Trasformata di Laplace
Numeri complessi
Un numero complesso z, costituito da una parte reale ed una immaginaria, è scritto come:
z  x  jy, x, y  
Re[ z ]
j:
Im[ z ]
j 2  1
Z
y

O
y
z  x  jy
x
z *  x  jy
Z*
Forma
cartesiana
Numeri complessi
z  zz * 
x  jy x  jy 
Modulo
 x 2  jxy  jxy  y 2  x 2  y 2
y
tg 
x
y
  arctg  2k , k  0 intero
x
Fase
Numeri complessi
y
jy
z  x  jy
z
x  z cos 

x
x
z *  x  jy
y  z sin 
z  z cos   j sin  
e j  cos   j sin 
Ricordando le formule di Eulero:
e j  e  j  2 cos 
e j  e  j  2 j sin 
e  j  cos   j sin 
e j  e  j
cos  
2
e j  e  j
sin  
2j
Forma
trigonometrica
Numeri complessi
y
z
z  x  jy

z  z e j
x
Forma
esponenziale
z *  x  jy
z *  x  jy  z cos   j z sin 
 z e  j
z  z 
Forma
polare
Numeri complessi
1
1
x  jy
z

x  jy x  jy x  jy 
x  jy
x
y
 2


j
x  y2 x2  y2
x2  y2
y
 2
y
x  y2
 z   arctg
 arctg
x
x
x2  y2
z 
x
x2
2
 y2

 x
2
y2
2
 y2

2
x2  y2
 2

2
x y
1
x2  y2
La trasformata di Laplace è un operatore che associa
ad una funzione del tempo f(t) definita per t≥0 una
funzione F(s) a valori complessi definita per valori
della variabile complessa s.
f (t ), t  0
F (s)
s    j
L’utilizzo delle trasformate di Laplace consente di semplificare
notevolmente i calcoli nella risoluzione di equazioni
differenziali: operazioni di derivazione ed integrazione nel
dominio del tempo corrispondono ad operazioni di tipo
algebrico nel dominio delle trasformate.
Problema
differenziabile
L
Problema
algebrico
Soluzione
del problema
differenziabile
1
L
Soluzione
del problema
algebrico

F ( s)   f (t )e  st dt
0
Qualsiasi funzione f(t), per cui esiste un valore
della variabile s tale che l’integrale è finito, si dice
trasformabile secondo Laplace.
L’insieme di tutti i valori complessi s per cui esiste, finito,
l’integrale e quindi la funzione F(s), viene detto dominio di
convergenza, ed è rappresentato da un semipiano del
piano s, posto a destra di una retta parallela all’asse
immaginario, di equazione Re[s]=σ0. Tale retta viene
denominata asse di convergenza ed il valore σ0 ascissa di
convergenza.
Gradino

T
L[1]   e  st dt  lim  e  st dt 
0
T 
0
T
 e 
e  sT 1 1
 lim 
  lim
 

T 
T  s
s s
 s 0
 st
Re[ s ]  0
e sT  e   j T  e T e  jT  e T cos(T )  j sin( T )
Im[s]
k
L[ k ] 
s
Re[s]
Proprietà di linearità
L f1 (t )  F1 (s)
L f 2 (t )  F2 (s)
Lc1 f1 (t )  c2 f 2 (t )  c1F1 (s)  c2 F2 (s)
Rampa unitaria

T
L[t ]   te st dt  lim  te st dt 
T 
0
 te st
 lim 
T 
 s
 te
 lim 
T 
 s
T
0
 st T
0
0
e  st 

dt  
s

0
T

fg ' dt  fg   f ' gdt
T
1  st 
 2e  
s
 0
 Te  sT 1  sT 1  1
 lim 
 2 e  2 2
T 
s
s
s  s

Re[ s ]  0
Esponenziale

T
L[e at ]   e at e  st dt  lim  e ( a  s )t dt 
0
T 
0
T
 1 ( a  s )t 
 lim 
e


T  a  s

0
1 ( a  s )T
1
1
 lim
e


T  a  s
as sa
Re[ s]  Re[ a]
Cosinusoide
 e jt  e  jt 
Lcost   L 

2


1
 L e jt  L e  jt 
2
1 1
1 
s
 


2  s  j s  j  s 2   2
  

Re[ s ]  0
Sinusoide
 e jt  e  jt 
Lsin t   L 

2j


1

L e jt  L e  jt 
2j
  


1  1
1 



2 j  s  j s  j  s 2   2
Re[ s ]  0
Traslazione


L e kt f (t )  F (s  k )


0
0
kt
 st
( s  k ) t
e
f
(
t
)
e
dt

f
(
t
)
e
dt F ( s  k )


L f (t  k )  e  ks F ( s)


f (t  k )e  st dt 
f (t  k )  0 ,
tk
u t k
0



k

f (u )e  s (u  k ) du  e  sk  f (u )e  su du e  sk F ( s )
0
f (t )
Impulso
A
t0
A
f (t )  , 0  t  t0
t0
 0,
t  0, t  t0
0
t0
L’area sottesa vale A
A
A
f (t )  1(t )  1(t  t0 )
t0
t0
A 1 A 1  st0
F (s) 

e 
t0 s t0 s

A1

1  e  st0
t0 s

Funzione impulsiva
A
g (t )  lim , 0  t  t0
t0 0 t
0
 0,
t  0, t  t0


A1
G ( s )  lim
1  e  st0 
t 0 0 t s
0
A
 lim
t0 0


d
1  e  st0
dt0
Ase  st0
 lim
A
t0 0
d
s
t0 s 
dt0
Impulso di Dirac
1
 (t )  lim , 0  t  t0
t0 0 t
0
 0,
t  0, t  t0
(s)  1
Impulso di Dirac
Risposta all’impulso
u (t )
y(t )   t   h(t )
y (t )

t
Ogni segnale x(t) può essere
espresso come convoluzione con
l’impulso di Dirac
x(t )  x(t )   (t )    (t ) x(t   )d
0
Dim:


1
1
x(t   )d  lim  x(t   )d
0 lim
 0 
 0 
0
Per il teorema del valor medio:
  0,  :

 x(t  )d  xt   
0
1
lim xt     lim xt     x(t )
 0 
 0
0


Impulso di Dirac
u (t )
y (t )

Il segnale in uscita può essere
calcolato attraverso la
convoluzione del segnale di ingresso
con la risposta impulsiva.
L’uscita del sistema all’ingresso x(t) sarà del tipo:
t

y (t )  x(t )      (t ) x(t   )d 
0

t
y (t )   x(t   ) (t )d 
0
t
  h(t ) x(t   )d  h(t )  (t )
0
Impulso di Dirac
Problemi
La risposta impulsiva di un sistema può essere ricavata applicando in ingresso un
segnale che approssimi l’impulso di Dirac e misurando l’uscita corrispondente.
L’impulso di Dirac è un’astrazione matematica che può solo essere approssimata.
In molti casi non è possibile né conveniente applicare al sistema una sollecitazione
impulsiva per non danneggiare il sistema a causa dell’elevata ampiezza dell’impulso.
Esercizio
 
n!
L t  n 1
s
Sapendo che
calcolare
n

L t 2e3t

Esercizio
Calcolare

L e 2t sin( 4t )

Esercizio
Calcolare
  2 
2 
cos t  3 , t  3 

L 

2 

0,
t

3 
Esercizio
Calcolare
Lt sin t 
Teorema della derivata


L f (t )  sF (s)  f (0)
'



fg ' dt  fg   f ' gdt

L f ' (t )   f ' (t )e  st dt 
0
T


T
 st
 st
 s  f (t )e dt  
 lim  f (t )e
0
T 
0


T


 st
 sT
 lim  f (T )e  f (0)  s  f (t )e dt  
T 
0



 s  f (t )e  st dt  f (0)  sF ( s )  f (0)
0
Si è sfruttato il fatto che f(t) è di ordine esponenziale per t che tende all’infinito
Teorema della derivata


L f '' (t )  s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0)




L f '' (t )  sL f ' (t )  f ' (0)
 ssF ( s )  f (0)  f ' (0)
 s 2 F ( s )  sf (0)  f ' (0)


L f ''' (t )  s 3 F ( s)  s 2 f (0)  sf ' (0)  f '' (0)
Teorema dell’integrale
t
g ' (t )  f (u),
g (t )   f (u )du
g (0)  0
0


L g ' (t )  F ( s)
sLg (t )  F ( s)
F (s)
Lg (t ) 
s
t
 F (s)
L   f (u )du  
s
0

Teorema del valore finale
lim f (t )  lim sF ( s )
t 
Nell’ipotesi che tale limite esista
s 0


Dal teorema della derivata si ha:
f ' (t )e  st dt  sF ( s)  f (0)
0

da cui
lim
s 0

f ' (t )e  st dt  lim sF ( s)  f (0)
s 0
0
Eseguendo il limite sotto il segno di integrale il che è lecito per l’analiticità della funzione:


0
f ' (t )dt  lim sF ( s)  f (0)
s 0
e quindi
lim f (t )  f (0)  lim sF ( s )  f (0)
t 
s 0
Teorema del valore iniziale
lim f (t )  lim sF ( s )
t 0
s 

lim
s 

f ' (t )e  st dt  lim sF ( s )  f (0)
s 
0
 lim sF ( s )  f (0)
0
s 
lim f (t )  lim sF ( s )
t 0
s 
Integrale di convoluzione


L   f1   f 2 t   d   F1 ( s ) F2 ( s )
0

Utilità
x  3x  2 x  0,
x(0)  a, x (0)  b
Lx(t )  X ( s )
Lx (t )  sX ( s )  x(0)
Lx(t )  s 2 X ( s )  sx (0)  x ' (0)
s 2 X (s)  as  b  3sX (s)  a   2 X (s)  0


X ( s) s 2  3s  2  as  b  3a
as  b  3a 2a  b a  b
X ( s) 


s  1s  2 s  1 s  2
Utilità
as  b  3a 2a  b a  b
X ( s) 


s  1s  2 s  1 s  2
 2a  b  1  a  b 
x(t )  L X ( s )  L 
L 

 s 1 
 s  2 
1
1
 1 
1  1 
x(t )  (2a  b) L1 

(
a

b
)
L
 s  2 
 s  1
x(t )  (2a  b)e t  (a  b)e 2t
Problema
differenziabile
L
Problema
algebrico
Soluzione
del problema
differenziabile
1
L
Soluzione
del problema
algebrico
Tecniche di antitrasformazione
Frazione razionale propria
F ( s) 
Il denominatore di F(s) ha:
n radici distinte
radici con molteplicità maggiore di 1
radici complesse coniugate
N ( s)
D( s )
Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha:
n radici distinte
N ( s)
F (s) 
s  p1 s  p2  s  pn 
F (s) 
Rn
R1
R2


s  p1  s  p2 
s  pn 
POLI
RESIDUI
Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha:
n radici distinte
Rn
N (s)
R1
R2



s  p1 s  p2 s  pn  s  p1  s  p2 
s  pn 
Calcoliamo R1
s  p1 N ( s)
s  p1 R1  s  p1 R2    s  p1 Rn

s  p1 s  p2 s  pn  s  p1  s  p2 
s  pn 
s  p1 R2    s  p1 Rn
N ( s)
 R1 
s  p2 s  pn 
s  p2 
s  pn 
N ( s)
lim
 R1
s  p1 s  p  s  p 
2
n
Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha:
n radici distinte
N ( s)
F (s) 
s  p1 s  p2  s  pn 
Rn
R1
R2
F (s) 


s  p1  s  p2 
s  pn 
Rk  lim F (s)s  pk ,
s  pk
k  1,2,, n
Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha:
n radici distinte
 1 
1 
1 
1 
1 
L F ( s )  R1 L 

  R2 L 
    Rn L 






s

p
s

p
s

p
1 
2 
n 



1
1
n
  Rk e pk t
k 1
Esercizio
s2 1
F (s)  3
s s
Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha:
radici con molteplicità maggiore di 1
N ( s)
F ( s) 

s  pk  
Rk
Rk1
Rk 2
F (s) 



 1
s  pk 
s  pk  s  pk 
Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha:
radici con molteplicità maggiore di 1
Rk
Rk1
Rk 2
N (s)
F ( s) 





 1
s  pk 
s  pk  s  pk  s  pk 
Calcoliamo Rk1



s

p
Rk
s  pk  N (s)  s  pk  Rk1  s  pk  Rk 2   
k
s  pk 
s  pk 
s  pk 
s  pk  1



Rk1  lim F ( s )s  pk 

s  pk
Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha:
radici con molteplicità maggiore di 1
Calcoliamo Rk2
N ( s)  Rk1  s  pk Rk 2  s  pk  Rk 3  s  pk  Rk 4    s  pk 
2
3
 1
Rk
dN ( s )
2
 2
 Rk 2  2s  pk Rk 3  3s  pk  Rk 4   (   1)s  pk  Rk
ds

d F ( s )s  pk 
Rk 2  lim
s  pk
ds


Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha:
radici con molteplicità maggiore di 1
Calcoliamo Rk3
dN ( s )
2
 2
 Rk 2  2s  pk Rk 3  3s  pk  Rk 4   (   1)s  pk  Rk
ds
d 2 N ( s)
 3





2
R

6
s

p
R


(


1
)(


2
)
s

p
Rk
k3
k
k4
k
2
ds

d 2 F ( s )s  pk 
1
Rk 3  lim
2 s  pk
ds 2


Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha:
radici con molteplicità maggiore di 1
Calcoliamo Rkj


d j 1 F ( s)s  pk 
1
Rkj 
lim
,
j 1
s

p
( j  1)! k
ds
Ricordando che


L t n e at 

j  1,2,, 
n!
s  a n1
 1 
1
k 1 pt
L 

t
e
k 
 s  p   (k  1)!
1
Esercizio
s 3  5s
F ( s) 
s  1s  23
Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha:
radici complesse coniugate
F ( s) 
F ( s) 
N ( s)
s  p  s  p*


p  a  jb
p *  a  jb
N ( s)
R1
R2


s  p  s  p* s  p s  p*


N ( s)
N ( p) N (a  jb)
R1  lim


 u  jv
*
s p s  p*
p p
j 2b
N ( s) N ( p* ) N (a  jb)
*
R2  lim*
 *

 R1  u  jv
s p s  p
p p
 j 2b
Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha:
radici complesse coniugate
u  jv
u  jv
F ( s) 

s    j  s    j 
L1 F ( s )  u 2  v 2 e
jarctg
v
u
e   j t  u 2  v 2 e
 jarctg
v
u
v
v



j  t  arctg 
 j  t  arctg  
u
u
 u 2  v 2 et e 
e 



 j  t  arctg uv   j  t  arctg uv  



e 

1
2
2 t  e
L F ( s )  2 u  v e 

2




v

L F ( s )  2 u  v e cos t  arctg 
u

1
2
2 t
e   j t 
Esercizio
Funzione di trasferimento
Funzione di trasferimento
Funzione di trasferimento