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CALCOLO DIFFERENZIALE
FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI E FUNZIONI VETTORIALI
Domini e disequazioni in tre variabili.
Derivate parziali prime e gradiente. Matrice jacobiana e regola della catena.
Nota. Qui non vengono trattati i casi delle funzioni scalari di due variabili e vettoriali di una variabile
(curve), per i quali si rimanda ai documenti appositi.
Esercizio 1 Descrivere il dominio della funzione f , nei seguenti casi:
s
r
x2 + y 2 − 1
2x − x2 − y 2 − z 2
1) f (x, y, z) =
2) f (x, y, z) =
z+1
x2 + y 2 + z 2 − x
Esercizio 2 Calcolare il gradiente della funzione f , nei seguenti casi:
1) f (x, y, z) = x sin (z(y − 1))
2) f (x, y, z) = log(xyz )
3) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 x4
4) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = ex1 +x2 +x3 +x4
Esercizio 3 Siano f : R2 → R3 e g : R3 → R le due funzioni definite da f (u, v) = (u2 , uv, v 2 )
e g(x, y, z) = x2 + yz. Verificare la formula che fornisce la matrice jacobiana di g ◦ f , ossia
Jg◦f (u, v) = Jg (f (u, v)) · Jf (u, v).
CALCOLO DIFFERENZIALE - Funzioni di più variabili e funzioni vettoriali
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SVOLGIMENTI
q
2
2
−1
Esercizio 1
1) La funzione f (x, y, z) = x +y
è definita nei punti (x, y, z) che risolvono
z+1
la disequazione
x2 + y 2 − 1
≥ 0,
z+1
ossia nell’unione dei due insiemi
A1 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≥ 1, z > −1 , A2 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 1, z < −1 .
A1 è l’insieme dei punti del semispazio aperto z > −1 che si trovano “al di fuori” del
cilindro x2 + y 2 = 1 (cilindro parallelo all’asse z che taglia il piano xy nella circonferenza
x2 + y 2 − 1 = z = 0 di centro (0, 0, 0) e raggio 1), cilindro compreso.
A2 è l’insieme dei punti del semispazio aperto z < −1 che si trovano “al di dentro” del
cilindro x2 + y 2 = 1, cilindro compreso.
L’unione dom f = A1 ∪ A2 è rappresentata in Fig. 1.
2) La funzione f (x, y, z) =
disequazione
q
2x−x2 −y 2 −z 2
x2 +y 2 +z 2 −x
è definita nei punti (x, y, z) di R3 che risolvono la
2x − x2 − y 2 − z 2
≥ 0.
x2 + y 2 + z 2 − x
Studiamo separatemente numeratore e denominatore, per poi usare la regola dei segni.
Il numeratore è la funzione f1 (x, y, z) = 2x − x2 − y 2 − z 2 , che si annulla nei punti in cui
2x − x2 − y 2 − z 2 = 0, cioè nei punti della sfera
S1 : x2 + y 2 + z 2 − 2x = 0,
la quale ha centro (1, 0, 0) e raggio 1. Nei punti interni alla sfera risulta f1 (x, y, z) > 0
(si faccia ad esempio il test con le coordinate del centro), mentre nei punti esterni risulta
f1 (x, y, z) < 0.
Il denominatore è la funzione f2 (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − x, che si annulla nei punti della
sfera
S2 : x2 + y 2 + z 2 − x = 0
la quale ha centro ( 21 , 0, 0) e raggio 12 . Nei punti interni alla sfera S2 risulta f2 (x, y, z) < 0,
mentre nei punti esterni risulta f2 (x, y, z) > 0.
La sfera S2 è tangente internamente ad S1 (nell’origine), per cui R3 privato delle due sfere
rimane suddiviso in tre regioni aperte: A1 formata dai punti interni ad S2 , A2 formata
dai punti compresi tra le due sfere (sfere escluse) ed A3 formata dai punti esterni ad S1 .
In A2 , le due funzioni f1 , f2 sono dello stesso segno e quindi il loro rapporto è positivo,
mentre in A1 e in A3 le due funzioni sono di segno opposto e quindi il loro rapporto è
negativo.
Dunque dom f = A2 ∪ (S1 \ (0, 0, 0)) (dove i punti di S1 diversi da (0, 0, 0) vanno aggiunti
perché non fanno parte di A2 ma sono accettabili, in quanto annullano il numeratore e
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CALCOLO DIFFERENZIALE - Funzioni di più variabili e funzioni vettoriali
Figura 1
Figura 2
non li denominatore). In Fig. 2, per chiarezza, sono rappresentati solo i punti di dom f
con z ≤ 0.
Esercizio 2 Osserviamo che, per i teoremi sulle operazioni tra funzioni derivabili parzialmente,
tutte le funzioni considerate ammettono gradiente in ogni punto del loro dominio; pertanto non
dovremo affrontare alcuna questione di esistenza delle derivate parziali e si tratterà solo di
eseguirne il calcolo.
1) Poiché tutte le operazioni svolte da f sono definite per ogni valore del loro argomento,
risulta dom f = R3 . In ogni punto (x, y, z) di R3 si ha
∂f
∂
= sin (zy − z)
(x) = sin (zy − z) ,
∂x
∂x
∂f
∂
∂
= x (sin (zy − z)) = x cos (zy − z)
(zy − z) = xz cos (zy − z) ,
∂y
∂y
∂y
∂f
∂
∂
= x (sin (zy − z)) = x cos (zy − z)
(zy − z) = x(y − 1) cos (zy − z) .
∂z
∂z
∂z
Dunque ∇f = (sin (zy − z) , xz cos (zy − z) , x(y − 1) cos (zy − z)).
2) Si ha dom f = (x, y, z) ∈ R3 : x > 0 (aperto) e per ogni (x, y) ∈ dom f risulta f (x, y, z) =
yz log x. Allora
∂f
yz
∂f
∂f
=
,
= z log x,
= y log x
∂x
x
∂y
∂z
e quindi ∇f = yz
x , z log x, y log x .
3) Per ogni (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ dom f = R4 , si ha ∇f = (x4 , 0, 0, x1 ).
4) Per ogni (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ dom f = R4 , si ha ∇f = ex1 +x2 +x3 +x4 (1, 1, 1, 1).
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Esercizio 3 La matrice jacobiana di f è


2u 0
Jf (u, v) =  v u  ,
0 2v
mentre la matrice jacobiana di g, che ha valori reali, è il suo gradiente ∇g (x, y, z) = (2x, z, y).
Dunque risulta
Jg (f (u, v)) = ∇g (f (u, v)) = ∇g u2 , uv, v 2 = (2u2 , v 2 , uv)
e pertanto il prodotto righe per colonne di Jg (f (u, v)) e Jf (u, v) è


2u 0
Jg (f (u, v)) · Jf (u, v) = (2u2 , v 2 , uv)  v u  = (4u3 + v 3 , 3uv 2 ).
0 2v
D’altra parte, la funzione composta g ◦ f ha valori reali ed è data da (g ◦ f )(u, v) = (u2 )2 +
(uv)(v 2 ) = u4 + uv 3 , per cui la sua matrice jacobiana è
Jg◦f (u, v) = ∇(g ◦ f )(u, v) = (4u3 + v 3 , 3uv 2 ).
Ciò conferma la regola della catena, cioè la regola di moltiplicazione delle matrici jacobiane per
la composizione di funzioni.