda armonica di lunghezza d’onda %0 (e numero d’onda k0 = 2" / %0):
y
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
x
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il'x
permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Costruzione del pacchetto d’onde mediante
'k
somma di funzioni sinusoidali, ciascuna con
ampiezza dipendente da k: Fourier
k
k0
Onda localizzata <–> distribuzione di numeri d’onda con larghezza 'k.
“dove si trova l’onda” e “qual è la lunghezza d’onda”
sono domande non necessariamente ben poste.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Pacchetto d’onda (cenni)
Un pacchetto d’onda è immaginabile come una somma (infinita)
di onde del tipo:
dove
la somma
vieneintellettuale
effettuata pesando
Enrico
Silva
- proprietà
non ceduta
i vari contributi
a diverso k,
ovvero:
Non opportunamente
è permessa, in particolare,
la riproduzione
anche
parziale
! +∞
della presente opera.
1
i(kx−ωt)
√
Ψ(x, t) =
a(k)e
dk in parte o in tutto la presente
Per l’autorizzazione
a riprodurre
! +∞
2π −∞
1
opera è richiesto ilcon
permesso
scrittoa(k)
dell’autore
= √ (E. Silva)
e−ikx Ψ(x)dx
(Fourier):
2π
−∞
Attenzione: " = "(k) non è una costante. Se a t = 0 (ovvero "(k)t = 0
nell’equazione sopra) il pacchetto ha una certa forma, questa in generale
cambia al trascorrere del tempo, quando interviene il termine "(k)t.
In un pacchetto d’onda con numero d’onda k0 (lunghezza d’onda)
sufficientemente ben definito, le a(k) saranno funzioni piccate attorno al valore
di k0 desiderato.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Pacchetto d’onda gaussiano (cenni)
1
Ψ(x, t) = √
2π
!
+∞
a(k)ei(kx−ωt) dk
−∞
con
!
"
2
2
Enrico
Silva
proprietà
intellettuale
non
ceduta
dà una misura dell’allargamento del pacchetto nello spazio k: σk = (k − "k#)
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
!"
#
L’allargamento (quadratico medio)della
del pacchetto
presente opera.
2
=
"x#)
in spazio
attorno al valoramedio
x, è: in parteσox in
Perreale,
l’autorizzazione
riprodurre
tutto(xla−presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
A t = 0, si dimostra che
Esercizio: verificare usando le definizioni sopra con t = 0.
con
“indeterminazione”
quindi un pacchetto largo in k è localizzato in x, e viceversa.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Pacchetto d’onda gaussiano (cenni): dispersione
1
Ψ(x, t) = √
2π
!
+∞
a(k)ei(kx−ωt) dk
con
−∞
Silva
intellettuale
non ceduta
A t # 0, poiché (inEnrico
generale)
si ha-"proprietà
= "(k), allora
ogni
Non
è permessa,
in particolare,
anche parziale
componente
di Fourier
si propaga
con velocitàla(diriproduzione
fase)
della presente opera.
vf = "/k diversa:
laPer
forma
del pacchetto evolve
nel tempo.
l’autorizzazione
a riprodurre
in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
In particolare, il pacchetto diverrà più largo (“disperso”)
spazialmente, relativamente alla posizione media (la !
posizione iniziale è in x = 0):
dω !
!x(t)" = vg t =
Alcuni esempi di discussioni si trovano su:
Animazioni 1.3 e1.4 su:
! t
dk !k0
http://musr.physics.ubc.ca/~jess/p200/gwp/gwp.html
http://electron6.phys.utk.edu/qm1/modules/m1/wavepacket.htm
http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/
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Evoluzione di un pacchetto gaussiano
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
1
Ψ(x, t) = √
2π
!
+∞
−∞
a(k)ei(kx−ωt) dk
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Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Diffrazione
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Diffrazione
Un’onda che incontri un’apertura la oltrepassa e si allarga,
ovvero diffrange, nella zona oltre la barriera.
Più è stretta l’apertura, o maggiore è %, maggiormente si “sparpaglia” l’onda.
diffrazione da apertura
apertura più ampia
apertura più ampia
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Principio di Huygens
Ogni punto di un fronte d’onda può essere pensato come una sorgente
puntiforme di onde con stessa fase, frequenza, ampiezza. L’insieme di
queste onde costituisce una nuova figura di interferenza.
È un fenomeno usuale: il suono si propaga “dietro gli angoli”.
Esercizio: discutere perché negli impianti stereo o home theater vi sono almeno due diffusori, destro e
sinistro, per i medi e gli acuti, mentre si usa un solo subwoofer per i bassi profondi?)
Diffrazione
Il fenomeno della diffrazione riguarda anche:
diffrazione da apertura
diffrazione da un ostacolo
diffrazione da angolo
Principio di Huygens
Ogni punto di un fronte d’onda può essere pensato come una sorgente
puntiforme di onde con stessa fase, frequenza, ampiezza. L’insieme di
queste onde costituisce una nuova figura di interferenza.
Diffrazione su uno specchio d’acqua
Onde diffondono attraverso un’apertura:
Onde di maggiore %
sono maggiormente
diffratte.
Aperture maggiori
diffrangono in
misura minore
Riassunto
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Fenomeni ondulatori. Definizioni.
Rappresentazione analitica.
Onde progressive e regressive. ψ(x, t) = ψ+ (x − vt) + ψ− (x + vt)
Onde armoniche.
ψ̄(x)e−iωt
Onde stazionarie.
ψ(x, t) = 2ψ̄(x) cos(ωt)
Interferenza
Battimenti
ψ(x, t) = ψ̄(x)e−iωt 2ei
Pacchetti d’onda: velocità di fase e di gruppo.
Diffrazione
∆φ
2
cos ∆φ
2