Forze come grandezze vettoriali
L. Paolucci
23 novembre 2010
Sommario
Esercizi e problemi risolti.
Per la classe prima. Anno Scolastico 2010/11
Parte 1 / versione 2
Si ricordi che la risultante di due forze applicate al medesimo punto materiale è la diagonale,
passante per quel punto, del parallelogramma costruito sulle due forze date. Questa regola, nota
come regola del parallelogramma, consente di riprodurre l’effetto complessivo di due forze
mediante l’azione di una sola forza. L’operazione che consiste nel determinare la risultante di
due forze si dice composizione delle due forze.
Data una forza è sempre possibile rappresentarla come se fosse la risultante di due forze aventi
direzioni prestabilite. L’operazione di determinare due forze aventi direzioni assegnate e tali
che la loro risultante sia una forza data si dice scomposizione della forza in due componenti
secondo direzioni assegnate; tale operazione è l’operazione inversa della composizione.
1. Si consideri un sistema di due forze applicate ad un medesimo punto materiale e disposte
come indicato qui sotto.
F~1
F~2
Sapendo che le intensità delle forze sono F1 = 15 kgP ed F2 = 30 kgP , si determini la
forza risultante.
Trattandosi di due vettori perpendicolari tra loro, il parallelogramma corrispondente è in
effetti un rettangolo e la sua diagonale si può determinare mediante il teorema di Pitagora:
FR =
q
F12 + F22 =
√
152 + 302 =
1
√
1125 = 33,5 kgP
.
F~1
F~R
F~2
2. Si consideri il sistema di tre forze applicate al medesimo punto materiale e disposte come
indicato nel disegno qui sotto.
F~2
F~1
F~3
Sapendo che le intensità delle tre forze sono F1 = 18 kgP , F2 = 26 kgP ed F3 = 40 kgP ,
determinare la forza risultante.
Per determinare la risultante di un sistema costituito da più di due forze si procede
componendo dapprima due di esse, quindi componendo la loro risultante con la terza,
quindi la risultante di queste tre con la quarta, e così via.
Poiché F~1 ed F~3 sono due forze giacenti sulla stessa retta, cioè aventi la stessa direzione, è
opportuno trovare prima la risultante F~13 di queste due; quindi si procederà componendo
F~13 con F~2 per ottenere la risultante delle tre forze date.
Abbiamo dunque
F13 = F3 − F1 = 40 − 18 = 22 kgP ;
il vettore F~13 è perpendicolare al vettore F~2 .
F~2
F~13
Dalla composizione dei due otteniamo
q
√
√
2
+ F22 = 222 + 262 = 1160 = 34,1 kgP
FR = F13
F~2
F~R
F~13
2
.
3. Si consideri un sistema di quattro forze applicate ad un medesimo punto materiale e
disposte come indicato nel disegno qui sotto.
F~2
F~1
F~3
F~4
Sapendo che le intensità delle forze sono F1 = 140 kgP , F2 = 160 kgP , F3 = 210 kgP ed
F4 = 190 kgP , determinare la forza risultante.
In questo caso le forze hanno, a due a due, la medesima direzione. Quindi conviene
comporre dapprima F~1 con F~3 e F~2 con F~4 ; quindi si troverà la risultante delle quattro
forze componendo F~13 con F~24 . Si ha dunque:
F13 = F3 − F1 = 210 − 140 = 70 kgP
F24 = F4 − F2 = 190 − 160 = 30 kgP
,
.
F~13
F~24
Poiché le due forze così ottenute sono perpendicolari tra loro, la loro risultante, che è la
risultante dell’intero sistema di forze, si determina applicando il teorema di Pitagora:
q
√
√
2
2
FR = F13
+ F24
= 702 + 302 = 5800 = 76,2 kgP .
F~13
F~24
F~R
4. Due forze perpendicolari tra loro sono applicate ad un medesimo punto materiale. Una
delle forze ha intensità F1 = 60 kgP mentre la forza risultante ha intensità FR = 100 kgP .
Determinare l’intensità F2 della seconda forza.
3
F~R
F~1
Poiché le due forze sono perpendicolari per costruzione, esse formano i cateti di un
triangolo rettangolo nel quale F~R è l’ipotenusa, come indicato nel disegno qui sotto.
F~2
F~R
F~1
L’intensità di F~2 si determina quindi mediante il teorema di Pitagora:
F2 =
q
FR2 − F12 =
√
1002 − 602 =
√
√
10000 − 3600 = 6400 = 80 kgP
.
5. Una forza F~ avente intensità 120 kgP è applicata ad un punto materiale come indicato
nel disegno qui sotto.
F~
60◦
Scomporre la forza nelle sue due componenti ortogonali secondo le direzioni date.
4
Le componenti di F~ secondo le due direzioni perpendicolari indicate si ottengono dalle
note relazioni trigonometriche:
Fx = F · cos 60◦ = 120 · 0,500 = 60 kgP
Fy = F · cos 30◦ = 120 · 0,866 = 104 kgP
.
La rappresentazione grafica della scomposizione eseguita è la seguente:
F~
F~y
60◦
F~x
6. Due forze sono applicate al medesimo punto materiale e sono dirette come indicato nel
disegno qui sotto.
F~1
45◦
F~2
Sapendo che le loro intensità sono F1 = 45,0 kgP ed F2 = 70,0 kgP , determinare la forza
risultante.
Dapprima scomponiamo la forze F~1 in due componenti ortogonali, di cui una nella direzione di F~2 e l’altra perpendicolare ad essa: le chiameremo, rispettivamente, F1x ed F1y
come indicato nel disegno qui sotto.
F~1
F~1y
45◦
F~1x
5
F~2
Le intensità delle due componenti di F~1 si determinano così:
F1x = F1y = F1 · cos 45◦ = 45,0 · 0,707 = 31,8 kgP
.
A questo punto possiamo trovare la risultante delle forze orizzontali, cioè F~2 ed F~1x ,
semplicemente sommando le loro intensità:
Fx = F2 + F1x = 70,0 + 31,8 = 101,8 kgP
,
mentre la risultante delle forze verticali è ovviamente la stessa F~1y :
Fy = F1y = 31,8 kgP
.
La forza risultante si determina quindi mediante il teorema di Pitagora:
F =
q
Fx2 + Fy2 =
q
101,82 + 31,82 =
√
10363 + 1011 =
√
11374 = 106,6 kgP
.
F~R
F~y
F~x
La forza risultante così determinata è, ovviamente, la stessa che avremmo ottenuto
graficamente mediante la costruzione del parallelogramma.
7. (a) Un blocco di massa m = 40,0 kg poggia su un piano orizzontale scabro (cioè un piano
sul quale sperimenta un attrito non trascurabile). Il coefficiente di attrito statico tra
le superfici del blocco e del piano è ks = 0,50. Al blocco viene applicata una forza
trainante F~ orizzontale, la cui intensità è F = 19,0 kgP .
Stabilire se il blocco inizia a muoversi oppure rimane fermo.
Tracciare un diagramma delle forze applicate al blocco in questa situazione.
(b) Risolvere il medesimo problema nel caso in cui la forza F~ , con la stessa intensità, sia
inclinata di 30◦ verso l’alto rispetto alla orizzontale.
(a) Sul blocco agiscono quattro forze:
• la forza peso, diretta verticalmente verso il basso ed avente intensità P =
40,0 kgP ;
• la reazione vincolare del piano, diretta perpendicolarmente al piano ed uguale e
opposta alla forza premente, cioè al peso, cosicché N = P = 40,0 kgP ;
• la forza F~ orizzontale e con intensità F = 19,0 kgP ;
6
• la forza d’attrito, diretta orizzontalmente ed in verso opposto rispetto alla forza
trainante F~ ; la forza d’attrito ha un’intensità uguale a quella della forza trainante, a meno che essa non superi un valore caratteristico, dipendente dai materiali
a contatto e dalla forza premente.
Determiniamo innanzitutto l’intensità massima della forza d’attrito statico, secondo
la fondamentale relazione:
FA max = ks · Fpremente = ks · P =
= 0,50 · 40,0 kgP = 20,0 kgP
.
Come si vede l’intensità della forza trainante non supera l’intensità massima della
forza d’attrito; dunque la forza d’attrito riesce a compensare esattamente F~ e il
blocco rimane fermo. Si ha quindi:
FA = F = 19,0 kgP
,
cosicché la forza risultante è nulla; il corrispondente diagramma delle forze è tracciato
qui sotto.
~
N
F~A
F~
P~
(b) Nel caso in cui F~ è inclinata rispetto all’orizzontale, bisogna osservare che F~ agisce
in modo da trainare (in parte) il blocco e contemporaneamente tende a sollevarlo,
dunque a diminuire la forza premente complessiva tra le superfici a contatto. Per
determinare questi due effetti distinti è necessario scomporre il vettore F~ in due
componenti ortogonali, una orizzontale (F~x ) e l’altra verticale (F~y ):
Fx = F · cos 30◦ = 19,0 · 0,866 = 16,45 kgP ,
Fy = F · sin 30◦ = 19,0 · 0,500 = 9,50 kgP .
La forza premente complessiva risulta dunque dalla composizione del peso e della
componente verticale di F~ , cioè
Fpremente = P − Fy = 40,0 − 9,50 = 30,50 kgP
,
~ , in modo che la risultante
e tale sarà anche l’intensità della reazione vincolare N
delle forze verticali sia nulla.
7
La forza d’attrito massima risulta invece:
FA max = ks · Fpremente = 0,50 · 30,50 = 15,25 kgP
.
Poiché la forza trainante è, in questo caso, la sola componente F~x orizzontale, risulta
allora che il blocco inizia a muoversi sotto l’effetto di una forza risultante orizzontale:
FR = Fx − FA max = 16,45 − 15,25 = 1,20 kgP ' 1,2 kgP
.
Il diagramma corrispondente a questa situazione è riportato qui sotto.
~
N
F~y
F~
F~x
F~A
P~
8. Un blocco di massa m = 16,0 kg è posto su un piano inclinato liscio1 . Il piano è inclinato
di 30◦ rispetto all’orizzontale e la sua lunghezza è l = 5,20 m. Determinare la forza che è
necessario applicare al blocco per mantenerlo in equilibrio sul piano inclinato.
Approfittiamo per ricordare come si studia, in generale, il problema dell’equilibrio su
un piano inclinato. Riferendoci al disegno qui sotto, indichiamo con h e l l’altezza e la
lunghezza del piano e con α e β, rispettivamente, l’angolo tra piano e verticale e l’angolo
tra piano e orizzontale.
h
α
l
β
L’altezza h del piano, essendo cateto di un triangolo rettangolo, si ottiene dalla relazione
trigonometrica:
h = l · cos α .
1
Chiameremo liscia una superficie ogni volta che l’attrito su di essa è trascurabile.
8
È opportuno scomporre la forza peso in due componenti ortogonali, una parallela al piano
inclinato e l’altra perpendicolare ad esso. Le intensità di queste componenti si ottengono
dalle relazioni trigonometriche:
Pk = P · cos α ,
P⊥ = P · cos β = P · cos(90◦ − α) .
La reazione vincolare è esercitata dal piano sull’oggetto ed è uguale e contraria alla forza
che preme l’oggetto contro il piano, cioè uguale e contraria alla forza totale perpendicolare
al piano. In questo caso la forza diretta contro il piano è la componente P~⊥ , perciò si ha
~ = −P~⊥
N
.
Poiché dunque la reazione vincolare compensa una delle componenti del peso, la risultante
delle forze applicate all’oggetto è la componente del peso parallela al piano: per mantenere
in equilibrio l’oggetto è necessario applicare ad esso una forza esterna (forza equilibrante
F~E ) uguale e contraria a questa componente, cioè tale che
F~E = −Pk
.
Veniamo quindi al problema. Nel nostro caso abbiamo α = 60◦ e β = 30◦ ; quindi si ha
h = l · cos α = 5,20 · cos 60◦ = 5,20 · 0,500 = 2,60 m .
Scomponendo il peso in due componenti ortogonali si ottiene:
Pk = P · cos α = 16,0 · cos 60◦ = 16,0 · 0,500 = 8,0 kgP ,
P⊥ = P · cos β = 16,0 · cos 30◦ = 16,0 · 0,866 = 13,9 kgP .
~
N
F~E
α
P~k
h
P~⊥
P~
9
Si ha quindi che la reazione vincolare ha intensità
N = P⊥ = 13,0 kgP
,
mentre la forza esterna equilibrante è diretta parallelamente al piano, verso la sua sommità, ed ha intensità
FE = Pk = 8,0 kgP .
9. Un blocco di legno di massa m = 3,80 kg poggia su un piano inclinabile, anch’esso di legno.
La lunghezza del piano è l = 1,80 m. Il blocco rimane in equilibrio a causa dell’attrito col
piano. Sollevando il piano si osserva che il blocco si mette in movimento allorché l’altezza
del piano supera il valore h = 65 cm. Determinare il coefficiente d’attrito statico per le
superfici a contatto.
Riferendoci al disegno e alla spiegazione del problema precedente, osserviamo che all’altezza indicata si ha ancora equilibrio: l’equilibrio è mantenuto grazie alla forza d’attrito
che agisce come forza equilibrante compensando la componente del peso parallela al piano;
si ha cioè
FA = Pk .
Scomponiamo dunque la forza peso in due componenti ortogonali, come già visto. A
questo scopo notiamo che i dati del problema esprimono l’inclinazione del piano mediante
altezza e lunghezza (h e l), mentre le relazioni trigonometriche riportate più sopra la
esprimono mediante gli angoli. Tra i due punti di vista vi è una semplice relazione:
infatti, da
h = l · cos α
ricaviamo
cos α =
h
l
;
Le intensità delle componenti del peso si possono dunque esprimere così:
Pk = P · cos α = P ·
P⊥ =
q
P 2 − Pk2
h
l
,
,
dove, nella seconda relazione, abbiamo applicato il teorema di Pitagora.
Nel nostro caso abbiamo:
h
0,65 m
= 3,80 kgP ·
= 1,37 kgP ,
l
1,80 m
q
q
√
P⊥ = P 2 − Pk2 = 3,802 − 1,372 = 12,56 = 3,54 kgP
Pk = P ·
.
Il valore massimo dell’intensità della forza d’attrito statico è dato dalla formula:
FA max = ks · Fpremente
10
;
quindi il coefficiente d’attrito si ottiene dalla relazione:
ks =
FA max
Fpremente
.
Ora, nel nostro caso la forza che preme il blocco perpendicolarmente contro il piano è
la componente del peso perpendicolare al piano, cioè P~⊥ ; inoltre, per la condizione di
equilibrio vista all’inizio, l’intensità della forza d’attrito deve essere uguale a quella della
componente parallela del peso. Quindi, sostituendo, si ha
ks =
1,37 kgP
= 0,39 .
3,54 kgP
10. Un corpo di massa m = 250 kg è sospeso tramite due cavi disposti simmetricamente
rispetto alla verticale, come indicato nel disegno qui sotto.
1
2
30◦ 30◦
Determinare la tensione cui è sottoposto ciascun cavo.
Osserviamo innanzitutto che, per la simmetria del problema, le tensioni dei due cavi sono
identiche per intensità. Si può considerare il problema equivalente di un punto materiale
sottoposto a tre forze, immaginando dunque le tre forze applicate nello stesso punto: si
tratta delle due forze esercitate dai fili, siano esse T~1 e T~2 , e della forza peso P~ . Affinché
vi sia equilibrio è necessario che la risultante delle tre forze sia nulla. Quindi
la forza T~12 esercitata complessivamente dai due cavi, cioè la risultante di T~1 e T~2 , deve
essere uguale e contraria alla forza peso P~ , come indicato nello schema qui sotto.
11
T~12
T~1
T~2
30◦ 30◦
P~
Si tratta dunque di scomporre la forza risultante esercitata dai cavi in due componenti dirette come i cavi. Tracciamo dunque il corrispondente parallelogramma: poiché i due cavi
non sono perpendicolari non possiamo applicare direttamente il teorema di Pitagora per
determinare le intensità T1 e T2 delle tensioni dei cavi. Osserviamo però che, trattandosi
di un rombo (perché i lati sono tutti uguali), le diagonali sono certamente perpendicolari. Tracciando quindi le diagonali otteniamo quattro triangoli rettangoli. Possiamo così
sfruttare la relazione trigonometrica in cui il cateto verticale è la metà della forza T12 ,
cioè la metà del peso:
P
.
T1 · cos 30◦ =
2
Invertendo risulta:
P
250 kgP
2
T1 =
=
' 289 kgP .
◦
cos 30
0,866
Lo stesso vale per T2 .
In conclusione, poiché i due cavi sono inclinati (e non verticali), per sostenere un peso di
250 kgP ciascun cavo è sottoposto ad una tensione di 289 kgP .
11. Un corpo di massa m = 120 kg è sospeso nel punto di giunzione di due sbarre fissate ad
una parete e disposte come indicato nel disegno qui sotto.
12
2
40◦
1
Determinare le forze esercitate da ciascuna sbarra, supponendo che ogni sbarra possa esercitare forze solamente lungo la propria direzione ( e non in direzione
trasversale).
Il problema equivale a quello di un punto materiale sottoposto a tre forze, le due forze
F~1 ed F~2 delle sbarre e la forza peso P~ , applicate allo stesso punto materiale. Come
nel problema precedente, la risultante F~12 delle due forze F~1 ed F~2 deve essere uguale
e contraria alla forza peso. Quindi, inversamente, le due forze F~1 ed F~2 sono le due
componenti di F~12 secondo le direzioni delle sbarre. Ora rimane aperta la questione:
lungo ciascuna direzione, quale deve essere il verso delle due componenti? Basta riflettere
un poco (oppure tentare tutte le possibilità, e sono poche) per concludere che le due forze
componenti devono necessariamente essere orientate come indicato nel disegno qui sotto.
F~2
F~12
40◦
50◦
40◦
F~1
P~
Se ne deduce che la prima sbarra esercita una spinta F~1 , cioè una forza verso l’esterno
da sé, mentre la seconda sbarra esercita una trazione F~2 , cioè una forza verso se stessa.
13
Per quanto riguarda le intensità delle due forze, una volta costruito il parallelogramma si
formano due triangoli rettangoli e valgono le relazioni:
F1 = F2 · cos 40◦
F12 = F2 · cos 50◦
,
.
Ora possiamo ricavare F2 dalla seconda relazione e sostituirlo nella prima per ricavare F1 ,
cioè:
F12
120 kgP
F2 =
' 187 kgP ;
=
cos 50◦
0,643
da questa si ottiene
F1 = 187 kgP · cos 40◦ = 187 kgP · 0,766 = 143 kgP
14
.