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Procedimento per studiare una funzione
Lo studio di una funzione, reale di una variabile reale y=f(x), consiste nel determinare gli elementi
caratterizzanti la funzione che permettono di disegnarne il grafico;si può procedere con il seguente schema.
1.Determinazione del campo di esistenza (C.E.) : i casi che si possono presentare sono i seguenti.
a)
Funzioni razionali intere: il C.E.è costituito da qualunque valore della x.
b)
Funzioni razionali fratte: il C.E. è costituito da ogni valori della x , esclusi, se ci sono, quelli che
rendono nullo il denominatore della funzione.
c)
Funzioni irrazionali:si devono distinguere due casi in relazione all’indice “n” della radice;
se “n” è dispari il C.E. è formato da ogni x reale esclusi quelli, eventuali, che annullano
denominatori,
se “n” è pari il C.E. è costituito soltanto da quegli x che rendono positivo o nullo il radicando.
d)
e)
f)
Funzioni goniometriche: y=sen(x) e y=cos(x) esistono per ogni x reale; mentre y=tg(x) esiste per

con k intero relativo.
x   k , con k intero relativo , e y=ctg(x) esiste per ogni x  k ,
2
Funzioni esponenziali del tipo y   f ( x)g ( x )
: la condizione che determina il C.E. è che la base sia
positiva cioè, f(x)>0.
Funzioni logaritmiche del tipo y  log g ( x ) f ( x)
seguenti f(x)>0 e g(x)>0, g ( x)  1.
: le condizioni che individuano il C.E. sono le
Avanti: continua il procedimento
2
g) Funzioni goniometriche inverse: y=arcsen(x) e y=arccos(x) sono definite per
 1  x  1
,mentre
y=arctg(x) e y=arcctg(x) esistono per ogni x reale.
x
x
x
x
x
x
x
x
e

e
e

e
e

e
e

e
h) Funzioni iperboliche: sh( x) 
, ch( x) 
, th( x)  x
, cth ( x)  x
2
2
e  ex
e  ex
sono definite per ogni x .
i)
Funzioni in valore assoluto: il valore assoluto non induce alcuna limitazione al C.E. della funzione.
2. Intersezioni con gli assi cartesiani
per l’intersezione con l’asse x , si risolve il sistema formato dalle due equazioni:
y  0, y  f ( x)
cioè si risolve l’equazione f(x)=0;
per l’intersezione con l’asse y , si risolve il sistema formato da : x  0, y  f ( x) .
Può essere utile individuare anche le eventuali simmetrie rispetto all’asse y o all’origine e le eventuali
periodicità.
3. Studio del segno della funzione
La funzione è positiva quando il suo grafico si trova, rispetto agli assi cartesiani, dalla parte del semiasse
positivo delle y ; l’intervallo di positività si determina risolvendo la disequazione : f ( x)  0
.
Indietro:inizio del procedimento
Avanti: continua il procedimento
3
4.Calcolo di limiti
Si calcolano i limiti negli estremi del C.E. per vedere l’andamento della funzione; si trovano gli eventuali
punti di discontinuità e si stabilisce la specie.
5. Ricerca degli asintoti
Gli asintoti possono essere di tre tipi: verticali, orizzontali e obliqui.
a) Asintoti verticali: una retta del tipo x=a è un asintoto verticale se è soddisfatta la condizione
lim( x  a) f ( x)  
b) Asintoti orizzontali: una retta di equazione y=k è un asintoto orizzontale se
lim( x  ) f ( x)  k
c) Asintoti obliqui: la retta di equazione y=mx+q risulta un asintoto obliquo, per il grafico della funzione,
se,dopo avere verificato che è soddisfatta la condizione lim(x  )   , risultano finiti i valori dei
f ( x)
m  lim( x  ) f ' ( x)  lim( x  )
, q  lim( x  ) f ( x)  m  x 
due limiti
x
Si noti che trattando lo studio di funzioni univoche la presenza di un asintoto orizzontale esclude la
presenza di quello verticale e viceversa.
Inizio procedimento
Indietro:procedimento
Avanti:continua procedimento
4
6. Studio del segno della derivata prima
La funzione è crescente negli intervalli che sono soluzione della disequazione
decrescente per
f ' ( x)  0
mentre è
f ' ( x)  0 .
Un punto di ascissa xM
è un massimo relativo, M r , se sono soddisfatte le condizioni :
f ' ( xM )  0; f ' ( x)  0, per , x  xM ; f ' ( x)  0, per , x  xM
Il punto m r
è un minimo relativo se:
f ' ( xm )  0; f ' ( x)  0, se, x  xm ; f ' ( x)  0, se, x  xm
7. Studio del segno della derivata seconda
La funzione ha la concavità rivolta verso l’alto negli intervalli che costituiscono la soluzione della
''
''
disequazione f ( x)  0
mentre la concavità è rivolta verso il basso quando f ( x)  0
In un punto M r di massimo relativo risulta pertanto f '' ( xM )  0 mentre in un minimo relativo si ha f '' ( xm )  0
Un punto si dice di flesso, F , quando risulta :
f '' ( xF )  0 ;in un punto di flesso la retta tangente alla
curva-grafico della funzione, attraversa la curva stessa.
''
'
Quando la tengente inflessionale è parallela all’asse x ,deve essere: f ( xF )  0, f ( xF )  0
.
Inizio del procedimento
Indietro:procedimento
Avanti:continua procedimento
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8. Esame di situazioni particolari
a) Punti in cui non esiste la derivata prima: flessi verticali, cuspidi, punti angolosi.
b) Simmetrie rispetto a punti o rette particolari.
Studiamo ora un esempio di funzione razionale fratta.
Inizio procedimento
Indietro. procedimento
Funzioni razionali fratte
Sono funzioni razionali fratte quelle del tipo:
cui la x compare al denominatore.
y
f ( x)
g ( x)
in
Sono caratterizzate dal fatto che generalmente presentano
degli asintoti verticali del tipo
per i valori della x in
cui si annulla il denominatore. Cioè per gli x tali che risulta:
xa
g ( x)  0
,tali valori sono esclusi dal C.E.
x 4
y
( x  1)
2
Esempio 1:
2
Torna a :procedimento studio funzioni
Grafico
Esempio 1
Funzione:
x 4
y
( x  1)
2
2
Campo di esistenza
C.E. :
x  1
(Clic per visualizzare)
Torna a procedimento
Torna a funz.raz.fratte
1
Avanti:pag.seguente
Intersezione asse y
x  0 : y  4; A(0,4)
Intersezioni asse x
x 4
y  0:
 o; x  2, x  2; B(2,0), C (2,0)
( x  1)
2
2
Segno della funzione
x 4
y  f ( x) 
 0 : x  2, x  2
( x  1)
2
2
(Clic per visualizzare)
Procedimento
Funz.raz.fratte
Indietro:pag.precedente
Avanti
Calcolo limiti in estremi C.E.
x2  4
lim( x  )[
]  1
( x  1) 2
(fare clic per visualizzare)
x2  4
lim( x  )[
]  1
( x  1) 2
x2  4
lim( x  1 )[
]  
( x  1) 2

Y=+1
x2  4
lim( x  1 )[
]  
( x  1) 2

Asintoti verticali: x=+1
X=+1
Asintoti orizzontali: y=+1
Asintoti obliqui:non ce ne sono
Procedimento
Funz.raz.fratte
Indietro
Avanti
Calcolo della derivata prima
 2  x  10  x  8
y 
( x  1)
2
4
Studio del segno della derivata prima
 2  x  10  x  8
y 
 0 :1  x  4
( x  1)
2
4
Intervalli di crescenza decrescenza
La funzione è crescente per: 1<x<4
Massimi e minimi relativi
C’è un massimo relativo in: Mr(4,4/3)
Procedimento
Funz.raz.fratte
Indietro
Avanti
Calcolo derivata seconda
2  x  13  x  11
y 
( x  1)
2
5
Studio segno derivata seconda
2  x  13  x  11
y 
0
( x  1)
2
5
Concavità verso l’alto e verso il basso
La funzione ha la concavità verso l’alto
per:x>11/2, verso il basso per: x<4 ma
x 1
Punti di flesso:c’è un punto di
flesso per x=11/2
Procedimento
Funz.raz.fratte
Indietro
Avanti
Grafico della funzione:
x2  4
y
 x  12
(fare clic per visualizzare gli elementi)
X=+1
 4
M r  4, 
 3
Y=+1
Flesso
B(-2,0)
C(+2,0)
A(0,-4)
Procedimento
Funz.raz.fratte
Indietro
Fine