σ’1
Compressione sferica
σ’1 = σ’2= σ’3
(compressibilità)
σ’3
σ’1
Compressione edometrica
σ’2= σ’3≠ 0 ; ε2 = ε3 = 0
(compressibilità)
σ’1
Compressione triassiale drenata
σ’2= σ’3 = cost.
(deformabilità e resistenza)
σ’3
Fondamenti di Geotecnica
Fascicolo 7/1
Mezzo elastico lineare
Δσ’1
compressione sferica
compressione edometrica
compressione triassiale
Eed
3⋅K’
E’
Δε1
Comportamento rilevato sperimentalmente
Δσ’1
compressione sferica
compressione edometrica
rottura
compressione triassiale
Δε1
Il comportamento di un terreno non è lineare, inoltre dipende
fortemente dal tipo di sollecitazione:
- K’ e Eed aumentano al crescere di ε1
- E’ diminuisce al crescere di ε1
Fondamenti di Geotecnica
Fascicolo 7/2
Compressione edometrica
τ
N
φ'
σa = N/A
εa = δ/H0
σ'
δ
H0
εr = 0
t
effetto del generico
passo di carico
-ΔH
log t
cv
-ΔH
Fondamenti di Geotecnica
cα
Fascicolo 7/3
σ’a (kPa)
0
2000
4000
6000
8000
0
20
40
εa (%)
60
δ
H H0
Hs
e 1.6
e=
Vv Hv H − Hs H0 − δ − Hs
=
=
=
Vs Hs
Hs
Hs
Cc
1.2
Cs
0.8
0.4
0
10
100
1000
10000
log σ’a (kPa)
Fondamenti di Geotecnica
Fascicolo 7/4
Le deformazioni assiali sono funzione univoca delle variazioni di indice dei vuoti:
εa =
Vs
ΔV
ΔV V
ΔV
δ
ΔV
Δe
=−
=− v =− v ⋅ s =− v ⋅
=−
H0
V0
V0
Vs V0
Vs Vv,0 + Vs
1 + e0
Il modulo edometrico si definisce come modulo tangente:
Eed
4000
6000
σ’a (kPa)
Δσ 'a
Δεa
8000
Eed =
60
40
20
0
0
2000
Eed
εa (%)
Fondamenti di Geotecnica
Fascicolo 7/5
e
Ad esempio, lungo la retta vergine:
e = e0 − Cc log
Eed =
Cc
σ 'a
σ '0
dσ 'a
dσ 'a
=−
⋅ (1 + e0 )
dε a
de
Dlog x =
1
1
d σ 'a
⇒ de = −Cc
x ⋅ ln10
σ 'a ⋅ 2.302
Eed = 2.302
σ 'a
(1 + e0 )
Cc
log σ’a (kPa)
Nel caso di terreni molto deformabili si è soliti calcolare il modulo edometrico
rapportando le variazioni di altezza del provino alla sua altezza corrente
Eed =
Δσ 'a
−ΔH / H0
Eed =
Δσ 'a
−ΔH / H
Se si utilizza questa espressione, lungo la retta vergine si ha:
Eed =
dσ 'a
d σ 'a
=−
⋅ (1 + e)
dε a
de
Eed = 2.302
⎛ 1 + e0
σ 'a
σ' ⎞
(1 + e) = 2.302 ⋅ σ 'a ⋅ ⎜
− log a ⎟
Cc
σ '0 ⎠
⎝ Cc
Fondamenti di Geotecnica
Fascicolo 7/6
Terreno
Eed (kg/cm2)
Torba
1 - 20
Argilla
5 – 200
Limo
30 – 300
Sabbia
100 – 800
Ghiaia
300 - 2000
Roccia
Eed (kg/cm2)
Tufo piroclastico
10’000 -30’000
Arenaria
200’000 – 300’000
Basalto
400’000 – 500’000
Granito
500’000 – 800’000
aumenta con la
consistenza
aumenta con la
densità relativa
Conglomerato cementizio: E = 200’000 kg/cm2
Acciaio: E = 2’000’000 kg/cm2
Fondamenti di Geotecnica
Fascicolo 7/7
Minerali argillosi
Cc
Montmorillonite
1.6 – 2.6
Illite
0.5 – 1.1
Caolinite
0.19 – 0.28
Per materiali ricostituiti esiste una forte correlazione tra
Cc e l’indice dei vuoti al limite liquido
1,5
Ponza bentonite
Bisaccia - distilled water
Bisaccia clay
Marino clay
kaolin
1
Cc*
data reported by Burland, 1990
Bisaccia - ethanol
0,5
C c * = 0.256e L - 0.04
Bisaccia - cyclohexane
0
0
1
Fondamenti di Geotecnica
2
3
void ratio at liquid limit e L
4
5
Fascicolo 7/8
Nel caso delle prove sui materiali naturali, è altamente probabile
che i primi valori delle tensioni verticali applicate durante le
prove edometriche (qualche frazione di kg/cm2) siano minori
della tensione litostatica alla profondità di prelievo del campione.
Pertanto, qualsiasi terreno, sia esso in sito normal-consolidato
o sovraconsolidato, ripercorrerà un ramo di ricarico del legame
tensione-deformazione.
RICORDANDO CHE LUNGO TALI RAMI LA σ′vc
CORRISPONDE AL “GINOCCHIO” DELLA CURVA e:σ′v,
SI PUÒ QUINDI AFFERMARE CHE ESSA È
RAPPRESENTATA DALLL’ASCISSA DI UN PUNTO NELLA
ZONA EVIDENZIATA IN FIGURA.
Indice di porosità, e
1.5
1.3
1.1
0.9
0.7
0.5
0.1
1
10
2
100
Tensione verticale, σ'v (kg/cm2)
Fondamenti di Geotecnica
Fascicolo 7/9
SI DEFINISCE UN INTERVALLO DI POSSIBILI VALORI,
MEDIANTE LA COSTRUZIONE INDICATA IN FIGURA
orizzontale per C
Indice di porosità, e
indice di porosità iniziale
1.5
1.3
bisettrice dello
angolo in C
A
C
1.1
tangente alla curva nel
punto C (di max curvatura)
B
0.9
0.7
0.5
σ′vc,min
σ′vc,max
1
10
0.1
2
100
Tensione verticale, σ'v (kg/cm2)
• SE LA TENSIONE LITOSTATICA ALLA PROFONDITÀ DI
PRELIEVO DEL CAMPIONE (σ′v) RICADE NELL’INTERVALLO TROVATO (OCR=1) IL TERRENO IN SITO È
NORMALMENTE CONSOLIDATO (la maggiore rigidezza
mostrata nel ramo AB è quindi dovuta ai ridotti valori di carico
inizialmente imposti nella prova);
• SE LA σ′v RICADE A SINISTRA DELL’INTERVALLO
(OCR>1) , IL MATERIALE È SOVRACONSOLIDATO (la
maggiore rigidezza nel ramo AB è dovuta sia ai ridotti valori di
carico inizialmente imposti nella prova, sia allo stato di
sovraconsolidazione in sito).
Fondamenti di Geotecnica
Fascicolo 7/10
Compressione isotropa di una sabbia con
due diversi valori di densità relativa iniziale
1+e
sabbia
(inizialmente) sciolta
sabbia densa
p' (kPa)
Per una sabbia, nel campo di tensioni che interessa l’ingegneria
geotecnica :
• la compressibilità è di norma molto bassa;
• il punto che nel piano (p', e) rappresenta lo stato corrente
giace su un tratto di curva che, per un’argilla,
corrisponderebbe a condizioni di sovraconsolidazione.
Dal punto di vista qualitativo, comunque, il comportamento
osservato non differisce da quello di un’argilla.
Fondamenti di Geotecnica
Fascicolo 7/11
Teoria della consolidazione
monodimensionale di Terzaghi
Ipotesi:
- Terreno saturo
- Particelle solide e acqua incompressibili;
- Regime di piccole deformazioni;
- Validità della legge di Darcy;
- Modulo edometrico e permeabilità costanti;
- Assenza di deformazioni viscose.
q
σv, σ’v
z
H
dz
Ω=1
γ’H
γwH
γsatH
σv = σ 'v + u = γ sat ⋅ z + q
∂σ v ∂σ 'v ∂u
∂σ 'v
∂u
=
+
=0⇒
=−
[1]
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
NB: La [1] vale anche per gli incrementi di stato tensionale Δσ’ e Δu
indotti dal carico applicato. Per semplicità, da qui in poi si indicano con
σ, σ’ ed u gli incrementi di stato tensionale.
Fondamenti di Geotecnica
Fascicolo 7/12
q
z
dz
Ω=1
Variazione di volume dell’elemento di terreno
nell’intervallo di tempo dt:
1 ∂σ 'v
1 ∂u
⋅ dt ⋅ dz = −
⋅ dt ⋅ dz
Eed ∂t
Eed ∂t
t=0
u/γw
q
t>0
u + σ ’v = σ v
u0 = σv
z
u
σ ’v
dz
Ω=1
Variazione del volume dell’acqua di porosità dell’elemento
di terreno nell’intervallo di tempo dt:
r
div q ⋅ dz ⋅ dt
()
Fondamenti di Geotecnica
Fascicolo 7/13
/ /
r
∂qx ∂qy ∂qz
+
+
div q =
∂x
∂y
∂z
k ∂u
∂h
qz = −k
=−
⋅
∂z
γ w ∂z
()
Quindi si ottiene [ΔV = ΔVw]:
1 ∂u
k ∂ 2u
−
⋅ dt ⋅ dz = −
⋅
⋅ dz ⋅ dt
Eed ∂t
γ w ∂z 2
da cui, ponendo cv=k⋅Eed/γw:
∂u
∂ 2u
= cv ⋅ 2
∂t
∂z
(equazione della consolidazione monodimensionale di Terzaghi)
Fondamenti di Geotecnica
Fascicolo 7/14
t=0
u0/γw
q
σv
u0 = σv
z
dz
Ω=1
u/γw
t>0
q
σv
z
u + σ’v = σv
σ’v
u
dz
Ω=1
t=∞
q
σ’v = σv
u=0
z
σ’v
dz
Ω=1
Fondamenti di Geotecnica
Fascicolo 7/15
H
strato impermeabile
2H
strato drenante
Nel caso di isocrona iniziale rettangolare e con drenaggio alla base e in
sommità, esiste una soluzione analitica (che si estende banalmente al
caso di drenaggio solo in sommità).
Ponendo Z = z/H e T = cv⋅t/H2, ossia adimensionalizzando le variabili
spaziale e temporale, l’equazione della consolidazione diviene :
∂u ∂ 2u
= 2
∂T ∂Z
con soluzione:
∞
2u0
⋅ sen(M ⋅ Z) ⋅ e−M⋅T
m =0 M
u(Z,T) = ∑
π
⎡
⎤
=
+
M
(2m
1)
⎢
⎥
2
⎣
⎦
Fondamenti di Geotecnica
Fascicolo 7/16
Si definisce grado di consolidazione medio U il rapporto tra l’area
delle tensioni efficaci σ’ e l’area delle tensioni totali σ.
Il grado di consolidazione medio è quindi pari al rapporto tra l’area
tratteggiata del diagramma e l’area totale.
2H
U=
∫ (σ − u)dz
0
2 ⋅H⋅ σ
2H
= 1−
∫ udz
0
2 ⋅H⋅ σ
= f(T)
Sostituendo u con la soluzione indicata si ha:
⎛ (2n + 1)2 π2 ⎞
8
⋅ exp ⎜ −
⋅T⎟
U = 1− ∑
2 2
+
π
(2n
1)
4
n =0
⎝
⎠
∞
È risolto anche il problema dell’andamento dei cedimenti nel tempo:
2H
2H
1
1
w(t) =
⋅ ∫ σ ' dz =
⋅ (σ − u)dz
Eed 0
Eed ∫0
2H
2H
1
1
2 ⋅H⋅ σ
w t=∞ =
⋅ ∫ σ 't =∞ dz =
⋅ ∫ σdz =
Eed 0
Eed 0
Eed
Fondamenti di Geotecnica
⇒
w(t)
≡ U(t)
w t =∞
Fascicolo 7/17
Soluzione per isocrona iniziale rettangolare e contorno drenante in
sommità ed impermeabile alla base : ad ogni istante T è
associata una isocrona.
Soluzioni per contorno drenante in sommità ed impermeabile alla base:
sono risolti anche i casi di isocrona iniziale triangolare.
Fondamenti di Geotecnica
Fascicolo 7/18
q
2H
q
1
2
Δ
2H
γw⋅Δ
1
2
Δ
γw⋅Δ
2H
Contorno drenante in sommità ed alla base: si può dimostrare che
in termini di U(T) la soluzione di questi tre casi è identica.
Fondamenti di Geotecnica
Fascicolo 7/19
Valori tipici del coefficiente di
consolidazione cv (cm2/s)
Limite liquido (%)
Ricompressione
30
3.5⋅10-2
Compressione
vergine
(indisturbato)
5.0⋅10-3
Compressione
vergine
(rimaneggiato)
1.2⋅10-3
60
3.5⋅10-3
1.0⋅10-3
3.0⋅10-4
100
4.0⋅10-4
2.0⋅10-4
1.0⋅10-4
Esempio
Valutare i tempi di consolidazione di un limo argilloso (cv=1⋅10-3 cm2/s)
T = 1 ⇒ U ≅ 93%
H (m)
Tempo (giorni)
1
115 ∼ 4 mesi
2
463 ∼ 15 mesi
3
1035 ∼ 3 anni
4
1840 ∼ 5 anni
Fondamenti di Geotecnica
q
H
Fascicolo 7/20
Si considerino nuovamente, alla luce della teoria della
consolidazione, i risultati di una prova edometrica.
Nonostante le condizioni di flusso e deformazione monodimensionali imposte, per la presenza di deformazioni a tensione efficace
costante i terreni hanno comportamento più articolato
rispetto alla teoria della consolidazione.
cedimento, ΔH
(mm)
(mm)
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
CONSOLIDAZIONE
PRIMARIA
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
CONSOLIDAZIONE SECONDARIA
2.20
0.1
1
10
100
defo
r
com mazioni
ples
si di viscose
d
adso
rbim ei
ento
1000
Tempo, t (min)
[qui, si sta indicando con ΔH la variazione di altezza del provino in valore assoluto]
Fondamenti di Geotecnica
Fascicolo 7/21
Determinazione di cv
dai risultati di una prova edometrica
Per determinare cv si sfrutta la relazione teorica tra il fattore di
tempo T ed il tempo fisico t, ossia: T=cv⋅t/H2
Ricordando che U=ΔH(t)/ΔHc, si sovrappone la curva sperimentale
ΔH:t con quella teorica U:T, dopo avere corretto la prima per:
• eliminare gli errori sub-sperimentali che portano ad avere un
ΔH (t=0)>0 nella prova (p.e., contatto scabro tra provino e
piastra porosa, deformazioni delle parti meccaniche, ...);
• eliminare il cedimento di consolidazione secondario.
Per U≤60% la curva (a) di Terzaghi è ben interpolata dalla
relazione U = √(4⋅T/π): se t quadruplica ΔH raddoppia
t*
δ*
0.20
0.40
δ*
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
prolungamento del tratto di
deformazione secondaria
U= 0÷100%
(mm)
cedimento, ΔH
(mm)
0.00
ΔH=0
4⋅t*
1.60
1.80
2.00
ΔH=100%
2.20
0.1
Costruzione di
Casagrande
Fondamenti di Geotecnica
1
10
Tempo, t (min)
100
1000
tangente nel punto di flesso
Fascicolo 7/22
Depurata la curva sperimentale δ:t dagli errori sub-sperimentali e
dal cedimento di consolidazione secondario, è possibile individuare
il tempo t50, in corrispondenza del quale è stato raggiunto il 50% di
consolidazione primaria nel passo della prova edometrica preso in
considerazione:
(mm)
cedimento, ΔH(mm)
0.00
t=t50
ΔH=0
0.20
0.40
T50=0.197
(a)
U=50%
0.60
0.80
1.00
ΔH=50%
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
Δ H=100%
2.20
0.1
1
10
100
1000
Tempo, t (min)
È quindi possibile imporre la condizione:
c ⋅t
T50 = v * 50
(H )2
T50 ⋅ (H* )2
⇒ cv =
t 50
dove T50 (=0.197) è il valore teorico corrispondente ad U=50%
sulla curva (a) ed H* è il percorso di drenaggio nella prova
sperimentale (in un edometro doppiamente drenato pari a metà
spessore del provino).
Fondamenti di Geotecnica
Fascicolo 7/23