Indice
1.
Regimi di capitalizzazione dei tassi di interesse e attualizzazione
2.
Cosa sono i derivati
3.
Esempio di futures e opzioni
4.
Equazioni di Black, Scholes e Merton
5.
Alcune complicazioni dei derivati reali: es. regole di day count
6.
Panoramica sulle procedure realizzate da SiGrade
Regimi di capitalizzazione
N : capitale nozionale (es. 10.000€)
r : tasso di interesse annuo (es. 2%)
Dopo 1 anno:
montante  N  rN  N (1  r )
Dopo T anni:
montante  N (1  r )T
Ricapitalizzando n volte all’anno:
 r
montante  N 1  
 n
CAPITALIZZAZIONE
SEMPLICE
nT
CAPITALIZZAZIONE
COMPOSTA n VOLTE
Facendo tendere n all’infinito:
montante NerT
CAPITALIZZAZIONE CONTINUA
Attualizzazione
Ogni importo è dipendente dal tempo:

Se oggi ho una quantità X di denaro, tra T anni essa varrà
Xe rT

Se un contratto scade tra T anni e mi fa incassare X, allora oggi esso vale
Xe  rT
Se di un contratto si conosce con esattezza l’importo pagato alla
scadenza allora per valutarlo è sufficiente attualizzare l’importo.
Il tasso r da utilizzare dipende principalmente da:
• Andamento economico globale
• Durata T del contratto
• Rischio di insolvenza della controparte
Contratti Derivati
Un derivato è un contratto finanziario il cui valore X al momento della scadenza t
dipende dal valore in t di una certa attività finanziaria S, detta sottostante:
X t  f ( St )
Le tipologie di derivati più note e diffuse sono:

Derivati su tassi di interesse: il sottostante S è un tasso di interesse (Es.
Euribor 3 mesi)

Derivati azionari: il sottostante S è un’azione (Es. azioni FIAT) o un’indice
azionario (Es. indice SPMIB)

Derivati su commodity: il sottostante S è una materia prima (Es. acciaio,
petrolio, oro, energia elettrica, ecc)

Derivati atmosferici: il sottostante S è rappresentato da una variabile
atmosferica (Es. gradi di riscaldamento giorno, gradi di raffreddamento, ecc)
Esempio 1: Future
I Futures sono stati uno dei primi derivati ad essere stipulati (~1860).
Invece di acquistare oggi un certo prodotto (es. 10 tonnellate di grano) ci si accorda
per:
• eseguire lo scambio ad una data t futura.
• fissare oggi il prezzo K a cui verrà acquistato il prodotto.
• sostituire il prodotto con il suo prezzo corrente St .
Il valore del future alla scadenza sarà:
f ( St )  St  K
Esempio 2: Opzioni europee
Un’opzione è un contratto finanziario che dà il diritto - ma NON l’obbligo - al portatore
di comprare (opzione call) o vendere (opzione put) una certa quantità dell’attività
finanziaria sottostante ad un determinato prezzo K, in una precisa data futura t.
Alla scadenza di un’opzione call, due casi possibili:
St  K : l’opzione sarà lasciata decadere, conviene acquistare il sottostante al
prezzo di mercato St.
St  K : l’opzione sarà esercitata, comprando il sottostante al prezzo K ed
eventualmente rivendendolo sul mercato al prezzo St.
Il valore della call alla scadenza sarà:
f ( St )  max( St  K ,0)
Assunzione di Lognormalità
Ipotesi largamente diffusa nell’ambito del pricing di derivati è l’assunzione di
lognormalità per l’attività sottostante S:
dS  Sdt  Sdz
=
=
z
tasso di rendimento atteso di S
volatilità.
= processo di Wiener.
E’ un processo stocastico a tempo continuo
e con incrementi indipendenti usato per
modellizzare il moto browniano e diversi
fenomeni casuali osservati nell’ambito della
fisica e della finanza.
Lemma di Itô
Se x segue un processo di Itô, cioè vale
dx  a( x, t )dt  b( x, t )dz
ed f è una funzione di x e t, allora
 f
f 1  2 f 2 
f


df   a  
b dt  bdz
2
t 2 x
x
 x

dove z è sempre lo stesso processo di Wiener.
Equazione di Black, Scholes e Merton
Per l’ipotesi di lognormalità, S segue un processo di Itô.
Applicando il lemma con
ha legge normale.

f ( S , t )  ln( S ) si ottiene che la variazione di ln( S )
Applicando il lemma con f generica, con alcuni passaggi, si ottiene
la famosa equazione di Black, Scholes e Merton:

f
f 1 2 2  2 f
 rS
  S
 rf
2
t
S 2
S
f ( S , t ) è il valore al tempo t di un derivato  è soluzione dell’equazione di B-S-M.
Le condizioni al contorno sono date dal valore pagato dal derivato alla scadenza tfin
e stabilito dal contratto: f ( S (t fin ), t fin ) .
Storia dell’equazione B-S-M
L’equazione di Black, Scholes e Merton fu:

Pubblicata nel 1973 da F.Black e M.Sholes.

Risolta grazie ad una trasformazione che la riporta alla “heat equation” (equazione
di diffusione del calore, già risolta dalla Fisica).

R.Merton il primo ad espanderne i risultati.

Nel 1997 Merton e Scholes vincono il premio Nobel per l’economia (Black
deceduto nel 1995).

Il modello originale è stato successivamente espanso per coprire una vastissima
gamma di opzioni.
Valore atteso di un’opzione
La soluzione dell’equazione (valore atteso o Fair Value), nel caso delle opzioni è
FVcall  S 0 N (d1 )  Ke  rT N (d 2 )
FVput  KerT N (d2 )  S0 N (d1 )
dove:
N(x) è la distribuzione normale con media 0 e deviazione standard 1
ln( S0 / K )  (r   2 / 2)T
d1 
 T
ln( S0 / K )  (r   2 / 2)T
d2 
 d1   T
 T
Regole di day count
T è il tempo tra la data di valutazione t0 e la data di scadenza tfin misurato in anni.
Quindi:
T
num.gg (t0 , t fin )
365
• Attenzione al numero di giorni di ogni mese. E se un anno è bisestile il
denominatore è 365 o 366?
• Alcuni contratti invece adottano la convenzione per cui tutti i mesi hanno 30
giorni e l’anno 360.
• Altre volte vanno considerati solo i giorni lavorativi, dunque
T
num.gg.lav (t0 , t fin )
num.gg.lav.annui
• Ma giorni lavorativi secondo il calendario civile o commerciale? Inoltre ogni
nazione considera festività diverse.
SI GRADE (ex Sinfo Pragma)
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John C. Hull, Opzioni, futures e altri derivati, ed. Il Sole 24 Ore, 2003
M. Di Franco, Francesco Polimeni, Massimo Proietti, Opzioni e titoli strutturati, ed.
Il Sole 24 Ore, 2002
KPMG, Guida agli strumenti derivati, ed. Edibank Bancaria Editrice, 2001
Riccardo Cesari, Elisa Susini, Introduzione alla finanza matematica, ed. McGrawHill, 2005
Alexander Lipton, Mathematical methods for foreign exchange, ed. World Scientific
Publishing, 2001
Damiano Brigo, Fabio Mercurio, Interest rate models - Theory and practice,
ed.Springer-Verlag, 2001
Espen Gaarder Haug, The complete guide to option pricing formulas, ed. McGrawHill,1998
Mark Joshi, The concepts and practice of mathematical finance, ed. Cambridge
University Press, 2003
Grazie per l’attenzione !