La scelta ottimale dei fattori e la funzione di costo di lungo
periodo
Docente: Nadia Burani
Corso di Microeconomia
Laurea in Scienze Politiche e delle Organizzazioni
Marzo 2010
1
La scelta ottimale dei fattori produttivi e la funzione di costo
di lungo periodo
1.1
La soluzione analitica
Il problema dell’impresa è quello di scegliere la combinazione migliore degli inputs al fine di produrre
il livello desiderato di output. Essendo L e K gli unici fattori disponibili per la produzione, w ed r i
prezzi dei due fattori, rispettivamente, e Q il livello desiderato di produzione, il problema dell’impresa è
il seguente
M inL,K
C = wL + rK
s.v.
F (L, K) = Q
,
ovvero scegliere la combinazione dei due inputs che minimizza il costo totale di produzione sotto il
vincolo che con la combinazione ottimale dei fattori si deve poter produrre il livello desiderato di output.
Graficamente si tratta di trovare quella combinazione dei fattori che giace sul dato isoquanto Q ed è
tangente alla retta di isocosto più bassa possibile. Formalmente si tratta di trovare quella combinazione
di inputs che risolve il sistema di due equazioni
⎧
⎨ P mgL ≡ SM ST
L,K =
P mgK
⎩
F (L, K) = Q
w
r
,
dove la prima equazione stabilisce che la pendenza dell’isoquanto debba essere la stessa della pendenza
della retta di isocosto (condizione di tangenza) e la seconda richiede che la combinazione ottima dei fattori
giaccia sull’isoquanto di livello Q.
Visto che le quantità ottimali dei due fattori scelte dall’impresa dipendono dai parametri del problema,
la soluzione si denota con L∗ (w, r, Q) e con K ∗ (w, r, Q). Queste ultime sono chiamate funzioni di domanda condizionata dei fattori L e K, rispettivamente. Sostituendo le funzioni di domanda condizionata
dei fattori nell’espressione della funzione di costo si ottiene
C (Q) = wL∗ (w, r, Q) + rK ∗ (w, r, Q)
che è la funzione di costo di lungo periodo dell’impresa perché indica, per ogni dato livello di output Q,
il costo minimo sostenuto dall’impresa che sceglie ottimamente la combinazione dei fattori necessaria a
produrre Q.
1.2
1.2.1
Applicazioni
I fattori sostitutivi perfetti
I fattori sostitutivi perfetti sono tali che all’impresa importa soltanto la quantità totale utilizzata dei due
fattori.
1
La funzione di produzione che rappresenta la tecnologia dell’impresa in questo caso è del tipo
F (L, K) = Q = αL + βK
dove α, β sono costanti positive.
Gli isoquanti associati a questa funzione di produzione sono delle linee rette con pendenza (SMST)
costante e pari a
α
β.
Quindi l’impresa è sempre disposta a rinunciare ad una quantità pari ad
α
β
di fattore
K in cambio di una unità addizionale di fattore L e mantenere così invariata la propria produzione. La
scelta ottima dell’impresa dipende da come il SMST si rapporta alla pendenza delle rette di isocosto. In
particolare, la combinazione ottima dei fattori sarà data da
⎧
´
³
Q
⎪
,
0
se SM STL,K >
⎪
⎪
⎨
³α ´
∗
∗
Q
(L , K ) =
0, r
se SM STL,K <
⎪
⎪
⎪
⎩ qualsiasi combinazione sull’isoquanto se SM ST
L,K =
w
r
w
r
w
r
Nel primo caso, quando cioè si utilizza soltanto il fattore lavoro in misura pari a L∗ =
di costo totale di lungo periodo sarà data da C (Q) =
w
α Q.
Q
α,
la funzione
Nel secondo caso, invece, si utilizza soltanto
Q
β
e quindi la funzione di costo è data da C (Q) = βr Q. Considerando
n
o
r
entrambi i casi simultaneamente si può scrivere C (Q) = min w
;
α β Q. Si tratta sempre di una retta
capitale in misura pari a K ∗ =
passante per l’origine, per via dei rendimenti di scala costanti mostrati dalla funzione di produzione.
1.2.2
I fattori complementari perfetti
I fattori complementari perfetti sono tali che all’impresa importa soltanto utilizzarli in proporzioni fisse.
La funzione di produzione che rappresenta questa tecnologia è del tipo
F (L, K) = Q = min {αL; βK}
dove α, β sono costanti positive. Quindi, per produrre una unità di output servono
1
α
unità di lavoro e
1
β
unità di capitale. In generale, la proporzione desiderata tra i due fattori si trova eguagliando αL = βK
e risolvendo poi rispetto ad K, ovvero K =
α
β L.
Quest’ultima è l’equazione di una retta positivamente
inclinata che indica che, per ogni unità del fattore L, l’impresa deve utilizzare
α
β
unità del fattore K per
mantenere la proporzione desiderata tra i due fattori. Su questo raggio giacciono le cuspidi di tutti gli
isoquanti, che hanno forma di L.
Visto che, acquistando un fattore in eccedenza ripetto alla proporzione desiderata, la produzione non
cambia ma aumentano i costi, la scelta ottima dei fattori troverà sempre nel punto di intersezione tra
il raggio di equazione K =
α
βL
e l’isoquanto corrispondente al livello desiderato di output. Quindi la
combinazione ottimale dei fattori sarà tale che αL∗ = βK ∗ = Q ovvero L∗ =
Q
α
e K∗ =
Q
β.
Sostituendo
Q
nella espressione dei costi si ottiene la seguente funzione di costo di lungo periodo C (Q) = w Q
α +rβ =
2
³
w
α
+
r
β
´
Q. Dunque, anche nel caso dei fattori complementari perfetti si trova una curva di costo che è
una retta passante per l’origine.
1.2.3
La funzione di produzione Cobb-Douglas
La funzione di produzione Cobb-Douglas è del tipo
F (L, K) = Q = Lα K β
dove α, β sono costanti positive.
Il SMST degli isoquanti associati a questa funzione di produzione è pari al rapporto tra le produttività
marginali dei due fattori e misura
P mgL
P mgK
risolvendo il sistema
=
⎧
⎨
αK
βL .
αK
βL
Quindi la scelta ottimale del consumatore di trova
=
w
r
⎩ Q = Lα K β
,
1
da cui risulta che le funzioni di domanda condizionata dei due fattori sono pari a L∗ (w, r, Q) = Q α+β
α
³ ´ α+β
1
e K ∗ (w, r, Q) = Q α+β βw
.
αr
³
αr
βw
β
´ α+β
Sostituendo le funzioni di domanda dei fattori nella funzione di costo si ottiene
β
µ
µ
¶ α+β
¶ α
1
1
αr
βw α+β
C (Q) = wQ α+β
+ rQ α+β
βw
αr
µ β
¶
α
−
β
1
α
α α+β
α α+β
= Q α+β w α+β r α+β
+
β
β
³
´
β
β
α
α
α+β + α − α+β
, la funzione di costo si semplifica nel modo seguente
Denotando con φ = w α+β r α+β α
β
β
1
C (Q) = φQ α+β .
Quindi, si verificano i seguenti tre casi:
1. Se la funzione di produzione mostra rendimenti di scala crescenti, ovvero se α + β > 1, allora la
funzione di costo è una curva concava
2. Se la funzione di produzione mostra rendimenti di scala costanti, ovvero se α + β = 1, allora la
funzione di costo è una retta
3. Se la funzione di produzione mostra rendimenti di scala decrescenti, ovvero se α + β < 1, allora la
funzione di costo è una curva convessa.
1.2.4
I fattori sostitutivi perfetti
I fattori sostitutivi perfetti sono tali che all’impresa importa soltanto la quantità totale utilizzata dei due
fattori.
3
La funzione di produzione che rappresenta la tecnologia dell’impresa in questo caso è del tipo
F (L, K) = Q = αL + βK
dove α, β sono costanti positive.
Gli isoquanti associati a questa funzione di produzione sono delle linee rette con pendenza (SMST)
costante e pari a
α
β.
Quindi l’impresa è sempre disposta a rinunciare ad una quantità pari ad
α
β
di fattore
K in cambio di una unità addizionale di fattore L e mantenere così invariata la propria produzione. La
scelta ottima dell’impresa dipende da come il SMST si rapporta alla pendenza delle rette di isocosto. In
particolare, la combinazione ottima dei fattori sarà data da
⎧
´
³
Q
⎪
,
0
se SM STL,K >
⎪
⎪
⎨
³α ´
∗
∗
Q
(L , K ) =
0, β
se SM STL,K <
⎪
⎪
⎪
⎩ qualsiasi combinazione sull’isoquanto se SM ST
L,K =
w
r
w
r
w
r
Nel primo caso, quando cioè si utilizza soltanto il fattore lavoro in misura pari a L∗ =
di costo totale di lungo periodo sarà data da C (Q) =
w
α Q.
Q
α,
la funzione
Nel secondo caso, invece, si utilizza soltanto
Q
β
e quindi la funzione di costo è data da C (Q) = βr Q. Considerando
n
o
r
entrambi i casi simultaneamente si può scrivere C (Q) = min w
;
α β Q. Si tratta sempre di una retta
capitale in misura pari a K ∗ =
passante per l’origine, per via dei rendimenti di scala costanti mostrati dalla funzione di produzione.
1.2.5
I fattori complementari perfetti
I fattori complementari perfetti sono tali che all’impresa importa soltanto utilizzarli in proporzioni fisse.
La funzione di produzione che rappresenta questa tecnologia è del tipo
F (L, K) = Q = min {αL; βK}
dove α, β sono costanti positive. Quindi, per produrre una unità di output servono
1
α
unità di lavoro e
1
β
unità di capitale. In generale, la proporzione desiderata tra i due fattori si trova eguagliando αL = βK
e risolvendo poi rispetto ad K, ovvero K =
α
β L.
Quest’ultima è l’equazione di una retta positivamente
inclinata che indica che, per ogni unità del fattore L, l’impresa deve utilizzare
α
β
unità del fattore K per
mantenere la proporzione desiderata tra i due fattori. Su questo raggio giacciono le cuspidi di tutti gli
isoquanti, che hanno forma di L.
Visto che, acquistando un fattore in eccedenza ripetto alla proporzione desiderata, la produzione non
cambia ma aumentano i costi, la scelta ottima dei fattori troverà sempre nel punto di intersezione tra
il raggio di equazione K =
α
βL
e l’isoquanto corrispondente al livello desiderato di output. Quindi la
combinazione ottimale dei fattori sarà tale che αL∗ = βK ∗ = Q ovvero L∗ =
Q
α
e K∗ =
Q
β.
Sostituendo
Q
nella espressione dei costi si ottiene la seguente funzione di costo di lungo periodo C (Q) = w Q
α +rβ =
4
³
w
α
+
r
β
´
Q. Dunque, anche nel caso dei fattori complementari perfetti si trova una curva di costo che è
una retta passante per l’origine, per via dei rendimenti di scala costanti della funzione di produzione.
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