1
Facoltà di Ingegneria di Messina
Corso di Scienza delle Costruzioni 1
Lezione 2
Teoria dei vettori
Sistemi di forze
Prof. Ing. Giuseppe Ricciardi
A.A. 2010-2011
2
Teoria dei vettori
3
Teoria dei vettori
Il problema dell’equilibrio e del moto dei corpi richiede di rappresentare in modo conveniente
e sintetico le cause che producono lo stato di quiete o il movimento di un corpo (ed i fenomeni
ad esso connessi) o la descrizione della configurazione di un sistema
Un’adeguata rappresentazione di grandezze fisiche dotate di intensità, direzione e verso
(spostamenti, forze) si ottiene mediante enti geometrici denominati “vettori”
Il vettore è un ente geometrico caratterizzato da un’intensità (numero reale non negativo detto
“modulo”), da una direzione e da un verso (e eventualmente da un punto di applicazione)
P
v  AP
v
Vettore applicato
(spostamenti, forze)
A punto di applicazione
A
P
v
Vettore libero
(rotazioni, momenti)
A
v v
modulo
4
Vettore opposto
Dato il vettore v , il vettore v , che ha lo stesso modulo, la stessa direzione,
ma verso opposto, dicesi vettore “opposto” di V :
Due vettori applicati opposti, che
abbiano la stessa retta di applicazione,
v
v
si dicono direttamente opposti:
Vettori unitari (versori)
Il versore è un vettore unitario, cioè con modulo uguale ad 1,
introdotto con l’obiettivo di definire l’orientamento di una
retta o di un vettore. I versori corrispondenti agli assi
cartesiani spesso sono indicati come i , j, k
Un versore può essere utilizzato anche per individuare
la giacitura di un piano, per esempio in figura n è il
versore caratterizzante la direzione ortogonale al piano
π con verso uscente dal piano stesso.
v
v
5
Retta di applicazione o retta di azione
Dato un vettore applicato v in P1, si chiama
retta di azione, la retta r (orientata) alla quale il
vettore appartiene. Ovviamente non ha senso
parlare di retta di applicazione di un vettore libero
r
Componente di un vettore secondo una retta orientata
In generale retta e vettore possono essere sghembi, cioè
non avere alcun punto in comune (proprio o improprio)
Il componente (vettore):
v r  AP  ( v  r )r  (v cos  )r
r
La componente (scalare con segno):
vr  v r  AP  v  r  v cos 
r versore della
retta orientata
6
Componenti cartesiane di un vettore
I vettori componenti del vettore v secondo x, y, z:
v x  ( v  i )i  (v cos  x )i  (v x )i
v y  ( v  j) j  (v cos  y )i  (v y )i
v z  ( v  k )k  (v cos  z )k  (v z )k
k
i
Le componenti (scalari con segno):
z
x
y
j
vx  v x  v  i  v cos  x  v x
v y  v y  v  j  v cos  y  v y
 s  cos  s coseni direttori
del vettore v
vz  v z  v  k  v cos  z  v z
Quadrando e sommando:
vx2  v y2  vz2  v 2 x2  v 2 y2  v 2 z2
 v 2 ( x2   y2   z2 )  v 2
s 
vs
vs

,
2
2
2
v
vx  v y  vz
s  x, y , z
7
Rappresentazione di un vettore
Il vettore v individuato dalle tre componenti cartesiane si indica:
 vx 
v  v y 
 vz 
 nx   cos  x   x 
n   n y    cos  y    y 
 nz   cos  z   z 
vettore
Nel caso in cui si conoscano le coordinate dell’estremo P
P
z
del vettore e dell’origine A, non coincidente con l’origine
della terna cartesiana di riferimento, si ha:
v  xP  xA
A
O
x
v  ( xP  x A ) 2  ( y P  y A ) 2  ( z P  z A ) 2
vx xP  x A

,
v
v
y 
vy
v

yP  y A
,
v
v
xP
xA
v x  xP  x A
v y  yP  y A
vz  z P  z A
x 
versore
z 
vz z P  z A

v
v
y
8
Algebra dei vettori. Operazioni tra vettori liberi
L’elenco delle operazioni tra vettori può essere così sintetizzato:
9
Somma di due vettori
z
La somma di due vettori u e v è l’operazione che
associa ai due vettori dati un terzo vettore w ottenuto
nel modo seguente: scelto un punto qualsiasi A nello
w
A
stessi e si fa coincidere l’origine di u con A e l’origine di
vV con l’estremità P di u , il vettore w risulta definito dal
di ciascuno con un punto A prefissato.
La somma o risultante di due vettori viene individuata
y
w uv
x
v
A
B
w
u
w  v u
u
v
dalla diagonale orientata, che ha per lati i due vettori
che si sommano. La somma di due vettori gode della
proprietà commutativa
P
O
La somma di due vettori si può ottenere anche con la
“regola del parallelogramma”, trasportando i due vettori
parallelamente a sé stessi e facendo coincidere l’origine
v
u
spazio si spostano i vettori mantenendoli paralleli a sé
segmento orientato con origine in A ed estremità in B.
B
A
B
w
v
u
w uv
10
Somma di due vettori
Come conseguenza della proprietà commutativa, le componenti di w secondo gli assi
cartesiani, nel riferimento spaziale Oxyz, sono la somma delle componenti di u e v :
y
wx  vx  u x
B
wy  v y  u y
uy
wz  vz  u z
wy
In forma matriciale:
 wx   vx   u x   vx  u x 
w  v  u   wy    v y   u y    v y  u y 
 wz   vz   u z   vz  u z 
vy
O
u
P
v
w
vx
ux
wx
x
11
Differenza di due vettori
La differenza di due vettori w  v  u si ottiene sommando al primo il secondo cambiato
di verso, e ripetendo, quindi, quanto precedentemente fatto per la somma di due vettori:
w  v  u  v  (u )
Si potrebbe arrivare allo stesso risultato
applicando la regola del parallelogramma,
si vede così che la differenza dei due
vettori è data dalla seconda diagonale del
u
v
parallelogramma determinato dai vettori U
e V , mentre la prima come già visto
w
v
rappresenta la somma:
u
v
w
v
w
u
u
v
u
12
Somma di più vettori
Proprietà commutativa
4
R   vi
Vettore risultante
i1
Può succedere che la poligonale
dei vettori sia chiusa, in tal caso il
risultante è nullo.
R0
13
Prodotto di un vettore per uno scalare
w  kv
w  w  k v  kv
v  v x  v y  v z  vx i  v y j  v z k
v  vr
14
Prodotto scalare
Si definisce prodotto scalare fra due vettori u e v , e lo si indica con il simbolo “  ”,
l’operazione che associa ai due vettori un numero reale w ottenuto dal prodotto del modulo
di u per il modulo di v per il coseno dell’angolo  compreso fra le due direzioni:
w  u  v  u v cos 
0  
v
Proprietà commutativa

w  u  v  v u
u
Inoltre: w  u  v  u ( v cos  )  v ( u cos  )
v
v
u cos 

v cos 

u
u
15
Prodotto vettoriale
Si definisce prodotto vettoriale fra due vettori u e v , e lo si indica con il simbolo “  ”,
l’operazione che associa ai due vettori un terzo vettore w così definito:
v
w  u  v  u v sin  r   r

u sin 
  uv sin 
u
area parallelogramma
r è un versore normale al piano individuato dai vettori u e v , il verso di r è tale che una
vite che ruota descrivendo l’angolo  ( 0     ) avanza nel verso di r
 , con 0     , è l’angolo compreso tra i versi positivi di u e v
w
v

u

v
r

u
16
Prodotto vettoriale
Il prodotto vettoriale non gode della proprietà commutativa. Infatti, cambiando l’ordine dei
fattori cambia il verso del vettore prodotto:
w  u v
v
v
u v  vu
u
u
z  vu
w  u v
w  v  u
v
v
u
u
u  v  v  u
17
Prodotto vettoriale
Proprietà distributiva del prodotto vettoriale (vettori complanari)
u  (v  w)  u  v  u  w
us
us  u v  uw
s  (v  w)
u v
uw
us  u v  uw
18
Prodotto vettoriale tra versori cartesiani
Dalla definizione di prodotto vettoriale:
ii  0
j j  0
k k  0
i j k
j k  i
j  i  k
k  j  i
k i  j
i  k  j
k  i j
j  k i
i  j k
19
Prodotto vettoriale tramite il determinante simbolico
Dati due vettori u e v definiti mediante le loro componenti e indicando con i , j, k i
versori diretti come gli assi x, y, z di una terna cartesiana, essi si possono esprimere
nella seguente forma:
ux 
u  u y 
u z 
 vx 
v  v y 
 vz 
u  ux i  u y j  u zk
v  v x i  v y j  vz k
Il prodotto vettoriale di u e v è:
w  u  v  (u x i  u y j  u z k )  (vxi  v y j  vz k )
 u x vx (i  i )  u x v y (i  j)  u x vz (i  k )
u y vx ( j  i )  u y v y ( j  j)  u y vz ( j  k )
u z vx (k  i)  u z v y (k  j)  u z vz (k  k )
 u x v y k  u x vz j  u y vx k  u y vz i  u z vx j  u z v y i
 (u y vz  u z v y )i  (u z vx  u x vz ) j  (u x v y  u y vx )k
20
Prodotto vettoriale tramite il determinante simbolico
Il prodotto vettoriale di u e v come determinante della seguente matrice:
i
w  u  v  ux
j
uy
vx
vy
k
uy
uz 
vy
vz
uz
u
i x
vz
vx
uz
vz
j
ux
vx
uy
k
vy
 (u y vz  u z v y )i  (u z vx  u x vz ) j  (u x v y  u y vx )k
Le componenti del vettore w  u  v sono rappresentati dai cofattori degli elementi della
prima riga della matrice:
 wx  u y vz  u z v y 


w   wy    u z vx  u x vz 
 wz  u x v y  u y vx 
wx 
uy
uz
vy
vz
,
wy  
ux
uz
vx
vz
, wz 
ux
uy
vx
vy
21
Espressione matriciale del prodotto vettoriale
wx  u y vz  u z v y
w  wx i  wy j  wz k
wy  u z v x  u x v z
wz  u x v y  u y vx
Si associa al primo vettore u la matrice U di
seguito definita:
u
 0

U   uz
 u y

u z
0
ux
uy 

u x 
0 
Il prodotto vettore si esprime come prodotto matriciale:
 0

w  u  v  Uv   u z
 u y

u z
0
ux
u y  vx   u y vz  u z v y   wx 



u x  vx    u z vx  u x vz    wx 
0  vx  u x v y  u y vx   wx 
22
Sistemi di forze
23
Momento polare
MO  
Sia dato un vettore v applicato in un punto P di
una retta r e si consideri un altro punto O non
appartenente ad r. Il momento polare di v rispetto
ad O è dato dal seguente prodotto vettoriale:
v
O
d  d sin 
d

P
M O  OP  v  d  v

Il modulo del momento polare rispetto ad O sarà:
MO  
M O  v (d sin  )  vd
r
O
d
d  d sin 
v
v
O
P


d P

r
24
Espressione matriciale del momento polare
z
 vx   v x 
v  v y   v y 
 vz   v z 
r
M O  ( v, d )
v
P 
O
 d x   xP  0   xP 
OP  d   d y    yP  0   yP 
 d z   z P  0   zP 
 0
M O  OP  v   zP
  yP
 0
  zP

  yP
 zP
0
xP
 zP
0
xP
d z
P
xP
y
yP
x
P  (xp , yp , z p )
y P   vx 
 xP  v y 
0   vz 
yP   v x   ( z yP   y z P )v 


 xP   v y    ( x zP   z xP )v 


0   v z  ( y xP   x yP )v 
M Ox  ( z yP   y z P )v
M Oy  ( x z P   z xP )v
M Oz  ( y xP   x yP )v
25
Proprietà del momento polare
1. Il momento polare non cambia se si sposta il punto di applicazione della forza (del vettore)
lungo la propria retta d’azione r.
Cioè se si fa scorrere v lungo la sua retta d’azione il momento polare rispetto ad un polo
O non varia. Infatti, il braccio di v rispetto ad O, che rappresenta la distanza di O dalla
retta r, non cambia.
M O1  OP1  v  d1  v
v
M O 2  OP2  v  d 2  v
P1
d  d1 sin 1  d 2 sin 2
d
v
d2
M O1  d1 v sin 1  d v
P2
M O 2  d 2 v sin 2  d v
r
M O  dv
1
d1
O
2
26
Esempio
27
Esempio
M O1  OP1  v 
M O 2  OP2  v 
Il modulo del momento può anche essere calcolato come prodotto del modulo di V per il
suo braccio rispetto ad O:
28
Proprietà del momento polare
2. Il momento polare non cambia se si sposta il polo lungo una retta parallela a quella d’azione
della forza.
Anche in questo caso il braccio d rimane invariato (anche
se i vettori posizione e l’angolo  variano), pertanto il
momento polare non cambia
O1
v
M O  OP  v  d  v
O
M O1  O1 P  v  d1  v
d
d1
M O2  O2 P  v  d 2  v
O2
d  d sin   d1 sin 1  d 2 sin 2
M O  d v sin   d v
M O1  d1 v sin 1  d v
M O2  d 2 v sin  2  d v
d2
P 
1
d
r  r
r
M O  dv
2

29
Proprietà del momento polare
3. Il momento polare di una forza (vettore) rispetto ad un punto della sua retta d’azione è nullo
v
sin   0
 0
d
M O  vd sin   0
P
O
r
4. Cambio del polo: il momento polare di una forza v rispetto ad un punto O è anche uguale
al momento di v rispetto al polo O aumentato del momento di v supposto applicato in O

rispetto a O
O
M O  O  P  v  d   v

OO

 (O P  O O )  v
d
v
v
O
 (O P  v )  (O O  v)
d

 M O  (O O  v )
r
O  P  O O  O P
30
Trasporto di una forza
Una forza può essere trasportata parallelamente a se stessa e fatta passare per un punto
qualunque, purché si aggiunga il momento che nasce da questo trasporto. In tal modo non
cambia il campo di momento generato dalla forza.
MO
M O  OP  v
v
v
O
O
P
P
Data una forza v , applicata in P , è possibile spostare il punto di applicazione in O purché

al momento polare rispetto ad un qualsiasi polo O si aggiunga il momento di trasporto
M O  OP  v
31
Esempio
Si consideri un pilastro soggetto ad una forza verticale applicata all’estremo P, è possibile
applicare tale forza nel baricentro O purché venga aggiunto il momento di trasporto
32
Momento assiale di una forza
Dati un asse “a” e una forza V (non parallela né incidente ad “a”) si definisce momento
assiale di V rispetto ad “a” il momento polare della proiezione di V su un piano
all’asse “a” rispetto al punto O dato dall’intersezione di “a” con il piano
.
M a  OP  v
Quindi il momento di una forza
rispetto ad un asse è il prodotto della
proiezione della forza su un piano
normale all’asse, per la sua minima
distanza dall’asse. Il momento assiale
è nullo se la forza incontra l’asse o se
è parallela ad esso, quindi se la forza
ha in comune con l’asse un punto, sia
proprio sia improprio.
normale
33
Momento risultante
Dati due vettori v1 , applicato nel punto P1, e v 2 , applicato nel punto P2, si dice momento
risultante M OR rispetto al polo O la somma vettoriale dei momenti dei singoli vettori
rispetto ad O.
M O1  OP1  v1
M O 2  OP2  v 2
I due vettori M O1 e M O 2 possono essere
sommati vettorialmente dando luogo al
momento risultante:
M OR  M O1  M O 2
Nel caso di n vettori il momento risultante rispetto al polo O
sarà dato dalla somma (vettoriale) dei momenti dei singoli
vettori rispetto al polo O:
n
n
M OR   M Oi   OPi  v i
i 1
i 1
34
Coppie
Due vettori applicati in due punti distinti formano una coppia se hanno la stessa intensità,
linee d’azione parallele e versi opposti. Cioè v1  v , v 2   v . E’ chiaro che il Risultante
di tale sistema è nullo.
M O  OP1  v  OP2  ( v )
P2 P1
 (OP1  OP2 )  v  P2 P1  v
In tale espressione non compare il polo O,
pertanto il momento di una coppia non dipende
dal polo scelto.
O
35
Coppie
Se il punto O appartiene al piano
definito dai vettori v e v si ha una
rappresentazione piana
M O  P2 P1  v
Il momento risultante rispetto ad un
altro punto O’ appartenente allo stesso
piano vale
M O  OP1  v  OP2  ( v )  P2 P1  v  M O
cioè il momento non cambia qualsiasi sia il punto rispetto al quale si ricerca il momento
risultante.
36
Coppie
Il modulo di M O vale M O  P2 P1 v sin   v b
b  P2 P1 sinèil braccio della coppia
v
mentre
dove ϕ è l’angolo tra i vettori P2 P1 e
Quindi il modulo del momento della coppia è sempre dato dal prodotto del modulo di uno
dei due vettori per il braccio della coppia, per qualsiasi punto rispetto al quale si calcola il
momento.
La direzione del momento della coppia è perpendicolare al piano individuato dai due
vettori della coppia.
Il verso del momento della coppia è antiorario (positivo) se la coppia tende ad imprimere
al corpo una rotazione antioraria, ed è orario (negativo) se la coppia tende ad imprimere al
corpo una rotazione oraria.
37
Proprietà delle coppie
1. La coppia può essere rappresentata dal suo vettore momento.
2. I due vettori che compongono la coppia possono essere ruotati intorno al loro punto di
applicazione purché si cambi il modulo dei vettori che la compongono in modo che il modulo
del momento che rappresenta la coppia rimanga costante: v b  v  b
3. Una coppia può essere trasportata su un piano parallelo a
quello su cui giace, senza modifica al campo di momento
che essa induce.
4. Una coppia può essere trasportata comunque nel piano in
cui giace, senza modificazioni al campo di momento che
essa induce.
5. Le coppie possono essere sommate mediante la somma
dei loro vettori momento.
38
Esercizio
Dati i vettori v1 e v 2 , applicati nei punti P1 e P2, rispettivamente, definiti attraverso le
loro componenti cartesiane, verificare che costituiscono coppia
Affinché i due vettori formino coppia devono costituire
un sistema con risultante nulla, cioè devono avere lo
stesso modulo ed essere paralleli ma con verso opposto.
Inoltre le componenti sono proporzionali a meno
del segno, quindi i due vettori sono paralleli ma
con verso opposto.
39
Esercizio
Calcolo del momento risultante rispetto all’origine O del sistema di riferimento:
40
Esercizio
Il momento di una coppia è anche dato dalla seguente espressione:
M O  P2 P1  v1  PP
1 2  v2
Dalla prima, applicando ad esempio, il metodo del determinante simbolico, si ottiene:
P2 P1
Il modulo del momento della coppia vale:
41
Trasporto di una forza
Una forza può essere traslata dal suo punto di applicazione P fino ad un qualunque punto O
purché gli si aggiunga una coppia di momento di valore M O  OP  v
Nel punto O è possibile applicare due forze, una uguale a v e l’altra uguale a v . Il sistema
costituito da queste due forze ha risultante e momento risultante nulli, pertanto non modifica
l’azione della forza originale sul corpo rigido.
Si può notare che la forza originale v applicata in P e la forza v applicata in O costituiscono
una coppia M O detta “coppia di trasporto”.
42
Riduzione di un sistema di forze
al risultante più il momento risultante
Scelto un polo O, un sistema di forze v i applicate nei punti Pi si riduce ad un insieme di
forze concorrenti in O e di coppie M Oi . Questo perché ogni forza del sistema può essere
trasportata nel punto O con la relativa coppia di trasporto.
Le forze concorrenti in O possono essere sommate, originando il risultante R applicato in
O. Anche le coppie M Oi posso essere sommate dando luogo al momento risultante M OR :
43
Riduzione di un sistema di forze
al risultante più il momento risultante
Pertanto, un sistema qualunque di forze applicate ad un corpo rigido si può sempre ridurre
ad una forza risultante R , passante per un punto arbitrariamente scelto O, e ad una coppia
risultante M OR .
n
R   vi
i 1
n
n
M OR   M Oi   OPi  v i
i 1
i 1
Il risultante R ha intensità, direzione e verso perfettamente determinati, indipendentemente
dalla scelta del polo di riduzione adottato. Invece la coppia M OR dipende dalla posizione
del polo, perché è la somma dei vettori M Oi  OPi  v i , che dipendono da O.
44
Equivalenza statica di sistemi di forze applicate
Quando un sistema di forze applicate ad un corpo rigido può essere sostituito da un altro
sistema di forze applicate allo stesso corpo senza provocare alcun cambiamento negli effetti
meccanici (tendenza alla traslazione e alla rotazione) i due sistemi di forze si definiscono
staticamente equivalenti.
Ad esempio la forza R applicata in P è staticamente equivalente al sistema di forze
concorrenti V ed H applicate nello stesso punto P.
45
Equivalenza statica di sistemi di forze applicate
Deve cioè risultare:
• il risultante del primo sistema deve essere uguale al risultante del
secondo (uguale tendenza alla traslazione)
• il momento risultante del primo sistema deve essere uguale al momento
risultante del secondo (uguale tendenza alla rotazione)
R VH
I
II
M OR
 M OR
Più in generale dati due sistemi S e S* di forze applicate ad un corpo rigido che hanno come
risultanti R e R* , e come momenti risultanti rispetto ad un polo qualsiasi O, M OR e MOR* , tali
sistemi si definiscono equivalenti se e solo se hanno il medesimo risultante (forza) e lo stesso
momento risultante (coppia) rispetto ad un qualsiasi polo.
Quindi si può affermare che due sistemi di forze applicate sono equivalenti se entrambi
possono essere ridotti allo stesso sistema Forza-Coppia (Risultante e Momento Risultante) in
un generico punto O.
46
Equivalenza statica di sistemi di forze applicate
47
Equivalenza statica di sistemi di forze applicate
48
Operazioni invariantive
Sono quelle operazioni che non modificano il campo dei momenti stabilito dal sistema di
forze applicate. Quindi queste operazioni non cambiano gli effetti meccanici delle forze
applicate ad un corpo rigido.
Le seguenti operazioni sono invariantive:
1. Spostare il punto di applicazione di una forza lungo la propria retta d’azione.
2. Aggiungere o togliere due forze uguali ed opposte agenti sulla stessa retta d’azione (tali
forze costituiscono una coppia di momento nullo).
3. Rimpiazzare più forze agenti su rette d’azione concorrenti in un punto con il loro risultante
applicato in tale punto. Viceversa si può decomporre una forza secondo più direzioni.
4. Spostare un forza in direzione perpendicolare alla sua retta d’azione aggiungendo la
corrispondente coppia di trasporto.
5. Sostituire più coppie con una sola coppia che ha come momento il momento risultante dei
vettori momento di ciascuna delle coppie date.
6. Trasportare una coppia su un piano parallelo a quello su cui giace.
49
Sistemi di forze applicate. Sistema equilibrante
Dato un sistema SA di forze applicate avente risultante R A e momento risultante M OR , A
rispetto ad un polo O qualsiasi, si da il nome di sistema equilibrante (del sistema dato) al
sistema SR di risultante R R e momento risultante M OR , R rispetto allo stesso polo tale che
si verifichi:
R A  RR  0
R A RR
M OR , A  M OR , R  0
M OR , A
Forze opposte
M OR , R Momenti opposti
Si può dire che il sistema SR è equilibrante di SA se il sistema formato da tutte le forze
appartenenti a SA e a SR costituisce un sistema nullo. Quindi il sistema equilibrante sommato al
sistema dato produce un sistema equilibrato.
In genere, dato un corpo rigido vincolato, sono note le forze attive applicate in diversi punti del
corpo, mentre sono incognite le forze reattive ai vincoli. Se l’insieme è in equilibrio, le reazioni
vincolari devono costituire un sistema equilibrante il sistema delle forze attive. Pertanto, la
determinazione delle reazioni vincolari si riduce alla ricerca del sistema equilibrante delle forze
attive.
50
Sistemi di forze applicate. Sistema equilibrante
51
Sistema di forze nullo o equilibrato
Quando il risultante R e il momento risultante M OR di un dato sistema di forze applicate
sono uguali a zero si dice che il sistema dato è nullo o equilibrato. Questa situazione
rappresenta un caso particolare di notevole importanza riguardante la riduzione dei sistemi.
Dal punto di vista meccanico, un sistema nullo non provoca nessun effetto sul corpo rigido
su cui agisce. Infatti non è presente alcuna tendenza alla traslazione o alla rotazione, quindi
il corpo rigido rimane in stato di quiete o di equilibrio.