- B.1 -
MANUALE DI OTTICA
per la classe seconda (professionale)
a cura dei docenti
dell'IIS G.Galilei - Milano
Agosto 2010
- B.2 -
- B.3 -
1. Diottri sferici e specchi sferici
La curvatura di una superficie
Una superficie piana può essere descritta come una superficie tale
che le normali a tutti i suoi punti sono parallele tra loro. Una superficie
sferica è una superficie tale che tutte le normali passano per uno stesso
punto. La superficie di una palla da tennis, di una bolla di sapone o della
Terra sono esempi di superfici sferiche. Una persona che sta in piedi sulla
superficie della Terra rappresenta la normale alla superficie in quel punto.
Se si tracciasse una retta dalla testa di questa persona attraverso i suoi
piedi e la si prolungasse all’ingiù, essa intersecherebbe, nel centro della
Terra, le rette tracciate attraverso altre persone che stanno in piedi in altri
punti della superficie terrestre.
In ottica sono molto comuni superfici quasi perfettamente sferiche
perché due superfici strofinate tra loro in generale tendono ad adattarsi
l’una all’altra formando due superfici sferiche, una convessa come una palla
e l’altra concava come una coppa che si adatta alla palla. Questa è infatti la
configurazione che permette loro di muoversi più facilmente strisciando
l’una sull’altra più facilmente; le nostre ossa hanno questa forma nelle
articolazioni, dove è necessario un movimento.
Una sezione di una qualsiasi superficie sferica è una circonferenza, o
parte di una circonferenza, come è mostrato nella figura 1. Ogni
circonferenza ha un centro di curvatura C e un raggio di curvatura r,
definito come la distanza tra la superficie e il centro di curvatura. Su
ciascuna superficie sono mostrate due normali separate dalla stessa
distanza misurata sulla superficie. La distanza tra le normali è la stessa nei
tre casi, ma l’angolo tra le normali è molto diverso.
Figura 1. Curvatura e raggi di curvatura.
Chiamiamo curvatura della superficie l’angolo di cui ruota la
superficie lungo un arco di lunghezza unitaria. In ciascuno dei casi
mostrati nella figura 1, un oggetto che si muove lungo la circonferenza da P 1
- B.4 a P2 parte nella direzione P1D e arriva nella direzione DP2 dopo aver ruotato
di un angolo α. Poiché ogni direzione sulla superficie è perpendicolare alla
normale in quel punto, l’angolo di rotazione α è uguale all’angolo tra le
normali. Se l’angolo è misurato in radianti il suo valore è dato da
α (in radianti) =
p
r
dove p è la lunghezza dell’arco e r il raggio della circonferenza.
La curvatura ρ è il valore di α quando p è uno, ossia
ρ =
α
1
=
p r
(1)
Quindi la curvatura di una superficie è uguale al reciproco del
suo raggio e l’unità di misura della curvatura è il reciproco del metro
(m-1). Per ottenere valori corretti di ρ attraverso la formula (1) il raggio r
deve essere espresso in metri. Una superficie piana può essere
considerata come una superficie sferica di curvatura nulla.
Diottri sferici e specchi sferici
Si dice diottro sferico l'insieme di due mezzi trasparenti diversi
separati da una superficie sferica. Un diottro sferico è caratterizzato dalla
posizione del suo centro di curvatura C, dal suo raggio r o dalla sua
curvatura ρ = 1/r, e dagli indici di rifrazione n e n' dei due mezzi
trasparenti.
Quando un raggio di luce incide sulla superficie di un diottro sferico, è
rifratto secondo la legge della rifrazione:
n sen i = n' sen i'
(2)
dove i indica l'angolo di incidenza e i' l'angolo di rifrazione, n è l'indice di
rifrazione del mezzo da cui proviene il raggio di luce e n' l'indice di rifrazione
del mezzo in cui viene rifratto il raggio di luce. La normale alla superfici del
diottro nel punto di incidenza è la retta che congiunge il punto di incidenza
con il centro di curvatura del diottro. Quindi un raggio di luce diretto verso il
centro di curvatura C del diottro passa attraverso la superficie sferica senza
essere deviato.
Nella figura 2 sono rappresentati i percorsi di diversi raggi,
provenienti da un oggetto puntiforme posto a una certa distanza sull’asse
XX’, che incidono sulla superficie di un diottro sferico che separa aria da
vetro con indice di rifrazione uguale a 1,5. Si vede che tutti questi raggi
sono rifratti verso l’asse ma i raggi più periferici o marginali non sono
deviati verso lo stesso punto su cui convergono i raggi più vicini all’asse. Un
diottro sferico quindi non forma, in generale, un’immagine puntiforme
dell'oggetto puntiforme.
La figura 3 rappresenta invece i percorsi di raggi di luce provenienti
da un oggetto puntiforme, che incidono sulla superficie di uno specchio
- B.5 sferico. Anche in questo caso la superficie sferica è definita dalla posizione
del suo centro di curvatura C e dal raggio r o dalla curvatura ρ = 1/r. Il
percorso dei raggi di luce è calcolato in questo caso utilizzando la legge
della riflessione. Anche in questo caso la normale alla superficie dello
specchio nel punto di incidenza è la retta che congiunge il punto di incidenza
con il centro della superficie sferica. Quindi un raggio di luce che passa per il
centro di curvatura C dello specchio viene riflesso indietro lungo lo stesso
percorso e ripassa per C.
Come nel caso del diottro sferico, anche nel caso dello specchio
sferico i raggi periferici non sono deviati verso lo stesso punto su cui
convergono i raggi più vicini all'asse. In generale, quindi, uno specchio
sferico non forma un'immagine puntiforme di un oggetto puntiforme.
Figura 2. Rifrazione su un diottro sferico di raggi di luce provenienti da una
sorgente puntiforme.
Figura 3. Riflessione su uno specchio sferico di raggi di luce provenienti da
una sorgente puntiforme.
- B.6 L’imperfezione di queste immagini fu scoperta prima per gli specchi
sferici. Poiché si sapeva che gli specchi piani producono immagini perfette,
Roger Bacon (1215-1294) chiamò questo difetto aberrazione sferica. Oggi
sappiamo che anche altre aberrazioni sono presenti nelle immagini prodotte
dalle lenti e dagli specchi; verranno discusse più avanti.
Il modo più semplice per ottenere, mediante un diottro sferico o uno
specchio sferico, immagini che non siano affette da aberrazione sferica è
restringere l'apertura della superficie sferica in modo che formino
l'immagine solo i raggi di luce che passano vicino al centro di curvatura
della superficie e per i quali gli angoli di incidenza, di rifrazione e di
riflessione sono molto piccoli. Si utilizza cioè l'approssimazione dell'ottica di
Gauss, che come si è già visto consiste nell'approssimare i valori delle
funzioni goniometriche degli angoli con i valori degli angoli stessi espressi in
radianti, ossia nel porre
sen α = α ; tg α = α
e
cos α = 1
(3)
In pratica questa approssimazione può essere utilizzata quando gli
angoli hanno valori inferiori a 5°. Vedremo che, utilizzando questa
approssimazione, un diottro sferico o uno specchio sferico producono
un'immagine puntiforme di un oggetto puntiforme.
La superficie mostrata nella figura 2, che ha il centro di curvatura
all’interno del materiale, è una superficie convessa. La superficie mostrata
nella figura 3, che ha invece il centro di curvatura nel mezzo da cui proviene
la luce, è una superficie concava.
- B.7 -
2. La convenzione dei segni
Per calcolare la posizione degli oggetti e delle immagini è necessario
adottare delle regole uniformi per misurare le distanze e gli angoli. È
importante distinguere tra oggetti e immagini che stanno davanti al diottro
o allo specchio da quelli che stanno dietro. Per questo si usano segni
negativi e positivi. La convenzione che utilizzeremo fa riferimento alla figura
4 nella quale una superficie sferica rifrangente, S, riceve luce da un oggetto
O. Assumeremo sempre che la luce proviene da sinistra.
Nell’approssimazione dell'ottica di Gauss l’immagine è formata in un
punto I posto sulla retta che passa per l'oggetto O e per il centro di
curvatura C della superficie. Questa retta è detta asse ottico. L’asse ottico
è una normale alla superficie e il punto in cui interseca la superficie è detto
polo o vertice A della superficie. Se si ha una sola superficie sferica si può
tracciare un asse per ogni oggetto puntiforme. Quando sono utilizzate due
superfici sferiche, come nel caso delle lenti, l’asse ottico è la retta che
congiunge i due centri di curvatura. Nella maggior parte dei sistemi ottici le
superfici hanno un asse comune e il sistema è centrato e simmetrico
rispetto a questo asse.
Figura 4. Convenzione dei segni.
Le definizioni che seguono si applicano a superfici singole e sistemi
simmetrici.
Distanze lungo l'asse ottico
Tutte le distanze sono misurate dalla lente o dallo specchio.
Quelle nella stessa direzione della luce incidente hanno valori
positivi. Quelle in direzione contraria rispetto alla luce incidente
hanno valori negativi. Nella figura 4 la distanza dalla superficie S al punto
O è contraria alla direzione della luce incidente e perciò ha un valore
negativo. Il raggio di curvatura della superficie, misurato da S a C, ha un
valore positivo.
- B.8 Distanze perpendicolari all’asse ottico
Tutte le distanze sono misurate dall’asse ottico. Sopra l'asse
ottico si hanno valori positivi e sotto l'asse ottico valori negativi.
Nella figura 4 il raggio di luce raggiunge la superficie S sopra l’asse ottico a
un’altezza che ha un valore positivo.
Angoli
Angoli misurati in senso antiorario hanno valori positivi;
angoli misurati in senso orario hanno valori negativi:
Pendenza dei raggi
La pendenza dei raggi è definita come l’angolo acuto che va
dalla direzione dell’asse ottico alla direzione del raggio. Nella figura 4
la pendenza del raggio incidente che parte da O ha un valore positivo,
mentre la pendenza del raggio rifratto che giunge in I ha un valore
negativo.
Angoli di incidenza, riflessione e rifrazione
Gli angoli di incidenza, di rifrazione e di riflessione sono
misurati dalla normale alla superficie al raggio. Nella figura 4 sia
l’angolo di incidenza sia l'angolo di rifrazione hanno un valore positivo.
Le punte di freccia o le doppie punte di freccia disegnate su un
segmento che indica una distanza o su un arco che indica un angolo
mostrano il verso nel quale è fatta la misura.
- B.9 -
3. L'equazione
sferico
gaussiana
del
diottro
La figura 5 mostra un diottro sferico simile a quello della figura 4, ma
il raggio incidente è ora diretto verso un punto P dell’asse ottico che si trova
oltre la superficie sferica. In questa figura quindi tutte le distanze hanno
valori positivi, e ciò rende più facile ricavare la relazione tra la distanza s
dell'oggetto P dal vertice V del diottro e la distanza s' dell'immagine P' dal
vertice V del diottro. Supponiamo che valgano le approssimazioni dell'ottica
di Gauss, anche se per rendere più chiara la figura l’altezza h e tutti gli
angoli sono stati resi molto più grandi di quanto corrisponde ai limiti
dell'approssimazione.
Figura 5. Rifrazione su una superficie sferica.
Usando la legge della rifrazione nella figura 5 abbiamo
n sen i = n’ sen i’
(2)
dove i indica l'angolo di incidenza e i' l'angolo di rifrazione, n è l'indice di
rifrazione del mezzo da cui proviene il raggio di luce e n' l'indice di rifrazione
del mezzo in cui viene rifratto il raggio di luce. Nell'approssimazione
dell'ottica di Gauss nella quale possiamo considerare il seno di un angolo
uguale al suo valore in radianti, l'equazione (2) si può scrivere
ni = n’i’
(4)
Dalla figura si vede che
tg ω = −
h
NP
(si noti che l’angolo ω nella figura è diretto in senso orario e quindi è
negativo) che approssimiamo nell'ottica di Gauss con
ω = −
h
VP
(5)
- B.10 dato che, poiché h è molto minore di NP e della distanza VP = s dell'oggetto
P dal vertice V del diottro, si può porre nell'ottica di Gauss NP = VP = s. Allo
stesso modo si ha
ω '= −
h
VP'
(6)
h
VC
(7)
e
α = −
Dei triangoli INC e INP si ricava
i = [90° – (–ω)] – [90° – (–α)] = ω – α
e dai triangoli INC e INP’
i’ = [90° – (–ω’)] – [90° – (–α)] = ω’ – α
Dalla legge della rifrazione approssimata per l'ottica di Gauss
(formula 4) abbiamo allora
n(ω – α) = n’(ω’ – α)
che dà
n’ω’ = nω + (n’ – n)α
Sostituendo le espressioni (5), (6) e (7) per ω, ω’ e α e dividendo per
h si ottiene
n'
n
n'− n
=
+
VP' VP VC
Poiché abbiamo posto VP’ = s’, VP = s e VC = r, si ha
n' n n'− n
= +
s' s
r
(8)
Questa è l'equazione gaussiana del diottro sferico, ossia
l'espressione che, se valgono le approssimazioni dell'ottica di Gauss (ossia
se tutti gli angoli sono piccoli, in pratica minori di 5°) permette di calcolare
la distanza s' dell'immagine P' se sono noti gli indici di rifrazione n e n' dei
due mezzi di cui è costituito il diottro, il suo raggio di curvatura r e la
distanza s dell'oggetto P dal vertice del diottro.
E' conveniente definire due nuove grandezze che rendono l'equazione
(8) ancora più semplice.
Il rapporto n/s tra l'indice di rifrazione n del mezzo in cui si propaga
un raggio di luce e la distanza s del punto da cui il raggio di luce proviene si
chiama vergenza e si indica con la lettera greca σ (sigma). Nel nostro caso
- B.11 si ha rispettivamente per la luce incidente e per la luce rifratta
σ =
n
s
e
σ ′=
n′
s′
(9)
Un fascio di raggio ha vergenza positiva quando converge verso
l'asse ottico, vergenza negativa quando diverge dall'asse ottico, vergenza
nulla quando i raggi sono tutti parallelo tra loro. Per la luce che si propaga
nel vuoto (o in aria) si ha n = 1 e la vergenza coincide con la curvatura ρ
del fronte d'onda.
L'unità di misura della vergenza è la diottria (simbolo D) che è
l'inverso del metro (m-1). Raggi di luce che si propagano nel vuoto e
convergono verso un punto posto a 1 m di distanza hanno una vergenza di
1 D.
L'equazione (8) mostra che il passaggio della luce attraverso il diottro
sferico modifica la vergenza della quantità
ϕ =
n '− n
r
(10)
Questa quantità viene chiamata potere diottrico del diottro e si
misura anch'essa in diottrie. L'equazione (8) si può scrivere allora
semplicemente come
σ' = σ + ϕ
(11)
che esprime il fatto che il diottro modifica la vergenza della luce di una
quantità pari al suo potere diottrico: dopo il passaggio attraverso il diottro la
vergenza σ' della luce rifratta risulta pari alla vergenza σ della luce incidente
più il potere diottrico ϕ del diottro.
Il potere diottrico è positivo se il diottro tende a far
convergere la luce incidente. La superficie sferica convessa (r > 0) di un
mezzo che ha indice di rifrazione maggiore di quello del mezzo circostante
(n' > n) ha potere diottrico positivo.
Il potere diottrico è invece negativo se il diottro tende a far
divergere la luce incidente. La superficie sferica concava (r < 0) di un
mezzo che ha indice di rifrazione maggiore di quello del mezzo circostante
(n' > n) ha potere diottrico negativo.
Una superficie piana ha potere diottrico nullo. La formula (10)
può essere scritta infatti come
ϕ =
n'− n
= ( n'− n ) ρ
r
(12)
dove ρ = 1/r è la curvatura della superficie, che è nulla per una superficie
piana. Una superficie piana quindi non modifica la vergenza della luce che
incide su di essa. Ponendo ϕ = 0 si ottiene immediatamente dall'equazione
(11) l'equazione gaussiana del diottro piano:
- B.12 -
σ' = σ
(13)
e quindi
n' n
=
s' s
(14)
La presenza della superficie del diottro ha, in generale, l'effetto di
deviare il raggio di luce incidente. Sempre facendo riferimento alla figura 5,
l'inclinazione del raggio incidente IP è data dall'angolo ω mentre
l'inclinazione del raggio rifratto IP' è data dall'angolo ω'. Si definisce
ingrandimento angolare Iω il rapporto tra le ampiezze di questi due
angoli:
Iω =
ω′
ω
(15)
Dalle formule (5) e (6) che esprimono le ampiezze degli angoli ω e ω'
nell'ottica di Gauss si ricava immediatamente che l'ingrandimento angolare
prodotto dal diottro è uguale al rapporto tra la distanza s dell'oggetto e la
distanza s' dell'immagine:
Iω =
ω′ s
=
ω
s′
(16)
Per concludere conviene notare una convenzione che abbiamo
utilizzato in questo paragrafo e che continueremo a utilizzare nel seguito:
–
i punti sono indicati nel grafici da lettere latine maiuscole (V, P, ecc.);
–
le distanze sono indicate da lettere latine minuscole (s, r, ecc.);
–
i reciproci delle distanze, come la vergenza o la curvatura, sono
indicate dalle corrispondenti lettere greche (σ, ρ, ecc.);
–
tutto ciò che si riferisce all'oggetto e al mezzo da cui proviene la luce
è indicato senza apice (P, s, n, i, ecc.), le corrispondenti quantità che
si riferiscono all'immagine sono indicate con apice (P', s', n', i', ecc.).
- B.13 -
4. I fuochi del diottro sferico
Dall’equazione (8) deriva che dato un diottro sferico a ogni punto
oggetto P corrisponde un solo punto immagine P’. La distanza s' di P’ dal
vertice del diottro può essere calcolata usando questa equazione e
inserendo i valori n e n' degli indici di rifrazione, la distanza s dell’oggetto e
il raggio di curvatura r.
Nel caso rappresentato nella figura 5 si ha un oggetto P virtuale (il
raggio incidente converge verso P ma non vi passa) e un'immagine P' reale
(il raggio rifratto passa realmente per P'). Poiché il percorso della luce è
reversibile, le posizioni dell’oggetto e dell’immagine sono intercambiabili.
Quindi nella figura 5 si può anche immaginare la luce come proveniente da
P’ e diretta da destra verso sinistra. Una volta passata attraverso la
superficie sferica la luce apparirà come se provenisse da P. Si avrebbe allora
un oggetto P' reale e un'immagine P virtuale.
Coppie di punti costituiti da un oggetto puntiforme e la sua immagine,
che possono essere scambiati l'uno con l'altra come P e P’, sono detti punti
coniugati. Due di queste coppie di punti coniugati sono di particolare
importanza. Quando l’oggetto è a una distanza infinita dalla superficie del
diottro il fronte d’onda incidente è piano e i raggi incidenti sono paralleli. La
vergenza di questo fascio di raggi è nulla. La luce rifratta da un diottro con
potere positivo convergerà formando un’immagine reale nel punto F’ nella
figura 6. Nel caso di un diottro con potere negativo la luce rifratta apparirà
come se provenisse da un’immagine virtuale posta nel punto F’ nella figura
7. In entrambi i casi questa immagine, coniugata di un oggetto
infinitamente distante, è chiamata il fuoco immagine F’ del diottro e la sua
distanza dal diottro è detta focale immagine f’.
Poiché in queste condizioni si ha σ = 0 e s’ = f’, abbiamo, per le
equazioni (9) e (11),
Figura 6. Diottro positivo (n’ > n): fuochi.
- B.14 -
Figura 7. Diottro negativo (n’ > n): fuochi.
n'
= ϕ
f'
σ '=
e quindi la focale immagine del diottro è data da
f '=
n'
ϕ
(17)
La focale immagine f’ di un diottro con potere positivo ha quindi un
valore positivo, mentre la focale immagine di un diottro con potere negativo
ha un valore negativo.
Quando invece l’immagine è a una distanza infinita dalla superficie
del diottro, il fronte d'onda rifratto è piano e i raggi rifratti sono paralleli. La
vergenza di questo fascio è nulla. Il punto in cui deve essere collocato
l’oggetto è detto fuoco oggetto F. La figura 6 mostra la situazione che si
ha con un diottro positivo: l’oggetto reale deve essere posto davanti alla
superficie. Nel caso di un diottro negativa si deve avere un oggetto virtuale,
come mostrato nella figura 7. In entrambi i casi la distanza del fuoco
oggetto dal diottro è detta focale oggetto f.
Poiché in queste condizioni σ’ = 0 e s = f, abbiamo, per le equazioni
(9) e (11),
−σ =
−n
= ϕ
f
e quindi la focale oggetto del diottro è data da
f = −
n
ϕ
(18)
- B.15 La focale oggetto f di un diottro con potere positivo ha quindi un
valore negativo, mentre la focale oggetto di un diottro con potere negativo
ha un valore positivo.
I piani perpendicolari all’asse ottico che passano per i fuochi sono
detti piani focali.
Entrambi i fuochi di un diottro positivo sono quindi reali, mentre con
un diottro negativo entrambi i fuochi sono virtuali. Con entrambi i tipi di
diottri le due focali hanno valori di segno opposto; il segno della focale
immagine è quello del potere del diottro.
Si hanno alcune relazioni interessanti tra le focali f e f' di un diottro, i
suoi indici di rifrazione n e n' e il suo raggio di curvatura r. Si ha infatti
f ′  n′   ϕ 
n′
=   ×  −  = −
f  ϕ   n
n
(19)
Il rapporto tra le due focali del diottro è quindi uguale al
rapporto tra i due indici di rifrazione, cambiato di segno.
Utilizzando le focali del diottro si può poi porre modificare l'equazione
gaussiana del diottro (8), che riscriviamo così
n' n
= +ϕ
s' s
(20)
in una forma differente. Poiché infatti dalle formule (17) e (18) si ha n' = ϕf'
e n = –ϕf', si ha
ϕf′ −ϕ f
=
+ϕ
s'
s
e quindi
f′ f
+ = 1
s' s
(21)
L'ultima relazione interessante si ha considerando che
f′ + f =
n′ n n′ − n
n′ − n
−
=
=
= r
ϕ ϕ
ϕ
( n′ − n ) r
(22)
La somma algebrica della focale immagine e della focale
oggetto è quindi uguale al raggio di curvatura del diottro.
Ogni raggio incidente parallelo all’asse ottico che si rifrange su un
diottro sferico, passerà per il fuoco immagine o divergerà da esso; e ogni
raggio incidente che passa per il fuoco oggetto o si propaga verso di esso si
propagherà in direzione parallela all’asse ottico dopo la rifrazione. Queste
proprietà dei fuochi del diottro verranno sfruttate per le costruzioni grafiche
che verranno presentate nel prossimo paragrafo.
- B.16 -
- B.17 -
5. L'immagine prodotta da un diottro
sferico – costruzioni grafiche
La maggior parte degli oggetti osservati con gli strumenti ottici non
consistono di un singolo punto, ma sono estesi. Per questi oggetti solo un
punto può trovarsi sull’asse ottico. E' quindi necessario considerare punti
fuori-asse. L’espressione usata comunemente nella progettazione ottica per
indicare questi punti è punti di campo, perché sono oggetti puntiformi
posti nel campo di vista della lente o dello strumento.
Nella figura 8 il diottro DVE riceve luce da tutti i punti dell’oggetto PQ.
Il punto P è sull’asse del diottro. Un raggio che provenendo da P viaggia
lungo questo asse incide normalmente sulla superficie in V e passa
attraverso C e P’ senza essere deviato. Anche dal punto di campo Q parte
un raggio che incide normalmente sulla superficie. Anch’esso non è deviato
e passa per il centro di curvatura C. Nel caso di superficie rifrangenti singole
chiamiamo questo raggio il raggio principale dal punto di campo Q,
mentre C, il punto dell’asse ottico per il quale non vi è deviazione, è
chiamato punto nodale.
Figura 8. Formazione dell’immagine di un punto di campo.
Consideriamo la formazione dell'immagine dell'oggetto PQ nel caso
generale. L’immagine di P deve trovarsi in un punto P' dell’asse ottico. Le
distanze di P e P' dal centro C del diottro sono pari alle lunghezze dei
segmenti CP e CP' e possono essere calcolate utilizzando l'equazione
gaussiana del diottro sferico. Anche il raggio principale del punto di campo
Q, che passa per Q e per C, può essere considerato un asse del diottro. Se
Pp è un arco della circonferenza tracciata con C come centro, l’immagine di
p è p’ sull’arco P’p’ tracciato con C come centro, perché p dista da C quanto
P e quindi p' deve distare da C quanto P'. Il punto di campo Q dista però da
C più di p, e quindi, per l'equazione gaussiana del diottro sferico, la sua
immagine Q' dovrà distare da C meno di p'. L’immagine P'Q' dell'oggetto
PQ è perciò un arco più curvo dell'arco di circonferenza P’p’. Questo effetto
di curvatura dell’immagine prodotta da un diottro sferico è un'altra
aberrazione delle immagini formate da un sistema ottico, chiamata
curvatura di campo, che si aggiunge nel caso di oggetti estesi
all'aberrazione sferica che abbiamo già discusso.
- B.18 Quando PQ è piccolo possiamo utilizzare le approssimazioni
dell'ottica di Gauss, perché possiamo ricavare le posizioni delle immagini
dei suoi punti utilizzando solo raggi molto vicini all'asse ottico che formano
angoli piccoli con la superficie del diottro. In questa approssimazione la
curvatura degli archi di circonferenza Pp e P'p' non è apprezzabile e
possiamo quindi considerare che se l'oggetto PQ è un segmento rettilineo
perpendicolare all'asse ottico anche la sua immagine P'Q' è un segmento
rettilineo perpendicolare all’asse ottico. Si dice che oggetto e immagine
sono in piani coniugati e sono disegnati come nella figura 9.
Figura 9. Costruzione grafica dell'immagine di un oggetto esteso prodotta
da un diottro sferico.
Il modo più semplice per ricavare le dimensioni dell'immagine P’Q’
consiste nel ricorrere a una costruzione grafica. Si sfruttano le proprietà di
tre raggi:
–
il raggio principale che parte da Q e passa per C non è deviato dal
diottro;
–
il raggio QD' parallelo all’asse ottico si comporta come un raggio
proveniente da un oggetto distante posto sull’asse ottico ed è quindi
rifratto verso il fuoco immagine F’ del diottro;
–
il raggio QF che parte da Q e passa per il fuoco oggetto F del diottro
(e potrebbe quindi essere partito da F) è rifratto dal diottro in
direzione parallela all'asse ottico.
Per costruire graficamente l'immagine P'Q', dati gli indici di rifrazione
n e n' e il raggio di curvatura r del diottro, si procede quindi in questo
modo:
1) Si tracciano l'asse ottico e la superficie del diottro,
rappresentata dalla retta D'E' perpendicolare all'asse ottico
(nell'approssimazione dell'ottica di Gauss si trascura, come
abbiamo visto, la curvatura delle superfici).
2) Si calcolano con le formule (12), (17) e (18) il potere del
- B.19 diottro, la focale oggetto f e la focale immagine f' e si indicano
sull'asse ottico le posizioni C del centro del diottro, F del fuoco
oggetto e F' del fuoco immagine.
3) Si traccia il raggio principale QCQ' che passa per il centro del
diottro senza essere deviato.
4) Si traccia il raggio QD' parallelo all'asse ottico e poi, a partire
dal punto D' in cui questo raggio interseca la superficie del
diottro, si traccia il raggio rifratto D'F'Q' che passa per il fuoco
immagine F'.
5) L'intersezione dei due raggi QCQ' e D'F'Q' individua la posizione
dell'estremo Q' dell'immagine.
6) Come verifica, si traccia il raggio QFE' che passa per il fuoco
oggetto F e interseca la superficie del diottro in E', e a partire
da E' si traccia il raggio rifratto parallelo all'asse ottico. Se la
costruzione è stata realizzata correttamente questo terzo
raggio deve intersecare i primi due nel loro punto di
intersezione Q'.
7) Si traccia infine il segmento P'Q' perpendicolare all'asse ottico
che è l'immagine dell'oggetto PQ.
Una variante di questo metodo di costruzione può essere utilizzata
per ricavare la direzione di un qualunque raggio rifratto da un diottro
sferico, se sono noti gli indici di rifrazione n e n' e il raggio di curvatura r del
diottro e la direzione del raggio incidente. Facendo riferimento alla figura
10, i passi da eseguire sono i seguenti:
1) Si tracciano l'asse ottico e la superficie del diottro,
rappresentata dalla retta D'E' perpendicolare all'asse ottico
(nell'approssimazione dell'ottica di Gauss si trascura, come
abbiamo visto, la curvatura delle superfici), e il raggio
incidente QH.
2) Si calcolano con le formule (12), (17) e (18) il potere del
diottro, la focale oggetto f e la focale immagine f' e si indicano
sull'asse ottico le posizione C del centro del diottro, F del fuoco
oggetto e F' del fuoco immagine.
3) Si traccia un raggio ausiliario KC parallelo a QH e passante per
il centro C del diottro.
4) A partire dal fuoco immagine F' si traccia un segmento
perpendicolare all'asse ottico e si individua la sua intersezione
Q' con il raggio ausiliario KC.
5) Si congiunge il punto di incidenza H del raggio incidente con il
punto Q'. Questo è il raggio rifratto dal diottro.
6) Come verifica si traccia un secondo raggio ausiliario FJ
- B.20 parallelo a QH e passante per il fuoco oggetto F, e a partire dal
punto J in cui questo raggio interseca il diottro si traccia un
raggi parallelo all'asse ottico. Se la costruzione è stata
realizzata correttamente questo terzo raggio deve intersecare il
raggio rifratto HQ' e il raggio ausiliario KC nel loro punto di
intersezione Q'.
Figura 10. Costruzione del raggio rifratto da un diottro sferico.
Questa costruzione si basa sul fatto che un fascio di raggi paralleli
QH, KC e FJ che incidono sul diottro vengono fatti convergere in un unico
punto Q' posto nel piano focale immagine del diottro. Come nel caso della
costruzione precedente, il raggio KC passante per il centro del diottro non
viene deviato, mentre il raggio FJ passante per il fuoco oggetto del diottro
viene deviato in direzione parallela all'asse ottico.
- B.21 -
6. L'ingrandimento dell'immagine
prodotta da un diottro sferico
Ci proponiamo ora di ricavare una formula che permetta di calcolare
l'altezza h' dell'immagine P'Q' prodotta dal diottro sferico. Faremo ora
riferimento alla figura 11, che riproduce la figura 9 con l'indicazione di tutte
le grandezze che utilizzeremo in questo paragrafo.
Figura 11. Ingrandimento lineare dell'immagine di un oggetto esteso
prodotta da un diottro sferico.
Il rapporto tra l'altezza h' dell’immagine e l'altezza h dell’oggetto è
detto ingrandimento lineare I dell’immagine:
I=
h′
h
(23)
Poiché il raggio principale QCQ’ non è deviato, i triangoli rettangoli
PCQ e P'CQ' sono simili ed è quindi possibile mettere in relazione l’altezza
dell’oggetto h con l’altezza dell’immagine h’ e ottenere una formula che
permette di calcolare l'ingrandimento lineare dell'immagine in funzione
delle posizioni s e s' dell'oggetto e dell'immagine e del raggio di
curvatura r del diottro:
I=
h' CP' s '− r
=
=
h
CP s − r
(24)
Notiamo che l’ingrandimento lineare è positivo quando
l’immagine è dritta, ed è negativo quando l’immagine è capovolta.
Le immagini sono dritte quando si trovano dalla stessa parte del diottro in
cui si trova l’oggetto e capovolte quando si trovano dall’altra parte.
Altre formule, che permettono di calcolare l'ingrandimento lineare
dell'immagine in funzione delle posizioni s e s' dell'oggetto e
dell'immagine e delle focali del diottro si ricavano considerando i due
triangoli rettangoli simili D'F'V e Q'F'P':
- B.22 I=
h' P' F' s '− f '
=
=
h
VF'
f'
(25)
e i due triangoli rettangoli simili QPF e E'VF:
I=
h' VE'
f
=
=
h
VF s − f
(26)
Se poi consideriamo il raggio QVQ’ che passa per il vertice della
superficie ed è rifratto in accordo con la legge della rifrazione, che nell'ottica
di Gauss si esprime mediante la relazione
ni = n’i’
(4)
ossia
n i′
=
n′ i
Ricordando la definizione della vergenza ( σ = n/s) e che nell'ottica di
Gauss il valore della tangente di un angolo si identifica con l'ampiezza
dell'angolo espressa in radianti, si ottiene una formula che permette di
calcolare l'ingrandimento dell'immagine in funzione della vergenza dei
raggio incidente e dei raggi rifratti:
I=
h ′ s ' tg i ' s ' i ' s ' n σ
=
=
=
=
h
s tg i
si
sn' σ '
Un'altra
formula
importante
si
ottiene
considerando
l’ingrandimento lineare può essere espresso anche come
I=
(27)
che
P' Q' − x '
=
VD'
f'
e
I=
VE' − f
=
PQ
x
Si ha quindi
x' f
=
f' x
e
xx’ = ff’
(28)
dove x e x’ sono rispettivamente le distanze dell’oggetto e dell’immagine dal
fuoco oggetto e dal fuoco immagine. L'espressione (28) è nota come
formula di Newton ed è molto utile per trovare la posizione dell'oggetto o
dell'immagine quando sono molto vicini ai rispettivi fuochi, ma non
coincidono con essi.
- B.23 -
Figura 12. Ingrandimento assiale.
A partire dalla formula di Newton è immediato ricavare
un'espressione per l'ingrandimento assiale dell'immagine. Consideriamo
la figura 12 nella quale l'oggetto è esteso lungo l'asse ottico con estremi
dati dai segmenti P1Q1 e P2Q2 ed ha quindi lunghezza P1P2 = x2 – x1.
L'immagine di questo oggetto si estende nello spazio compreso tra i
segmenti P'1Q'1 e P'2Q'2 ed ha una lunghezza P' 1P'2 = x'2 – x'1. Si definisce
ingrandimento assiale dell'immagine il rapporto
Ia =
∆ x ′ x 2′ − x1′
=
∆x
x 2 − x1
(29)
tra la lunghezza dell'immagine misurata lungo l'asse ottico e la lunghezza
dell'oggetto misurata anch'essa lungo l'asse ottico.
Dalla formula di Newton (28) e dalla formula (19) che dà la relazione
tra f e f' si ha
x′ =
ff ′
n′ f 2
= −
x
n x
e quindi l'ingrandimento assiale risulta dato da
 n′ f 2 n′ f 2 
n ′  x 2f 2 − x1f 2

− 
−
 n x
n 
x 2 x1
n x1 
x ′ − x1′
2
Ia = 2
= 
=
x 2 − x1
x 2 − x1
x 2 − x1


 n′ f 2
n′ f
f
n′
 =
=
=
I1I 2
n x 2 x1 n s 2 − f s1 − f
n
(30)
L'ingrandimento assiale è quindi pari al prodotto dell'ingrandimento
laterale dei due estremi dell'immagine, moltiplicato per il rapporto tra i due
indici di rifrazione del diottro.
Un’ultima relazione riguarda le altezze dell’oggetto e dell’immagine.
Dall’equazione (27) si ricava
h' ns '
=
h n' s
- B.24 che dà
n’h’s = nhs’
Le inclinazioni u e u' del raggio incidente QD' e del raggio rifratto D'Q'
rispetto al raggio non deviato QCQ' passante per il centro del diottro sono
date, nell'approssimazione dell'ottica di Gauss in cui questi angoli sono
piccoli, da
u= −
V' D'
s
ottico,
e
u' = −
V' D'
s'
Abbiamo allora n’h’u’ = nhu e, per ogni altra superficie in un sistema
H = nh u = n’h’u’ = n”h”u” ecc.
(31)
Ogni termine ha fattori che si riferiscono solo a una superficie e
quindi H è invariante attraverso tutto il sistema. Ciò è molto utile per
l’analisi delle aberrazioni. La quantità H è detta invariante di Lagrange.
- B.25 -
7. Gli specchi sferici
Sappiamo che anche gli specchi sferici, come i diottri sferici,
producono in generale immagini affette da aberrazione sferica. Solo se
l'oggetto puntiforme si trova nel centro di curvatura dello specchio i raggi di
luce vengono riflessi dallo specchio esattamente nella stessa direzione da
cui provengono e si forma un'immagine puntiforme esente da aberrazione
coincidente con l'oggetto.
Anche nel caso degli specchi sferici, come per i diottri sferici,
l'aberrazione sferica può essere ridotta riducendo l'apertura dello specchio.
Si possono allora studiare le immagini prodotte dagli specchi sferici
nell'approssimazione dell'ottica di Gauss, come si è fatto per i diottri sferici.
Si può confrontare la legge della rifrazione
n sen i = n' sen i'
(2)
che nell'ottica di Gauss assume la forma
ni = n'i'
(4)
con la legge della riflessione che, tenendo conto delle convenzioni sui segni
degli angoli (si veda la figura 13), si scrive
i = –i'
(5)
(avendo indicato con lo stesso simbolo i' l'angolo di rifrazione nel caso della
rifrazione e l'angolo di riflessione nel caso della riflessione.)
i' riflesso
i
n
n'
P
i'rifratto
Figura 13. Segni degli angoli di riflessione e rifrazione.
Dal confronto tra la formula (4) e la formula (5) si vede che,
nell'ottica di Gauss, la riflessione si può trattare come una rifrazione tra un
mezzo con indice di rifrazione n = 1 e un mezzo con indice di rifrazione n' =
-1. Tutto quanto abbiamo ricavato nei paragrafi precedenti riguardo ai
diottri sferici si può applicare quindi agli specchi sferici ponendo per il
- B.26 secondo mezzo un indice di rifrazione negativo n' = -1. Vediamo comunque
le varie formule una per una.
L'equazione gaussiana dello specchio sferico si ricava dall'equazione
gaussiana del diottro sferico (8) ponendo n = 1 e n' = -1 e assume la forma
−
1 1 2
= −
s' s r
(32)
Questa è l'equazione gaussiana dello specchio sferico, ossia
l'espressione che, se valgono le approssimazioni dell'ottica di Gauss (ossia
se tutti gli angoli sono piccoli, in pratica minori di 5°) permette di calcolare
la distanza s' dell'immagine P' se sono noti il raggio di curvatura r dello
specchio e la distanza s dell'oggetto P dal vertice dello specchio.
La vergenza del fascio di luce incidente e del fascio di luce riflessa
sono ora date da
σ =
1
s
e
σ ′= −
1
s′
(33)
Nella riflessione sullo specchio sferico la vergenza dei raggi di luce
viene modificata della quantità
ϕ = −
2
r
(33)
che costituisce il potere diottrico dello specchio. Anche nel caso degli
specchi l'equazione gaussiana può essere scritta nella forma
σ' = σ + ϕ
(11)
Il potere diottrico è positivo se lo specchio tende a far
convergere la luce incidente. Uno specchio sferico concavo (r < 0) ha
potere diottrico positivo: si ha uno specchio convergente.
Il potere diottrico è invece negativo se lo specchio tende a far
divergere la luce incidente. Uno specchio sferico convesso (r > 0) ha
potere diottrico negativo: si ha uno specchio divergente.
Uno specchio piano ha potere diottrico nullo. La formula (33)
può essere scritta infatti come
ϕ = − 2ρ
(34)
dove ρ = 1/r è la curvatura della superficie dello specchio, che è nulla per
una superficie piana.
Quando l’oggetto è a una distanza infinita dalla superficie dello
specchio il fronte d’onda incidente è piano e i raggi incidenti sono paralleli.
La vergenza di questo fascio di raggi è nulla. La luce riflessa da uno
specchio convergente convergerà formando un’immagine reale nel punto F’
nella figura 14. Nel caso di uno specchio divergente la luce riflessa apparirà
- B.27 come se provenisse da un’immagine virtuale posta nel punto F’ nella figura
15. In entrambi i casi questa immagine, coniugata di un oggetto
infinitamente distante, è chiamata il fuoco immagine F’ dello specchio e la
sua distanza dallo specchio è detta focale immagine f’.
Figura 14. Fuochi di uno specchio convergente.
Figura 15. Fuochi di uno specchio divergente.
Poiché in queste condizioni si ha σ = 0 e s’ = f’, abbiamo, per le
equazioni (32) e (11),
σ '= −
1
= ϕ
f'
e quindi la focale immagine dello specchio è data da
f '= −
1
ϕ
(35)
- B.28 Quando invece l’immagine è a una distanza infinita dalla superficie
dello specchio, il fronte d'onda riflesso è piano e i raggi riflessi sono
paralleli. La vergenza di questo fascio è nulla. Il punto in cui deve essere
collocato l’oggetto è detto fuoco oggetto F. La figura 14 mostra la
situazione che si ha con uno specchio convergente: l’oggetto reale deve
essere posto davanti alla superficie dello specchio. Nel caso di uno specchio
divergente si deve avere un oggetto virtuale, come mostrato nella figura 15.
In entrambi i casi la distanza del fuoco oggetto dallo specchio è detta
focale oggetto f.
Poiché in queste condizioni σ’ = 0 e s = f, abbiamo, per le equazioni
(32) e (11),
−σ =
−1
= ϕ
f
e quindi la focale oggetto dello specchio è data da
f = −
1
ϕ
(36)
Si vede dalle formule (34), (35) e (36) che il fuoco oggetto e il
fuoco immagine di uno specchio sferico coincidono, e si trovano a
una distanza dal vertice dello specchio pari alla metà del raggio di
curvatura r dello specchio.
Consideriamo uno specchio convergente. Quando l'oggetto è a
distanza infinita dallo specchio, l'immagine si trova nel fuoco immagine F'.
Se l’oggetto si avvicina allo specchio, l’immagine si allontana. L’oggetto e
l’immagine quindi si avvicinano l’uno all’altra finché si raggiunge un punto in
cui coincidono. Questo punto è il centro di curvatura dello specchio. Quando
l’oggetto, continuando ad avvicinarsi allo specchio, raggiunge il fuoco
oggetto F, l’immagine è all’infinito e la luce riflessa è parallela all’asse. Se
l’oggetto viene avvicinato ancora allo specchio, la luce riflessa diverge da
un’immagine virtuale posta dietro lo specchio a una distanza dallo specchio
maggiore di quella a cui si trova l’oggetto davanti ad esso. Quando l’oggetto
raggiunge la superficie dello specchio l’oggetto e l’immagine coincidono di
nuovo.
Con uno specchio divergente la luce è sempre resa più divergente e
quindi si forma sempre un’immagine virtuale di un oggetto reale (si veda la
figura 15).
L'immagine di un oggetto esteso prodotta da uno specchio sferico può
essere costruita graficamente con lo stesso metodo utilizzato nel caso del
diottro sferico. Consideriamo un oggetto PQ posto davanti a uno specchio
concavo ED come nella figura 16.
Il modo più semplice per ricavare le dimensioni dell'immagine P’Q’
consiste nel ricorrere a una costruzione grafica. Anche in questo caso si
sfruttano le proprietà di tre raggi:
–
il raggio principale che parte da Q e passa per C viene riflesso dallo
- B.29 specchio su se stesso;
–
il raggio QD' parallelo all’asse ottico si comporta come un raggio
proveniente da un oggetto distante posto sull’asse ottico ed è quindi
riflesso verso il fuoco immagine F’ dello specchio;
–
il raggio QV che parte da Q e si riflette nel vertice V dello specchio è
riflesso con un angolo uguale all'angolo di incidenza e di segno
opposto.
Figura 16. Costruzione grafica dell'immagine di un oggetto esteso prodotta
da uno specchio sferico concavo.
Per costruire graficamente l'immagine P'Q', dato il raggio di curvatura
r dello specchio, si procede quindi in questo modo:
1) Si tracciano l'asse ottico e la superficie dello specchio,
rappresentata dalla retta D'E' perpendicolare all'asse ottico
(nell'approssimazione dell'ottica di Gauss si trascura, come
abbiamo visto, la curvatura delle superfici).
- B.30 2) Si calcolano la focale dello specchio, pari alla metà del raggio di
curvatura r dello specchio, e si indicano sull'asse ottico le
posizione C del centro del diottro e F' del fuoco.
3) Si traccia il raggio principale QCQ' che passa per il centro dello
specchio e viene riflesso su se stesso.
4) Si traccia il raggio QD' parallelo all'asse ottico e poi, a partire
dal punto D' in cui questo raggio interseca la superficie dello
specchio, si traccia il raggio riflesso D'F'Q' che passa per il
fuoco immagine F'.
5) L'intersezione dei due raggi QCQ' e D'F'Q' individua la posizione
dell'estremo Q' dell'immagine.
6) Come verifica, si traccia il raggio QV che passa per il vertice
dello specchio, e a partire da V si traccia il raggio riflesso con
un angolo di riflessione uguale all'angolo di incidenza. Se la
costruzione è stata realizzata correttamente questo terzo
raggio deve intersecare i primi due nel loro punto di
intersezione Q'.
7) Si traccia infine il segmento P'Q' perpendicolare all'asse ottico
che è l'immagine dell'oggetto PQ.
Nella figura 16 questo metodo è stato utilizzato con uno specchio
concavo per costruire in (a) l'immagine reale di un oggetto posto a una
distanza s dallo specchio maggiore della focale f, e in (b) per costruire
l'immagine virtuale di un oggetto posto a una distanza s dallo specchio
minore della focale f. Nella figura 17 invece il metodo è utilizzato per
costruire l'immagine virtuale prodotta da uno specchio convesso.
Figura 17. Costruzione grafica dell'immagine di un oggetto esteso prodotta
da uno specchio sferico convesso.
Per calcolare l'ingrandimento dell'immagine prodotta da uno specchio
sferico si possono usare le stesse formule (24)-(30) ricavate nel caso del
diottro sferico.
- B.31 -
8. Le lenti sottili
Una lente è formata da due diottri. Una lente sferica è formata da
due diottri sferici.
Le due superfici di una lente sferica hanno ciascuna un centro di
curvatura. Indichiamo come superficie anteriore la superficie che rifrange la
luce incidente, e come superficie posteriore la superficie su cui avviene la
seconda rifrazione. La figura 18.a mostra due superfici sferiche che formano
una lente. La superficie anteriore ha il suo centro in C1 e il centro della
superficie posteriore è in C2. La retta passante per C1 e C2 è chiamata asse
ottico della lente. Non ci sono altri assi. Non è necessario che i raggi delle
due sfere siano uguali e da parti opposte della lente. Se una delle due
superfici è piana, può essere pensata come una superficie sferica di raggio
infinito. L’asse ottico è allora la retta che passa per il centro di curvatura
dell’altra superficie perpendicolarmente alla superficie piana, come mostrato
nella figura 18.b.
Figura 18. Lenti: vertici e assi ottici.
I punti V1 e V2 nei quali l’asse ottico interseca le due superfici sono
chiamati rispettivamente vertice anteriore e vertice posteriore della
lente. La distanza V1V2 è detta spessore della lente. Se lo spessore della
lente è così piccolo da poter essere trascurato rispetto alle altre lunghezze
considerate (per esempio i raggi di curvatura delle due superfici), la lente si
dice sottile e il punto in cui in pratica coincidono i vertici delle due superfici
si dice centro ottico O della lente. Le lenti sono normalmente tagliate in
modo che viste lungo l’asse ottico hanno una forma circolare con centro nel
loro centro ottico. Se non è così, si dice che sono decentrate.
- B.32 Ogni superficie di una lente sottile ha un potere diottrico. Vedremo
più avanti che il potere totale ϕ di una lente dipende dal potere ϕ1 e ϕ2 delle
due superfici, dal suo spessore e e dall'indice di rifrazione n del materiale di
cui è composta la lente. Si ha infatti
ϕ = ϕ1 + ϕ2 – (e/n)ϕ1ϕ2
(37)
Nel caso di una lente sottile per la quale il termine (e/n)ϕ1ϕ2 può
essere trascurato il potere totale è dato semplicemente da
ϕ = ϕ1 + ϕ2
(38)
Possono quindi essere usate differenti combinazioni di ϕ1 e ϕ2 per dare
lo stesso valore di ϕ. Per esempio, un potere totale di +6 D può essere
ottenuto da combinazioni di +3 e +3 D, +4 e +2 D, +6 e 0 D, +10 e –4 D,
ecc. Ciò permette di avere differenti forme per lenti di ogni dato potere.
Nella figura 19 sono mostrate quattro lenti che hanno lo stesso potere totale
(positivo). Queste quattro le lenti, se sono fatte di materiale con indice di
rifrazione maggiore di quello del mezzo circostante, tendono a rendere più
convergente ogni fronte d’onda incidente. Possono quindi essere chiamate
lenti convesse, convergenti o positive. La lente A ha superfici di uguale
potere positivo (lente equi-convessa). La lente B ha superfici di potere
positivo ma differente (lente biconvessa). La lente C ha una superficie di
potere nullo (lente piano-convessa), mentre la lente D ha una superficie
negativa (menisco convesso).
Figura 19. Lenti positive, convesse e convergenti, di uguale potere.
Le lenti con potere totale negativo tendono a far divergere la luce e
sono dette lenti concave, divergenti o negative. Possono anch’esse avere
varie forme. Un potere totale di –8 D, per esempio, può essere ottenuto
dalla combinazione di –4 e –4 D, di –6 e –2 D, di –8 e 0 D, di –12 e +4 D.
Le lenti mostrate nella figura 20 hanno lo stesso potere totale negativo
ottenuto con diverse combinazioni di poteri delle due superfici: La lente A
ha superfici di uguale potere negativo (lente equi-concava). La lente B ha
superfici di potere negativo ma differente (lente biconcava). La lente C ha
una superficie di potere nullo (lente piano-concava), mentre la lente D ha
una superficie positiva (menisco concavo).
- B.33 -
Figura 20. Lenti negative, concave e divergenti, di uguale potere.
- B.34 -
9. Il potere di una lente sottile
Come i diottri sferici e gli specchi sferici, anche le lenti cambiano la
vergenza della luce proveniente da un oggetto posto davanti ad esse e ne
formano un’immagine (reale o virtuale). Questo cambiamento di vergenza è
dovuto al potere diottrico della lente. Ci proponiamo ora di dimostrare la
formula (38) che fornisce il potere diottrico di una lente sottile.
Come le immagini prodotte dai diottri sferici e dagli specchi sferici,
anche le immagini prodotte dalle lenti sono in generale affette da
aberrazione sferica, dovuta ad entrambe le superfici della lente. Vedremo
più avanti che l'aberrazione sferica complessiva della lente dipende dalla
curvatura di entrambe le superfici: lenti che hanno lo stesso potere diottrico
totale ma differente forma possono risentire in misura diversa
dell'aberrazione sferica. Come nel caso del diottro sferico o dello specchio
sferico, anche nel caso della lente l'aberrazione sferica può essere
praticamente eliminata restringere l'apertura della lente in modo che
formino l'immagine solo i raggi di luce che passano vicino ai vertici delle due
superfici e per i quali quindi gli angoli di incidenza e di rifrazione sono molto
piccoli. Utilizziamo cioè anche in questo caso l'approssimazione dell'ottica
di Gauss.
Consideriamo in successione l'effetto dei due diottri di cui è composta
la lente, facendo riferimento alla figura 21. I raggi di curvatura e le distanze
dell’oggetto e dell’immagine sono tutti misurati da O, il centro ottico della
lente. Supponiamo che la lente sia sottile e che quindi si possa trascurare il
suo spessore e.
Figura 21. Rifrazione con una lente sottile.
Nella figura 21 la luce incidente è diretta verso il punto P dell'asse
ottico, che è l'oggetto (virtuale). Il punto b indica la posizione dell'immagine
che si avrebbe se non ci fosse la seconda superficie. Applicando l'equazione
gaussiana del diottro sferico alla prima superficie si ha
n'1 n1 n'1 − n1
=
+
s '1 s1
r1
(39)
dove r1 è il raggio di curvatura della prima superficie, s1 la distanza
- B.35 dell’oggetto P e s’1 la distanza dell’immagine intermedia b, n1 l’indice di
rifrazione del mezzo posto davanti alla lente e n'1 l’indice di rifrazione della
lente.
L’immagine intermedia b può essere considerata come l'oggetto
(virtuale) per la rifrazione sulla seconda superficie. Applicando l'equazione
gaussiana del diottro sferico alla seconda superficie si ha:
n' 2 n 2 n' 2 − n2
=
+
s'2 s2
r2
(40)
dove r2 è il raggio di curvatura della seconda superficie, s2 la distanza
dell’oggetto b e s’2 la distanza dell’immagine finale P', n2 l’indice di rifrazione
della lente e n’2 l’indice di rifrazione del mezzo posto dietro la lente.
Poiché la lente è sottile e si assume che lo spessore e sia nullo, anche
lo spessore e’ nel punto in cui il raggio passa attraverso la lente può essere
supposto nullo. La distanza s2 di b dalla seconda superficie è perciò uguale
alla sua distanza s’1 dalla prima superficie: s2 = s’1. L’indice di rifrazione
ovviamente lo stesso in tutto lo spessore della lente, e perciò n’1 è uguale a
n2. Si ha quindi:
n2 n'1
=
s 2 s '1
e l'equazione (39) può essere inserita nell'equazione (40) ottenendo
n' 2  n1 n'1 − n1  n' 2 − n2
+
= 
+
s ' 2  s1
r1 
r2
ossia
n' 2 n1  n'1 − n1 n' 2 − n2
=
+ 
+
s ' 2 s1  r1
r2



(41)
L'equazione (41) è l'equazione gaussiana della lente sottile. I
termini all'interno della parentesi sono i poteri ϕ1 e ϕ2 dei due diottri, che si
sommano per dare il potere diottrico ϕ della lente. L'equazione (41) si può
scrivere infatti come:
n' 2 n1
n
=
+ ϕ1+ ϕ2 = 1 + ϕ
s ' 2 s1
s1
(42)
Se la lente è posta in aria n1 e n’2 sono entrambi uguali a uno. Per
semplicità l’indice di rifrazione della lente può essere indicato con n e quindi
n’1 = n2 = n. Abbiamo ora, dall’equazione (41),
1
1 n − 1 1− n
=
+
+
s ' 2 s1
r1
r2
Se la distanza dell’oggetto P è ora chiamata semplicemente s e la
- B.36 distanza dell’immagine finale P' è chiamata s’, abbiamo
1 1 n − 1 1− n
= +
+
s' s
r1
r2
e quindi
 1 1
1 1

= + ( n − 1)  −

s' s
 r1 r2 
(43)
Il potere diottrico ϕ della lente sottile in aria risulta perciò dato da
 1 1
 = ( n − 1)( ρ 1 − ρ 2 )
ϕ = ( n − 1)  −
 r1 r2 
(44)
dove ρ1 e ρ2 sono le curvature della superficie anteriore e della superficie
posteriore.
Se poi consideriamo che la vergenza del raggio incidente è data da σ
= 1/s e la vergenza del raggio rifratto da σ' = 1/s', l'equazione (43) può
essere scritta nella forma
σ’ = σ + ϕ
(45)
che mostra in maniera immediata che l'effetto della lente è di
modificare la vergenza σ della luce incidente di una quantità ϕ
uguale al potere diottrico della lente.
- B.37 -
10. I fuochi di una lente sottile
Come nel caso dei diottri sferici e degli specchi sferici, anche nel caso
delle lenti sottili a ogni oggetto puntiforme P corrisponde una sola immagine
puntiforme P’. Le formule (43) e (45) permettono di calcolare la distanza
dell'immagine P’ dal centro della lente a seconda che si utilizzino la distanza
dell'oggetto dalla lente, i due raggi di curvatura e l’indice di rifrazione del
materiale di cui è fatta le lente oppure la vergenza dell’oggetto e il potere
diottrico della lente.
Quando l’oggetto è a una distanza infinita dalla lente, la
vergenza dell’oggetto è zero, σ = 0, e quindi
σ’ = ϕ
(46)
La figura 22 si riferisce a una lente convergente e la figura 23 a una
lente divergente. In entrambi i casi si dice che quando l’oggetto è a una
distanza infinita dalla lente l’immagine è nel fuoco immagine F’ della
lente e la sua distanza dalla lente è detta focale immagine f’. Per la
definizione della vergenza e per l'equazione (46) si ha
f '=
1
ϕ
(47)
Il punto F in cui si deve trovare l'oggetto perché l'immagine
sia a distanza infinita dalla lente si dice invece fuoco oggetto e la sua
distanza dalla lente si dice focale oggetto f. Se l'immagine è all'infinito i
raggi emergenti dalla lente saranno paralleli e la vergenza dell'immagine
sarà zero, σ' = 0. Si ha quindi, dall'equazione (45),
0= σ +ϕ =
1
+ϕ
f
e perciò
Figura 22. Fuochi di una lente positiva.
(48)
- B.38 -
Figura 23. Fuochi di una lente negativa.
f = −
1
ϕ
(49)
Dalle formule (47) e (49) si vede che per una lente sottile in aria, per
la quale si ha lo stesso indice di rifrazione davanti e dietro la lente:
–
le due focali sono uguali in modulo ma opposte in segno;
–
e la focale immagine ha lo stesso segno del potere della lente.
Tranne che nel caso delle lenti oftalmiche, per le quali viene indicato il
potere focale, nella maggior parte dei casi viene specificato il valore della
focale immagine della lente. L’equazione gaussiana della lente sottile può
essere scritta allora come
1 1 1
= +
s' s f ′
(50)
Questa equazione può essere usata con l'unità di misura più
conveniente per le distanze (millimetri, metri, ecc.) purché per tutte le
distanze si usi la stessa unità di misura. Se si usano invece equazioni miste
come l’equazione (42) o l’equazione (44) le distanze devono essere
misurate in metri in modo che i reciproci siano in diottrie.
Consideriamo allora dove, per le diverse posizioni dell'oggetto, si
forma l'immagine. Consideriamo prima il caso di una lente convergente,
come quella mostrata nella figura 22:
–
Se l'oggetto si trova a una distanza s molto grande (infinita) i raggi
incidenti sono paralleli all'asse ottico e vengono fatti convergere dalla
lente nel fuoco immagine F', dove si forma un'immagine reale. Nel
grafico della figura 24, nel quale la posizione della lente è
rappresentata dal segmento verticale LL, l'oggetto si trova in B e la
sua immagine in B'.
- B.39 -
Figura 24. Rappresentazione delle posizioni dell'oggetto e della sua
immagine per una lente convergente.
–
Avvicinando l'oggetto alla lente, i raggi incidenti diventano divergenti
e i raggi emergenti dalla lenti saranno meno convergenti. L'immagine
quindi si allontana dalla lente. Quando per esempio, nella figura 24,
l'oggetto si trova nella posizione D, la sua immagine è in D' (nella
figura 24, la curva continua rappresenta le successive posizioni
dell'oggetto e la curva tratteggiata le corrispondenti posizioni della
sua immagine).
–
Quando, continuando ad avvicinare l'oggetto alla lente, si giunge nel
fuoco oggetto F della lente (posizione E nella figura 24), i raggi di
luce emergenti risultano paralleli e l'immagine viene a trovarsi a una
distanza infinita dalla lente (posizione E' nella figura 24).
–
Se l’oggetto è portato ancora più vicino alla lente, il potere
convergente della lente non è sufficiente per contrastare la
divergenza della luce incidente. La luce emergente risulterà allora
proveniente da un’immagine virtuale posta dalla stessa parte
dell’oggetto rispetto alla lente, a una distanza dalla lente maggiore di
quella dell’oggetto. Nella figura 24 quando l'oggetto è nella posizione
G, la sua immagine si trova nella posizione G'.
–
Quando l'oggetto viene a trovarsi a contatto con la lente (posizione A
nella figura 24) anche l'immagine si trova a contatto con la lente
(posizione A' coincidente con A).
–
Immaginiamo che l'oggetto, continuando a muoversi verso destra,
attraversi la lente divenendo un oggetto virtuale a destra della lente.
Anche l'immagine, che diviene reale, attraversa la lente e si forma
sempre in una posizione compresa tra la lente e l'oggetto virtuale.
Nella figura 24 quando l'oggetto virtuale si trova nella posizione H,
- B.40 l'immagine si trova in H'.
–
Quando infine l'oggetto arriva a una distanza infinita dalla lente
(posizione K nella figura 24) la sua immagine si forma nel fuoco
immagine F' (posizione K'). Si è tornati alla situazione di partenza.
Quindi una lente convergente può formare un'immagine reale o
virtuale di un oggetto reale, a seconda della posizione in cui esso si
trova. I raggi di luce provenienti da un oggetto reale sono sempre
divergenti quando raggiungono la lente. Quando i raggi di luce che
raggiungono la lente sono invece convergenti, il punto in cui la luce
converge può essere pensato come un oggetto virtuale e poiché l'effetto di
una lente convergente è sempre quello di aumentare la convergenza della
luce, una lente convergente forma sempre un'immagine reale di un
oggetto virtuale, e questa immagine si trova sempre più vicina alla lente
dell'oggetto.
L'effetto di una lente divergente è invece sempre di aumentare la
divergenza della luce. Una lente divergente forma quindi sempre
un’immagine virtuale di un oggetto reale e questa immagine è sempre
più vicina alla lente che l’oggetto. Se l’oggetto reale è allontanato all’infinito,
l’immagine virtuale si porta nel fuoco immagine F’, che si trova a una
distanza negativa dalla lente, come è mostrato nella figura 23 e come
risulta dalla formula (47) nella quale con un valore negativo di ϕ si ha un
valore negativo di f’. Per una lente divergente si può disegnare un grafico
analogo a quello della figura 24, nel quale però l'oggetto si muove lungo la
linea tratteggiata e l'immagine lungo la linea continua.
I diversi casi possibili, per le lenti convergenti e divergenti, sono
riassunti nella tabella 1, nella quale le posizioni sono indicate sempre in
riferimento alla figura 24.
Tabella 1
Per una lente convergente
Tra B e E (a sinistra del fuoco
oggetto)
Tra E e A (tra il fuoco oggetto e la
lente)
Tra A e K (a destra della lente)
Per una lente divergente
Tra E' e A’ (a sinistra della lente)
Oggetto
reale,
immagine
reale
(capovolta)
Oggetto reale, immagine virtuale
(dritta)
Oggetto virtuale, immagine reale
(dritta)
Oggetto reale, immagine virtuale
(dritta)
Tra A’ e K’ (tra le lente e il fuoco Oggetto virtuale, immagine reale
oggetto)
(dritta)
Tra B’ e E' (a destra del fuoco Oggetto virtuale, immagine virtuale
oggetto)
(capovolta)
- B.41 -
11. L'immagine prodotta da una lente
sottile – costruzioni grafiche
Così come si è fatto per i diottri e per gli specchi sferici, anche nel
caso delle lenti sottili l'immagine di un oggetto esteso può essere ottenuta
mediante una costruzione grafica. Anche in questo caso si sfruttano le
proprietà di tre raggi (si veda la figura 25):
–
il raggio principale che parte da Q e passa per il centro O non è
deviato dalla lente; infatti, poiché la lente è sottile e le sue superfici
in questo punto sono parallele, questo raggio vede la lente come una
sottile lamina a facce piane e parallele;
–
il raggio QD parallelo all’asse ottico si comporta come un raggio
proveniente da un oggetto distante posto sull’asse ottico ed è quindi
rifratto verso il fuoco immagine F’ della lente;
–
il raggio QF che parte da Q e passa per il fuoco oggetto F della lente
(e potrebbe quindi essere partito da F) è rifratto dalla lente in
direzione parallela all'asse ottico.
Figura 25. Costruzione dell'immagine reale di un oggetto reale con un
lente convergente.
Per costruire graficamente l'immagine P'Q', dati l'indice di rifrazione n
e i raggio di curvatura r1 e r2 della lente, si procede quindi in questo modo:
1) Si tracciano l'asse ottico e la lente, rappresentata dalla retta
DE perpendicolare all'asse ottico (con le approssimazioni fatte
in questo capitolo si trascurano, come abbiamo visto, la
curvatura delle superfici e lo spessore della lente); il punto di
intersezione O è il centro della lente.
2) Si calcolano con le formule (44), (47) e (48) il potere della
lente, la focale oggetto f e la focale immagine f' e si indicano
- B.42 sull'asse ottico le posizioni F del fuoco oggetto e F' del fuoco
immagine.
3) Si traccia il raggio principale QOQ' che passa per il centro della
lente senza essere deviato.
4) Si traccia il raggio QD parallelo all'asse ottico e poi, a partire
dal punto D in cui questo raggio interseca la lente, si traccia il
raggio rifratto DF'Q' che passa per il fuoco immagine F'.
5) L'intersezione dei due raggi QOQ' e DF'Q' individua la posizione
dell'estremo Q' dell'immagine.
6) Come verifica, si traccia il raggio QFE che passa per il fuoco
oggetto F e interseca la lente in E, e a partire da E si traccia il
raggio rifratto parallelo all'asse ottico. Se la costruzione è stata
realizzata correttamente questo terzo raggio deve intersecare i
primi due nel loro punto di intersezione Q'.
7) Si traccia infine il segmento P'Q' perpendicolare all'asse ottico
che è l'immagine dell'oggetto PQ.
Le figure 26, 27, 28, 29 e 30 mostrano la stessa costruzione
geometrica rispettivamente con: una lente divergente e un oggetto reale
(figura 26), una lente convergente e un'immagine virtuale di un oggetto
reale (figura 27), una lente convergente e un'immagine reale di un oggetto
virtuale (figura 28), una lente divergente e un'immagine reale di un oggetto
virtuale (figura 29) e una lente divergente e un'immagine virtuale di un
oggetto virtuale (figura 30).
Figura 26. Costruzione dell'immagine virtuale di un oggetto reale con una
lente divergente.
- B.43 -
Figura 27. Costruzione dell'immagine virtuale di un oggetto reale con una
lente convergente.
Figura 28. Costruzione dell'immagine reale di un oggetto virtuale con una
lente convergente.
Figura 29. Costruzione dell'immagine reale di un oggetto virtuale con una
lente divergente.
- B.44 -
Figura 30. Costruzione dell'immagine virtuale di un oggetto virtuale con
una lente divergente.
Una costruzione geometrica simile può essere utilizzata per ottenere
l'immagine di un oggetto infinitamente distante. Poiché in questo caso tutti i
raggi raggiungono lo specchio paralleli tra loro (ma con un certo angolo ω
rispetto all'asse ottico, ci si può servire di solo due raggi (figura 31):
–
il raggio a che passa per il centro O della lente e non viene deviato;
–
il raggio b che passa per il fuoco oggetto F della lente e viene deviato
dalla lente in direzione parallela all'asse ottico.
L'intersezione Q' di questi due raggi è l'immagine dell'oggetto Q e si
trova nel piano focale immagine, ossia nel piano perpendicolare all'asse
ottico che contiene il fuoco immagine F'.
La figura 32 mostra la stessa costruzione con una lente divergente
che produce un'immagine virtuale di un oggetto infinitamente distante.
Figura 31. Costruzione dell'immagine reale di un oggetto infinitamente
distante con una lente convergente.
- B.45 -
Figura 32. Costruzione dell'immagine virtuale di un oggetto infinitamente
distante con una lente divergente.
Il fatto che un raggio che passa per il fuoco oggetto F della lente
venga deviato dalla lente in direzione parallela all'asse ottico è
particolarmente utile per ottenere mediante una costruzione grafica la
rifrazione di un raggio singolo. Come mostra la figura 33, il raggio
proveniente da P, un oggetto posto sull’asse ottico, incide sulla lente in D,
ma interseca anche il piano focale oggetto in E. Si traccia un raggio
ausiliario che passa per E e per il centro ottico O della lente. Questo raggio
può essere pensato come un raggio emesso da un oggetto puntiforme in E
che passa per il centro ottico O non viene deviato. Tutti gli altri raggi
provenienti da E devono essere paralleli a EO dopo la rifrazione, e quindi il
raggio rifratto DP’ può essere tracciato parallelo a EO. La figura 16 mostra
anche che la deviazione del raggio in D è la stessa del raggio ausiliario
costruito in E.
Figura 33. Costruzione di un raggio rifratto da una lente sottile.
- B.46 -
12.
L'ingrandimento
dell'immagine
prodotta da una lente sottile
Vogliamo ora ricavare le formule che ci permettono di calcolare
l'ingrandimento dell'immagine prodotta da una lente sottile.
Torniamo a considerare le figure 25 e 26, che si riferiscono
rispettivamente a una lente convergente e a una lente divergente.
Figura 25. Costruzione dell'immagine reale di un oggetto reale con un
lente convergente.
Figura 26. Costruzione dell'immagine virtuale di un oggetto reale con una
lente divergente.
In entrambi i casi il raggio principale (a) tracciato da Q passa per O, il
centro ottico della lente. Il raggio (b) che passa per il fuoco oggetto incide
sulla lente in E, dopo essere passato per F nel caso di una lente positiva. Il
raggio rifratto, tracciato a partire da E e parallelo all’asse, interseca il raggio
- B.47 principale in Q’, la posizione dell’immagine di Q. Con una lente divergente il
raggio diretto verso il fuoco oggetto F incide sulla lente prima di
raggiungere F, ma la geometria è la stessa e il raggio rifratto che passa per
E è parallelo all’asse ottico e appare provenire da Q’. Allo stesso modo, il
raggio che appare provenire dal fuoco immagine F’ è tracciato da Q parallelo
all’asse e incide sulla lente in D. Il raggio rifratto è ora tracciato da D come
se partisse da F’. Anche l'intersezione di questo raggio con il raggio
principale definisce la posizione dell'immagine Q’.
Poiché stiamo utilizzando l'approssimazione dell'ottica di Gauss,
l’immagine di un oggetto PQ perpendicolare all’asse ottico è anch’essa
perpendicolare all’asse ottico. Nelle figure 25 e 26 le linee che
rappresentano l’oggetto e l’immagine formano insieme con l’asse ottico e il
raggio principale due triangoli OBQ e OB’Q’. In questi triangoli gli angolo in
O tra il raggio principale e l’asse ottico sono uguali e gli angoli in P e in P’
sono angoli retti. Quindi sia nel caso di lenti convergenti che di lenti
divergenti i triangoli OBQ e OB’Q’ sono simili. I loro angoli sono perciò
uguali e i loro lati sono in proporzione.
Sempre facendo riferimento alle figura 25 e 26, definiamo
l’ingrandimento lineare I dell’immagine come il rapporto h’/h tra l'altezza
dell'immagine e l'altezza dell'oggetto. Poiché i triangoli sono simili abbiamo
I=
h' P'Q' OB' s ' σ
=
=
=
=
h
PQ
OB
s σ'
(51)
L’ingrandimento è positivo quando l’immagine è dritta con Q e Q’
dalla stessa parte della lente come nella figura 9. L’ingrandimento è
negativo quando l'immagine è capovolta come nella figura 8.
Utilizzando le equazioni (51) e (45) possono essere scritte altre
equazioni per l’ingrandimento:
σ
σ '− ϕ
ϕ
s'
=
= 1−
= 1 − s' ϕ = 1 −
σ'
σ'
σ'
f'
(52)
1 σ' σ +ϕ
ϕ
s
=
=
= 1+
= 1 + sϕ = 1 +
I
σ
σ
σ
f'
(53)
I=
e
In queste equazioni s, s’ e f’ devono essere espresse in metri se sono
usate con σ, σ’ e ϕ espresse in diottrie.
Se l’oggetto nella figura 25 viene avvicinato alla lente, l’immagine si
allontana e diventa più grande. A un certo punto avrà le stesse dimensioni
dell’oggetto, ma sarà ancora capovolta. Il valore dell’ingrandimento è allora
–1. Dall’equazione (51) abbiamo
I = − 1=
s'
s
o
s’ = –s
Inserendo questa espressione nell’equazione (50) si ha
- B.48 1 −1 1 1
=
= +
s'
s
s f'
e quindi
s = -2f’
Perciò
s’ = 2f’
e la distanza tra l’oggetto e l’immagine è
s’ – s = 4f’
(54)
Questa è la minima distanza possibile che può essere ottenuta
usando una lente convergente tra un oggetto reale e un’immagine reale.
Queste posizioni sono indicate come piani simmetrici. Con una lente
divergente i piani simmetrici si formano con un oggetto virtuale e
un’immagine virtuale. Nei piani simmetrici l’ingrandimento è –1 (l’immagine
è capovolta).
Le posizioni dell’oggetto e dell’immagine quando il valore
dell’ingrandimento è +1 (l’immagine ha le stesse dimensioni e lo stesso
orientamento dell’oggetto) sono indicate come piani principali di una
lente. Con una singola lente sottile questi piani coincidono l’uno con l’altro e
con la lente. I piani principali acquistano importanza con le lenti spesse e
con i sistemi di lenti che saranno descritti più avanti.
Come nel caso del diottro sferico, anche nel caso della lente sottile le
posizioni dell’oggetto e dell’immagine possono essere trovate considerando
le loro distanze dai fuochi. Sia nella figura 25 sia nella figura 26 esse sono
indicate con x e x’, con indicate anche le direzioni in cui esse sono misurate.
Poiché QD è parallelo all’asse ottico, OD è uguale a h. I triangoli F’OD e
F’P’Q’ sono simili e quindi
h'
x'
= I=
h
− f'
(55)
Inoltre, EQ’ è parallelo all’asse ottico e quindi OE è uguale a h’. I
triangoli QPF e EOF sono simili, e perciò
h'
x
= I=
h
− f
(56)
e
xx’ = ff’
o anche
-xx’ = f2 = f’2
Questa è l’equazione di Newton per le lenti sottili.
(57)
- B.49 Se consideriamo un oggetto P1P2 disposto lungo l’asse ottico,
l’immagine sarà P’1P’2 e ogni suo punto può essere trovato usando la
relazione di Newton:
-x1x’1 = f2
da
e
-x2x’2 = f2
L’ingrandimento assiale dell’immagine rispetto all’oggetto è dato
 f2 f2 


−
x ' 2 − x '1  x1 x 2 
f f
=
=
= I1I 2
x 2 − x1
x 2 − x1
x1 x 2
(58)
dove I1 e I2 sono gli ingrandimenti lineari di P’1 e P’2.
Se l’oggetto è lontano, e quindi x1 e x2 sono molto più grandi della
loro differenza, I1 e I2 sono quasi uguali e ne risulta che l’ingrandimento
assiale è uguale al quadrato dell’ingrandimento lineare. Se l’immagine
ottenuta con una macchina fotografica è, per esempio, cento volte più
piccola dell’oggetto fotografato, la “profondità” dell’immagine è diecimila
volte minore della profondità dell’oggetto. Questo fatto fa sì che si abbia
una grande profondità di campo nelle macchine fotografiche con obiettivi di
corta focale.
- B.50 -
13. L'effetto prismatico della lente sottile
e il potere effettivo
Vi sono due effetti che nell'ottica di Gauss aiutano a studiare il
comportamento di una lente sottile e dei sistemi di più lenti.
Innanzitutto, una lente forma immagini deviando la luce. La figura 33
mostra, come abbiamo visto, come un raggio incidente sulla lente in D è
deviato di un angolo δ. Nella maggior parte dei casi, e comunque sempre
nell'approssimazione dell'ottica di Gauss, di tratta di un angolo piccolo.
Questa deviazione può quindi essere trattata con le stesse formule che
abbiamo già ricavato per il caso dei prismi di piccolo angolo.
La lente sottile può in effetti essere pensata come un insieme di
prismi sottili troncati, con angoli al vertice la cui ampiezza è
progressivamente maggiore, come mostra la figura 34. La deviazione della
luce aumenta man mano che ci si allontana dall'asse ottico e ci si avvina al
bordo della lente, d'accordo con l'equazione (2.46) che dà la deviazione di
un raggio incidente su un prisma con angolo al vertice α piccolo e indice di
rifrazione n:
δ = (n – 1)α
(59)
Figura 34. La lente sottile come somma di prismi di piccolo angolo.
La formula (59) ci dice che raggi incidenti con diversi angoli di
incidenza sono deviati quindi dello stesso angolo. L'effetto prismatico
della lente non dipende perciò dall’angolo di incidenza della luce, ma
dipende invece dall'angolo al vertice α del prisma e quindi dalla distanza del
punto di incidenza dall’asse della lente.
- B.51 -
Figura 35. Effetto prismatico della lente.
La figura 35.a mostra un raggio parallelo all’asse ottico che incide a
un’altezza c su una lente di focale f’. Nel triangolo ODF’ abbiamo
tg δ =
c
= cϕ
f'
(60)
dove c è espresso in metri se il potere ϕ è in diottrie.
L’equazione (60) definisce tg δ in termini del potere prismatico P che
abbiamo introdotto con l'equazione (45) del capitolo 2:
tg δ × 100 = P (diottrie prismatiche)
(61)
Sostituendo nell’equazione (60) otteniamo
P (diottrie prismatiche) = c (in cm) × ϕ (in diottrie)
dove c si dice decentramento del raggio.
Nella figura 35.b il raggio incidente non è più parallelo all’asse ma è
diretto verso l’oggetto virtuale P. È deviato dalla lente verso P’ e δ, l’angolo
di deviazione, è
δ = ω’ – ω
- B.52 Poiché gli angoli, nell'approssimazione dell'ottica di Gauss, sono
piccoli, si può porre
ω =
c
s
e
ω '=
c
s'
e quindi
 1 1 c
δ = c −  =
= cϕ
 s' s  f '
(62)
che è uguale all’equazione (60) se gli angoli sono piccoli e si pone perciò tg
δ = δ.
Quindi per tutti i raggi che incidono alla stessa altezza c
dall’asse ottico la deviazione prodotta da una lente sottile è
costante e uguale a c/f’ radianti (dove c e f’ sono misurati nelle stesse
unità) o cϕ diottrie prismatiche (c misurato in centimetri e ϕ in diottrie).
L’effetto prismatico della lente può essere messo in evidenza
guardando attraverso di essa un oggetto fisso. Se la lente è mossa
lateralmente anche l’immagine si muove lateralmente. Se la lente è
divergente l'immagine si muove nella stessa direzione della lente. Se la
lente è convergente l'immagine si muove in direzione opposta alla lente.
Con tutte le lenti sottili l’immagine sarà vista allineata con l’oggetto solo se
osservata attraverso il centro ottico della lente, dove le due superfici sono
parallele e l’effetto prismatico è nullo.
L’effetto di una lente può essere spiegato anche considerando come
essa modifica la vergenza dei fronti d’onda della luce. Quando il fronte
d’onda che forma l’immagine ha appena lasciato la lente, come il fronte
d’onda 1 nella figura 36, la sua vergenza σ’ è data da
σ '=
1
s'
Figura 36. Potere effettivo di una lente.
- B.53 Man mano che il fronte d’onda avanza verso l’immagine la sua
vergenza cambia. Nella posizione X del fronte d’onda 2, a una distanza e
dalla lente, la vergenza è diventata
σ 'X =
1
1
σ'
=
=
s ' X s '− e 1 − eσ '
Se i raggi di luce incidenti sono paralleli, allora la vergenza σ’ è
uguale al potere ϕ della lente. Possiamo indicare la vergenza σ’X nel punto X
come ϕX, e abbiamo
ϕ
X
=
ϕ
1 − eϕ
(63)
In questa formula ϕ è il potere della lente, e la distanza in metri del
punto X, e ϕX è il potere effettivo della lente nel punto X.
Si vede dalla figura 36 che il potere effettivo aumenta se il punto X si
avvicina all’immagine reale. Per punti oltre questa immagine e per immagini
virtuali dall’altra parte della lente (che si hanno per esempio nel caos di lenti
divergenti) il potere effettivo diminuisce se il punto X si allontana dalla
lente. Il concetto di potere effettivo è molto utile quando si considerano i
sistemi di lenti e le lenti da occhiali, che costituiscono un sistema di lenti
con l’occhio che si intende correggere.
- B.54 -
14. I sistemi di lenti sottili
La maggior parte degli strumenti ottici e gli obiettivi delle macchine
fotografiche e dei proiettori sono costituiti da più di una lente e spesso si
tratta di lenti che non sono sottili. Quasi sempre queste lenti sono disposte
son i loro centri su un asse ottico comune. Si parla allora di sistemi ottici
centrati. Ci occuperemo più avanti delle lenti spesse e dei sistemi sistemi
ottici centrati e dei diversi tipi di strumenti ottici. Qui considereremo il caso
particolare in cui tutte le lenti del sistema sono sottili.
La posizione e la dimensione finali dell'immagine formata da un
sistema ottico centrato formato da lenti sottili può essere trovata applicando
alle singole lenti una dopo l'altra l'equazione gaussiana per le lenti sottili o i
metodi grafici che sono stati descritti nei paragrafi precedenti: l'immagine
formata dalla prima lente diventa l'oggetto, reale o virtuale, per la
seconda lente; l'immagine formata dalla seconda lente diventa
l'oggetto per la terza lente, e così via fino all'ultima lente.
Indichiamo con 1, 2, 3, ecc. le singole lenti. Scriviamo l'equazione
gaussiana per ciascuna lente in questo modo:
σ'1 = σ1 + ϕ1
σ'2 = σ2 + ϕ2
σ'3 = σ3 + ϕ3
ecc.
Se le lenti sono a contatto tra loro si ha anche s2 = s'1 e s3 = s'2 in
modo che σ2 = σ'1 e σ3 = σ'2. Si ha quindi
σ'3 = σ'2 + ϕ3 =
= σ2 + ϕ2 + ϕ3 =
= σ'1 + ϕ2 + ϕ3 =
= σ1 + ϕ1 + ϕ2 + ϕ3
Possiamo perciò porre
σ'3 = σ1 + ϕ
(64)
dove ϕ, il potere complessivo del sistema, è dato da
ϕ = ϕ1 + ϕ2 + ϕ3
(65)
Quindi, il potere complessivo di due o più lenti sottili poste a
contatto l'una con l'altra è uguale alla somma dei poteri delle
singole lenti. In pratica le lenti hanno sempre un certo spessore e quindi
l'espressione (65) è sempre approssimata.
Se due lenti sottili hanno lo stesso asse ottico ma sono separate da
una distanza e, la vergenza della luce cambia nel passare dalla prima alla
- B.55 seconda lente. Non si può più porre σ2 = σ'1 e quindi non vale più
l'equazione (29). Abbiamo ancora, come nel caso delle lenti poste a
contatto,
σ '1 = σ 1 + ϕ 1 

σ '2 = σ 2 + ϕ 2 
(66)
ma ora
s2 = s'1 – e
(67)
Usando le vergenze dei raggi anziché le distanze dalle lenti
l'equazione (67) diventa
1
σ
=
2
1
−e
σ '1
e quindi
σ
2
=
σ '1
1 − eσ '1
(68)
La posizione dell'immagine finale si trova quindi calcolando prima,
mediante la prima delle equazioni (66), la vergenza σ'1 dei raggi rifratti dalla
prima lente, ricavando poi dall'equazione (68) la vergenza σ2 dei raggi
incidenti sulla seconda lente, e calcolando infine mediante la seconda delle
equazioni (66) la vergenza σ'2 dei raggi rifratti dalla seconda lente. La
distanza s'2 dell'immagine finale dalla seconda lente è data da s'2 = 1/σ'2.
Nel caso di tre lenti sottili, con una distanza e1 tra la prima e la
seconda lente e una distanza e2 tra la seconda e la terza lente, si procede
nello stesso modo, con i seguenti passaggi:



σ '1 = σ 1 + ϕ 1 

σ '1 
σ2=
1 − e1σ '1 

σ '2 = σ 2 + ϕ 2 
σ '2 

σ3 =
1 − e2σ ' 2 

σ '3 = σ 3 + ϕ 3 

1
s'3 =

σ '3

σ
1
=
1
s1
(69)
La distanza s'3 dell'immagine finale dalla terza lente è data quindi
da s'3 = 1/σ'3.
La posizione e le dimensioni dell'immagine prodotta da un sistema di
lenti sottili possono essere ricavate anche usando i metodi grafici descritti
nel paragrafo 11. La figura 37 mostra come si può procedere nel caso di due
- B.56 lenti convergenti. Per costruire l'immagine B' 1Q'1 dell'oggetto B1Q1 prodotta
dalla prima lente si utilizzano il raggio principale a che passa per il centro O 1
della lente, il raggio b che passa per il fuoco oggetto F 1 della prima lente e
viene deviato in direzione parallela all'asse ottico e il raggio c parallelo
all'asse ottico che viene deviato verso il fuoco immagine F' 1 della prima
lente. Il raggio b diventa il raggio c della seconda lente, parallelo all'asse
ottico, che viene deviato verso il fuoco immagine F' 2 della seconda lente. I
prolungamenti dei raggi a e c della prima lente sono ora indicati con e. Si
possono costruire i raggi rifratti utilizzando il metodo del piano focale
oggetto illustrato dalla figura 33: a partire dall'intersezione di ciascuno di
questi raggi con il piano focale oggetto della seconda lente passante per F 2
si traccia un raggio ausiliario passante per il centro O 2 della seconda lente. I
raggi rifratti sono paralleli a questi raggi ausiliari.
Figura 37.Tracciamento dei raggi attraverso due lenti convergenti.
Figura 38.Tracciamento dei raggi mediante il metodo del piano focale
oggetto.
Il metodo del piano focale oggetto può essere utilizzato con sistemi
composti da un numero qualsiasi di lenti: è conveniente però usare qualche
accorgimento grafico per collegare i piani focali con le corrispondenti lenti,
come nella figura 38, per evitare confusioni. La figura 38 si riferisce a un
- B.57 sistema di tre lenti, di cui quella centrale divergente: si noti che il piano
focale oggetto di questa lente si trova a destra della lente, perché la focale
oggetto f2 è positiva.
Il raggio incidente incontra la prima lente in D1 e passa per il suo
piano focale oggetto in G1. Il raggio rifratto è parallelo alla linea che
congiunge G1 con il centro O1 della prima lente e incide sulla seconda lente
nel punto D2. Il prolungamento di questo raggio passa per il piano focale
oggetto della seconda lente nel punto G 2. Il raggio rifratto dalla seconda
lente è quindi parallelo alla linea che congiunge il centro O 2 della seconda
lente con G2. Questo raggio incide sulla terza lente nel punto D 3 e passa per
il piano focale oggetto della terza lente nel punto G 3. Il raggio rifratto dalla
terza lente è quindi parallelo alla linea che congiunge il centro O 3 della terza
lente con il punto G3. Per trovare la posizione e le dimensioni dell'immagine
di un oggetto PQ posto a una distanza finita dalla prima lente è sufficiente
tracciare dall'estremo Q dell'oggetto un secondo raggio con una diversa
inclinazione e seguirne il percorso con lo stesso metodo, fino a trovare
l'intersezione dei raggi rifratti dall'ultima lente.
L'ingrandimento lineare I di ciascuna immagine rispetto al suo
oggetto è dato dal rapporto h'/h tra l'altezza h' dell'immagine e l'altezza h
dell'oggetto. Poiché l'altezza dell'immagine prodotta dalla prima lente
diventa l'altezza dell'oggetto della seconda lente, l'ingrandimento
complessivo tra l'oggetto e l'immagine finale del sistema di due lenti
mostrato nella figura 39 è dato da
I=
h3 h'1 h' 2
=
×
h1
h1 h2
ossia
I = I1 × I2
Figura 39.Tracciamento dei raggi attraverso due lenti convergenti e angoli
di convergenza.
- B.58 Nel caso di più lenti si ha
I = I1 × I2 × I3 × I4 ecc.
(70)
Si può fare un'altra considerazione relativa alla figura 39. L'oggetto h1
e l'immagine intermedia h'1 prodotta dalla prima lente definiscono con il
centro O1 della prima lente una coppia di triangoli simili per i quali si ha
h1
s
= 1
h'1 s '1
Perciò
h1 h'1
=
s1 s '1
(71)
Analogamente per la seconda lente si ha
h2
s
= 2
h' 2 s ' 2
e perciò
h2 h' 2
=
s2
s'2
(72)
Se ora consideriamo gli angoli ω1, ω2 e ω3, detti angoli di
convergenza, formati con l'asse ottico dallo stesso raggio che parte dalla
base dell'oggetto, troviamo che, nell'approssimazione dell'ottica di Gauss, si
ha
s1ω1 = O1D1 = s'1ω2
e
s2ω2 = O2D2 = s'2ω3
Se moltiplichiamo membro a membro la prima di queste due
equazioni con l'equazione (71) e la seconda con l'equazione (72) e teniamo
conto che h'1 = h2 e che h'2 = h3 otteniamo
s1ω 1
h1
h'
= s1′ ω 2 1
s1
s'1
ossia h1ω1 = h'1ω2 = h2ω2
h2
h'
= s 2′ ω 3 2
s2
s'2
ossia h2ω2 = h'2ω3 = h3ω3
e
s 2ω
2
in modo che
h1ω1 = h2ω2 = h3ω3 ...
(73)
- B.59 Questa equazione si può estendere a tutte le lenti che compongono il
sistema di lenti. Ad ogni lente quindi corrisponde un valore di hω che è
invariante (ossia non cambia) attraverso il sistema di lenti. L'equazione (73)
è la versione per i sistemi di lenti sottili dell'invariante di Lagrange. La
sua utilità sta nel modo in cui mette in relazione un raggio proveniente da
un punto dell’oggetto posto sull’asse ottico con un ogni altro raggio
proveniente da un altro punto dell’oggetto.
L’equazione gaussiana delle lenti sottili può essere espressa in termini
dei valori degli angoli di convergenza prima e dopo la rifrazione e
dell'altezza del raggio dall’asse ottico alla posizione della lente. Dalla figura
39 si ha
1 ω1
=
s1 y 1
e
ω '1
1
=
s '1
y1
Quindi dall'equazione gaussiana
1
1
=
+ ϕ1
s '1 s1
si ha
ω’1 = ω1 + y1ϕ1
(74)
e il trasferimento del raggio alla lente successiva è dato da
y2 = y1 + eω’1
(75)
Queste equazioni possono essere usate per tracciare raggi che
attraversano il sistema di lenti. L’equazione (74) è nota come equazione di
rifrazione e l’equazione (75) come equazione di trasferimento. Possono
essere utilizzate per effettuare i calcoli con un computer, e in questo caso si
ottiene una migliore precisione se si rinuncia all’approssimazione dell'ottica
di Gauss e si applica l’equazione di rifrazione a ciascuna superficie della
lente. Poiché
n' n
=
+ ( n '− n ) ρ
s' s
otteniamo, con lo stesso ragionamento,
n’ω’ = nω + y(n’ – n)ρ
(76)
L’equazione di trasferimento rimane la stessa ma deve essere usata
sia per passare da una superficie all'altra della lente sia per passare alla
lente successiva.