Quantizzazione classica di problemi variazionali
invarianti
Workshop
“Varietà reali e complesse : geometria, topologia e analisi armonica”
Scuola Normale Superiore di Pisa 28/2/2013 - 3/3/2013
Emilio Musso
Dipartimento di Scienze Matematiche - Politecnico di Torino
Problemi variazionali invarianti
- M = G/H è una varietà differenziabile munita di un gruppo transitivo di trasformazioni.
-PÌC
¥
(R,M) è uno spazio G-invariante di curve parametrizzate immerse in M.
- le parametrizzazioni delle curve di P sono G-invarianti e “canoniche”, definite a meno di una
costante additiva.
- modulo una delle trasformazioni geometriche indotte dall’azione del gruppo, le curve di P sono
individuate da un certo numero di invarianti differenziali k 1 ,...., k p (curvature), algoritmicamente
computabili a partire dai getti di ordine h, con h intero positivo.
- una funzione polinomiale L determina un’ azione invariante
L : Γ Î P ™ ÙΓ L Jk
1,
...., k
p,
k
1 ',
...., k '
p,
...., k
e un funzionale
L
*
1
HkL ,
..., k
.
p
HkL N dsΓ,
: PΓT Î P/G ™ L(Γ)
definito sullo spazio P/G delle classi di G-congruenza delle curve di P.
- Un primo tema di ricerca riguarda i punti critici di un funzionale invariante : integrazione per
quadrature, aspetti computazionali, determinazione delle traiettorie chiuse a partire da invarianti
geometrico-topologici.
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-Conferenza
Un primoPisa
tema
di ricerca riguarda i punti critici di un funzionale invariante : integrazione per
quadrature, aspetti computazionali, determinazione delle traiettorie chiuse a partire da invarianti
geometrico-topologici.
Moti locali di curve
- se P/G è munito di una struttura simplettica o di Poisson (eventualmente, coppie simplettiche o
coppie di Poisson compatibili tra loro), il funzionale L* induce un flusso Hamiltoniano, governato da
un sistema di equazioni di evoluzione
Kt = F HK, Ks , Kss , ...L, K = ( k 1 ,...., k p )
In molti esempi rilevanti, i punti critici del funzionale sono dei punti fissi del flusso che, a loro volta,
corrispondono alle “modulated waves” dell’equazione di evoluzione. Praticamente tutte le gerarchie
integrabili di equazioni d’evoluzione note in letteratura (KdV, mKdV, Sawada-Kotera, Kaup-Kupershimidt etc...) hanno una controparte geometrica, nel senso che sono deducibili a partire da
dinamiche Hamiltoniane su spazi di curve immerse in varietà omogenee.
- Un secondo tema di ricerca riguarda lo studio dei moti locali e delle dinamiche associate :
costruzione delle strutture simplettiche o di Poisson, algoritmi per calcolare ricorsivamente i polinomi
generatori della gerarchia, studio dei moti generati dalle “modulated waves”, da soluzioni autosimilari
e da soluzioni algebrico-geometriche dell’equazione di evoluzione (finite-gap solutions), interpretazione geometrica delle trasformazioni di Bäcklund etc...
Motivazioni
Lo studio dei punti critici di funzionali invarianti e dei moti locali ha interesse nelle applicazioni geometriche della teoria dei sistemi integrabili, nella matematica computazionale, in fisica matematica, in
fisica teorica (modelli fisici in cui la Lagrangiana dipende sia dalle velocità sia dalle accelerazioni) e in
biofisica (membrane cellulari). Un’altro settore di ricerca che ha molti punti di contatto con queste
tematiche è la teoria geometrica del controllo.
Collaborazioni
I risultati di cui vi parlerò sono anche frutto di collaborazioni con
J. Grant, Depatment of Mathematics, University of Surrey
L. Nicolodi, Dipartimento di Matematica, Università di Parma
In cantiere ci sono due progetti in cui sono coinvolti L. Nicolodi e
A. Calini, Department of Mathematics, College of Charleston.
E. Hubert, Project team GAALAD, Inria, Sophia-Antipolis.
I progetti futuri riguardano funzionali invarianti e moti locali di
- curve Legendriane nella sfera S 3 , considerata come spazio omogeneo del gruppo delle trasformazioni CR;
- curve Lagrangiane in spazi simplettici affini;
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- curve Legendriane nella sfera S 3 , considerata come spazio omogeneo del gruppo delle trasformazioni CR;
- curve Lagrangiane in spazi simplettici affini;
Organizzazione del materiale
Per poter impostare il discorso in modo sensato bisogna discutere preliminarmente quattro punti :
-
le modalità di costruzione dello spazio di curve;
individuazione delle proprietà essenziali dei riferimenti associati alle curve;
definizione delle parametrizzazioni invarianti e delle curvature;
descrizione dello “spazio dei momenti”, problemi variazionali iper-regolari e co-isotropi.
In seconda battuta vorrei soffermarmi su due argomenti (quantizzazione classica)
- condizioni di chiusura delle traiettorie e gli invarianti numerici di una traiettoria chiusa.
- interpretazione geometrica degli invarianti numerici.
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Spazi di curve definiti da condizioni generiche o da vincoli anolonomi.
L’azione del gruppo G sullo spazio omogeneo induce (per prolungamento) un’azione sullo spazio dei
`
getti J k (R,M), per ogni k. A partire da un certo ordine k, l’azione di stabilizza, nel senso che le sottoalgebre di isotropia dell’azione sono banali.
- PÌ J k (R,M) è una sottovarietà G-invariante
- P = l’insieme delle curve parametrizzate di M i cui getti di ordine k appartengono a P.
- P è definita da equazioni algebriche (condizioni chiuse) o da disequazioni strette (condizioni
aperte), cioè imponendo sia vincoli anolonomi sia condizioni generiche.
Riferimenti di Frenet
Data la sottovarietà PÌ J k (R,M) un riferimento mobile è una mappa equivariante Ρ : P ™ G tale
che
(a) se Γ : R ™ G/H appartiene a P ” F
p
G‘H ëF Γ
Γ
= Ρ ë j k (Γ) : R ™ G è un sollevamento di Γ (i.e.
= Γ).
Inoltre richiedo che Ρ soddifi due ulteriori condizioni :
(b) $ un sottospazio affine A Ì g, 0 Ï A tale che F
(c) per ogni F : R ™ G tale che F
-1
-1
Γ
F’
Γ
ÎA, "Γ Î P
F ' Î A la proiezione Γ = p
G‘H ëF
™ G/H appartiene a
P e inoltre F = Ρ ë j k (Γ).
Una mappa equivariante che verifica (a), (b) e (c) la chiamo riferimento di Frenet e il sollevamento
F Γ di una specifica curva Γ Î P lo chiamo riferimento di Frenet di Γ.
Parametrizzazioni naturali, curvature e problemi variazionali invarianti
Data PÌ J k (R,M) e assegnato un riferimento di Frenet Ρ : P ™ G poniamo
- A = m + a,
- ΜÎg
*
a = sottospazio vettoriale di g, m Î g - a.
: <Μ, m> = 1, <Μ, a> = 0, "aÎa.
Per ogni curva Γ : I Í R ™ G/H appartenente a P definiamo l’elemento d’arco invariante e la
curvatura
Σ
Γ
=F
*
Γ
(Μ),
(m + K Γ )Σ Γ = F
-1
Γ
dF Γ ,
K
Γ
:I™a
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Σ
Γ
=F
*
Γ
(Μ),
(m + K Γ )Σ Γ = F
-1
Γ
dF Γ ,
K
Γ
5
:I™a
Per ogni L Î R[a] definiamo l’azione invariante
L : Γ Î P ™ ÙΓ L ë K
Γ
Γ,
Σ
e il corrispondente funzionale L* definito sullo spazio P/G delle classi di G-congruenza.
Lo spazio dei momenti, Lagrangiane non-degeneri e iper-regolari
A partire dalla Lagrangiana L, tramite una serie di passaggi algoritmici ben codificati, si costruisce lo
spazio dei momenti
Z Ì (G‰A) × g
*
Ì T * (G‰A)
Su Z si considerano :
Ž
- il pull-back Μ Î W 1 (Z) (tramite la proiezione Z ™ G) della 1-forma Μ Î g
*
- la 2-forma ΩÎ W 2 (Z) ottenuta per restrizione dalla forma simplettica di T * (G‰A).
La Lagrangiana L si dice non-degenere se
Ž
dim(Z) = 2m + 1 & ΜßΩ
m
¹ 0.
In tal caso $! campo vettoriale X Î X(Z) tale che
Ž
Μ(X) = 1 & Ω(X, - ) = 0.
Teorema. Le curve estremali di un’azione invariante non-degenere sono le proiezioni su G/H delle
curve integrali del campo vettoriale X.
Per semplificare l’esposizione supponiamo che G sia un gruppo di Lie semisemplice.
Teorema. Nel caso di un problema variazionale non degenere si ha che
Z = G×S, S Ì A×g
dove,
Π
2
*
> A×g & Π
2
: S ™ g è un’immersione
è la restrizione ad S della proiezione di A×g sul secondo fattore
Se Π 2 è un embedding, la Lagrangiana si dice iper-regolare. In tal caso identifichiamo Z con il
prodotto cartesiano G ‰ S di G con la sottovarietà S = Π 2 (S) dell’algebra di Lie g. Quindi definiamo l’
Hamiltoniana H ponendo
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Se Π 2 è un embedding, la Lagrangiana si dice iper-regolare. In tal caso identifichiamo Z con il
prodotto cartesiano G ‰ S di G con la sottovarietà S = Π 2 (S) dell’algebra di Lie g. Quindi definiamo l’
Hamiltoniana H ponendo
H = Π 1 ë(Π 2 | S )
-1
: S ™ A,
Π
j
= proiezioni da S Ì A×g sui fattori
Teorema. Se la Lagrangiana è iper-regolare, le curve estremali del problema variazionale sono le
proiezioni su G/H delle curve G(t) = (g(t),p(t)) : I ™ Z = G ‰ S che verificano il seguente sistema di
equazioni differenziali ordinarie
(*) p = @p, H HpLD, g-1 g = H Hp)
Nomenclatura : G(t) = I ™ Z traiettoria & p : I ™ S = traiettoria di fase.
La mappa dei momenti
La mappa dei momenti di una Lagrangiana non-degenere è definita nel modo seguente
J : (g,p) Î Z ™ g·p·g
-1
Îg
- J è costante lungo le traiettorie
- il momento di una traiettoria G(t) = (g(t), p(t)) è l’elemento dell’algebra di Lie definito da
Ζ
G
= g(t)·p(t)·g(t)
-1
Se Ζ Î Im(J) Ì g è un valore regolare, con stabilizzatore G
Teorema. J
Quindi J
-1
-1
Î g.
Ζ
abeliano allora :
(Ζ) è un fibrato principale con gruppo strutturale G
Ζ
e con base 1-dimensionale.
(Ζ) è un toro o un prodotto di un toro con uno spazio Euclideo. Le traiettorie G(t) con
momento Ζ sono curve integrali di un campo vettoriale di J
-1
(Ζ)
che è
linearizzabile.
Sia Ζ Î Im(J) Ì g un momento, il suo ritratto di fase F(Ζ) Ì g è la componente connessa dello strato
liscio di SÝO Ζ che contiene Ζ .
Problemi variazionali co-isotropi
Una Lagrangiana iper-regolare si dice co-isotropa se l’azione di G sullo spazio dei momenti Z = G
‰ S Ì G ‰ g @ T(G) è co-isotropa rispetto alla 2-forma Ω ottenuta per restrizione dalla forma simplettica di T(G), cioè se g # (Z)
¦
Ì g # (Z) + Ker(Ω).
Teorema : se la Lagrangiana è co-isotropa, allora
1) dim(S) = r + 1, dove r = rank(g);
2) i ritratti di fase F(Ζ) sono delle curve liscie che eventualmente possono degenerare in un punto.
3) se F(Ζ) è un punto, ogni curva estremale con momento Ζ è un’orbita di un sottogruppo a un
parametro (queste sono le soluzioni “triviali” che si integrano mediante funzioni elementari)
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Teorema : se la Lagrangiana è co-isotropa, allora
1) dim(S) = r + 1, dove r = rank(g);
2) i ritratti di fase F(Ζ) sono delle curve liscie che eventualmente possono degenerare in un punto.
3) se F(Ζ) è un punto, ogni curva estremale con momento Ζ è un’orbita di un sottogruppo a un
parametro (queste sono le soluzioni “triviali” che si integrano mediante funzioni elementari)
4) se Ζ Î Im(J) Ì g è un valore regolare della mappa dei momenti, allora Ζ è un elemento regolare
dell’algebra di Lie (cioè lo stabilizzatore di Ζ è una sottoalgebra di Cartan) e SÝO Ζ è una curva
liscia di S.
5) se G(t) = (g(t),p(t)) è una traiettoria con momento Ζ G , allora p : I ™ S è una parametrizzazione
del ritratto di fase F(Ζ G ) tale che p = @p, H HpLD
Moduli
Denotiamo con S’ la sottovarietà aperta di S ottenuta togliendo di mezzo i momenti Ζ con ritratto di
fase F(Ζ) che degenera in un punto. I ritratti di fase definiscono un fogliettamento in curve della varietà
S’. Indichiamo con S lo spazio dei fogli. Per costruzione S è una varietà (eventualmente non separabile) di dimensione r.
Ad ogni elemento m = F(Ζ) di S corrisponde esattamente uno ed un solo punto critico non-triviale del
funzionale (cioè una ed una sola classe di congruenza PΓT Î P/G formata da curve estremali nontriviali dell’azione).
- S è lo spazio dei moduli del problema variazionale.
- m = F(Ζ) Î S è un modulo regolare se Ζ è un valore regolare della mappa dei momenti con
stabilizzatore abeliano
- S r Ì S = insieme (aperto e denso) dei moduli regolari.
- G è una traiettoria regolare se il suo modulo appartiene a S r . Le traiettorie regolari sono
generiche.
Integrazione per quadrature
Teorema. Le traiettorie regolari si integrano per quadrature
S * Í S r = l’inisieme dei moduli regolari m = F(Ζ) tali che F(Ζ) è una curva chiusa (liscia). Sia m un
elemento di S * :
- scelgo Ζ appartenente al modulo m Î S * e considero la parametrizzazione G(u) = (g(u),p(u)) di
una delle traiettorie con momento Ζ (che sono calcolabili con quadrature)
- p : R ™ g è una mappa periodica;
- Σ(m) = insieme formato dagli esponenti di Floquet del sistema lineare con coefficienti
periodici
x’(u) = - H[p(u)]·x(u) (che dipende solo dal modulo)
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Fatto : se m è il modulo di una traiettoria chiusa allora Σ(m) Ì ä·R.
La mappa dei periodi e le condizioni di chiusura
Consideriamo il sottoinsieme S ** Í S * formato dai moduli regolari con ritratto di fase liscio e compatto tali che Σ(m) Ì ä·R (moduli monodromici di tipo compatto). Posto
Σ(m) = (är 1 (m), ... , är r (m)),
r 1 (m)³r 2 (m)³....
definisco la mappa dei periodi :
R:mÎ S
**
™
1
2Π
(r 1 (m),...,r r (m)) Î R
r
Condizioni di chiusura : una traiettoria regolare è chiusa se e solo se m è un modulo monodromico di tipo compatto ed R(m) Î Q r .
Sia D Ì R r l’immagine della mappa dei periodi. Se R è iniettiva, le traiettorie regolari chiuse sono
in corrispondenza biunivoca con i punti razionali di D. Invertendo (numericamente) la mappa dei
periodi e calcolando i punti razionali di D possiamo determinare esplicitamente le traiettorie regolari
chiuse (il problema è quantizzabile, nel senso della “old quantum theory”).
Numeri quantici
La mappa dei periodi associa a una curva estremale chiusa e regolare Γ, una r-pla ordinata
Μ Γ= (
m1
m
,..., r ) Î Q r ,
n1
nr
di numeri razionali. Gli interi m1 , ... , mr ed n1 ,...,nr sono gli invarianti numerici (numeri quantici) di
Γ.
Il problema variazionale ha una quantizzazione classica se :
- R è iniettiva
- gli invarianti numerici sono esprimibili mediante invarianti “fenomenologici” (geometrico-topologici)
della traiettoria.
Il passo finale consiste nel trovare l’interpretazione degli invarianti numerici nei termini di invarianti
geometrico-topologici. L’aspettativa, che deve essere verificata caso per caso, è :
- n = m.c.m(n1 ,...,nr ) = ordine del gruppo di simmetria G
- n1 ,...,nr = ordini di certi sottorguppi ciclici G
- per ogni G
Γ,i
Γ,1 ,
... ,G
Γ,r
Γ
di Γ (numero d’onda principale).
di G
Γ
(numeri d’onda secondari).
si considera M i Ì M = sottovarietà dei punti fissi di G
Γ,i .
- i rimanenti numeri quantici m1 ,...,mr si esprimono in funzione dei numeri d’onda e dei “numeri di
intrallacciamento” di Γ con le sottovarietà M 1 , ... , M r .
- n = m.c.m(n1 ,...,nr ) = ordine del gruppo di simmetria G
- n1 ,...,nr = ordini di certi sottorguppi ciclici G
- per ogni G
Γ,i
Γ,1 , ... ,G
di Γ (numero
d’onda principale).
Γ Conferenza
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di G
Γ,r
Γ
(numeri d’onda secondari).
si considera M i Ì M = sottovarietà dei punti fissi di G
Γ,i .
- i rimanenti numeri quantici m1 ,...,mr si esprimono in funzione dei numeri d’onda e dei “numeri di
intrallacciamento” di Γ con le sottovarietà M 1 , ... , M r .
Discussione di un esempio : la lunghezza d’arco conforme
Il funzionale lunghezza d’arco conforme è definito ponendo
Γ ™ ÙΓ
4
Κ2 + Κ2 Τ2 ds
- Il funzionale agisce sullo spazio P delle curve di R 3 prive di punti di flesso e di vertici.
- è il più semplice funzionale locale invariante per l’azione del gruppo delle trasformazioni conformi.
- la 1-forma sotto il segno di integrazione è l’elemento d’arco conforme.
- ci sono due curvature (curvature conformi) che dipendono dai getti del quarto e del quinto ordine
rispettivamente.
- I metodi di integrazione si applicano con successo e le curve estremali si integrano per quadrature.
- lo spazio S ** dei moduli monodromici è parametrizzato dai punti (a,b) del dominio piano
La mappa dei periodi
La mappa dei periodi è l’applicazione analitica-reale R = (R 1 , R 2 ) : S
R1 Ha, bL = 2Π
R2 Ha, bL =
Μ@a,bD
a Ia-Μ@a,bD M
Υ@a,bD
2
2
Π
a Ia-Υ@a,bD2 M
PB
PB
a-b
a-Μ@a,bD2
a-b
a-Υ@a,bD2
,
,
**
™R
a-b
a
a-b
a
F
2
data da
F
dove
P@n, mD = Ù0
dt
А2
J1-n×Sin @tDN
2
1-m×Sin @tD
,
0 < n < 1, 0 < m < 1.
2
è l’integrale ellittico completo di terza specie e
Μ@a, bD :=
1
2
a+b+
4 + Ha - bL2
& Υ@a, bD :=
1
2
a+b-
4 + Ha - bL2
9
10
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Μ@a, bD :=
1
a+b+
2
4 + Ha - bL2
& Υ@a, bD :=
1
a+b-
2
4 + Ha - bL2
Gli invarianti numerici
Teorema ( - 2012) : l’applicazione (-R 1 , R 2 ) è un diffeomorfismo analitico-reale sul dominio
circolare D riprodotto nella figura. Quindi, c’è corrispondenza biunivoca tra curve estremali con
curvature conformi non-costanti e i punti razionali del dominio D.
Interpretazione geometrica degli invarianti numerici
Teorema 2 (- 2012/2013) : sia Γ una curva estremale chiusa e regolare, con moduli q 1 =m 1 /n
q 2 =m 2 /n 2 . Allora :
- il gruppo di simmetria G
Γ
1
e
è il sottogruppo ciclico di ordine n = m.c.m(n 1 ,n 2 ) generato dalla
composizione di due “rotazioni conformi” Q 1 (2Πq 2 ) e Q 2 (2Πq 1 ) attorno a due cerchi. Eventualmente agendo con una trasformazione conforme e portando Γ nella sua “configurazione simmetrica” il primo cerchio coincide con l’asse coordinato Oz e il secondo con il cerchio del piano Oxy
centrato nell’origine di raggio
2 (cerchio di Clifford).
- Denotando con h 1 e h 2 gli interi n/n 1 ed n/n 2 e avendo portato Γ nella sua configurazione
simmetrica, si calcolano i “Gauss linking integrals” con i due assi di simmetria (opportunamente
orientati) e si dimostra che
i) s
ii) s
1
2
= m 1h
= m 2h
1
2
è il numero di intrallacciamento di Γ con il cerchio di Clifford.
è il numero di intrallacciamento di Γ con l’asse Oz.
” le classi di congruenza conforme delle curve critiche chiuse che non sono orbite di sottorguppi
a un parametro, sono individuate da tre invarianti fenomenologici : l’ordine del gruppo di
simmetria e i numeri di intrallacciamento della configurazione simmetrica con l’asse coordinato Oz e con il cerchio di Clifford..
Esperimenti numerici e visualizzazione : curve critiche con gruppo di simmetria di ordine 9
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Esperimenti numerici e visualizzazione : curve critiche con gruppo di simmetria di ordine 9
Ÿ Figura : A sinistra sono raffigurati i punti razionali con n = 54, disposti in “bande” verticali : |n,j,h> =
punto razionale (m 1 /n 1 ,m 2 /n 2 ) con n = m.c.m(n 1 ,n 2 ) che si trova nella j-esima banda e in
poszione h (dal basso). A destra è riprodotta la stringa |9,1,1>.
Tavole numeriche
Quit@D
Program I
Tables
TABLESTRINGS@9D
Band 1
Band 2
9 1 1
9 1 2
9 1 3
9 2 1
9 2 2
Table 1 : canonical models of order 9
12
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TABLEMODULI@9D
Band 1
5
9
5
9
5
9
1
9
2
9
1
3
Band 2
2
3
2
3
1
9
2
9
Table 2 : moduli of the canonical models of order 9
TABLESYMMETRIES@9D
"Band" 1
"Band" 2
1 1
1 1
1 3
3 1
3 1
"Table 3 : order of the Euclidean and Clifford symmetry groups of the canonical models of order"
TABLELINKINGNUMBERS@9D
Band 1
Band 2
5 1
5 2
5 3
6 1
6 2
Table 4 : linking numbers of the canonical models of order 9
TABLEWAVELENGTHS@9D
Band 1
Band 2
1.96996
1.92188
1.81376
2.90618
2.79219
Table 5 : wavelengths of the canonical models of order 9
Visualizzazione
Quit@D
"Band" 1
"Band" 2
"Band" 1
"Band" 2
"Band" 1
"Band" 2
9 1 1
9 1 2
9 1 3
9 2 1
9 2 2
5 1
5 2
5 3
6 1
6 2
1 1
1 1
1 3
3 1
3 1
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Program I
n := 9; j := 2; h := 2;
Program II
Program IV
[email protected]
n := 9; j := 1; h := 3;
13
14
Conferenza Pisa Febbraio 2013 - Stampa.nb
[email protected]
Bibliografia
Monografie
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