FISICA 1 M-Z
A. A. 2000-2001
1
Fisica I
Struttura del Corso:
1. Meccanica del punto materiale
1.1 Cinematica
1.2 Leggi della Dinamica
1.3 Applicazioni delle Leggi della Dinamica
2. Meccanica dei sistemi di Punti Materiali
A. A. 2000-2001 S. Vitale
2
Libri:
Qualunque testo di Meccanica per Ingegneria o
Fisica
Esempi: C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica I
Liguori Editori
“La Fisica di Berkeley Vol. I” Zanichelli Editore
A. A. 2000-2001 S. Vitale
3
Es: Esperimento del Pendolo
Si misura il periodo T, tempo necessario
al pendolo ad effettuare un’oscillazione
completa.
Si misura L, distanza fra il centro di massa (?) del
pendolo e il punto di sospensione.
L
T
T@sD
2.5
L
0.193 m
0.394 m
0.594 m
0.796 m
1.000 m
1.205 m
T
2
0.891 s 1.5
1.281 s 1
1.588 s
1.772 s 0.5
2.010 s
2.215 s
0.2
0.4
A. A. 2000-2001 S. Vitale
0.6
0.8
1
1.2
4
L@mD
1) Le misure hanno un errore:
± 0.5 mV
22
23
L(cm)
± 0.5 mm (?)
Ripetizioni
esperimento
24
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
T
0.907 s
0.923 s
0.926 s
0.881 s
0.893 s
0.905 s
0.898 s
0.914 s
0.927 s
0.887 s
0.910 s
0.908 s
A. A. 2000-2001 S. Vitale
1.057 V
0.881 s £ T £ 0.927 s
ªT =0.91±0.2
(in realtà un po’
meglio)(?)
5
1. Le misure sono note (registrate) con un certo numero
di cifre significative:
1.327 km vuol dire: ….00001.327????? km e non
….00001.3270000000 km
Conviene dunque rappresentare i numeri sempre in
notazione esponenziale. Dunque mai
132700 cm ma invece 1.327¥105 cm
2. L’errore ha generalmente 1 (o tutt’al più 2) cifre
significative. Dunque il risultato della misura va dato
fino alla (seconda) cifra dell’errore
1.327±0.001 km ok; 1.3274673 ±0.001 km ????
A. A. 2000-2001 S. Vitale
6
Rappresentazione degli
errori di misura
Le barre d’errore
Un esempio da
Nobel: la scoperta
delle onde
gravitazionali
A. A. 2000-2001 S. Vitale
7
2) Le misure hanno un’unità:
Miglia ? 321.9 km
Ne mancano
ancora 200 …
Anni-luce? 1.89¥1015 km
200 che???
Parsec? 6.17¥1015 km
Iarde? 0.183 km
Piedi? 0.061 km
Come si convertono le unità?
1 miglio = 1609.34 metri → 200 miglia = 200 × 1609.34 metri=321869. metri
A. A. 2000-2001 S. Vitale
8
Le leggi fisiche sono
osservazioni
sperimentali di
relazioni matematiche
fra i risultati di misure
indipendenti
(Vuolsi così colà …..)
T(s) = 2.006 L ( m ) ≡ T = 2.006
{( T ± ∆T)
secondi
∩ ( 2.006 )
s
m
( L ± ∆L )metri
L
}
≠∅
T@sD
2.5
2
1.5
1
0.5
A. A. 0.2
2000-20010.4
S. Vitale
0.6
0.8
1
1.29
L@mD
T (s)
L (m)
= 2.006 →
T
L
= 2.006
s
m
=
1 ora
ore
−2
3600
= 2.006
= 1.762 × 10
1 km
km
1000
La proporzionalità non dipende dalla scelta delle
unità
La costante di proporzionalità si
Le leggi fisiche non dipendono da scelte arbitrarie
degli osservatori
La scelta delle unità di misura è una scelta arbitraria
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10
Esistono leggi “compatibili”
con le osservazioni e leggi
“false”
(Provando e Riprovando)
T@sD
2.5
s
T = 2.006 1 2 L
m
s
T = 2.03 1 2 L
m
s
T = 2. L
m
2
1.5
1
0.5
0.2
0.4
0.6A. A. 2000-2001
0.8
1
S. Vitale
1.2
L@mD
11
Ma a che servono le leggi fisiche?
z
xmax
vo
= Sin ( 2θ )
g
A “progettare” !!
x
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12
Conclusioni Principali
Le Grandezze Fisiche sono quantità numeriche
risultato di misure
Le misure portano sempre ad un risultato dotato
di errore (eccezione: il conteggio)
Le misure hanno sempre un’unità di misura
(eccezione i numeri puri )
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13
Ancora sulle leggi fisiche
A = KB αC γ Dβ
Cambiamento di unità:
A=kAA’, B=kBB’, C=kCC’, D=kDD’
k A A' = Kk Bα B'α k Cγ C'γ k βD D'β =
 Kk αBk Cγ k βD  α γ β
α
γ
β
B'
C'
D'
=
→ A' = K 'B' C' D'

kA


Ok: la proporzionalità è osservata da entrambi gli
osservatori
A = Sin ( B ) → k A A ' ≠ Sin ( k B B')
No: solo uno dei due osservatori trova la legge
obbedita
14
A. A. 2000-2001 S. Vitale
Il rapporto di due numeri che si misurano nelle
stesse unità non dipende dalla scelta dell’unità di
misura (numero puro)
B
B' k B
B'
=
=
Bo
B'o k B B'o
Una funzione trascendente di un numero puro può
comparire in una legge fisica
 B' k B 
 B 
A'
A = A oSin   →
= A oSin 

kA
 Bo 
 B'o k B 
 B' k B 
 B' 
→ A' = k A A oSin 
 → A'o Sin 

 B'o k B 
 B'o 
A. A. 2000-2001 S. Vitale
15
Grandezze fondamentali e derivate
Es: definiamo lunghezza con sua unità
(es, il metro )
“Definamo” l’area come A=L1¥L2
A è il risultato di un calcolo a partire dalle misure di L1 e
L2
Unità di A = Unità di L ¥ Unità di L =(Unità di L )2
(Es: m2)
(A “ha le dimensioni di una lunghezza al quadrato”)
Basta definire le unità per poche grandezze
“fondamentali”
Le unità delle altre seguono
Sistemi di Unità
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16
Il Sistema Internazionale
Base quantity
Name
Symbol
length
meter
m
mass
kilogram
kg
time
second
s
electric current
ampere
A
thermodynamic temperature
kelvin
K
amount of substance
mole
mol
luminous intensity
candela
cd
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17
The meter is the length of the path travelled by light in vacuum
during a time interval of 1/299 792 458 of a second.
The kilogram is the unit of mass; it is equal to the mass of the
international prototype of the kilogram.
The second is the duration of 9 192 631 770 periods of the radiation
corresponding to the transition between the two hyperfine levels of
the ground state of the cesium 133 atom.
The ampere is that constant current which, if maintained in two
straight parallel conductors of infinite length, of negligible circular
cross-section, and placed 1 meter apart in vacuum, would produce
between these conductors a force equal to 2 x 10-7 newton per meter
of length.
The kelvin, unit of thermod. temperature, is the fraction 1/273.16 of
the thermodynamic temperature of the triple point of water.
The mole is the amount of substance of a system which contains as
many elementary entities as there are atoms in 0.012 kilogram of
carbon 12
18
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Derived quantity
Name
Symbol
area
square meter
m2
volume
cubic meter
m3
speed, velocity
meter per second
m/s
acceleration
meter per second squared
m/s2
wave number
reciprocal meter
m-1
mass density
kilogram per cubic meter
kg/m3
specific volume
cubic meter per kilogram
m3/kg
current density
ampere per square meter
A/m2
magnetic field strength
ampere per meter
A/m
amount-of-substance concentration
mole per cubic meter
mol/m3
luminance
candela per square meter
cd/m2
mass fraction
kilogram per kilogram, which may
kg/kg = 1
be represented by the number 1
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19
T a b le
3 .
S I d e r iv e d
u n its
w ith
s p e c ia l n a m e s
a n d
s y m b o ls
S I d e riv e d u n it
D e riv e d
q u a n tity
p la n e a n g le
s o lid a n g le
fr e q u e n c y
fo r c e
p r e ssu r e ,
str e ss
e n e r g y ,
w o r k ,
q u a n tity
o f
h e a t
p o w e r ,
r a d ia n t flu x
e le c tr ic
c h a r g e ,
q u a n tity
o f
e le c tr ic ity
e le c tr ic
p o te n tia l
d iffe r e n c e ,
e le c tr o m o tiv e
fo r c e
c a p a c ita n c e
N a m e
S y m b o l
(a )
r a d ia n
s te r a d ia n
h e r tz
n e w to n
(a )
r a d
(c )
sr
H z
N
E x p re s s io n
in te rm s o f
E x p re s s io n
te rm s
o th e r
S I in
u n its
S I b a s e u n its
-1
-
m m
·
= 1
2
-2
m ·m
= 1
-1
s
-2
m k
· g s·
m
-1
N ·m
m
2
·k g ·s
-2
W
J /s
m
2
·k g ·s
-3
c o u lo m b
C
-
v o lt
V
W /A
m
2
·k g ·s
-3
fa r a d
F
C /V
m
-2
p a sc a l
P a
N /m
jo u le
J
w a tt
A. A. 2000-2001 S. Vitale
2
·k g ·s
(b )
(b )
-2
s ·A
·k g
-1
·A
·s
4
-1
·A
2
20
o f
Factor Name
1024 yotta
1021 zetta
1018 exa
1015 peta
1012 tera
109
giga
106
mega
103
102
101
kilo
hecto
deka
Symbol
Y
Z
E
P
T
G
M
k
h
da
Factor
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
A. A. 2000-2001 S. Vitale
Name
deci
Symbol
d
centi
milli
micro
nano
pico
c
m
µ
n
p
femto
atto
zepto
yocto
f
a
z
y
21
Ancora sugli errori e cifre significative
Nei calcoli
2
2.7833 km ≤
(1.327 ± 0.001) km × ( 2.102 ± 0.003) km
≤ 2.7954 km 2
→ 2.789 ± 0.006 km
A. A. 2000-2001 S. Vitale
2
22
In generale se B=Bo±∆B e A=f(B)
f ( Bo + ∆B ) − f ( Bo )  dA 
≈

∆B
 dB  B=Bo
f ( B o − ∆B ) − f ( B o )
 dA 
≈ −

∆B
 dB  B=Bo
dA
A ≈ f ( Bo ) ±
∆B
dB B=Bo
E se A=f(B,C,D) ?
A ≈ f ( Bo ,Co ,... ) ±
df ( B,Co ,... )
df ( Bo ,C,... )
∆B+
∆C+....
dB
dC
23
B = Bo
C=Co
A. A. 2000-2001 S. Vitale
Esempio
L1=1.23±0.03 m; L2=21.32±0.05 m
α=L2-L1=20.11±(|1|0.03+|-1|0.05)m=20.11±0.08m
Caso particolare molto interessante
α
o
(
δ
o
A = B C → A ≈ B C ± αB
α
∆A
≈
A
δ
(
α−1
o
δ
o
C ∆ B + δB C
αBoα−1Coδ ∆B + δBoα Coδ−1 ∆C
α
o
B C
δ
o
α
o
δ−1
o
∆C
) = α ∆B + δ ∆C
Bo
Co
Esempio:
∆S
∆Lato ∆V
∆Lato
S = L , V=L →
=2
=3
S
Lato
V
Lato
24
A. A. 2000-2001 S. Vitale
2
3
)
Errori di misura: valori tipici
Metodo
Misure di Lunghezza
Errore
Massimo
ª 5 µm
ª 1 nm
ª 100 m
ª2m
ª 10 cm
ª 10 m
Errore
Relativo
5 10-5
3 10-4
5 10-5
10-10
ª 0.3 m
ª 10-18 m
ª 105 km
ª 1 km
10-8
10-21
ª 10-11 m
10-9 m
10-2
Corde Metriche
Metro a Nastro
Calibro Digitale
Interferometro
commerciale
GPS
Rivelatori di Onde
Gravitazionali
ª 0.5 cm
ª 0.5 mm
Microscopio a Effetto
Tunnel
A. A. 2000-2001 S. Vitale
25
Le misure di tempo
A. A. 2000-2001 S. Vitale
26
Esercizi:
Quanto pesa un piede cubo di acqua?
Se la terra fosse fatta d’acqua, quanto peserebbe?
Che errore c’è su questo risultato se l’errore sul
raggio è 1 km?
Quanto ci mette la luce ad andare dal sole alla
terra? E dalla luna alla terra? Con che errore
avete ottenuto il risultato?
A. A. 2000-2001 S. Vitale
27
Cinematica del punto materiale
Punto materiale: oggetto di dimensioni lineari
trascurabili rispetto alla precisione con cui se ne
vuole determinare la posizione
z
x
Astronave, atomo, etc…..
S. Vitale A.A. 2001-2002
1
z
ro
Coordinate nello spazio
Lontano da grandi masse
vale sperimentalmente la
geometria Euclidea
ro = xo2 + y o2 + z o2
zo
y
O
x
Gauss et al., ca 1°
xo
yo
Sole
Le linee rette sono
definite dai raggi di luce
Einstein et al.
θ ≈ 4”
S. Vitale A.A. 2001-2002
2
Coordinate Sferiche
xo = roSin ( θo ) Cos ( φo )
z
qo
y o = roSin ( θo ) Sin ( φo )
z o =roCos ( θo )
ro
O
fo
y
x
S. Vitale A.A. 2001-2002
3
Longitudine = φo
Latitudine = 90°-θo
ro=R⊕
S. Vitale A.A. 2001-2002
4
Coordinate cilindriche
xo = ρoCos ( φo )
z
y o = ρoSin ( φo )
zo = zo
zo
fo
x
y
ro
S. Vitale A.A. 2001-2002
5
Descrizione del moto di un punto materiale
Il moto è interamente noto nell’intervallo di tempo
t1< t < t2 se sono note
xo(t), yo(t) e zo(t) nello stesso intervallo
(o ro(t), φo(t) e zo(t) etc.)
La legge oraria
S. Vitale A.A. 2001-2002
6
Al passare del tempo il punto descrive una
curva nello spazio: la traiettoria
 t 
 t 
x ( t ) = roCos   ; y ( t ) = roSin   ; z ( t ) = v o t;
 to 
 to 
ro = 1 m
1
0.75
[email protected]
0.25
0
1
to = 1 s
1
0.5
0.5
x@mD
0 y@mD
0
m
v o = 0.33
s
0.5
0.5
1
1
S. Vitale A.A. 2001-2002
7
Nuovo concetto: lo spostamento
y
Punto che va da A a B
B
yB
Le due grandezze
D
∆r
φ
{∆x = xB-xA , ∆y = yB-yA}
yA A
Definiscono un nuovo oggetto
C
matematico
G
∆r
xA
xB
x
Nota: lo spostamento A Æ B è uguale a CÆD
( xB − x A ) + ( y B − y A )
xB − x A = ∆r Cos ( φ ) ; y B − y A = ∆r Sin ( φ )
∆r =
2
S. Vitale A.A. 2001-2002
2
8
y
yD
yB
yA
A
Somma di spostamenti
G D
∆rG2
B
G
∆
r
1
∆r3 ≡ {x D − x A , y D − y A }
G
G
∆r1 G ∆r3
∆r2
= {( x D − x B ) + ( xB − x A ) ,
( y D − y B ) + ( y B − y A )} =
xA
xB
xD x
= {∆ x 1 + ∆ x 2 , ∆ y 1 + ∆ y 2 }
G def G
G
∆r3 ≡ ∆r1 + ∆r2
Nota: la somma è commutativa
G
G
G
G
∆r1 + ∆r2 = ∆r2 + ∆ r1
S. Vitale A.A. 2001-2002
9
∆y
y
G
∆r1
G
∆r1
∆y
∆y
G
∆r1
a volte uno
spostamento
G
G
G
G
∆rΣ = ∆r1 + ∆ r1 + ∆ r1
G
∆rΣ
∆ x Σ = 3 ∆ x1
∆y Σ = 3 ∆y 1
G def G
∆rΣ ≡ 3∆r1
x
∆x
∆x
∆x
G
G def
∆rΣ = a∆r1 ⇔ ∆S.xVitale
a∆ x1 , ∆ y Σ = a∆ y 1
Σ =
A.A. 2001-2002
10
Qualche osservazione
∆x Σ = a∆x1 ; ∆y Σ = a∆y 1
2
2
1
2
2
1
∆rΣ = a ∆x + a ∆y = a∆r1
G
∆ r1
A
B
G
−∆ r1
Es: α= - 1
S. Vitale A.A. 2001-2002
11
Queste sono le proprietà di un “campo vettoriale”
Gli spostamenti sono dunque vettori e godono di
tutte le loro proprietà
I numeri come a, che non dipendono dalla scelta
delle coordinate si chiamano scalari
(Es: misure di tempo, misure di temperatura,
misure di massa etc.)
La lunghezza di uno spostamento è uno scalare
(verificare che non dipende dalla scelta delle
coordinate)
S. Vitale A.A. 2001-2002
12
Trasformando le coordinate
ϕ
y’
y
P
y 'PSin ( φ )
x’
yP
y P’
ϕ
x P’
x
x
' P
x PCos ( φ )
x P = x Cos ( φ ) − y Sin ( φ )
'
P
'
P
S. Vitale A.A. 2001-2002
13
ϕ
y’
y
P
y 'PCos ( φ )
x Sin ( φ )
'
P
x’
yP
y P’
ϕ
x P’
x
xP
y P = x Sin ( φ ) + y Cos ( φ )
'
P
'
P
S. Vitale A.A. 2001-2002
14
La legge di trasformazione e la sua inversa:
x’ e y’ sono ruotate di ϕ rispetto a x e y
x e y sono ruotate di -ϕ rispetto a x’ e y’
x P = x Cos ( φ ) − y Sin ( φ ) x = x PCos ( φ ) + y PSin ( φ )
'
P
'
P
'
P
y P = x Sin ( φ ) + y Cos ( φ ) y = − x PSin ( φ ) + y PCos ( φ )
'
P
'
P
'
P
φ ↔ −φ
Cambiando segno a ϕ il seno
cambia segno ed il coseno no
S. Vitale A.A. 2001-2002
15
La trasformazione degli spostamenti
x P = x'PCos ( φ ) − y 'PSin ( φ ) & xQ = x'QCos ( φ ) − y 'QSin ( φ )
y P = x'PSin ( φ ) + y 'PCos ( φ ) & y Q = x'QSin ( φ ) + y 'QCos ( φ )
(
)
(
)
x P − xQ = x − x Cos ( φ ) − y − y Sin ( φ )
'
P
∆x
'
Q
'
P
∆x'
(
'
Q
∆y'
)
(
)
y P − y Q = x − x Sin ( φ ) + y − y Cos ( φ )
∆y
'
P
'
Q
∆x'
'
P
'
Q
∆y'
Le componenti dello spostamento si
trasformano come le coordinate dei punti
S. Vitale A.A. 2001-2002
16
Il modulo di uno spostamento
∆x = ∆x'Cos ( φ ) − ∆y 'Sin ( φ )
∆y = ∆x'Sin ( φ ) + ∆y 'Cos ( φ )
∆x2 = ∆x'2 Cos2 ( φ) +∆y'2 Sin2 ( φ) − 2∆x'∆y'Cos( φ) Sin( φ)
+
+
+
+
∆y2 = ∆x'2 Sin2 ( φ) +∆y'2 Cos2 ( φ) + 2∆x'∆y'Sin( φ) Cos( φ)
∆r 2 = ∆x 2 + ∆y 2 = ∆x'2 Cos 2 ( φ ) + Sin 2 ( φ )  +
=1
Cos 2 ( φ )  = ∆r'2
+∆y'2 Sin 2 ( φ ) + Cos
E’ uno scalare
=1
S. Vitale A.A. 2001-2002
17
Note: Le tre coordinate
cartesiane di un punto sono
le componenti dello
spostamento che porta
dall’origine a quel punto:
G
Il raggio vettore r
A
G
r
yA
Le tre componenti di uno
spostamento non
dipendono dalla scelta
dell’origine ma solo
dall’orientazione degli
assi
y’B
yB
A
Se si cambia origine le
y’
A
yA
coordinate cartesiane
O’
G
O
xA
cambiano ed r cambiaS. Vitale
A.A. 2001-2002
O
xA
B
yB-yA= y’B-y’A
xB-xA= x’B-x’A
xB
18
A
G
rA
G
∆ r1
G
rB
B
Uno spostamento è
la differenza fra il
raggio vettore del
punto di arrivo e
quello del punto di
partenza
S. Vitale A.A. 2001-2002
19
Un utile esercizio: la legge oraria della Terra
1 AU=distanza media Sole-Terra=1.496×1011m
EARTH coordinates:
ϕ
90°-θ
YYYY
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
DDD
1
21
41
61
81
101
121
141
161
AU
0.983
0.984
0.987
0.991
0.996
1.002
1.007
1.012
1.015
ELAT
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
ELON
99.86
120.24
140.54
160.71
180.68
200.43
219.95
239.28
258.46
S. Vitale A.A. 2001-2002
HLAT
-2.95
-5.06
-6.55
-7.21
-6.99
-5.95
-4.23
-2.05
0.34
HLON
8.01
104.63
201.31
297.92
34.35
130.51
226.35
321.90
57.25
HILON
23.92
44.24
64.60
84.90
105.02
124.87
144.40
163.63
182.67
20
In
coordinate
cartesiane
t
x
y
z
86400 s
1.34246 ¥ 1011 m
5.95459 ¥ 1010 m
7.56809 ¥ 109 m
1814400 s
1.0505 ¥ 1011 m
1.02299 ¥ 1011 m
1.29833 ¥ 1010 m
3542400 s
6.29202 ¥ 1010 m
1.3251 ¥ 1011 m
1.68428 ¥ 1010 m
5270400 s
1.30745 ¥ 1010 m
1.46497 ¥ 1011 m
1.86065 ¥ 1010 m
6998400 s
3.83271 ¥ 1010 m
1.42839 ¥ 1011 m
1.81327 ¥ 1010 m
8726400 s
8.52369 ¥ 1010 m
1.22321 ¥ 1011 m
1.55384 ¥ 1010 m
10454400 s
1.22156 ¥ 1011 m
8.74551 ¥ 1010 m
1.11116 ¥ 1010 m
12182400 s
1.45163 ¥ 1011 m
4.26412 ¥ 1010 m
5.41557 ¥ 109 m
13910400 s
1.51674 ¥ 1011 m
7.07319 ¥ 109 m
9.01042 ¥ 108 m
15638400 s
1.41283 ¥ 1011 m
5.59949 ¥ 1010 m
7.11378 ¥ 109 m
17366400 s
1.14958 ¥ 1011 m
9.86355 ¥ 1010 m
1.25333 ¥ 1010 m
19094400 s
7.58947 ¥ 1010 m
1.30296 ¥ 1011 m
1.65406 ¥ 1010 m
20822400 s
2.82744 ¥ 1010 m
1.47242 ¥ 1011 m
1.87016 ¥ 1010 m
22550400 s
2.25384 ¥ 1010 m
1.47461 ¥ 1011 m
1.87392 ¥ 1010 m
24278400 s
7.07336 ¥ 1010 m
1.30601 ¥ 1011 m
1.65811 ¥ 1010 m
26006400 s
1.10665 ¥ 1011 m
9.853 ¥ 1010 m
1.25205 ¥ 1010 m
27734400 s
1.37325 ¥ 1011 m
5.46206 ¥ 1010 m
6.94371 ¥ 109 m
29462400 s
1.47296 ¥ 1011 m
4.11434 ¥ 109 m
5.14361 ¥ 108 m
31190400 s
11
1.39268
¥ 102001-2002
m
4.68417 ¥ 1010 m
S. Vitale A.A.
5.95286 ¥ 10921m
Coordinate
x
0.134246 Tm
0.10505 Tm
0.0629202 Tm
0.0130745 Tm
−0.0383271 Tm
−0.0852369 Tm
y
0.0595459 Tm
0.102299 Tm
0.13251 Tm
0.146497 Tm
0.142839 Tm
0.122321 Tm
z
−0.00756809 Tm
−0.0129833 Tm
−0.0168428 Tm
−0.0186065 Tm
−0.0181327 Tm
−0.0155384 Tm
Spostamenti
∆x
−0.0291967 Tm
−0.0421295 Tm
−0.0498457 Tm
−0.0514016 Tm
−0.0469098 Tm
∆y
0.0427532 Tm
0.0302105 Tm
0.0139873 Tm
−0.0036576 Tm
−0.0205187 Tm
S. Vitale A.A. 2001-2002
∆z
−0.00541517 Tm
−0.00385956 Tm
−0.00176369 Tm
0.000473852 Tm
0.00259425 Tm
22
Spostamenti
z AU0.10
0.1
1
0.5
1
0.5
x AU
0
0 y AU
0.5
0.5
S. Vitale A.A. 2001-2002
1
1
23
0
[email protected]
D
0.1
0
0.8
0.6
0.2
0.4 y@AU D
0.4
x@AU D
0.2
0.6
0.8
0
Un tratto molto più piccolo(50 gg)
Punti molto ravvicinati
Costruiamo gli spostamenti e
“dividiamoli” per il tempo
impiegato ad effettuarli
S. Vitale A.A. 2001-2002
24
YYYY DDD
2000
1
2000
2
2000
3
2000
4
2000
5
2000
6
2000
7
2000
8
2000
9
2000 10
2000 11
2000 12
2000 13
2000 14
2000 15
2000 16
2000 17
2000 18
2000 19
2000 20
2000 21
2000 22
2000 23
2000 24
2000 25
AU
0.983
0.983
0.983
0.983
0.983
0.983
0.983
0.983
0.983
0.983
0.983
0.983
0.983
0.984
0.984
0.984
0.984
0.984
0.984
0.984
0.984
0.984
0.984
0.984
0.984
ELAT
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
ELON
99.86
100.88
101.90
102.92
103.94
104.96
105.98
106.99
108.01
109.03
110.05
111.07
112.09
113.11
114.13
115.15
116.16
117.18
118.20
119.22
120.24
121.25
122.27
123.29
124.31
HLAT
-2.95
-3.07
-3.18
-3.30
-3.41
-3.52
-3.63
-3.75
-3.85
-3.96
-4.07
-4.18
-4.28
-4.38
-4.48
-4.58
-4.68
-4.78
-4.88
-4.97
-5.06
-5.15
-5.24
-5.33
-5.42
HLON
HILON
8.01
23.92
354.83
24.93
341.66
25.95
328.49
26.96
315.32
27.98
302.16
28.99
288.99
30.01
275.82
31.02
262.65
32.04
249.48
33.05
236.31
34.07
223.14
35.09
209.97
36.10
196.81
37.12
183.64
38.13
170.47
39.15
157.30
40.17
144.14
41.19
130.97
42.20
117.80
43.22
104.63
44.24
91.47
45.26
78.30
46.27
65.13
47.29
51.97
48.31
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
0.985
0.985
0.985
0.985
0.985
0.985
0.985
0.985
0.986
0.986
0.986
0.986
0.986
0.986
0.986
0.987
0.987
0.987
0.987
0.987
0.988
0.988
0.988
0.988
0.988
S. Vitale A.A. 2001-2002
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
125.32
126.34
127.36
128.37
129.39
130.40
131.42
132.43
133.45
134.46
135.48
136.49
137.51
138.52
139.53
140.54
141.56
142.57
143.58
144.59
145.60
146.61
147.62
148.63
149.64
-5.50
-5.59
-5.67
-5.74
-5.82
-5.90
-5.97
-6.04
-6.11
-6.18
-6.25
-6.31
-6.37
-6.43
-6.49
-6.55
-6.60
-6.65
-6.70
-6.75
-6.79
-6.84
-6.88
-6.92
-6.95
38.80
25.64
12.47
359.30
346.14
332.97
319.80
306.64
293.47
280.30
267.14
253.97
240.81
227.64
214.47
201.31
188.14
174.97
161.80
148.64
135.47
122.30
109.13
95.96
82.80
49.33
50.34
51.36
52.38
53.40
54.42
55.44
56.45
57.47
58.49
59.51
60.53
61.54
62.56
63.58
64.60
65.61
66.63
67.65
68.66
69.68
70.70
71.71
72.73
73.75
25
86400 s
172800 s
259200 s
345600 s
432000 s
518400 s
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691200 s
777600 s
864000 s
950400 s
1036800 s
1123200 s
1209600 s
1296000 s
1382400 s
1468800 s
1555200 s
1641600 s
1728000 s
1814400 s
1900800 s
1987200 s
2073600 s
2160000 s
1.34246 × 1011 m
1.33161 × 1011 m
1.32024 × 1011 m
1.30856 × 1011 m
1.29636 × 1011 m
1.28387 × 1011 m
1.27085 × 1011 m
1.25754 × 1011 m
1.24374 × 1011 m
1.22966 × 1011 m
1.21506 × 1011 m
1.20007 × 1011 m
1.18487 × 1011 m
1.17034 × 1011 m
1.15439 × 1011 m
1.13792 × 1011 m
1.12109 × 1011 m
1.1039 × 1011 m
1.08654 × 1011 m
1.06869 × 1011 m
1.0505 × 1011 m
1.03197 × 1011 m
1.01331 × 1011 m
9.94152 × 1010 m
9.74679 × 1010 m
5.95459 × 1010 m
6.18962 × 1010 m
6.42501 × 1010 m
6.65594 × 1010 m
6.88705 × 1010 m
7.11366 × 1010 m
7.3402 × 1010 m
7.56205 × 1010 m
7.78381 × 1010 m
8.00079 × 1010 m
8.21731 × 1010 m
8.43114 × 1010 m
8.64025 × 1010 m
8.85763 × 1010 m
9.06133 × 1010 m
9.26411 × 1010 m
9.46387 × 1010 m
9.66054 × 1010 m
9.85217 × 1010 m
1.00427 × 1011 m
1.02299 × 1011 m
1.04138 × 1011 m
1.05926 × 1011 m
1.07697 × 1011 m
1.09434 × 1011 m
−7.56809 × 109 m
−7.87566 × 109 m
−8.15756 × 109 m
−8.46506 × 109 m
−8.7469 × 109 m
−9.02871 × 109 m
−9.31049 × 109 m
−9.61784 × 109 m
−9.87393 × 109 m
−1.01556 × 1010 m
−1.04372 × 1010 m
−1.07188 × 1010 m
−1.09748 × 1010 m
−1.12421 × 1010 m
−1.14983 × 1010 m
−1.17544 × 1010 m
−1.20105 × 1010 m
−1.22665 × 1010 m
−1.25225 × 1010 m
−1.27529 × 1010 m
−1.29833 × 1010 m
−1.32136 × 1010 m
−1.34438 × 1010 m
−1.36741 × 1010 m
−1.39043 × 1010 m
2246400 s
2332800 s
2419200 s
2505600 s
2592000 s
2678400 s
2764800 s
2851200 s
2937600 s
3024000 s
3110400 s
3196800 s
3283200 s
3369600 s
3456000 s
3542400 s
3628800 s
3715200 s
3801600 s
3888000 s
3974400 s
4060800 s
4147200 s
4233600 s
4320000 s
S. Vitale A.A. 2001-2002
9.55886 × 1010 m
9.35985 × 1010 m
9.15613 × 1010 m
8.9497 × 1010 m
8.74032 × 1010 m
8.52821 × 1010 m
8.31359 × 1010 m
8.09852 × 1010 m
7.88681 × 1010 m
7.66443 × 1010 m
7.43967 × 1010 m
7.21273 × 1010 m
6.98581 × 1010 m
6.75449 × 1010 m
6.52108 × 1010 m
6.29202 × 1010 m
6.05686 × 1010 m
5.81751 × 1010 m
5.57636 × 1010 m
5.33588 × 1010 m
5.09664 × 1010 m
4.85032 × 1010 m
4.60504 × 1010 m
4.35593 × 1010 m
4.10556 × 1010 m
1.1125 × 1011 m
1.129 × 1011 m
1.14533 × 1011 m
1.1613 × 1011 m
1.17689 × 1011 m
1.19209 × 1011 m
1.20693 × 1011 m
1.22124 × 1011 m
1.23655 × 1011 m
1.25023 × 1011 m
1.26351 × 1011 m
1.27641 × 1011 m
1.28877 × 1011 m
1.30085 × 1011 m
1.31251 × 1011 m
1.3251 × 1011 m
1.33585 × 1011 m
1.34628 × 1011 m
1.35629 × 1011 m
1.36576 × 1011 m
1.37632 × 1011 m
1.38503 × 1011 m
1.39325 × 1011 m
1.40111 × 1011 m
1.40855 × 1011 m
−1.41232 × 1010 m
−1.43536 × 1010 m
−1.45584 × 1010 m
−1.47375 × 1010 m
−1.49422 × 1010 m
−1.51469 × 1010 m
−1.53259 × 1010 m
−1.5505 × 1010 m
−1.56999 × 1010 m
−1.58791 × 1010 m
−1.60582 × 1010 m
−1.62118 × 1010 m
−1.63653 × 1010 m
−1.65188 × 1010 m
−1.66723 × 1010 m
−1.68428 × 1010 m
−1.69708 × 1010 m
−1.70988 × 1010 m
−1.72268 × 1010 m
−1.73548 × 1010 m
−1.74748 × 1010 m
−1.76029 × 1010 m
−1.77053 × 1010 m
−1.78078 × 1010 m
−1.78846 × 1010 m
26
−9.31908 × 1010 m
4233600 s
−22012.2
−8.328 × 1010 m
3888000 s
−21419.8
−7.36778 × 1010 m
3542400 s
−20798.8
−6.43883 × 1010 m
3196800 s
−20141.5
−5.53783 × 1010 m
2851200 s
−19422.8
−4.68432 × 1010 m
2505600 s
−18695.4
−3.86578 × 1010 m
2160000 s
−17897.1
−3.10489 × 1010 m
1814400 s
−17112.5
−2.3856 × 1010 m
1468800 s
−16241.9
−1.72124 × 1010 m
1123200 s
−15324.5
−1.12802 × 1010 m
777600 s
−14506.4
−5.85969 × 109 m
432000 s
−13564.1
−1.08513 × 109 m
86400 s
−12559.4
S. Vitale A.A. 2001-2002
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
x
27
8.13094 × 1010 m
4233600 s
19205.7
7.80866 × 1010 m
3888000 s
20084.
7.40388 × 1010 m
3542400 s
20900.7
6.93312 × 1010 m
3196800 s
21687.7
6.41093 × 1010 m
2851200 s
22485.
5.81426 × 1010 m
2505600 s
23205.1
5.17039 × 1010 m
2160000 s
23937.
4.45924 × 1010 m
1814400 s
24577.
3.70595 × 1010 m
1468800 s
25231.2
2.90305 × 1010 m
1123200 s
25846.2
2.0462 × 1010 m
777600 s
26314.3
1.15907 × 1010 m
432000 s
26830.4
2.35028 × 109 m
86400 s
27202.3
S. Vitale A.A. 2001-2002
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
y
28
−1.03165 × 1010 m
4233600 s
−2436.81
−9.90672 × 109 m
3888000 s
−2548.02
−9.40273 × 109 m
3542400 s
−2654.34
−8.79721 × 109 m
3196800 s
−2751.88
−8.13183 × 109 m
2851200 s
−2852.07
−7.37412 × 109 m
2505600 s
−2943.06
−6.55515 × 109 m
2160000 s
−3034.79
−5.64548 × 109 m
1814400 s
−3111.48
−4.69844 × 109 m
1468800 s
−3198.83
−3.67405 × 109 m
1123200 s
−3271.05
−2.58751 × 109 m
777600 s
−3327.56
−1.46062 × 109 m
432000 s
−3381.06
−3.07566 × 108 m
86400 s
−3559.79
S. Vitale A.A. 2001-2002
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
z
29
Il modulo
2
2
 x ( t + ∆t ) − x ( t )   y ( t + ∆ t ) − y ( t )   z ( t + ∆t ) − z ( t ) 

 +
 +

∆
t
∆
t
∆
t

 
 

2
l lm
@ @mDD
t 11 s
1.2¥ 10
30200
1 ¥ 1011
10
8 ¥ 10
30000
6 ¥ 1010
29800
4 ¥ 1010
29600 10
2 ¥ 10
1 ¥ 1066
1 ¥ 10
2 ¥ 1066
2 ¥ 10
66
10
33¥¥10
S. Vitale A.A. 2001-2002
66
¥ 10
44 ¥
10
tt@s@DsD
30
Alcune conclusioni
Dividendo le tre componenti del vettore
spostamento per lo scalare tempo si ottiene ancora
un vettore: la velocità media
G  x ( t 2 ) − x ( t1 ) y ( t 2 ) − y ( t1 ) z ( t 2 ) − z ( t1 ) 
v=
,
,

t 2 − t1
t 2 − t1
t 2 − t1


G
G
G
r ( t 2 ) − r ( t1 )
v ( t 1 ,t 2 ) ≡
t 2 − t1
S. Vitale A.A. 2001-2002
31
Se t 2 → t1 allora
x ( t 2 ) − x ( t1 )
t 2 − t1
→ v x ( t1 ) indip da t 2
Vettore velocità istantanea
G
v (t) ≡

x ( t+∆t ) − x ( t )
y ( t+∆t ) − y ( t )
z ( t+∆t ) − z ( t ) 
, Lim
, Lim
Lim

∆t →0
∆t →0
∆t
∆t
∆t
 ∆t →0

≡
{v ( t ) , v ( t ) , v ( t )}
x
y
S. Vitale A.A. 2001-2002
z
32
G
Lim  r ( t + ∆t ) − r ( t )  = 0
∆t →
G
 r ( t + ∆t ) − r ( t )  G
Lim 
= v (t)

∆t →
∆t


lunghezza di traiettoria
Modulo:
tempo impiegato
Direzione: tangente alla traiettoria
Verso: stesso verso di percorrenza della traiettoria
S. Vitale A.A. 2001-2002
33
Moto rettilineo uniforme
x ( t ) = v ox t + xo y ( t ) = v oy t + y o z ( t ) = v oz t + z o
G
r ( t ) = { v oxt + xo , v oy t + y o , v oz t + z o }
G
def
dr ( t )
G
v (t) ≡
dt
 d ( v oxt + xo ) d ( v oy t + y o ) d ( v oz t + z o ) 
,
,
=

dt
dt
dt


Un vettore costante
= { v ox , v oy , v oz }
G
2
2
2
2
2
2
v ( t ) = v x ( t ) + v y ( t ) + v z ( t ) = v ox + v oy + v oz
S. Vitale A.A. 2001-2002
34
S. Vitale A.A. 2001-2002
35
y@mD 30
40
20
10
10
G
v
0
Traiettoria
z @mD
0
10
20
0
5
x @m D
10
15
S. Vitale A.A. 2001-2002
36
Velocità
S. Vitale A.A. 2001-2002
37
Si può rappresentare in un piano
y
G
v (t)
G
r ( t )∆rG t
()
O
x
S. Vitale A.A. 2001-2002
38
Componenti della velocità
G
v (t)
y
G
v x = v Cos ( φ )
G
v y = v Sin ( φ )
O
G
v (t)
φ
x
S. Vitale A.A. 2001-2002
39
Moto circolare uniforme
x ( t ) = roCos ( ωo t )
y ( t ) = roSin ( ωo t )
[ro ] = l
z (t) = 0
−1
ω
=
t
[ o]
G
r ( t ) = x2 ( t ) + y 2 ( t ) + z 2 ( t ) =
ro2Cos 2 ( ωt ) + ro2Sin 2 ( ωt ) = ro
S. Vitale A.A. 2001-2002
40
y@mD 0.5
0
0.5
1
1
0.2
0.1
z @mD
0
0.1
0.2
1
0.5
x @m D
0
0.5
1
S. Vitale A.A. 2001-2002
41
Velocità
vx ( t ) =
dx ( t )
dt
vy ( t ) =
=
dy ( t )
dt
droCos ( ωo t )
dt
=
droSin ( ωo t )
= ro ωo  −Sin ( ωo t ) 
= ro ωoCos ( ωo t )
dt
dz ( t )
vz ( t ) =
=0
dt
G
v ( t ) = ro ωo {−Sin ( ωo t ) ,Cos ( ωo t )}
G
v ( t ) = ro ωo Sin 2 ( ωo t ) + Cos 2 ( ωo t ) = ro ωo
S. Vitale A.A. 2001-2002
42
y
G
v (t)
G
r (t)
π
θ= −φ
2
x ( t ) = roCos ( ωo t )
y ( t ) = roSin ( ωo t )
φ = ωo t
O
x
v y ( t ) = ωoroCos ( ωo t )
v x ( t ) = −ωoroSin ( ωo t )
S. Vitale A.A. 2001-2002
43
G
G
r (t) ⊥ v (t)
G
G
r ( t ) ⋅ v ( t ) ≡ x ( t ) vx ( t ) + y ( t ) vy ( t ) + z ( t ) vz ( t )
= roCos ( ωo t ) ×  −ωoroSin ( ωo t ) 
+ roSin ( ωo t ) ωoroCos ( ωo t ) = 0
Ma anche
G
G
Gn
G
G
G 

r ( t ) ⋅ v ( t ) = r ( t ) v ( t ) Cos r ( t ) ⋅ v ( t )


Gn
G
π
r (t) ⋅ v (t) = ±
2
S. Vitale A.A. 2001-2002
44
G
G
r ( t + ∆t ) − r ( t )
π δ
−
2 2
G
r ( t + ∆t )
δ
G
r (t)
Al tendere di ∆t Æ 0, δ Æ 0 e π/2-δ/2 Æ π/2
G
G
G
r ( t + ∆t ) − r ( t ) ⊥ r ( t )
La derivata di un vettore di modulo costante è
ortogonale al vettore derivato
S. Vitale A.A. 2001-2002
45
S. Vitale A.A. 2001-2002
46
Traiettoria
2
z@mD
0
2
2
2
y@mD
0
0
2
2
x@mD
S. Vitale A.A. 2001-2002
47
velocità
2
G
r
z@mD
0
2
2
2
y@mD
0
0
2
x@mD
2
S. Vitale A.A. 2001-2002
48
Moto parabolico
x@tD = vo Cos@θD t;
1
a t2; z@tD = 0;
y@tD = vo Sin@θD t +
2
”
r@tD = 8x@tD, y@tD, z@tD< ê.
π
m
m
=
, θ −>
, a → − 9.8
9vo → 1800
6
s2
s
è
4.9 m t2
900 m t
900 3 m t
, 0=
−
,
9
s2
s
s
”
”
V@tD = ∂t r@tD
è
9.8 m t
900 m
900 3 m
, 0=
9
−
,
s2
s S. Vitale A.A. 2001-2002
s
49
Traiettoria e velocità
y@mD
40000
30000
20000
10000
50000
100000
150000
200000
S. Vitale A.A. 2001-2002
250000
x@mD
50
Accelerazione
G
2G
dv ( t ) d r ( t )
G
a (t) =
=
dt
dt 2
2
dv x ( t ) d x ( t )
ax ( t ) =
=
2
dt
dt
dv y ( t ) d 2 y ( t )
ay ( t ) =
=
2
dt
dt
Dimensioni fisiche
v] [l]
[
[a ] = = 2
[t ] [t ]
az ( t ) =
dv z ( t )
dt
=
d2z ( t )
dt 2
m
→ S.I. 2
s
S. Vitale A.A. 2001-2002
1
Valori tipici
Accelerazione di gravità sulla superficie terrestre:
g=9.8 m/s2
Accelerazione automobile:
“da 0 a 100 km/h in 10 s”
100
100 km
h = 3.6 m ≈ 2.8 m
2
10 s
10 s
s
Accelerazione di un razzo alla partenza:
ª5-8 g ª 50-80 m/s2
Ultracentrifuga : ª105 g ª 106 m/s2
S. Vitale A.A. 2001-2002
2
Es: moto rettilineo uniforme
G
r ( t ) = { v ox t + xo , v yo t + y o , v zo t + z o }
G
v (t) =
G
dr ( t )
dt
= { v ox , v yo , v zo }
G
2G
G
dv ( t ) d r ( t )
G
a(t) =
=
= {0,0,0} ≡ 0 (0)
dt
dt
Velocità costante = accelerazione nulla
S. Vitale A.A. 2001-2002
3
Un altro esempio molto importante:
Il moto circolare (uniforme)
G
G
r ( t ) = {roCos ( ωt ) , roSin ( ωt ) , 0} r ( t ) = ro
G
G
v ( t ) = {−ω roSin ( ωt ) , ω roCos ( ωt ) , 0} v ( t ) = ωro
G
dv ( t )
G
2
2
2G
a (t ) =
= −ω roCos ( ωt ) , -ω roSin ( ωt ) , 0 = −ω r ( t )
dt
2
2
G
2
2
2
a ( t ) = ω ro Cos ( ωt ) + ω ro Sin 2 ( ωt ) = ω2ro
G
v
G G
G G
Accelerazione
r ⋅ v = 0 v⋅a = 0
“centripeta”
G G
r a
Ultracentrifuga : ω ≈ 2π1000rad s;
O
2
6 m
ro ≈ 0.1m; ω ro ≈ 4 × 10 2
s
{
}
(
)
S. Vitale A.A. 2001-2002
(
)
4
Ultracentrifuga Preparativa (Beckmann Coulter )
Spins up to 8 x 6.5 mL
tubes up to 802,400 x g
@ 100,000 rpm in the XL100K
S. Vitale A.A. 2001-2002
5
Es: moto uniformemente accelerato
G
r (t) =
1
1
1

2
2
2
 xo + v xo t + a xo t , y o + v yo t + a yo t , z o + v zo t + a zo t 
2
2
2


G
v (t) =
G
dr ( t )
dt
G
a (t) =
= { v xo + a xo t, v yo + a yo t, v zo + a zo t}
G
dv ( t )
dt
G
= {a xo ,a yo ,a zo } = ao
S. Vitale A.A. 2001-2002
6
Es: moto rettilineo uniformemente
accelerato
1 2
z ( t ) = z o + v o t + ao t
2
x(t) = y (t) = 0
vx ( t ) = vy ( t ) = 0
ax ( t ) = ay ( t ) = 0
v z ( t ) = v o + ao t
a z ( t ) = ao
S. Vitale A.A. 2001-2002
7
m
ao = −9.8 2
s
vo=0
vo=+ 5 m/s
S. Vitale A.A. 2001-2002
vo=- 5 m/s
8
12
10
z (m)
8
6
4
Zo=10 m
2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
t (s)
vo=0
vo=+5 m/s
S. Vitale A.A. 2001-2002
vo=-5 m/s
9
z, vo=0
vz, vo=+5 m/s
z, vo=+5 m/s
vz, vo=-5 m/s
z, v0=-5 m/s
az, tutti i casi
vz, vo=+5 m/s
15
2
z(m) o vz(m/s) o az (m/s )
10
5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
-5
-10
-15
-20
-25
t(s)
S. Vitale A.A. 2001-2002
10
La velocità e l’accelerazione hanno versi
indipendenti
La velocità può essere verso l’alto e
l’accelerazione verso il basso o viceversa
S. Vitale A.A. 2001-2002
11
2° caso: moto anche lungo x
1 2
z ( t ) = z o + v zot + aot
2
x ( t ) = xo + v xot
v z ( t ) = v zo + aot
v x ( t ) = v xo
S. Vitale A.A. 2001-2002
12
Composizione dei moti
voz=- 5 m/s
vox= 2m/s
voz=0
voz=+ 5 m/s
vox= 2m/s
vox= 2m/s
S. Vitale A.A. 2001-2002
13
La traiettoria
12
z (m)
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
x (m)
S. Vitale A.A. 2001-2002
14
La composizione delle
velocità
m
v z ( t ) = −9.8  2  t
s 
m
vx (t ) = 2
s
S. Vitale A.A. 2001-2002
15
y@mD
N.B. Accelerazione verso il basso
e velocità verso l’alto
5
10
15
20
x @m D
Velocità
20
Accelerazione
m
x ( t ) = 4 t;
s
m
1
m 2
y ( t ) = 7 t − 9.8 2 t
s
2
s
m
vx ( t ) = 4 ;
s
m
m
v y ( t ) = 7 − 9.8 2 t
s
s
40
60
80
G 
m 
a = 0, −9.8 2 , 0 
s


Un altro esempio
S. Vitale A.A. 2001-2002
16
y@mD10
5
15
0
Un esempio in
tre dimensioni
15
z@mD 10
5
10
5
x@mD
0
Accelerazione
Velocità
5
m
m
9xo → 2 m, vxo → 4 , axo → −3
,
2
s
s
m
m
, ayo → 2 2 ,
yo → −4 m, vyo → .3
s
s
m
m
zo → 4 m, vzo → 7 , azo → −2 2 =
s
s
S. Vitale A.A. 2001-2002
17
Un’esempio importante:
Il lancio di un proiettile: partenza dall’origine
posta al suolo
1 2
z ( t ) = v zo t − gt
2
v z ( t ) = v zo − gt
m
g = 9.8 2
s
z
v x ( t ) = v xo
Che relazione c’è
fra alzo, vo e la
gittata?
G
vo
o
x ( t ) = v xot
φ = alzo
gittata S. Vitale A.A. 2001-2002
x
18
G
v ox = v o Cos ( φ )
G
v oz = v o Sin ( φ )
G
1 2
z ( t ) = v o Sin ( φ ) t − gt
2
G
v z ( t ) = v o Sin ( φ ) − gt
G
x ( t ) = v o Cos ( φ ) t
G
v x ( t ) = v o Cos ( φ )
Impatto: z(t)=0
z
G
vo
o
φ = alzo
gittata
1 
G
0 =  v o Sin ( φ ) − gt  t
2 

G
2 v o Sin ( φ )
t=
↔t=0
g
x
S. Vitale A.A. 2001-2002
19
G
x ( t ) = v o Cos ( φ ) t
G
2 v o Sin ( φ )
t=
↔t=0
g
G 2
2 v o Sin ( φ ) Cos ( φ )
x=
↔x=0
g
z
G 2
v o Sin ( 2φ )
gittata =
g
G
vo
o
φ = alzo
gittata
G 2
 π
v o Sin  2  G 2
4  vo

max →
=
g
g
x
S. Vitale A.A. 2001-2002
20
Perchè l’accelerazione è importante?
G
G
F = ma
S. Vitale A.A. 2001-2002
21
Ricostruzione della legge oraria
dalla velocità: il fatto matematico
dx
vx ( t ) =
dt
dy
vy ( t ) =
dt
dz
vz ( t ) =
dt
G
G
dr
v (t) =
dt
tB
→ x ( t B ) − x ( t A ) = ∫ v x ( t ) dt
tA
tB
→ y ( t B ) − y ( t A ) = ∫ v y ( t ) dt
tA
tB
→ z ( t B ) − z ( t A ) = ∫ v z ( t ) dt
tA
tB G
G
G
→ r ( t B ) − r ( t A ) = ∫ v ( t ) dt
tA
S. Vitale A.A. 2001-2002
1
tB G
G
G
r ( t B ) = r ( t A ) + ∫ v ( t ) dt
tA
Per conoscere la posizione al tempo tB
bisogna conoscere la velocità fra tA e tB
e la posizione al tempo tA
Perché l’integrale?
S. Vitale A.A. 2001-2002
2
y @m D
Dividiamo [tA,tB] in N
intervalli lunghi
tB − tA
∆t =
N
40000
30000
20000
10000
t1
50000 100000 150000 200000 250000
tA=to
x @m D
tB=tN
S. Vitale A.A. 2001-2002
3
x[t B ] − x [ t A ] ≡ x[t N ] − x [ t 0 ] =
x [ t 1 ] − x [ t 0 ] + x [ t 2 ] − x [ t 1 ] + x [ t 3 ] − x [ t 2 ] + ...
... + x[t N ]
N −1
= ∑ ( x [ t k +1 ] − x [ t k ] )
k =0
x [ t k +1 = t k + ∆ t ] − x [ t k ]
∆t
N −1
≈ vx [tk ]
N −1
∑ ( x [ t ] − x [ t ] ) ≈ ∑ v [ t ] ∆t
k =0
k +1
k
x
k
k =0
S. Vitale A.A. 2001-2002
4
G
G
G
r [ t k +1 ] ≈ r [ t k ] + v [ t k ] ∆t
y @m D
40000
30000
20000
10000
x @m D
50000 100000 150000 200000 250000 300000
S. Vitale A.A. 2001-2002
5
Andare per la tangente a velocità
costante per un tempo t: una discreta
y@m D
approssimazione
40000
30000
20000
10000
x @m D
50000 100000 150000 200000 250000 300000
S. Vitale A.A. 2001-2002
6
y @m D
N −1
tB
N →∞ , ∆t → 0 k = 0
tA
G
Lim ∑ v [ t k ] ∆t =
G
∫ v [t ]dt
Dt=10 s
40000
Dt=5 s
Dt=0 s
30000
20000
10000
x @m D
50000 100000 150000 200000 250000 300000
S. Vitale A.A. 2001-2002
7
Es: moto rettilineo uniforme
v x ( t ) = v xo ; v y ( t ) = v yo ; v z ( t ) = v zo ;
G
G
v ( t ) = { v x ( t ) , v y ( t ) , v z ( t )} = { v xo , v yo , v zo } ≡ v o
t2
x ( t 2 ) = x ( t1 ) + ∫ v xo dt = x ( t1 ) + v xo ( t 2 − t1 )
t1
t2
y ( t 2 ) = y ( t1 ) + ∫ v yodt = y ( t1 ) + v yo ( t 2 − t 1 )
t1
t2
z ( t 2 ) = z ( t 1 ) + ∫ v zodt = z ( t 1 ) + v zo ( t 2 − t 1 )
t1
t2
G
G
G
G
G
r ( t 2 ) = x ( t 1 ) + ∫ v odt = r ( t 1 ) + v o ( t 2 − t 1 )
S.
t1 Vitale A.A. 2001-2002
8
Es: moto circolare uniforme
v x ( t ) = −ω roSin ( ωt ) ; v y ( t ) = ω roCos ( ωt ) ; v z ( t ) = 0
t2
x ( t 2 ) = x ( t 1 ) − ∫ ω roSin ( ωt ) dt =
t1
x ( t 1 ) + ro Cos ( ωt 2 ) − Cos ( ωt 1 ) 
t2
y ( t 2 ) = y ( t 1 ) + ∫ ω roCos ( ωt ) dt =
t1
y ( t 1 ) + ro Sin ( ωt 2 ) − Sin ( ωt 1 ) 
t2
z ( t 2 ) = z ( t1 ) + ∫ 0 dt = z ( t 1 )
t1
S. Vitale A.A. 2001-2002
9
ro  Cos ( ωt 2 ) − Cos ( ωt 1 ) 
y
roCos ( ωt 2 )
G
r ( t1 )
G
r (t2 )
roCos ( ωt 1 )
x(t2)
O
x
x(t1)
S. Vitale A.A. 2001-2002
x ( t 2 ) − x ( t1 )
10
N.B. da
tB G
G
G
r ( t B ) = r ( t A ) + ∫ v ( t ) dt
tA
Segue che la velocità media
G
v (t A , tB ) ≡
G
G
r ( tB ) − r ( t A )
tB − tA
1
=
tB − t A
∫
tB
tA
G
v ( t ) dt
È la media temporale della velocità
istantanea
S. Vitale A.A. 2001-2002
11
Come si ricavano posizione e velocità
dall’accelerazione?
t2
G
G
G
v ( t 2 ) − v ( t 1 ) = ∫ a ( t ) dt
t t1
G
G
G
v ( t ) = v ( t o ) + ∫ a ( t ') dt '
to
t'


G
G
G
G
G
G
r ( t ) = r ( t o ) + ∫ v ( t ') dt ' = r ( t o ) + ∫  v ( t o ) + ∫ a ( t ") dt " dt '

to
to 
to

t
t
t
t'
to
to
G
G
G
G
r ( t ) = r ( t o ) + v ( t o )( t − t o ) + ∫ dt ' ∫ a ( t ") dt "
Due condizioni iniziali: se l’accelerazione è nulla
la velocità puòS. Vitale
essere
diversa da zero 12
A.A. 2001-2002
z
O
G
a
Esempio: il moto nel campo
gravitazionale terrestre
G
a ( t ) = −gkˆ
g=9.8 m/s2
y
t
t'
to
to
x rG ( t ) = rG ( t o ) + vG ( t o )( t − t o ) + ∫ dt' ∫ −gkˆ dt" =
t
G
G
= r ( t o ) + v ( t o )( t − t o ) − ∫ gkˆ ( t'− t o )dt' =
to
G
1
G
2
ˆ
= r ( t o ) + v ( t o )( t − t o ) − k g ( t − t o )
2
S. Vitale A.A. 2001-2002
13
Una piccola parentesi matematica: il versore
G 
By
B 
Bx
Bz
B̂ ≡ G = 
,
,
B  B 2x + B 2y + B 2z B 2x + B 2y + B 2z B 2x + B 2y + B 2z

G G
ˆ
→ B̂ = 1 → B = B B
z
k̂
xG
î
ĵ




î = {1,0, 0}
ĵ = {0,1,0}
y
k̂ = {0, 0, 1}
B = {B x ,B y ,B z } = {B x ,0,0} + {0,B y , 0} + {0,0,B z } =
ˆj + B k̂
B xS.îVitale
+B
y 2001-2002 z
A.A.
14
La velocità
G
G
v ( t ) = v ( t o ) − gkˆ ( t − t o )
vx ( t ) = vx ( to ) ; vy ( t ) = vy ( to )
vz ( t ) = vz ( to ) − g ( t − to )
S. Vitale A.A. 2001-2002
15
Proprietà dell’accelerazione
1: Moto circolare uniforme
G
G
v ( t ) = {−ω roSin ( ωt ) , ω roCos ( ωt ) , 0} v ( t ) = ωro
G
dv ( t )
G
2
2
2G
a(t) =
= −ω roCos ( ωt ) , -ω roSin ( ωt ) , 0 = −ω r ( t )
dt
{
G
r
O
}
G
v
G G
v⋅a = 0
G
a
G2
v
G
2
a ( t ) = ω ro =
ro
S. Vitale A.A. 2001-2002
1
Derivata di un vettore costante in modulo
G
G
A ( t + ∆t ) − A ( t )
θ
θ
G
A ( t + ∆t )
∆
δφ
G
G
A ( t + ∆t ) − A ( t )
∆t
Lim
∆t → 0
π ∆φ
∆φ = π − 2θ; θ= 2 2
π
∆φ → 0 ⇒ θ →
2
G
A (t )
2 G
 ∆φ  ∆φ G
=
A ( t ) Sin 
≈
A (t)

∆t
∆t
 2 
G
G
A ( t + ∆t ) − A ( t )
∆t
dφ G
=
A (t)
dt
S. Vitale A.A. 2001-2002
2
lQ
Q
O
lP
sP = l P
sQ = −l Q
P
Ascissa Curvilinea s su una curva orientata:
Distanza di un punto sulla curva da un’origine
sulla stessa
+ : il punto segue l’origine
-: il punto precede l’origine
G d ( lunghezza dell 'arco di traiettoria percorso ) ds
v =
=
d ( tempo impiegato a percorrerlo )
dt
S. Vitale A.A. 2001-2002
3
Moto Circolare Uniforme
v x ( t ) = −ω roSin ( ωt ) ; v y ( t ) = ω roCos ( ωt ) ; v z ( t ) = 0
v 2x ( t ) + v 2y ( t ) + v 2z ( t ) =
2
ω
r
Sin
ω
t
+
ω
r
Cos
( o)
( ) ( o)
( ωt ) = ω ro
2
2
2
t
s ( t ) = s ( 0 ) ± ∫ ωrodt = s ( 0 ) ± ωro t
0
S. Vitale A.A. 2001-2002
4
y @m D
4
φ = ωt
3
2
s = ro φ = ro ωt
1
4
3
2
1
1
1
2
3
4
x @m D
2
3
4
S. Vitale A.A. 2001-2002
5
O
G
ds
v ( t ) = τˆ ( t )
dt
G
ds
ds
v (t) =
τˆ =
τˆ
dt
dt
G
ds
≥ 0 → v ↑↑ τˆ
dt
ds
G
≤ 0 → v ↑↓ τˆ
dt
G
v ( t )G
v (t)
τˆ ≡ versore tangente
Il verso è quello positivo
della traiettoria
G
G
v ( t ) = v ( t ) vˆ ( t )
S. Vitale A.A. 2001-2002
6
Derivata del prodotto di uno scalare per un
vettore
G
da ( t ) A ( t ) d {a ( t ) A x ( t ) ,a ( t ) A y ( t ) ,a ( t ) A z ( t )}
=
dt
dt
 da ( t )

dA x ( t )
Ax ( t ) + a ( t )
,


 dt

dt
=

 da ( t ) A t + a t dA y ( t ) , da ( t ) A t + a t dA z ( t ) 
()
()
y( )
z( )
 dt
dt
dt
dt 
G
dA ( t )
da ( t ) G
=
A (t) + a(t)
dt
dt
S. Vitale A.A. 2001-2002
7
Applichiamolo alla velocità
 ds

G
d  τˆ ( t ) 
2
2
dv ( t )
ˆ
ds
ds dτ d s
G dvˆ
dt


=
= 2 τˆ +
= 2 τˆ + v
dt
dt
dt dt dt
dt
dt
Accelerazione
tangenziale
G
d 2s
at = 2
dt
G
at
dφ
dt
dvˆ ( t )
Velocità di
rotazione della
velocità
G
G dφ
an = v
dt
S. Vitale A.A. 2001-2002
dt
⊥ v̂ ( t )
G
an
Accelerazione
normale 8
Qualunque curva localmente si può approssimare
con una circonferenza G
G
an a t
Cerchio “osculatore”
rcurvatura
G
G dφ
an = v
dt
→ rcurvatura
≡
N
G2
v
r
definizione curvatura
dφ
G
an
dt
= G2 = G
v
v
S. Vitale A.A. 2001-2002
9
Es: Moto circolare non uniforme
G
G
r ( t ) = roCos  φ ( t )  ,roSin  φ ( t )  ,0 r ( t ) = ro

dφ ( t )
dφ ( t ) 
G
v ( t ) =  −roSin  φ ( t ) 
,roCos  φ ( t ) 
,0 
dt
dt


dφ ( t )
G
v ( t ) = ro
dt
2
2

 dφ ( t ) 
d φ(t)
G

a ( t ) =  −roCos  φ ( t )  
,
 − roSin  φ ( t ) 
2
dt
 dt 

2
2
 dφ ( t ) 
d φ ( t ) 
-roSin  φ ( t )  
,0  =
 + roCos  φ ( t ) 
2
dt
 dt 

2
2
 dφ ( t ) 
d φ(t)
Centripeta
ˆ
ˆ
= −ro 
+
τ
r
t
r
t
(
)
(
)

o
2
Tangenziale
S. Vitaledt
A.A. 2001-2002
10
 dt 
{
}
dφ
<0
dt
d 2φ
>0
2
dt
G
at
G
v
τ̂ G
an
φ
G
G G
a ( t ) = an + a t
2
 dφ ( t ) 
G
an ( t ) = −ro 
 rˆ ( t )
 dt 
dφ ( t )
G
v ( t ) = ro
τˆ
dt
2
G
v (t)
G
an =
ro
d φ(t)
G
ˆ
τ
a t = ro
(t)
2
dt
2
S. Vitale A.A. 2001-2002
11
Sistemi di Riferimento
ẑ
ẑ
ŷ
x̂
ŷ
Insiemi di corpi cui è fissato
un sistema di coordinate
x̂
S. Vitale A.A. 2001-2002
12
I sistemi di riferimento possono essere in moto
relativo:
Gli assi possono ruotare L’origine può traslare
ẑ '
ŷ '
ẑ
O’
O
ŷ
x̂'
x̂
S. Vitale A.A. 2001-2002
13
Il moto relativo più semplice è il moto di
traslazione dell’origine, con gli assi che
mantengono orientazioni relative fisse
ẑ
ẑ
O
O
x̂
ŷ
ŷ
x̂
S. Vitale A.A. 2001-2002
14
Traslazione dell’origine: formule
di trasformazione del raggio
vettore
z
z
P
G
rP
O
x
G
rP
O
G
G
rOO = − rOO
x y
y
G G G
G G
G G G
rP = rP + rOO ; rP = rP + rOO = rP − rOO
S. Vitale A.A. 2001-2002
15
Trasformazione della velocità:
Le velocità si sommano (si compongono)
vettorialmente
G
G
G
G
G
G
G
G
rP ( t ) = rP ( t ) + rOO ( t ) ; rP ( t ) = rP ( t ) + rOO ( t ) = rP ( t ) − rOO ( t )
G
drP ( t )
dt
=
G
drP ( t )
dt
+
G
drOO ( t )
dt
G
G
G
G
G
v P ( t ) = v P ( t ) + vO ( t ) = v P ( t ) − vO ( t )
→ G
G
G
G
G
v P ( t ) = v P ( t ) + vO ( t ) = v P ( t ) − vO ( t )
S. Vitale A.A. 2001-2002
16
y@km D
40
30
20
y
10
O
O
P
Un esempio: moto
rettilineo uniforme
km ˆ
km ˆ
G
j;
v OO = 1540
i + 70
h
h
x
km ˆ
km ˆ
G
x@kmD v P = 490
j
i − 210
50 100 150 200 250
h
h
y@kmD
G
G
G
v P = v P − v OO =
40
km ˆ
km ˆ
= ( 490 − 1540 )
i + ( −210 − 70)
j=
h
h
km ˆ
km ˆ
= −1050
i − 280
j
h
h
75
50
S. Vitale A.A. 2001-2002
30
20
P
10
25
O
25
50
75
x@kmD
17
Moto relativo rettilineo uniforme di due
sistemi di riferimento: le trasformazioni di
Galileo
G
G
G
rOO ( t ) = rOO ( 0 ) + v o t;
G
G
G
G
rP ( t ) = rP ( t ) + rOO ( 0 ) + v o t
G
G
G
v P ( t ) = v P ( t ) + vo
G
G
G
v P ( t ) = v P ( t ) − vo
x P ( t ) = x P ( t ) + x O O ( 0 ) + v ox t
y P ( t ) = y P ( t ) + y OO ( 0 ) + v oy t
z P ( t ) = z P ( t ) + z OO ( 0 ) + v oz t
S. Vitale A.A. 2001-2002
18
Se si effettua lo stesso esperimento in due diversi
sistemi di riferimento in moto relativo rettilineo
uniforme si ottiene lo stesso risultato
N.B. Stesso esperimento significa stesse condizioni
iniziali rispetto a ciascun sistema di riferimento
S. Vitale A.A. 2001-2002
19
Quale delle due foto è
presa in volo e quale a
terra?
S. Vitale A.A. 2001-2002
20
Altri principi:
Isotropia dell’universo: tutte le direzioni sono
equivalenti
misura della velocità della luce
Moto della Terra
Luce
Specchi
∆c
≤ 10−15
c
S. Vitale A.A. 2001-2002
21
Le anisotropie locali viste da COBE
S. Vitale A.A. 2001-2002
22
[I legge della Dinamica del Punto]
Si può sempre trovare un sistema di
riferimento, detto sistema inerziale, rispetto
al quale un punto materiale libero se posto in
quiete vi rimane indefinitamente
Punto materiale libero: punto materiale non
soggetto all’influenza di altri corpi
Operativamente: molto lontano da
qualunque altro corpo
S. Vitale A.A. 2001-2002
23
L’astronauta rimane
fermo dov’è se nessuno lo
spinge
S. Vitale A.A. 2001-2002
24
z
z
P
G
v OO
Sistema n. 1,
inerziale: punto P
in quiete
Sistema n. 2: punto
G
P con velocità v OO
O
O
y
y
x
x
S. Vitale A.A. 2001-2002
25
Se nel sistema di riferimento 1 il punto
materiale libero rimane in quiete se posto in
quiete, lo stesso deve succedere nel sistema 2
(principio di relatività)
Sistema di riferimento 2: un punto libero che
al tempo zero abbia velocità vOO continua
indefinitamente con la stessa velocità
(moto rettilineo uniforme)
Conclusione:
Si può sempre trovare un insieme di (infiniti)
sistemi di riferimento (sistemi inerziali)in
moto relativo rettilineo uniforme, in cui un
punto materiale libero procede di moto
rettilineo uniforme
S. Vitale A.A. 2001-2002
26
Costruire un sistema inerziale: puntare gli assi
alle stelle fisse
(stelle così lontane da non mostrare moto
relativo)
S. Vitale A.A. 2001-2002
27
Scegliere l’origine nel sole (meglio centro di massa
del sistema solare)
(Giove-Sole: 2 1027kg-2 1030kg; raggio del sole 0.7
106 km)
778 106km
S. Vitale A.A. 2001-2002
28
Legge di Newton o
II Legge della Dinamica del Punto Materiale
G
G F
a=
m
G
a ≡ accelerazione del punto materiale
G
F ≡ forza
Un vettore che dipende dai corpi che circondano il
punto materiale
Si ricava da un catalogo determinato
sperimentalmente
m ≡ massa
Uno scalare proprietà
del punto materiale 1
S. Vitale A.A. 2001-2002
Nota:
poiché il prodotto massa per accelerazione è un
vettore anche la forza deve essere un vettore:
se si ruotano o traslano gli assi coordinati la legge
deve rimanere vera.
m→m
{a x , a y , a z } → {a x', a y', a z'}
{Fx , Fy , Fz } → {Fx', Fy', Fz'}
ma x = Fx
U
ma x' = Fx'
ma y = Fy
U
ma y' = Fy'
ma z = Fz
U
ma z' = Fz'
S. Vitale A.A. 2001-2002
2
Istruzioni per l’uso della legge di Newton
1) Ricavare la forza dal catalogo
2) Ricavare la massa
(misura o dato iniziale)
G
F
m
G
G F
3) Calcolare l’accelerazione
a=
G
v( t')
m
GG
t
t' t'
t
FF( t''
t'') )
G
G
(
G
G
r ( t ) = r ( 0 ) + ∫v dt'
dt''
+ ∫∫
dt''
( 0)vt (+0t'∫))dt'
m
m
0
0 0
0
S. Vitale A.A. 2001-2002
GG
a(at''
( t''
))
3
Il Catalogo
m1
G
G
m 1m 2 G
F21 = −G G 2 rˆ21 = − F12
r21
G
F21 =
Forza gravitazionale
Forza elettrica
Fx = −k ( x − x o )
Fy , Fz
(vedi vincolo unidimensionale)
G G
Fn + Fvincolo = 0
m2
G
F12
G
F21
q1
G
1 q 1q 2 G
rˆ = − F12
G
2 21
4πε o r21
G
r21
G
r21
q2
G
F12
G
F21
Molla in una
dimensione
Vincolo
unidimensionale
S. Vitale A.A. 2001-2002
G
Fn
4
G
G G
F = − ( v − v fluido )
G
G
F& = −µ d F⊥ vˆ '
G
G
F⊥ + Fpiano = 0
G G
v − v fluido
Attrito viscoso
G
F
Attrito cinematico
radente
Piano liscio
G
G G
v ' = v − v piano
G
F⊥
G
F&
G
F⊥
Eccetera…….
S. Vitale A.A. 2001-2002
5
Come si costruisce il catalogo?
Con gli esperimenti
Esperimenti
Catalogo Forze
(numero limitato)
(limitato)
Previsione/calcolo
/progetto di
nuovi
“esperimenti”
Legge di Newton
S. Vitale A.A. 2001-2002
6
Un esercizio di costruzione del catalogo
Esperimento 1:
y@mD
In prossimità
della superficie
terrestre tutti i
corpi in
assenza di altri
effetti hanno
accelerazione
40000
30000
20000
G
a = − gjˆ
10000
50000
100000
150000
200000
250000
S. Vitale A.A. 2001-2002
x@mD
7
E’ conciliabile con la legge di Newton?
Possiamo farne una voce del catalogo?
G
Fg = −mgjˆ
G G
ma = Fg = −mgjˆ
G
a = − gjˆ
Ok !
(ma è uno sporco trucco!)
S. Vitale A.A. 2001-2002
8
Secondo esperimento: deformazione della molla
sotto carico
z = −68.6 m -2 V
yeq@mD
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
y
y=0
V @m3D
0.0005 0.001 0.0015
0.002
S. Vitale A.A. 2001-2002
9
E’ conciliabile con la legge di Newton e con le altre
voci del catalogo?
Possiamo farne una nuova voce del catalogo?
Fmolla,y = −ky m=ρV
y ( t ) = yo → vy = 0
→ a y = 0 → Fy = 0
Fy = −mg + Fmolla,y = −mg − ky eq = 0
m
ρV
y eq = − g = −
g
k
k
Ok! (trucco?)
N.B. basta scegliere un materiale appropriato come
campione per la densità e le unità della massa
risultano
definite
S. Vitale A.A. 2001-2002
10
Terzo esperimento: oscillazioni della molla intorno
al punto di equilibrio
y @m D
0.09
0.085
0.08
T2@s 2D
yeq
0.075
0.2
0.4
0.5
0.8
1
T
0.4
0.3
2
T = 4π
0.2
0.1
0.6
yeq@m D
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12S.0.14
Vitale A.A. 2001-2002
2
− y eq
g
11
t@sD
Si spiega senza introdurre nuove voci nel catalogo?
d2y
ma y (t) = m 2 = −mg − ky ( t )
dt
dt
E’ un’equazione differenziale: la soluzione non è un
numero ma una funzione del tempo ysol(t)
Proviamo:
y sol ( t ) = y o + y sSin[ωt] + y cCos[ωt]
S. Vitale A.A. 2001-2002
12
d 2 y sol
d 2 y sol
m
= −mg − ky sol ( t ) m
+ ky sol ( t ) + mg = 0
2
2
dt
dt
y sol ( t ) = y o + y sSin[ωt] + y cCos[ωt]
dy sol
= y s ωCos [ ωt ] + y cωSin [ ωt ]
dt
2
d y sol
2
2
m
= m − y s ω Sin [ ωt ] − y cω Cos [ ωt ]
2
d
dtt
+
+
ky sol ( t ) = k ( y o + y sSin[ωt] + y cCos[ωt])
(
)
+
mg
(
)
+
mg
(
)
2
0 = ky o + mg + k − mωS.2 Vitale
y sA.A.
Sin[
ω
t]
+
k
−
m
ω
y cCos[
ωt]
t]
2001-2002
13
(
)
(
)
0 = ky o + mg + k − mω2 y sSin[ωt] + k − mω2 y cCos[ωt]
OK per ogni t se:
mω2 = k e mg = -ky o
k
g
ω = =−
m
yo
2
2
2π
4π
2
2 m
2 yo
ω=
→ T = 2 = 4π
= −4π
T
ω
k
g
S. Vitale A.A. 2001-2002
14
Esperimento in aula:
T2 @s2 D
• = dati sperimentali
→ 4π
0.6
2
y eq
g
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.025
0.05
0.075
0.1
0.125
0.15
S. Vitale A.A. 2001-2002
0.175
0.2
L@mD
15
Alcune Osservazioni sulla Legge di Newton
1) Dimensioni fisiche:
Massa: grandezza fondamentale
Unità SI kilogrammo (kg)
[F ] = [m ][a] = [m ][l ][ t ]
−2
SI → F: kg × m × s
-2
→ N ( Newton )
S. Vitale A.A. 2001-2002
1
2) Legge di Newton e Relatività: Trasformazione di
Galileo:
G
G
G
v P ( t ) = v P ( t ) + vo
G
G
G
v P ( t ) = v P ( t ) − vo
G
G
G
G
dv P ( t ) d ( v P ( t ) + v o ) dv P ( t ) G
G
= aP ( t )
aP ( t ) =
=
=
dt
dt
dt
L’accelerazione è la stessa in tutti i sistemi inerziali
Legge di Newton vale in tutti i sistemi inerziali
Æ Forza uguale in tutti i sistemi inerziali
(invariante per trasformazioni di Galileo)
G
G
G
G
F = ma P ( S.t )Vitale
=ma
A.A. 2001-2002
2
P (t) = F
3) Il Catalogo: le forze fondamentali
G
G
m 1m 2 G
F21 = −G G 2 rˆ21 = − F12
r21
m1
Forza gravitazionale
G
G G G
F = e E+ v×B
(
G
r21
m2
G
F21
G
F12
)
Forza elettromagnetica (di Lorentz)
G
G
E = Campo elettrico; B=Campo magnetico
+ Interazione Nucleare Debole
= Interazione Elettro-debole
Interazione Nucleare Forte
S. Vitale A.A. 2001-2002
3
Forza di Gravità: l’Universo
(neutralità elettrica della materia)
La forza peso
Bondone
S. Vitale A.A. 2001-2002
4
Forza Elettromagnetica
Tiene insieme elettroni e nuclei: proprietà
chimiche ed elettriche della materia.
Gli atomi in un metallo (NbSe2)
S. Vitale A.A. 2001-2002
5
Interazione Nucleare Forte
Tiene insieme i nuclei
Fusione nucleare : stelle,
Bomba all’idrogeno
S. Vitale A.A. 2001-2002
6
Le Forze Efficaci:
Fx = −k ( x − xo )
Fy , Fz
(vedi vincolo unidimensionale)
Molla in una
dimensione
x
Forze elettromagnetiche fra gli atomi che
compongono la molla
S. Vitale A.A. 2001-2002
7
Cilindro in Alluminio di 2.3 Ton
a -273.05 °C
Oscillazioni della lunghezza
dovute all’agitazione atomica
1.5 ¥ 10
x@mD
17
1 ¥ 10
17
5 ¥ 10
18
5 ¥ 10
18
1 ¥ 10
17
1.5 ¥ 10
17
S. Vitale A.A. 2001-2002
0.005
0.01
0.015
t@sD
0.02
8
Attriti
(Forze elettromagnetiche fra particella e atomi di
fluidi e solidi)
G G
v − v fluido
G
G G
F = −β ( v − v fluido )
Attrito viscoso
G
G
Fattrito = −µ d F⊥ vˆ '
Attrito cinematico
radente
(Solo punto in
movimento)
G
G
Fattrito = − F&
G
G
se F& < µ s F⊥
N.B. µ s ≥ µ d
G
F
Attrito statico
(Solo punto in quiete)
S. Vitale A.A. 2001-2002
G
G G
v ' = v − v piano
G
F&
G
F⊥
G
F⊥
G
Fattrito
Fattrito
9
Vincoli
(Deformazioni elastiche di corpi solidi)
G
G
F⊥ + Fpiano = 0
Piano liscio
G G
Fn + Fguida = 0
Guida liscia
G G
F& + Fasta = 0
Asta indeformabile
S. Vitale A.A. 2001-2002
G
F⊥
G
Fn
G
F&
10
Approssimazioni di Forze Fondamentali
M ⊕m
M
⊕
ˆ
ˆ
r
−G
G
mk
≈
−
2
2
R⊕
( R⊕ + h)
î
≡ − gmkˆ
k̂
h
G
r = R⊕ + h
ĵ
M⊕
m
g = G 2 ≈ 9.8 2
R⊕
s
N.B. Sfere equivalenti a particelle puntiformi
S. Vitale A.A. 2001-2002
11
Forze diverse Æ Problemi diversi
Caso 1: forza funzione nota del tempo
G
Nota
molto
t t'
 F ( t ")

G
G
G
r ( t ) = r ( 0) + v ( 0) t + ∫  ∫
dt "  dt '
bene:


m
0 0

I moti lungo
t t'
direzioni
 Fx ( t ")

x ( t ) = x ( 0) + v x ( 0) t + ∫  ∫
dt "  dt ' ortogonali
m
0 0

sono
t t'
indipendenti:
 Fy ( t ")

y ( t ) = y ( 0) + v y ( 0) t + ∫  ∫
dt "  dt ' per conoscere
m
0 0

y(t) non devo
t t'
 Fz ( t ")

conoscere
z ( t ) = z ( 0) + v z ( 0) t + ∫  ∫
dt "  dt '
Fx(t)
m
0 0

S. Vitale A.A. 2001-2002
12
Esempio 1.1 piano inclinato liscio:
G
Fg = mgSin ( θ ) ˆi − mgCos ( θ ) ˆj ĵ ⊥ sup erfice del piano
−mgCos ( θ ) + Fvincolo
2
dy 2
=0 →
= 0 se v y ( 0 ) e y ( 0 ) = 0 → y ( t ) = 0
2
dt
dx
m 2 = mgSin ( θ )
dt
 t'

→ x ( t ) = x ( 0 ) + v x ( 0 ) t + ∫  ∫ gSin ( θ ) dt "  dt '
0 0

ĵ
t
1
2
= x ( 0 ) + v x ( 0 ) t + gSin ( θ ) t
2
ĵ
O
O
G
Fg
î
î
θ
S. Vitale A.A. 2001-2002
13
G
Fattrito
statico
Esempio 1.2 piano inclinato con attrito:
G
G
F⊥ = mgCos ( θ ) F& = mgSin ( θ ) ˆi
G
G
ˆ
Fattrito = −µ d mgCos ( θ ) v  v > 0 
dinamico
G
= −mgSin ( θ ) ˆi  v = 0 e mgSin ( θ ) ≤ µ s mgCos ( θ ) 
Richiede soluzione “per tentativi”. Condizioni iniziali critiche
ĵ
Es: partenza dal fondo x(0)=L vx(0)=-vo<0
O
L
î
θ
G
v (0)
S. Vitale A.A. 2001-2002
14
d2 x
m 2 = mgSin ( θ ) − µ d mgCos ( θ ) Sign  v x ( t ) 
dt
v x ( t ) = − v o + g Sin ( θ ) + µ d Cos ( θ )  t


vo
; v x ( t max ) = 0 
t < t max =
g  Sin ( θ ) + µ d Cos ( θ ) 


1
x ( t ) = L − v o t + g Sin ( θ ) + µ d Cos ( θ )  t 2
2
Si ferma o riscende?
v o2
1
x ( t max ) = L −
2 g Sin ( θ ) + µ d Cos ( θ ) 
G
Fattrito = −mgSin ( θ ) ˆi
statico
G
 v = 0 e mgSin ( θ ) ≤ µ smgCos ( θ ) 
resta fermo se tan ( θ ) < µ s
N.B. moto: tan ( θ ) > µ s > µ d → Sin ( θ ) > µ d Cos ( θ )
S. Vitale A.A. 2001-2002
15
Esempio 1.3: forza “impulsiva”
Teorema dell’ impulso
G
t
t
G
F (t)
G
G
G
G
v ( t 2 ) − v ( t1 ) = ∫
dt → mv ( t 2 ) − mv ( t1 ) = ∫ F ( t )dt
2
2
m
G
mv ≡ quantità di m oto
t1
x
t1
G
IFG ( t 1 , t 2 ) ≡ Im pulso della forza
Fx @ND
2 ¥ 106
1.75 ¥ 106
1.5 ¥ 106
x ( 0) , v x ( 0) = 0
( )
vx t
+
Ix
Ix
=
→ x (t) = t
m
m
G
≡ IFG ( t1 , t 2 )
I x = 104 Ns
1.25 ¥ 106
1 ¥ 106
750000
500000
250000
0.02 0.015
0.005
S. Vitale0.01
A.A. 2001-2002
t@sD
0.005 0.01 0.015 0.02
16
Caso 2: forza funzione di coordinate e velocità:
G
G
dr
dr 
G
m 2 = f  r ( t ) , ...
dt
dt 

2
Equazione differenziale, caso “semplice”
G
G
dr
dr
G
m 2 = a o r ( t ) + a1
+ ..
dt
dt
2
Equazione differenziale, lineare a coefficienti
costanti
S. Vitale A.A. 2001-2002
17
k̂
G
v
Esempio: caduta in un fluido viscoso
G
G
F = −β v
G
GFa ttrito
G Fa ttrito
v
(Fluido in quiete)
2G
dr
G
ˆ
m 2 = −mgk − β v
dt
d 2 x β dx
+
=0
2
dt
m dt
d 2 y β dy
+
=0
2
dt
m dt
d 2 z β dz
+
= −g
2
dt
m dt
S. Vitale A.A. 2001-2002
18
Equazione lineare non omogenea
 m
d 2 z 1 dz
+
= −g  τ= 
2
dt
τ dt
β

Soluzione: 1 Æ trova soluzione generale dell’omogenea associata
d 2 z 1 dz
+
=0
2
τ dt
dt
z=z k eαk t
dz
→
= z k α k e αk t
dt
1
z k α k2 eαk t + z k α k eαk t = 0
τ
z g ( t ) = z1 e0t + z 2 e
1
→ α k2 + α k = 0
τ
t
−
τ
S. Vitale A.A. 2001-2002
d2 z
2 αk t
z
=
α
k ke
2
dt
0
αk = 1
τ
= z1 + z 2 e
−
t
τ
19
2Æ trova una soluzione particolare
(condizioni iniziali qualunque)
z p ( t ) = − gτt →
dz p
dt
= − gτ →
d2 zp
dt 2
d 2 z 1 dz
+
= −g
2
dt
τ dt
1
= 0 → 0 + ( − gτ ) = − g!
τ
3Æ la soluzione generale è:
z ( t ) = z g ( t ) + z p ( t ) = − gτ t + z 1 + z 2 e
−
t
τ
4Æ Determinare z1 e z2 dalle condizioni inziali
z ( 0) = z1 + z 2
t
− 

1
v z ( 0 ) =  − gτ − z 2 e τ 
τ

 t =0
1
= − gτ − z 2
τ
z 2 = −  v z ( 0 ) τ + gτ 2  z1 = z ( 0 ) + v z ( 0 ) τ + gτ 2
S. Vitale A.A. 2001-2002
20
t
− 

z ( t ) = − gτt + z ( 0 ) + v z ( 0 ) τ + gτ 2  1 − e τ 
z@mD


(
)
3000
2500
τ = 0.8 s
2000
Lim z ( t ) = − gτt ≡ − v lim ite t
t →∞
v limite = gτ
1500
τ=8s
1000
500
10
20
30
40
50
60
t@sD
2


 
t
1
t



2
z ( t ) = − gτt + z ( 0 ) +  v ( 0 ) τ + gτ  1 − 1 − +   + ..  =
 
  τ 2  τ 
1
Lim z ( t ) = z ( 0 ) + v ( 0 ) t − gt 2
t →0
2
S. Vitale A.A. 2001-2002
21
La velocità limite
t
− 

z ( t ) = − gτt + z ( 0 ) + v z ( 0 ) τ + gτ 2  1 − e τ 


t
t
t
−
− 
− 


v z ( t ) = − gτ + gτe τ = − gτ  1 − e τ  = − v lim ite  1 − e τ 




v @km hD
(
)
z
300
250
mg
v lim ite = gτ =
β
β v lim ite = mg
200
150
100
50
5
10
15
20
25
30
35
40
t@sD
N.B. grande τ Æ grande m, piccolo β (grande peso, scarso attrito)
S. Vitale A.A. 2001-2002
22
Che succede lungo x e y?
d 2 x 1 dx
+
=0
2
τ dt
dt
x=xk eαk t
2
dx
d
x
αk t
2 αk t
→
= xk α k e ,
=
α
x
k ke
2
dt
dt
0
2 αk t
k
xk α e
1
1
αk t
2
+ xk α k e = 0 → α k + α k α k = 1
τ
τ
τ
x ( t ) = x1 + x 2 e
−
t
τ
t
x2 − τ
vx ( t ) = − e
τ
S. Vitale A.A. 2001-2002
23
L’equazione di Newton al contrario: se si conosce
la legge oraria si può determinare la forza?
Esempio: moto circolare uniforme, quant’è la forza
che l’asta esercita sulla particella?
G
2G
a ( t ) = −ω r ( t )
G
2G
Fasta = −mω r ( t )
Asta indeformabile
S. Vitale A.A. 2001-2002
24
Un bell’esempio di applicazione del
Teorema del momento angolare
Particella G
v
G
rOP
Polo O
Se il polo è
fisso:
G
G
G G
G
G
LO = rOP × mv = ( r − rO ) × mv
G
G G
G
d
r
r
−
(
)
dLO
dv
G G G
O
=
× mv + ( r − rO ) × m
dt
dt
dt
G
G G
G G G
== ( v − v o ) × mv + ( r − rO ) × F
G
G G
dLO G
= rOP × F ≡ M
dt
S. Vitale A.A. 2001-2002
G
G
G G
= − v O × mv + rOP × F
25
G
Fasta
O
G
rOP
G
G
rOP × Fasta = 0
G
v ( t ) = −ωroSin ( ωt ) ˆi + ωroCos ( ωt ) ˆj
G
r(t) = roCos ( ωt ) ˆi + roSin ( ωt ) ˆj
G
G
r(t) × mv ( t ) = m roSin ( ωt ) ˆj ×  −ωroSin ( ωt ) ˆi  +

 

{
}
2ˆ
ˆ
ˆ




+ roCos ( ωt ) i × ωroCos ( ωt ) j = mωro k

 

G
dL
=0
S. Vitale
26
dtA.A. 2001-2002
Moto rettilineo uniforme
G
a=0
G G
ro × F = 0
G
F=0
G
d = ro SinθG
G
v
v
G
v
θ
G
ro
G
dLo
=0
dt
G θ
ro
G
ro
θ
O
S. Vitale A.A. 2001-2002
G
v
θ
G
G L = m rG vG Sinθ
o
ro o
G
= md v
27
Sistemi di riferimento accelerati
(rispetto ad un sistema inerziale)
1: accelerazione dell’origine.
z rispetto alle stelle fisse
Assiz fissi
z
z
z
z
z
z
z
O
O
O
O O
x
x
x
x
x
x
x
z
y
y
y
O
x
O
x
O
x
S. Vitale A.A. 2001-2002
y
O
y
O
y
y
y
y
y
1
G
G
G
r ( t ) = r ( t ) + ro ( t )
G
G
G
v ( t ) = v ( t ) + vo ( t )
G
G
G
a ( t ) = a ( t ) + ao ( t )
z
G
r (t)
z
G
r (t)
O
G
ro ( t ) x
x
y
Supponiamo: inerziale
G
G
G
ma ( t ) = ma ( t ) + mao ( t )
y
G
O
G
G
F ( t ) = ma ( t ) + mao ( t )
G
G
G
ma ( t ) = F ( t ) − m
ma
ao ( t )
forzaapparente
forzaapparente
S. Vitale A.A. 2001-2002
2
La forza peso efficace
G
ao
G
ˆ
m −gk − ao
(
)
−mgkˆ
G
−mao
S. Vitale A.A. 2001-2002
3
G
r
G
2G
aastronave = −ω r
S. Vitale A.A. 2001-2002
4
Ma le astronavi fanno un moto
circolare uniforme ?
G
M ⊕m astronave G
Fgravità = −G
r
3
r
(Le sfere si comportano come i punti)
Moto circolare uniforme:
G
2G
F = −m astronaveω r
G G
se F=Fgravità ok!
G
M ⊕m astronave G
−mastronaveω r = −G
r
3
r
2
S. Vitale A.A. 2001-2002
M⊕
→ω =G 3
r
2
5
Un punto materiale nel sistema di
riferimento dell’astronave
G
G
G
Ftot = Fgravità − maastronave
G
M⊕ G
2G
aastronave = −ω r = −G 3 r
r
G
G
G
M ⊕m G
M ⊕m G
Ftot = −G 3 rp − maastronave ≈ −G 3 r − maastronave
rp
r
G
M ⊕m G
M ⊕m G
Ftot ≈ −G 3 r + G 3 r = 0
r
r
!
S. Vitale A.A. 2001-2002
6
L’astronauta non
sente il peso
Segue la stessa
traiettoria
dell’astronave
S. Vitale A.A. 2001-2002
7
Rotazione degli assi
Rotazione simultanea di più vettori
S. Vitale A.A. 2001-2002
8
S. Vitale A.A. 2001-2002
9
S. Vitale A.A. 2001-2002
10
S. Vitale A.A. 2001-2002
11
S. Vitale A.A. 2001-2002
12
S. Vitale A.A. 2001-2002
13
S. Vitale A.A. 2001-2002
14
S. Vitale A.A. 2001-2002
15
S. Vitale A.A. 2001-2002
16
G ≈ vφ
G
v
S. Vitale A.A. 2001-2002
φ
17
φ
G
≈ v Sin ( θ ) φ
θ
G
v Sin ( θ )
S. Vitale A.A. 2001-2002
18
φ
φ
S. Vitale A.A. 2001-2002
19
Nella rotazione simultanea di più vettori
intorno allo stesso asse:
G
G
G
v i ( t + ∆t ) − v i ( t ) ⊥ v i ( t )
G
G
G
v i ( t + ∆t ) − v i ( t ) ≈ v i ( t ) Sin ( θi ) φ
G
G
v i ( t + ∆t ) − v i ( t ) ⊥ φˆ
φ
dφ
∆t → 0 φ → 0
→
Limite
∆t
dt
G
G
G
dv i
G
dφ
dv i G
dv i ˆ
≈ v i ( t ) Sin ( θi )
⊥ vi ( t )
⊥φ
dt
dt
dt
dt
S. Vitale A.A. 2001-2002
20
G G
Ω× v
G
dφ
ˆ
Ω≡φ
dt
G G G
Ω× v ⊥ v
G G G
Ω× v ⊥ Ω
G G
G G
Ω × v ⊥ v Ω Sin ( θ )
θ
G
v
G G
dv
G
= Ω× v
dt
S. Vitale A.A. 2001-2002
21
Visti dall’osservatore blu
k̂
z
d î G ˆ
= Ω× i
dt
ĵ
z
d ĵ G ˆ
= Ω× j
dt
y
y
OO
x
x
î
S. Vitale A.A. 2001-2002
dẑ G
= Ω × zˆ
dt
22
k̂
G
r (t)
z
ĵ
z
y
G
r (t) =
x ( t ) ˆi ( t ) + y ( t ) ˆj ( t ) + z ( t ) kˆ ( t ) =
y
OO
x
x
x ( t ) ˆi + y ( t ) ˆj + z ( t ) kˆ
î
S. Vitale A.A. 2001-2002
23
G
r ( t ) = x ( t ) ˆi ( t ) + y ( t ) ˆj ( t ) + z ( t ) kˆ ( t ) =
x ( t ) ˆi + y ( t ) ˆj + z ( t ) kˆ
dx ( t ) ˆ
dy ( t ) ˆ
dz ( t ) ˆ
G
v (t) =
i (t) +
j(t) +
k (t) +
dt
dt
dt
x(t)
diˆ ( t )
dt
+ y (t)
djˆ ( t )
dt
+ z (t)
dkˆ ( t )
dt
dx ( t ) ˆ dy ( t ) ˆ dz ( t ) ˆ
=
i+
j+
k
dt
dt
dt
G
v( t )
S. Vitale A.A. 2001-2002
24
G
v ( t ) == v x ( t ) ˆi ( t ) + v y ( t ) ˆj ( t ) + v z ( t ) kˆ ( t ) +
G
v( t )
G
G
G
x ( t )  Ω × ˆi ( t )  + y ( t )  Ω × ˆj ( t )  + z ( t )  Ω × kˆ ( t ) 




G
= v (t)
G
G
G
+  Ω × x ( t ) ˆi ( t )  +  Ω × y ( t ) ˆj ( t )  +  Ω × z ( t ) kˆ ( t ) 

 

G
= v (t)
G
+Ω ×  x ( t ) ˆi ( t ) + y ( t ) ˆj ( t ) + z ( t ) kˆ ( t ) 


G G
G
= v (t) + Ω × r (t)
S. Vitale A.A. 2001-2002
25
G G
G
G
v (t) = v (t) + Ω × r (t)
Vale per qualunque vettore
G
dA ( t )
dt
=
G
dA ( t )
dt
G G
+ Ω × A (t)
S. Vitale A.A. 2001-2002
26
Vettore blu fermo nel sistema nero
S. Vitale A.A. 2001-2002
27
Vettore blu visto nel sistema rosso
S. Vitale A.A. 2001-2002
28
La derivata di un vettore dipende dal sistema di
riferimento rispetto al quale viene calcolata
G
G
dA ( t ) dA ( t ) G G
=
+ Ω × A (t)
dt
dt
G
G
G
G
dA ( t ) dA ( t )
=
+ ( −Ω ) × A ( t )
dt
dt
Un eccezione
G
G
G
dΩ dΩ G G dΩ
=
+ Ω×Ω =
dt
dt
dt
S. Vitale A.A. 2001-2002
29
Accelerazione
G
G
G G
dr ( t ) dr ( t ) G G
G
G
=
+ Ω × r (t) = v (t) + Ω × r (t)
v (t) =
dt
dt
G
G
dv ( t ) dv ( t ) G G
=
+ Ω × v (t)
dt
dt
G G
G
G
G G
dv ( t ) dv ( t ) + Ω × r ( t ) G
G
=
+ Ω ×  v ( t ) + Ω × r ( t ) 
dt
dt
=
G
G G
G G
G
G G
dΩ G
+
× r ( t ) + Ω × v ( t ) + Ω × v ( t ) + Ω ×  Ω × r ( t ) 
dt
dt
G
G
G G
G
G G
dv ( t ) dΩ G
=
+
× r ( t ) + 2Ω × v ( t ) + Ω ×  Ω × r ( t ) 
dt
dt
S. Vitale A.A. 2001-2002
30
G
dv ( t )
G
G G
G
G G
dΩ G
=
+
× r ( t ) + 2Ω × v ( t ) + Ω ×  Ω × r ( t ) 
dt
dt
dt
G
G G
G
G
G
G
G
dΩ
G
+ 2 v ( t ) × Ω + Ω ×  r ( t ) × Ω 
a(t) = a(t) + r (t) ×
dt
G
dv ( t )
G
dv ( t )
G
G G
G 
G
G
G
G
dΩ
G
ma ( t ) = m a ( t ) + m  r ( t ) ×
+ 2 v ( t ) × Ω + Ω ×  r ( t ) × Ω  
dt


G
G
G G
G 
G
G
G
dΩ
G
+ 2 v ( t ) × Ω + Ω ×  r ( t ) × Ω  
ma ( t ) = Freale + m r ( t ) ×
dt


Forza apparente
S. Vitale A.A. 2001-2002
31
G
G
ma ( t ) = Freale +
G
G
dΩ
+ mr ( t ) ×
dt
Forza tangenziale
G
G
+ m2v ( t ) × Ω
Forza di Coriolis
G
G
G
mΩ ×  r ( t ) × Ω 
Forza centrifuga
S. Vitale A.A. 2001-2002
32
Centrifuga
G
Ω
G G G
Ω× r×Ω
G G
r×Ω
(
)
G
r
O
G G
r × Ω = xiˆ + yjˆ + zkˆ × Ωkˆ = − xΩˆj + yΩ ˆi
G G G
Ω × r × Ω = Ωkˆ × − xΩˆj + yΩˆi = Ω 2 xiˆ + yjˆ
(
(
)
(
)
S. Vitale A.A. 2001-2002
)
(
)
33
Correzione centrifuga alla gravità
r
e
v
Z=
centrifuga
NÆ
X=
S
lat
le
a
tic
G G G
 Ω × r × Ω  = Ω 2 R ⊕ Cos ( lat ) ≈ .023m s 2 g
 G
 vert
G
G
Ω × r × Ω 
= Ω 2 R ⊕ Sin ( lat ) ≈ .023m s 2

 N→S
Scostamento dalla verticale .023/10 rad≈0.1°
(
(
)
)
S. Vitale A.A. 2001-2002
34
Coriolis
G
Ω
G G
2v × Ω
G
v
S. Vitale A.A. 2001-2002
35
Un fenomeno importante: la
circolazione atmosferica
Direzione
del vento
senza
forza di
Coriolis
S. Vitale A.A. 2001-2002
36
G
G G
v×Ω Ω
G G vG
Ω v
G G
v×Ω
Circolazione
antioraria
nell’emisfero
boreale
S. Vitale A.A. 2001-2002
37
S. Vitale A.A. 2001-2002
38
S. Vitale A.A. 2001-2002
39
Lavoro ed Energia
Moto rettilineo
uniforme
G
F (t) = 0
2
G
G
G
v ( t ) = v o v ( t ) ≡ v 2 ( t ) = cos t
Moto circolare
uniforme
G
F (t) ≠ 0
G
v ( t ) = −ro ωSin ( ωt ) ˆi+ro ωCos ( ωt ) ˆj
2
G
v ( t ) ≡ v 2 ( t ) = ro2 ω2 = cos t
S. Vitale A.A. 2001-2002
1
Quand’è che v2 cambia?
2
dv
=
dt
G G
d ( v ⋅ v)
G
G
G
dv G G dv
G dv
=
⋅v+ v⋅
= 2v ⋅
dt
dt
dt
dt
G
G
G dv
G G
G F
2v ⋅
= 2v ⋅ a = 2v ⋅
dt
m
1

d  mv 2 
G G
2
 =F
⋅v
dt
1
mv 2 ≡ Energia Cinetica
2
Se la forza è nulla o ortogonale alla velocità, l’energia
cinetica si conserva
S. Vitale A.A. 2001-2002
2
Energia Cinetica: Dimensioni Fisiche
[m ][ v ] = [m ][ l ] [ t ]
2
2
−2
( = [F ][l ])
Unità di Misura:
1 kg m2s-2 = 1 Joule = 1 J
2
1
 m
3
Treno in corsa ≈ 400 × 10 kg ×  50  = 5 × 108 J
2
s 

Molecola di gas a temperatura ambiente ≈
3
−23 J
300K ≈ 6.3 × 10−21 J
≈ k B T = 1.5 × 1.4 ⋅ 10
2
K
S. Vitale A.A. 2001-2002
3
Moto rettilineo uniforme
G
G G
1
F = 0 → F ⋅ v = 0 → mv 2 = cos t.
2
G
F ( t ) = −mro ω2 Cos ( ωt ) ˆi + Sin ( ωt ) ˆj
Moto circolare
G
uniforme
v ( t ) = ro ω  −Sin ( ωt ) ˆi + Cos ( ωt ) ˆj
G G
G G
1
1
2
F ⊥ v → F ⋅ v = 0 → mv = mro2 ω2
2
2
G
v
G
F
S. Vitale A.A. 2001-2002
4
Invertiamo il
teorema: la
variazione di
energia cinetica
1
2
d  mv 
G G
2
 =F
⋅v
dt
G
1
1
G
2
2
mv ( t B ) − mv ( t A ) = ∫ F ( t ') ⋅ v ( t ') dt ' =
2
2
tA
tB
tB
=
∫ F ( t ') v ( t ') + F ( t ') v ( t ') + F ( t ') v ( t ') dt ' =
x
x
y
y
z
z
tA
tB
dy
dz 
 dx
= ∫  Fx
+ Fy
+ Fz  dt '
dt
dt
dt 
tA 
S. Vitale A.A. 2001-2002
5
111
.8
.8
000.8
.6
00.6
.4 zzz@@@m
.4
000.4
mDDD
m
.2
.2
000.2
00 11
1
0 .5
.5
.5
000.5
 rad
0
00 x ( t ) = ( 1 m ) ⋅ Cos  1
mDDD
m
y @m D
xxx@@@m
 s
.5
0 .5
00.5
 rad
11 11
y ( t ) = (1 m ) ⋅ Sin  1
 s
Equazione parametrica di una curva:
m
z ( t ) = 0.1 t
Mentre il parametro “t” scorre x,y e z
s
S. Vitale A.A. 2001-2002
6
disegnano una curva: la traiettoria

t


t

La variazione di energia come “integrale di linea” della forza
G
F ( t1 = t A )
G G
G
G
dr = r ( t + dt ) − r ( t ) ≈ v ( t ) dt
G
G
G
G
F ( t k ) ⋅ v ( t k ) dt = F ( t k ) ⋅ dr ( t k )
G
r ( t1 = t A )
G
r ( t 2 = t A + dt )
1
1
 N −1 G G

2
2
mv ( t B ) − mv ( t A ) = Lim  ∑ Fk ⋅ v k dt  =
N → ∞  k =1
2
2

G G
G 
 N −1 G
= Lim  ∑ Fk ⋅ drk  ≡ ∫
F ⋅ dr
Traiettoria
N →∞  k =1

S. Vitale A.A. 2001-2002
7
Una definizione: il lavoro fatto da una forza
1 Lavoro elementare
G
F
G
dr
A
G G
dL = F ⋅ dr = Fxdx + Fy dy + Fz dz
G
G
G
G
NB : F = 0, dr = 0, F ⊥ dr → dL = 0
2 Lavoro “finito”:
Somma dei lavori infinitesimi
L A →B
B
S. Vitale A.A. 2001-2002
G G
= Lim ∑ dLk = Lim ∑ Fk drk
N
N →∞ k =1
N
N →∞ k =1
8
Se sul punto agisce più di una forza:
G
G G
G
Ftot = F1 + F2 + ... + Fn
L tot, A →B
N
G
G
G
G
= Lim ∑ Ftot,k ⋅ drk = Lim ∑ F1,k + F2,k + ... + Fn,k ⋅ drk =
N
N →∞
N→∞
k =1
k =1
(
)
N G
N G
G
Lim ∑ F1,k ⋅ drk + Lim ∑ F2,k ⋅ drk + .. + Lim ∑ Fn,k ⋅ drk =
N
N →∞
k =1
N →∞
k =1
N →∞
k =1
= L1,A →B + L 2,A →B + ... + L N,A →B
In definitiva: il teorema dell’energia cinetica
1
1
mv 2 ( t B ) − mv 2 ( t A ) = L tot,A →B
2
2
S. Vitale A.A. 2001-2002
9
Esempio: frenata per attrito radente
G
v (t )
(auto con ruote bloccate)
G
G
F = −µ dmgvˆ + Fvincolo − mgkˆ = −µ d mgvˆ
v̂ = − ˆi
k̂
î
1
v x ( t ) = v x ( 0 ) + µ d gt x ( t ) = v x ( 0 ) t + µ d gt 2
2
vx ( 0)
v 2x ( 0 )
t A = 0 → xA = 0 tB = −
→ v x ( t B ) = 0 → xB = −
µdg
2µ d g
xB
B
G
1
ˆ
Lattrito,A →B = ∫ µ d mgi ⋅ dr = ∫ µ d mgdx = µ d mg ( x B − x A ) = − mv 2x ( 0 )
2
A
xA
S. Vitale A.A. 2001-2002
10
Secondo metodo
G
G
G
ˆ
F ( t ) = −µ d mgv v ( t ) = v ( 0 ) − µ d gtvˆ
G
G
F (t) ⋅ v (t) =
G
ˆ
−µ d mgv ⋅  v ( 0 ) − µ d gtvˆ 
= −µ d mg  − v x ( 0 ) − µ d gt 
tB
Lattrito,A →B
1


= ∫ µ d mg  v x ( 0 ) + µ d gt  dt = µ d mg  v x ( 0 ) t B + µ d gt B2 
2


tA
tA = 0
Lattrito,A →B
tB = −
vx ( 0)
µdg
 v 2x ( 0 ) 
1
2
= −µ d mg 
=
−
mv

x ( 0)
2
 2µ d g 
S. Vitale A.A. 2001-2002
11
Frenata regolare: lo spazio di frenata dipende
dall’energia cinetica
G
G
G
Ffreni ( t ) = −γvˆ ( t ) Ffreni ( t ) ⋅ v ( t ) = −γv ( t )
( dipende dalla spinta sul pedale)
∆x
t finale
1
1
dx
mv 2 ( finale )− mv 2 ( iniziale ) = Lattrito = ∫ −γ dt = − γ∆x
2
2
dt
t iniziale
&
1
0
mv 2 ( iniziale ) = ∆x
2γ
S. Vitale A.A. 2001-2002
12
Esempio 2: forza di gravità
G
F ( t ) = −mgkˆ
G
G
G
ˆ
F ( t ) ⋅ v ( t ) = −mgk ⋅ v ( t ) = −mgv z ( t )
tB
L gravità,A →B =
∫ −mg
tA
zB
dz
dt = −mg ∫ dz = −mg ( z B − z A )
dt
zA
1
1
2
mv B − mv 2A = −mg ( z B − z A )
2
2
k̂
Comunque vada da A a B !
î
S. Vitale A.A. 2001-2002
13
Controlliamo
1 2
z ( t ) = 100m − gt x ( t ) = 10m v z ( t ) = − gt v x ( t ) = 0
2
m
1 2
m
m
m
z ( t ) = 50 t − gt x ( t ) = 10m + 10 t v z ( t ) = 50 − gt v x ( t ) = 10
s
2
s
s
s
z@ m D
140
120
100
zA
80
60
40
zB
20
20
40
60
S. Vitale A.A. 2001-2002
80
100
120
x@mD
14
r
10 m, 100 m
1
9.8
m
2
t ;v
t . Solve@r@@2DD 80 m, tD
t . Solve@r@@2DD 20 m, tD
588. m2
m
20 m 80 m
9.8
2
s2
s
v.v
v.v
. t tA
. t tB
2
2
2
s2
tA
tB
r
10 m
10
m
t, 50
m
t
1
9.8
m
tr
0,
9.8 m t
s2
2.020 s, 2.020 s
4.040 s, 4.040 s
588 m2
s2
,
588 m2
s2
t2 ;
s
s
2
s2
10 m 50 m
9.8 m t
v
,
tr
s
s
s2
tA t . Solve@r@@2DD 80 m, tD
1.987 s, 8.217 s
tB t . Solve@r@@2DD 20 m, tD
0.4170 s, 9.787 s
588. m2
m
9.8
20 m 80 m
2
s
s2
v.v
v.v
588.A.A.
m22001-2002
588. m2
S. Vitale
. t tB
. t tA
,
2
2
2
s
s2
15
Un’importante proprietà:
1
1
2
mv B − mv 2A = −mg ( z B − z A )
2
2
⇓
1
1
mv B2 + mgz B + C = mv 2A + mgz A + C
2
2
Definendo:
L 'energia potenziale U ( z ) = mgz( + C)
1
E l’energia meccanica totale E = U + mv 2
2
Teorema di conservazione dell’energia
S. Vitale A.A. 2001-2002
E A = EB
16
L’energia potenziale:
1 Solo le differenze UB-UA contano
h (m)
800
700
600
500
400
300
200
100
2 Perché potenziale?
U J 
8000


m  kg 
8000 7000
7000 6000
6000 5000
5000 4000
4000 3000
3000 2000
2000 1000
1000
S. Vitale A.A. 2001-2002
Può essere
sempre
riconvertita in
energia
cinetica
17
La conservazione dell’energia più in genere. Se:
G G
1 F = F ( x, y, z )
G G
(N.B. se: F = F ( x, y, z, t ) campo di forze, se
G G
F = F ( x, y, z ) campo stazionario)
G G
= ∫ F ⋅ dr =f ( x A , y A , z A , xB , y B , z B )
B
2
L A →B
A
Cioè se:
A
L A →B = L A →B = L A →B
B
Il campo è conservativo
S. Vitale A.A. 2001-2002
18
A
O
Se il lavoro non dipende dalla curva
effettivamente seguita
L A →B = L A →O + L O → B
B
Ma se si inverte il verso di percorrenza
della curva
G
G G
G
F → F dr → −dr
G G
G G
F ⋅ dr → −F ⋅ dr
L A →O = − L O → A
L A →B = LO→B − LO→ A ≡ VO ( B ) − VO ( A )
S. Vitale A.A. 2001-2002
19
Se su un punto materiale agisce solo una forza
conservativa
(o una somma di sole forze conservative)
L tot,A →B = VO ( B ) − VO ( A ) 
1
 1
2
2
→
−
=
mv
V
B
mv
(
)

B
O
A − VO ( A )
1
1
2
2
2
2
L tot,A →B = mv B − mv A 
2
2

1
1
2
EB = mv B + U O ( B ) = mv 2A + U O ( A ) = E A
2
2
[ Energia potenziale: U ( x ) = − V ( x )]
O
E l’energia meccanica
1
E = mv 2 + U
2
S. Vitale A.A. 2001-2002
O
si conserva
20
Un’esempio semplice: campi unidimensionali:
G
F = −kxiˆ
x=0 xP
î
xP
L 0→ P
G
ˆ
= ∫ −kxidr =
0
xP
x
1 2 P
∫0 −kxdx = − 2 kx 0
1
U O ( P ) = − LO→ P = kx 2P
2
G
N.B. un campo: F = f ( x ) ˆi è sempre conservativo
S. Vitale A.A. 2001-2002
21
Ma se il campo è conservativo l’energia
meccanica totale si conserva
d2x
d2x
m 2 = −kx → m 2 + kx = 0
dt
dt
 k 
 k 
 k

x ( t ) = xcCos 
t  + xsSin 
t  = xo Cos 
t + φ
 m 
 m 
 m


 xs  
2
2
 xo = xc + xs φ = -Arc tan   
 xc  

v x ( t ) = − xo
 k

k
Sin 
t + φ
m
 m

1
1 2
2
E = mv ( t ) + kx ( t ) =
2
2
 1 2
 k

1 k 2 2 k
2
t + φ  + kxo Cos 
t + φ =
= m xo Sin 
2 m
 m
 2
 m

1 2
= kxo
S. Vitale A.A. 2001-2002
22
2
x@mD,U@JD,T@JD
1
0.5
2
4
6
8
10
t@sD
0.5
1
xo=1m, k=1 N/m, m=1 kg, =0.5 rad
1 2
N
2
E = kxo = 0.5 1 (1m ) = 0.5J
2
m
S. Vitale A.A. 2001-2002
23
Un esempio difficile: la gravitazione Newtoniana
G
mM ⊕
mM ⊕ G
F = −G 2 r̂ = −G 3 r
r
r
G
r
G G
F⋅v = −
G = 6.67 × 10
−11
(
GmM ⊕
x2 + y 2 + z 2
)
32
( xiˆ + yjˆ + zkˆ ) ⋅
 dx ˆ dy ˆ dz ˆ 
⋅
i+
j+ k =
dt
dt 
 dt
3
m
kg s −2
dz 
dy
 dx
x +y
=−
+z
32 
2
2
2
dt
dt 
 dt
x +y +z
(
GmM ⊕
S. Vitale A.A. 2001-2002
)
24
(
d x2 + y 2 + z 2
dt
G G
F⋅v = −
) = 2  x dx + y dy + z dz 

 dt

dt 
dt
dz 
dy
 dx
x
+y
+z =
32 
dt
dt 
 dt
2 x2 + y 2 + z 2
(
=−
GmM ⊕
(
)
GmM ⊕
2
2
2 x +y +z
GmM ⊕ dr 2
=−
2r 3
dt
UO ( P ) = −LO→P
(
d x2 + y 2 + z 2
2
)
32
GmM ⊕ dr
=−
r2
dt
dt
)=
= GmM ⊕
d1
r
dt
tP
d1
G
G
r dt =
= − ∫ F ( t ) ⋅ v ( t ) dt = − ∫ GmM ⊕
dt
tO
tO
tP
GmM ⊕ GmM ⊕
−
+
rS.P Vitale A.A. 2001-2002
rO
25
Prendendo il punto O a distanza infinita:
UO ( P ) = −
GmM ⊕ GmM ⊕
GmM ⊕
+
=−
rP
rO = ∞
rP
L’energia totale si conserva
GM ⊕ m
1
2
= Eo = Cos tan te
mv ( t ) −
2
r (t )
S. Vitale A.A. 2001-2002
26
Esempio: orbita circolare
G
r
ro
Moto circolare uniforme:
G
G
G
G
2
2G
a = −ω r F = ma = −ω mr
Se la gravità può fornire questa forza il moto circolare
uniforme è possibile
Keplero: il quadrato
GM ⊕ m G
GM ⊕
2G
2
del periodo è
−
=
−
ω
=
ω
r
m
r
3
3
ro
r
proporzionale al cubo
GM ⊕ m
1
della distanza
2 2
= cos t
E = mro ω −
2
ro
S. Vitale A.A. 2001-2002
27
S. Vitale A.A. 2001-2002
28
Anno
1993.01171875
1993.01989746
1993.02807617
1993.03625488
1993.04443359
1993.0526123
1993.06079102
1993.06896973
1993.07714844
1993.08532715
1993.09350586
1993.10168457
1993.10986328
1993.11804199
1993.1262207
x(AU)
y(AU)
−4.588
1.614
−4.58
1.608
−4.571
1.601
−4.562
1.595
−4.553
1.589
−4.544
1.583
−4.535
1.576
−4.526
1.57
−4.517
1.564
−4.507
1.557
−4.498
1.551
−4.488
1.544
−4.479
1.538
−4.469
1.531
−4.459S. Vitale A.A.
1.525
2001-2002
z (AU)
−1.388
−1.4
−1.413
−1.425
−1.437
−1.449
−1.462
−1.474
−1.486
−1.498
−1.51
−1.522
−1.534
−1.546
−1.558
r(AU)
5.058
5.052
5.045
5.039
5.032
5.026
5.019
5.012
5.005
4.999
4.992
4.985
4.978
4.971
4.963
29
Anno
1995.25268555
1995.26086426
1995.26904297
1995.27722168
1995.28540039
1995.2935791
1995.30175781
1995.30993652
1995.31811523
1995.32629395
1995.33447266
1995.34265137
1995.35083008
1995.35900879
1995.3671875
x(AU)
y(AU)
1.227
−0.413
−0.399
1.219
−0.385
1.211
−0.37
1.201
−0.354
1.19
−0.339
1.178
−0.323
1.164
−0.307
1.15
−0.29
1.135
−0.274
1.119
−0.257
1.101
−0.239
1.083
−0.222
1.064
−0.205
1.045
−0.187
1.024S. Vitale A.A.
2001-2002
z (AU)
r(AU)
0.459
0.512
0.564
0.617
0.668
0.719
0.769
0.818
0.867
0.915
0.962
1.009
1.055
1.099
1.143
1.373
1.381
1.39
1.4
1.41
1.421
1.432
1.445
1.458
1.471
1.485
1.5
1.515
1.53
1.546
30
Velocità (AU/Anno):
1993
0.978149
1.10042
1.10042
1.10042
1.10042
1.10042
1.10042
1.10042
1.22269
1.10042
1.22269
1.10042
1.22269
1.22269
1.22269
−0.733612
−0.855881
−0.733612
−0.733612
−0.733612
−0.85588
−0.733612
−0.733612
−0.855881
−0.733612
−0.855881
−0.733612
−0.855881
−0.733612
−0.855881
1995
−1.46722
−1.58949
−1.46722
−1.46722
−1.46722
−1.58949
−1.46722
−1.46722
−1.46722
−1.46722
−1.46722
−1.46722
−1.46722
−1.46722
−1.46722
−0.978149
−0.978149
−1.22269
−1.34496
−1.46722
−1.71176
−1.71176
−1.83403
−1.9563
−2.20084
−2.20084
−2.3231
−2.3231
−2.56764
−2.56764
S. Vitale A.A. 2001-2002
1.71176
1.71176
1.83403
1.9563
1.83403
1.9563
1.9563
2.07857
1.9563
2.07857
2.20084
2.07857
2.07857
2.20084
2.20084
6.48024
6.35797
6.48024
6.2357
6.2357
6.11343
5.99116
5.99116
5.86889
5.74663
5.74663
5.62436
5.37982
5.37982
5.37982
31
1 2  m2 
v  2 
2  s 
8.20862 × 107
1.00589 × 108
8.78053 × 107
8.78053 × 107
8.78053 × 107
1.00589 × 108
8.78053 × 107
8.78053 × 107
9.85707 × 107
8.78053 × 107
9.85707 × 107
8.78053 × 107
9.85707 × 107
9.41973 × 107
9.85707 × 107
1993
GM ⊕  m 
−


r  s2 
8
2
1 2  m2 
v  2 
2  s 
1.03247 × 109
−3.51194 × 108
9.97146 × 108
−3.51681 × 108
1.05434 × 109
−3.521 × 108
1.00186 × 109
−3.5259 × 108
9.99164 × 108
−3.5301 × 108
9.93109 × 108
−3.53503 × 108
9.59803 × 108
−3.53997 × 108
9.80661 × 108
−3.54492 × 108
9.47353 × 108
−3.54917 × 108
9.49374 × 108
−3.55415 × 108
9.61149 × 108
−3.55914 × 108
9.30535 × 108
−3.56414 × 108
8.69979 × 108
8
−3.56916 ×S.10
9.08667 × 108
Vitale A.A. 2001-2002
−3.57492 × 108
9.08667 × 108
−3.50777 × 10
1995
GM ⊕  m 2 
−


r  s2 
9
−1.29223 × 10
−1.28474 × 109
−1.27642 × 109
−1.26731 × 109
−1.25832 × 109
−1.24858 × 109
−1.23899 × 109
−1.22784 × 109
−1.21689 × 109
−1.20614 × 109
−1.19477 × 109
−1.18282 × 109
−1.17111 × 109
9
−1.15963
32× 10
−1.14763 × 109
1993
1 2  m2 
v  2 
2  s 
Valori medi
GM ⊕  m 2 
−
 2 
r  s 
9.24255 × 107
8
−3.54027 × 10
1 2  m2 
v  2 
2  s 
9.66285 × 108
Energia Totale:
1995
GM ⊕
−
r
 m2 
 2 
 s 
9
−1.22489 × 10
GM : m
1
2
mv −
2
r
1993: -2.62 108J/kg 1995: -2.58 108 J/kg
S. Vitale A.A. 2001-2002
33
Energia Potenziale, alcune proprietà:
1) Il lavoro elementare
G
G
F ( x, y, z ) ⋅ dr = Fx ( x, y, z ) dx + Fy ( x, y, z ) dy + Fz ( x, y, z ) dz
G
F
G
dr
G
G 
r + dr =  ( x + dx ) ˆi + ( y + dy ) ˆj + ( z + dz ) kˆ 
G
r = xiˆ + yjˆ + zkˆ
U ( x A , y A , z A ) − U ( x B , y B , z B ) = L A →B
G
G
F ( x, y, z ) ⋅ dr = U ( x, y, z ) − U ( x + dx, y + dy, z + dz )
S. Vitale A.A. 2001-2002
1
Uno spostamento elementare lungo x
G
G
F ( x, y, z ) ⋅ dr ≡ Fx ( x, y, z ) dx = U ( x, y, z ) − U ( x + dx, y, z )
Fx ( x, y, z ) =
U ( x, y, z ) − U ( x + dx, y, z )
dx
→−
dU ( x, y, z )
dx
∂U
≡−
∂x
La derivata “parziale”: 1) fissa il valore di y e z. Allora U è
funzione solo di x. 2) Fanne la derivata ordinaria
Fx = −
∂U
∂U
∂U
Fy = −
Fz = −
∂x
∂y
∂z
G
G
F ≡ − gradU ≡ −∇U
S. Vitale A.A. 2001-2002
2
Un po’ di esempi:
1) La forza peso
U ( x, y, z ) = mgz
∂mgz
∂mgz
= 0 Fy ( x, y, z ) = −
=0
∂x
∂y
∂mgz
∂z
Fz ( x, y, z ) = −
= −mg
= −mg
∂z
∂z
G
F = −mgkˆ
Fx ( x, y, z ) = −
k̂
î
S. Vitale A.A. 2001-2002
3
2) Una molla in una dimensione
î
1 2
U ( x, y, z ) = U ( x ) = kx
2
Fy ,z = −
x = 0 : molla scarica
∂U ( x )
=0
∂y , z
∂ 1 kx 2
2
Fx = −
= −kx
∂x
S. Vitale A.A. 2001-2002
4
3) La gravitazione universale
G
mM ⊕
mM ⊕ G
F = −G 2 r̂ = −G 3 r
r
r
M ⊕m
M ⊕m
= −G
U ( x, y, z ) = −G
r
x2 + y 2 + z 2
G
r
∂U ( x, y , z )
−
∂yx
∂
1
= GM ⊕ m
∂yx x 2 + y 2 + z 2


1
 1

yx
y
= GM ⊕ m  −
2
2x
3
 = −GM ⊕ m 3
2 2
2
2 2
r


y
z
+
+
x

S. Vitale A.A. 2001-2002 
(
)
5
In totale:
GM ⊕ m
GM ⊕ m
GM ⊕ m
y Fz = −
z
Fx = −
x Fy = −
3
3
3
r
r
r
G
GM ⊕ m G
F=−
r
3
r
S. Vitale A.A. 2001-2002
6
Un’ osservazione: il vettore forza indica
la direzione di massima diminuzione
dell’energia potenziale
G
G
F ( x, y, z ) ⋅ dr = U ( x, y, z ) − U ( x + dx, y + dy, z + dz )
G
dr
θ
G
F
G
G G
G
F ( x, y, z ) ⋅ dr = F ( x, y, z ) dr Cosθ
Se si varia a parità di lunghezza
dello spostamento
θ = 0 → Cosθ = 1 → U ( x, y, z ) − U ( x + dx, y + dy, z + dz ) → Max
S. Vitale A.A. 2001-2002
7
ss
Ma
im
to
en
um
oa
Ne
i
im
ad
G
F
im
n
zio
nu
Muovendosi a 90° dalla forza
non c’è variazione dell’energia
potenziale:
ss
Ma
G
dr
a
v
a
n
u
ss
e
n
o
i
z
a
ri
e
superficie equipotenzialeS. Vitale A.A. 2001-2002
8
Superfici equipotenziali
U ( x, y, z ) = cos tan te
z (m)
400
300
k̂
200
100
La gravità: mgz = costante Æz = costante
S. Vitale A.A. 2001-2002
9
La gravitazione in generale:
U (r ) = −
GM ⊕ m
r
U(r)=costante Æ r = costante
Le superfici equipotenziali sono sfere
concentriche
S. Vitale A.A. 2001-2002
10
Color Scale, Upper (Red) : 85.4 meters and higher
Color Scale, Lower (Magenta) :-107.0 meters and lower
Data Max value : 85.4 meters Data Min value :-107.0 meters
GM ⊕ m
−
= U ( long, lat )
r⊕ + h vero + δh
S. Vitale A.A. 2001-2002
11
L’energia potenziale in una dimensione U ( x )
Esempio: la molla
î
1
2
U ( x ) = k ( x − xo )
2
Fx ( x ) = −
x = xo → Fx = 0
x = xo : molla scarica
dU
=0
dx
dU
= −k ( x − x o )
dx
Dall’analisi:
d2U
>0
2
dx
d2U
=0
2
dx
d2U
<0
2
dx
Minimo
Flesso
Massimo
S. Vitale A.A. 2001-2002
12
U@JD,F
Un Minimo
d2 U N
@ND,
@ D
2
dx
dx m
dU
40
30
Molla:
20
10
2
1
10
1
2
3
4
m = 1kg
x@mD
N
k = 10 ;xo = +1m
m
20
30
dU
d2U
x = xo →
= 0,
>0
2
dx
dx
Allontanandosi da xo nasce una forza che “riporta” in xo
Equilibrio stabile
S. Vitale A.A. 2001-2002
13
Un qualunque minimo è sempre “una molla”:
U
Una molla di costante
elastica
 d2U 
k = 2 
 dx 
xo
x
1  d2U 
2
 dU 
U ( x ) ≈ U ( xo ) + 
( x − xo ) +  2  ( x − xo )

2  dx  x = x
 dx  x = xo
o
Si può sempre
aggiungere o
È 0 in un
levare una
minimo
costante
S. Vitale A.A. 2001-2002
14
Un piccolo esercizio : la forza centrifuga come forza
conservativa
k̂
G
Ω = ω k̂
G
F = m ω 2 ρˆ
G
F ( x, y, z ) = mω2 xiˆ + yjˆ
(
)
G
G
= ∫ F ( t ) ⋅ v ( t ) dt =
tB
L A →B
tA
ĵ
î
tB
= mω2 ∫  x ( t ) v x ( t ) + y ( t ) v y ( t )  dt =
tA
tB
dx
dy 

= mω ∫  x ( t ) + y ( t )  dt =
dt
dt 
tA 
2
tB
2
2
1
dx
+
y
= mω 2 ∫
dt =
2 dt
tA
1
1
2
2
2
2
2 
2 

= mω xS.(Vitale
+ 2001-2002
t B )A.A.
y ( t B ) − mω x ( t A ) + y15( t A ) 

 2


2
Dunque il lavoro non dipende dal particolare
cammino seguito: la forza centrifuga è conservativa!
Energia potenziale:
U ( x, y, z ) = − L( xO ,yO ,zO )→( x,y ,z )
1
1
2
2
2
= − mω x + y + mω2 xO2 + y O2
2
2
(
)
(
Con xO,yO=0
1
U ( x, y, z ) = − mω2 x 2 + y 2
2
(
S. Vitale A.A. 2001-2002
)
16
)
U@JD,F
d2 U N
@ND,
@ D
2
dx
dx m
dU
Un
Massimo
20
10
3
2
1
1
2
x@mD
3
10
rad
ω=3
s
20
30
m = 1kg
40
dU
d2U
= 0,
<0
x=0→
2
dx
dx
Allontanandosi da x=0 nasce una forza che “allontana” da
x=0
Equilibrio instabile
S. Vitale A.A. 2001-2002
17
Un flesso (di ordine infinito):
Guida liscia orizzontale
k̂
1) Reazione vincolare Æ nessun lavoro
2) Gravità
î
U ( x, y, z ) = mgz
∂U
 dU 
=
=0
 dx 

 lungo la guida ∂x
d2U
=0
2
dx
x=0
Allontanandosi da x =0 in qualunque direzione non nasce
alcuna forza: Equilibrio Indifferente
S. Vitale A.A. 2001-2002
18
Ancora alcune osservazioni sull’energia
1) Forze conservative:
L A →B = U ( A ) − U ( B )
Lavoro su una curva chiusa
A
L A→A = U ( A ) − U ( A ) = 0
S. Vitale A.A. 2001-2002
19
2) Potenza: lavoro per unità di tempo
(Forze qualunque)
G G
dL = F ⋅ dr
G
G G
dL G dr
= F⋅
= F⋅v
P =
dt
dt
3)Una versione istantanea del teorema dell’energia
cinetica (vedi lezioni precedenti)
G G
G
G
dv G
1 d ( v ⋅ v)
G
= m ⋅ v (t) = m
Pttotot = Ftot
tot ( t ) ⋅ v ( t )
dt
2 dt
G
2
2
1
d mv
Newton
1d v
2
=m
=
S. Vitale A.A.
20
22001-2002
dt
dt
Un esempio
1 2
z ( t ) = z ( 0 ) + v z ( 0 ) t − gt
gt
x (t) = y (t) = 0
2
vx ( t ) = vy ( t ) = 0
v z ( t ) = v z ( 0 ) − gt
gt
2
1
1
2
mv = m  v ( 0 ) − gt 
2
2
d (1 2 ) mv 2 1 d
2
= m  v ( 0 ) − gt 
dt
2 dt
d
= m  v ( 0 ) − gt   v ( 0 ) − gt 
dt
= m  v ( 0 ) − gt  ( − g ) = −mg  v ( 0 ) − gt 
G G
G
F ⋅ v = −mg  v ( 0 ) − gt 
F = −mgkˆ
S. Vitale A.A. 2001-2002
21
Teorema dell’energia se sono presenti forze
conservative e non
G
G
G
Ftot
tot = Fconservative + Fnon co
conservative
nservative
B
L tot ,A→B = ∫
A
(
G
G
G
Fconservativ
drr
ervative
conservativee + Fnon cons
conserv
ative ⋅ d
)
B
G
G
G
G
= ∫ Fconservative ⋅ dr + ∫ Fnon conservative ⋅ dr
B
A
A
B
G
G
= U ( A ) − U ( B ) + ∫ Fnon conservative ⋅ dr
A
L tot ,A→B
1
1
2
= mv B − mv 2A
2
2
S. Vitale A.A. 2001-2002
22
G
G
= U ( A ) − U ( B ) + ∫ Fnon conservative ⋅ dr
B
L tot ,A→B
A
L tot ,A→B
1
1
2
2
= mv B − mv A
2
2
G
1
1
G
2
2
mv B − mv A = U ( A ) − U ( B ) + ∫ Fnon conservative ⋅ dr
2
2
A
B
G
1
G 1
2
2
∫A Fnon conservative ⋅ dr = 2 mv B − 2 mv A−  U ( A ) − U ( B ) 
B
1
 1

2
2
=  mv B + U ( B )  −  mv A + U ( A ) 
2
 S. Vitale
 2A.A. 2001-2002

= EB − E A
23
Esempio: piano inclinato con attrito
θ
d2x
m 2 = mgSinθ − µ dmgCosθ
dt
1
=
x
t
( ) g ( Sinθ − µ dCosθ ) t 2
Partenza da fermo, x(0) = 0
2
x
v x ( t ) = g ( Sinθ − µ dCosθ ) t
∆h
U ( x ) = U ( 0 ) − mg∆h = U ( 0 ) − mgxSinθ
S. Vitale A.A. 2001-2002
24
1  2
2 2
E(t) = m g ( Sinθ − µ d Cosθ ) t 
2 

v2
1
2
+ U ( 0 ) − mg Sinθ  g ( Sinθ − µ d Cosθ ) t 
2


∆h
1
2
2
2
2
2

= m  g Sin θ − 2µ d CosθSinθ + µ d Cos θ t 
2
1
2
2
2
+ U ( 0 ) − mg Sin θ − µ d CosθSinθ t
2
1
2
2
2
2

= m  g −µ d CosθSinθ + µ d Cos θ t  + U ( 0 )
2
1
2
= −µ
mg
Cos
θ
g
Sin
θ
−
µ
Cos
θ
t
+
U
0
(
)
(
)
d
d
2
(
(
(
Fattr
S. Vitale A.A. 2001-2002
)
)
)
x
25
E(t) = Fattr x ( t ) + U ( 0 )
E(t B ) − E(t A ) = Fattr x ( t B ) + U ( 0 ) − Fattr x ( t A ) − U ( 0 )
= Fattr  x ( t B ) − x ( t A ) 
Lattr
S. Vitale A.A. 2001-2002
26
Un esempio notevolissimo: le orbite dei pianeti
mM
F = −G 3 r
r
r
1) Conservazione del
momento angolare
GM m
dL
= r×F = −
r×r = 0
3
dt
dt
r
L = cos t
S. Vitale A.A. 2001-2002
1
Conseguenze della conservazione del momento
angolare
No! mv non può
L
r
Lasciare il piano
mv
Si!
mv
Il moto avviene in un piano!
S. Vitale A.A. 2001-2002
2
Nel piano del moto:
v ( t ) dt
r ( t + dt )
θ
Sinθv ( t ) dt
r (t)
a) l’area del triangolo
disegnato dal raggio
vettore che si muove
1
dA = Sinθv ( t ) dt ⋅ r
2
b) Il modulo del momento angolare
dA 1
= Sinθ v ( t ) ⋅ r
dt 2
L = m r v Si nθ
dA 1 L
= cos t
=
a) + b) Æ
dt 2 m
La “velocità areolare è costante (Keplero)
S. Vitale A.A. 2001-2002
3
Giriamo gli assi e mettiamo l’orbita nel piano x-y
L
ˆj
r
ĵ
ρ = x2 + y 2
r = ρrˆ
y
î
φ
dρ
drˆ
dr d
r̂ + ρ
v=
= ( ρrˆ ) =
dt
dt
dt dt
x
drˆ 
 dρ ˆ
 drˆ 
L = r × mv = mr ×  r + ρ  = mρ  r × 
dt 
dt 
 dt

S. Vitale A.A. 2001-2002
î
( r × rˆ = 0 )
4
 drˆ 
L = mρ  r × 
dt  dr

⊥ r̂ r = ρ
dt
drˆ
L = mρ
dt
2
drˆ
dφ d φ
=
(derivata di un vettore di modulo costante)
→ r̂
dt dt
dt
dφ
L = mρ
dt
2
Con i giusti segni
→
L
dφ
=
dt mρ 2
dφ
L
≡ ω = z2
dt
mρ
S. Vitale A.A. 2001-2002
5
Torniamo all’energia potenziale e scegliamo
un nuovo sistema di coordinate:
La particella giace
sempre sull’asse x
che “la insegue”
ĵ
î '
ĵ'
φ
r ( t ) = ρ ( t ) rˆ ≡ x ( t ) ˆi '
r = ρrˆ
v (t) =
dx ˆ
i'
dt
î
S. Vitale A.A. 2001-2002
6
E’ un sistema accelerato: forze
apparenti
dx
 dx 
2mv × Ω = 2m  ˆi '  × ωkˆ ' = −2mω ˆj'
dt
 dt 
Coriolis:
Tangenziale:
mr ×
dΩ
dω ˆ
dω ˆ
= mx ( t ) ˆi '×
j'
k ' = −mx ( t )
dt
dt
dt
Non hanno componente lungo x!
S. Vitale A.A. 2001-2002
7
Le forze che contano
Centrifuga:
mω2 ( t ) x ( t ) ˆi '
ω(t) =
Lz
Lz
=
mρ 2 ( t ) mx 2 ( t )
Gravità (forza reale):
2
L2z
L
z
î '
=m 2 4
x ( t ) ˆi ' =
3
mx ( t )
m x (t)
GM m
GM m ˆ
− 2
r̂ = ∓ 2
i'
ρ (t )
x (t)
Sono entrambe conservative
∞
∞
 L
GM m 
 1 L
GM m 
U ( x) = ∫ 
−
+
 dx' =  −

3
2
2
mx'
x'
2
mx'
x'


x
x
2
z
2
z
x>0
S. Vitale A.A. 2001-2002
 1 L2z GM m 
=
−

2
x 
 2 mx
8
U @J D
0
5 ¥ 1032
1 ¥ 1033
1.5 ¥ 1033
2 ¥ 1033
2.5 ¥ 1033
5 ¥ 10
10
11
11
11
1 ¥ 10 1.5 ¥ 10 2 ¥ 10 2.5 ¥ 10
11
r@mD
5.9 ⋅ 1055 Jm 2 7.9 ⋅ 1044 Jm
Il caso della Terra U=
−
2
r
r
dU
5.9 ⋅ 1055 Jm 2 7.9 ⋅ 1044 Jm
11
=-2
+
=
0
→
r
=
1.5
⋅
10
m
3
2
dr
r
r
d2U
11 N
=2.4 10
2
dr
m
S. Vitale A.A. 2001-2002
9
In generale
1 L2z GM m
U=
−
2
2 mx
x
 dU 
=0
 dx 

 x = xo
GM m d 2 U 3L2z 2GM m
dU
L2z
=−
+
=
−
3
2
2
4
dx
mx
x
dx
mx
x3
L2z
→ xo =
GM m 2
GM m
L2z
→
=
3
mxo
xo2
 d2U 
1  3L2z 2GM m 
=  3−
 2

2
dx
x
mx
x

 x = xo
o 
o
o

L2z
=
mxo4
> 0 (xo > 0)
Minimo: equilibrio stabile
Il moto x(t)=xo è un moto possibile
S. Vitale A.A. 2001-2002
10
Che moto è il moto x = xo= costante?
Lz
ω(t) =
mx 2 ( t )
Lz
x ( t ) = xo → ω ( t ) =
mxo2
→ ω ( t ) = ωo = cos tan te
Moto a distanza costante dal centro e a velocità angolare
costante: moto circolare uniforme
x
o
ĵ
φ = ωo t
S. Vitale A.A. 2001-2002
î
11
E se non sono proprio nel minimo?
Ogni minimo è una “molla”
U@ J D
0
 d2U 
L2z
k = 2 
=
4
dx
mx

 x = xo
o
5 ¥ 1032
1 ¥ 1033
L z = mωo xo2
1.5 ¥ 1033
2 ¥ 1033
2.5 ¥ 1033
5 ¥ 1010 1 ¥ 1011 1.5 ¥ 1011 2 ¥ 1011 2.5 ¥ 1011
r@mD
Il pianeta “oscilla” con frequenza
S. Vitale A.A. 2001-2002
m 2 ωo2 xo4
k=
mxo4
= mωo2
k
= ωo
m
12
La distanza oscilla con periodo
Il pianeta ruota con periodo
2π
Tosc =
ωo
2π
Trot =
= Tosc
ωo
xmax
Un’ellisse
(Keplero, Newton)
xmin
S. Vitale A.A. 2001-2002
13
Orbite quasi circolari e tutte nello stesso piano
(eccetto Plutone)
S. Vitale A.A. 2001-2002
14
E Mercurio che è molto eccentrico: afelio 70 106 km,
perielio 46 106km
S. Vitale A.A. 2001-2002
15
Emeccanica<0 Æ Orbita chiusa (ellissi)
U@JD
3 ¥ 1033
2 ¥ 1033
1 ¥ 1033
Il pianeta inverte il moto
Emeccanica=U Æ Ecinetica=0 Æ velocità=0
11
33 1 ¥ 10
1 ¥ 10
2 ¥ 1033
Perielio
2 ¥ 10
11
11
3 ¥ 10
11
4 ¥ 10
r@mD
Emeccanica
Afelio
S. Vitale A.A. 2001-2002
16
Emeccanica>0 Æ Orbita aperta (iperbole)
U@JD
3 ¥ 1033
2 ¥ 1033
1 ¥ 1033
Emeccanica>U Æ Ecinetica>0
Velocità > 0 Æ Moto all’infinito
r@mD
Perielio
11
11
11
11
2 ¥ 10 3 ¥ 10 4 ¥ 10
E
33 1 ¥ 10
meccanica
1 ¥ 10
2 ¥ 1033
Emeccanica=U
S. Vitale A.A. 2001-2002
17
Le forze centrali
F = f ( r ) rˆ
F
r
O
1 il momento angolare
si conserva
Mo = r × F = 0
dLo
= Mo = 0
dt
S. Vitale A.A. 2001-2002
Lo = cos t
18
F = f ( r ) rˆ
2) L’energia si conserva
dL
dr
= f ( r ) rˆ ⋅
dt
dt
= f (r )
=
xiˆ + yjˆ + zkˆ
 dx ˆ dy ˆ dz ˆ 
i+
j+ k
⋅
dt
dt 
x 2 + y 2 + z 2  dt
(
) (
) (
2
2
2
x
dx
dt
+
y
dy
dt
+
z
dz
dt
1
2
)
x2 + y 2 + z 2
2
1 1 dr
1 1 dr
1
1
d 2
2
2
=
2r
x +y +z =
2 r dt 2 r dt
2 x 2 + y 2 + z 2 dt
(
)
S. Vitale A.A. 2001-2002
19
dL
dr
= f (r)
dt
dt
tb
L A →B
rb
dr
= ∫ f r ( t )  dt = ∫ f ( r )dr
dt
ta
ra
= g ( rb ) − g ( ra )
dg
f (r) =
dr
Il lavoro dipende solo dalle posizioni iniziale e
finale: la forza è conservativa
S. Vitale A.A. 2001-2002
20
Dinamica dei sistemi di punti
Un solo punto materiale:
una sola equazione di Newton
2G
dr G G G
m 2 = F ( r, v, t, ..... )
dt
Esempio: gravità più attrito più…..
G
2G
dr
dr
ˆ
m 2 = −mgk − β + .....
dt
dt
A.A 2001-2002
S. Vitale
1
N punti materiali
N equazioni di Newton
G G
G G G G
d r1
m1 2 = F1 ( r1 , v1 , r2 , v 2 ,
dt
2G
d r2 G G G G G
m 2 2 = F2 ( r1 , v1 , r2 , v 2 ,
dt
2G
d r3 G G G G G
m 3 2 = F3 ( r1 , v1 , r2 , v 2 ,
dt
2
G G
r3 , v 3 , t,.... )
G G
r3 , v 3 , t,.... )
G G
r3 , v 3 , t,.... )
La Forza sulla particella m può dipendere da
posizione e velocità della particella k
A.A 2001-2002
S. Vitale
2
Esempio: attrazione gravitazionale
G
m 1m 3 G
F1,3 = −G 3 r3,1
r3,1
G
G
G
G r1,2 = −r2,1
r1,3 = −r3,1
G
G
r3,2 = −r2,3
G
G
F3,1 = −F1,3
3
A.A 2001-2002
1
G
m 1m 2 G
F1,2 = −G 3 r2,1
r2,1
G
m 2m 3 G
F3,2 = −S. G
r2,3
Vitale
3
r2,3
Scambia
ndo
1 2
la forza
cambia
segno
G
G
F2,1 = −F1,2
2
G
G
F2,3 = −F3,2
3
Nota bene:
1
G
r1
O
A.A 2001-2002
G
G G
G
r1,2 = r2 − r1 = −r2,1
G
G G
G
r1,3 = r3 − r1 = −r3,1
G
G G
G
r2,3 = r3 − r2 = −r3,2
G
G
r1,2 = −r1,2
2
G
r2
S. Vitale
4
Le N equazioni di Newton formano un sistema:
2G
m 1m 3 G G
d r1
m 1m 2 G G
m1 2 = −G G G 3 ( r1 − r2 ) −G G G 3 ( r1 − r3 )
dt
r3 − r1
r2 − r1
2G
m 2m 3 G G
d r2
m 1m 2 G G
m 2 2 = −G G G 3 ( r2 − r1 ) −G G G 3 ( r2 − r3 )
dt
r3 − r2
r2 − r1
2G
m 2m 3 G G
d r3
m1m 3 G G
m 3 2 = −G G G 3 ( r3 − r1 ) −G G G 3 ( r3 − r2 )
dt
r3 − r2
r3 − r1
G
G
G
Le tre soluzioni r1 ( t ) , r2 ( t ) e r3 ( t )
A.A 2001-2002
vanno
trovate simultaneamente
S. Vitale
5
Caso generale con N>2
soluzioni con il computer (N ª 10000 ok)
A.A 2001-2002
S. Vitale
6
Ci sono 2 nuove leggi sperimentali nella
dinamica di N particelle
Sono nuove perché
non si ricavano come teoremi dalla legge di Newton
ma si osservano sperimentalmente
A.A 2001-2002
S. Vitale
7
Le due nuove leggi (vettoriali) sono
sufficienti a risolvere due problemi
importanti
Il problema dei due
corpi
Il corpo solido
(o “rigido”)
A.A 2001-2002
S. Vitale
8
Le nuove leggi riguardano due grandezze
“collettive”
La prima:
la quantità di moto totale
G
G
G
G
G
P = m1 v1 +m 2 v 2+m 3 v 3 +.......+m N v N
G
G
= ∑ mk vk ≡ ∑ pk
A.A 2001-2002
N
N
k =1
k =1
S. Vitale
9
Dalla legge di Newton
G
G
N
N
N
dP d 
G 
G
dv k
=  ∑ mk vk  = ∑ mk
= ∑ m k ak
dt dt  k =1
dt
 k =1
k =1
Ma:
G
G
m k ak = Fk
G
dP N G
= ∑ Fk
dt k =1
La derivata della quantità di moto è uguale alla
risultante di tutte le forze che agiscono sul
A.A 2001-2002
S. Vitale
10
sistema di punti
Separiamo:
forze generate dalle particelle del sistema
da
forze generate da corpi che non ne fanno parte
G
G ext G
G
G
Fk = Fk + Fk ,1 + Fk ,2 + Fk ,m≠k + ....
(Le particelle non
esercitano forze su sè stesse)
G
N G
N G
N
G  G ext G int
dP

ext
= ∑ Fk = ∑ Fk + ∑  ∑ Fk ,m  ≡ Ftot + Ftot
dt k =1
k =1
k =1  m ≠k

A.A 2001-2002
S. Vitale
11
La prima legge cardinale della dinamica:
G
G ext
dP
=0
se Ftot = 0
dt
G
dP G ext G int
= Ftot + Ftot
Ma poiché
dt
G int
Ftot = 0
ossia
G
dP G ext
= Ftot
dt
A.A 2001-2002
S. Vitale
12
Esempi:
Gravità come forza interna:
1
G
G
r1,2 = −r2,1
G
m 1m 2 G
F1,2 = −G 3 r2,1
r2,1
G
G
F1,2 = −F2,1
A.A 2001-2002
2
G
m 1m 2 G
1  2 F2,1 = −G 3 r1,2
r1,2
G
G
G int
F1,2 + F2,1 = Ftot = 0
S. Vitale
13
La conservazione della quantità di moto totale
G ext
Ftot
G
dP
=0
=0 →
dt
G
P = cos tan te
Un esempio
L’ “esplosione” di un sistema di (due) particelle
G int G
Ftot = Fmolla
î
A.A 2001-2002
G ext
Ftot = 0
S. Vitale
14
G ext
Ftot
G
G
dP
= 0 → P = cos tan te
=0 →
dt
Nel sistema del laboratorio
1) Prima dello sgancio
G
G
m1 v1 = 0 m 2 v 2 = 0
G
G
G
P = m1 v 1 + m 2 v 2 = 0
2)Dopo lo sgancio:
G
G
G
G
G
P = m1 v1 + m 2 v 2 = 0 → m1 v 1 = −m 2 v 2
A.A 2001-2002
S. Vitale
15
Frammentazione di proiettili subatomici
A.A 2001-2002
S. Vitale
16
Un nuovo concetto:
il centro di massa di un sistema di punti
G
G
G
G
m1r1 + m 2 r2 + m 3 r3 + ...
rcm =
z
m1 + m 2 + m 3 + ...
G
r3
G
r1
G
r2
y
x
A.A 2001-2002
S. Vitale
17
Dove si trova il centro di massa?
z
Il caso di due
particelle:
G G
r1 − r2
G
r1
G
r2
y
G
G G
rcm,1 = r1 −rcm
G
G
G m1r1 + m 2 r2
= r1 −
m1 + m 2
x G
G
G
r1 ( m1 + m 2 ) − ( m1r1 + m 2 r2 )
G G
m2
=
=
( r1 − r2 )
m1 + m 2
m1 + m 2
A.A 2001-2002
S. Vitale
18
Ovviamente se:
G
rcm ,1 =
G
rcm ,2 =
G G
m2
( r1 − r2 )
m1 + m 2
1 2
G G
m1
( r2 − r1 )
m 2 + m1
G
G
G G
G
G G
m1
=−
( r1 − r2 ) → rcm,1 & rcm,2 & ( r1 − r2 ) ≡ r21
m 2 + m1
G
rcm,1 m 2
∝ m2
∝ m1
=
G
rcm,2 m1
G
G
r21 = −r12 cm
G
G
r1
r
2
A.A 2001-2002
S. Vitale
19
Il centro di massa di due particelle giace
lungo la congiungente fra le due particelle a
distanza da ciascuna particella
proporzionale alla massa dell’altra
A.A 2001-2002
S. Vitale
20
G
rcm
Caso generale a N particelle
N
N
G
G
G
Posizione
cm
m k rk
m1r1 + ∑ m k rk
∑
sistema
k =1
k =2
= N
=
N
particelle 2,N
m1 + ∑ m k
∑ mk
k =1
G
rcm,N =
k =2
N
G
G
 N
m1r1 + ∑ mk  ∑ m k rk
k =2
 k =2
=
N
G
G
m1 + ∑ m k
m1r1 + M ( 2,N ) rcm,( 2,N )
m1 + M ( 2,N )
Massa sistema
A.A 2001-2002
S. Vitale
particelle
2,N

mk 
∑
k =2

N
k =2
21
Il centro di massa di N particelle si può
calcolare così:
1+ 2 2
1
4
Etc., etc.,….
1+ 2+ 3
3
A.A 2001-2002
S. Vitale
22
La quantità di moto totale e la velocità del
centro di massa
G
∑ mk rk
N
G
rcm =
G
v cm
k =1
N
∑m
G
drcm
≡
=
dt
k
k =1
G
drk
mk
∑
dt
k =1
N
∑m
k =1
A.A 2001-2002
k
N
∑m
k
k =1
N
=
G 
d N
m k rk 
∑

dt  k =1

N
=
G
∑ mk vk
k =1
N
∑m
G
P
=
M
k
N
M ≡ ∑ mk
k =1
Massa totale
k =1
S. Vitale
23
O anche
G
G
Mv cm = P
Da cui la prima legge cardinale diventa
G
G
G ext
dv cm
G
dP
= Macm = Ftot
=M
dt
dt
Il cm si muove come un punto diGmassa M
ext
soggetto ad una forza Ftot
A.A 2001-2002
S. Vitale
24
Un esempio: frammentazione di un proiettile
G
Prima della frammentazione: Maproiettile = −Mgkˆ
Dopo la frammentazione in N frammenti
G ext
ˆ
Ftot = −m gkˆ −m gkˆ − m gk...
1
2
3
N
N
j=1
j=1
= − ∑ m jgkˆ = −gkˆ ∑ m j= − Mgkˆ
G
Macm = −Mgkˆ
Il centro di massa continua il moto
originario del proiettile
A.A 2001-2002
S. Vitale
25
G
∑ mk rk
N
G
rcm =
G
G
Mv cm = P
k =1
N
∑m
k
k =1
Da cui la prima legge cardinale diventa
G
G
G ext
dv cm
G
dP
= Macm = Ftot
=M
dt
dt
Il cm si muove come un punto diGmassa M
ext
soggetto ad una forza Ftot
a.a. 2001-2002
S. Vitale
1
La seconda legge cardinale della meccanica e
il momento angolare totale
G G
G
Momenti
lΩ1= rΩ ,1 × ( m1 v1 )
G
angolari
G
l
Ω2
v
m1 1
rispetto
z
G
G
v2
ad un
rΩ ,1
m2
G
rΩ ,2
“polo”
fisso
Ω
G
O
y lΩ 2
Momento angolare totale
G
G G G
G
x
L Ω= lΩ1+ lΩ 2 +... + lΩN
G L
Ω
l
Ω1
a.a. 2001-2002
S. Vitale
2
N G
G
L Ω = ∑ lΩk
k =1
Momento angolare totale
N
N
G
G G
G
G
≡ ∑ rΩk × ( m k v k ) = ∑ ( rk − rΩ ) × ( m k v k )
k =1
k =1
La sua derivata
G
G G
G
N d ( r − r ) × ( m v ) 
dL Ω
Ω
k
k k 

=∑
dt
dt
k =1
G
G
G
N
N d ( r − r ) 
d ( mk vk )
G G
G
Ω 
k

=∑
× ( mk v k ) + ∑ ( rk − rΩ ) ×
dt
dt
k =1
k =1
Newton
G
N
N
G
G G
drk
G
G
× ( m k v k ) + ∑ ( rk − rΩ ) × Fk
rΩ = cos t → = ∑
a.a. 2001-2002
S. Vitale
3
k =1 dt
k =1
Dalla Legge di Newton:
La derivata del momento angolare totale
rispetto ad un polo fisso è uguale alla
somma di tuttiG i momenti di tutte le forze
N
G
G
dL Ω
= ∑ rΩk × Fk
dt
k =1
Ma
(vedi
lezione
10):
G ext G int
G
G
G
G ext G
Fk = Fk + Fk ,1 + Fk ,2 + Fk ,m≠k + .... = Fk + Fk
Generate da
corpi esterni
a.a. 2001-2002
Generate dalle altre
particelle
del
S. Vitale
4
sistema
Dalla legge di Newton (continua)
G
N
N
N
G
G int
G
G
G
G
dL Ω
ext
= ∑ rΩk × Fk = ∑ rΩk × Fk + ∑ rΩk × Fk
dt
k =1
k =1
k =1
G ext G int
≡ M Ω +M Ω
Seconda legge cardinale della meccanica
G
dL Ω G ext
= MΩ
dt
G int
MΩ = 0
a.a. 2001-2002
S. Vitale
5
Prima legge cardinale:
G
F1,2
G
rΩ ,1
G
G
F2,1 = −F1,2
G
rΩ ,2
Seconda legge cardinale
G int G
G
G
G
G
G
G
G
M = rΩ ,1 × F1,2 + rΩ ,2 × F2,1= rΩ ,1 × F1,2 − rΩ ,2 × F1,2
G
G
G
G
G
G
G
= ( rΩ ,1 − rΩ ,2 ) × F1,2 = r2,1 × F1,2 = 0 → r2,1 & F2,1
a.a. 2001-2002
S. Vitale
6
Due particelle si possono scambiare solo una
coppia di forze uguali in modulo e contrarie
in verso (prima legge cardinale) e dirette
come la congiungente fra le due particelle
(seconda legge cardinale)
a.a. 2001-2002
S. Vitale
7
Le leggi cardinali al lavoro
Forza
impulsiva
G
Fo
m2
Perno verticale
Passante per il cm
Piano orizzontale
m1
Asta
indeformabile e
priva di massa (!)
a.a. 2001-2002
Particelle
inizialmente in
quieteS. Vitale
8
G
Fo
m 2 Forze interne: reazione dell’asta
G
R
Perno=cm
Gravità
Forze esterne: Reazione del piano
m1
G
dv cm G ext
= Ftot
( m1 + m 2 )
dt
a.a. 2001-2002
0
Forza impulsiva
Reazione del perno
G
G
G
G
= Fo + R
Fo = − R
S. Vitale
9
1) Il momento angolare
G m2
rΩ 2
G
Fo
G G
G
l1 = rΩ1 × m1 v1 = 0
0
G
rΩ1
m1
t=0
ĵ
G G
G
l2 = rΩ 2 × m 2 v 2 = 0
0
G
G G
L Ω = l1 + l2 = 0
î
a.a. 2001-2002
S. Vitale
10
G
G
dL Ω G
= rΩ 2 × Fo
dt
G
Forza impulsiva Æ Fo ( t') ≠ 0 0 < t' < δt
t
δt
G
G
G
G
G
L Ω ( t > δt ) = ∫ rΩ 2 ( t') × Fo ( t') dt' ≈ rΩ 2 ( 0 ) × ∫ Fo ( t') dt'
0
0
δt
G
G
G
G
G
L Ω ( t > δt ) = rΩ 2 ( 0 ) × ∫ Fo ( t') dt' = rΩ 2 ( 0 ) × Io
0
G
G
G
G
= rΩ 2 ( 0 ) ˆj × Io ˆi = − rΩ 2 ( 0 ) Io kˆ
a.a. 2001-2002
S. Vitale
11
Per t> t
G ext
MΩ = 0
G
dL Ω
=0
dt
G
→ L Ω = cos tan te
Il momento angolare si conserva
a.a. 2001-2002
S. Vitale
12
2)Le due particelle possono solo fare un moto
circolare con la stessa velocità angolare
G
G
G
G
rΩ 2 ⊥ v 2 v 2 = rΩ 2 ω
G
v2
G
rΩ 2
G
rΩ1
a.a. 2001-2002
G
v1
S. Vitale
G
G
G 2
rΩ 2 × m 2 v 2 = m 2 rΩ 2 ω
G
G
G 2
rΩ1 × m1 v1 = m1 rΩ1 ω
G
G 2 ˆ
ĵ
l1 = m1 rΩ1 ωk
î
G
G 2 ˆ
l2 = m 2 rΩ 2 ωk
G
2
2
ˆ
L Ω = ωk m1rΩ1 + m 2rΩ 2
(
13
)
1
2
G
G
G
G
2
2
ˆ
ˆ
=
ω
+
L
k
m
r
m
r
L Ω ( t > δt ) = − rΩ 2 ( 0 ) Io k Ω
1 Ω1
2 Ω2
(
(
−rΩ 2 I o = ω m1rΩ2 1 + m 2rΩ2 2
)
⇓
ω=
−rΩ 2 I o
m1rΩ2 1 + m 2rΩ2 2
Per t> t il sistema ruota con velocità
angolare costante
a.a. 2001-2002
S. Vitale
14
)
Un sistema di riferimento notevole:
il sistema del centro di massa
Origine nel cm e assi che
puntano le stelle fisse
G ext
G
G
G
Ftot
Ω = 0 aO = acm=
M
cm
G ext
È inerziale solo se Ftot = 0
a.a. 2001-2002
S. Vitale
15
G' G G
rk = rk − rcm
Trasformazione di raggi vettori
G'
rk
G'
∑ mk rk =
N
ovviamente
k =1
G
rcm
cm
N
N
N
N
G
G
G
G
G = ∑ m k rk − ∑ m k rcm= ∑ m k rk − rcm ∑ m k
rk
k =1
k =1
G
 N
= ∑ m k  ∑ m k rk
k =1
 k =1
O
N
G'
G'
rcm = ∑ m k rk
Cioè:
N
k =1
a.a. 2001-2002
S. Vitale
k =1
k =1
G 
mk − rcm  = 0
∑
k =1

N
N
∑m
k
=0
k =1
16
Poiché gli assi non ruotano:
G' G G
G' G
G
rk = rk − rcm → v k = v k − v cm
G'
∑ mk rk = 0
G
G
G'
→ v k = v cm + v k
N
k =1
N
G' 
d N
G'
m k rk  = ∑ m k v k = 0
∑

dt  k =1
 k =1
Il caso notevole di 2 particelle
G'
G'
G'
G'
p1 ≡ m 1 v 1 = −m 2 v 2 ≡ − p 2
a.a. 2001-2002
S. Vitale
17
Una decomposizione notevole del momento
angolare
G
N
rΩk
G
G
G
L Ω = ∑ rΩk × m k v k
G'
k =1
rk
G
N
G
G'
G
G'
rΩcm
= ∑ rΩcm + rk × m k v cm + v k
cm
k =1
(
G
G
= ∑ rΩcm × m k v cm
N
k =1
a.a. 2001-2002
)
(
G
G'
+ ∑ rΩcm × mk v k
N
k =1
N
G'
G'
G
G'
+ ∑ rk × m k v cm + ∑ rk × m k v k
N
k =1
S. Vitale
k =1
18
)
N
G
G
G
G
G'
L Ω = ∑ rΩcm × m k v cm+ ∑ rΩcm × mk v k
N
k =1
k =1
N
G'
G'
G
G'
+ ∑ rk × m k v cm + ∑ rk × m k v k
N
k =1
k =1
N
G
G' G
G'
∑ rΩcm × mk vk = rΩcm × ∑ mk vk = 0
N
k =1
N
k =1
G'
∑ mk vk = 0
N k =1
G'
G'  G
G 
rk × mk v cm=  ∑ m k rk  × v cm = 0
∑
k =1
 k =1
N
G'
∑ mk rk = 0
N
a.a. 2001-2002
S. Vitale
k =1
19
N
G
G'
G
G
G'
L Ω = ∑ rΩcm × m k v cm + ∑ rk × m k v k
N
k =1
k =1
N
N
G
G'

G
G'
= rΩcm ×  ∑ mk  v cm + ∑ rk × m k v k
k =1
 k =1

N
G
G + rG ' × m vG '
= rΩcm × Mv cm ∑ k
k k
k =1
Momento di un punto
di massa M che si
muove con il cm
a.a. 2001-2002
S. Vitale
Momento del moto
intorno al cm
20
Sono termini separati
G
G
G
G
d ( rΩcm × Mv cm ) drΩcm
G
dv cm
G
=
× Mv cm + rΩcm × M
dt
dt
dt
G ext
G
G
G
= v cm × Mv cm + rΩcm × Ftot
G' 
 N G'
d  ∑ rk × m k v k 
G'
G'
N
drk
dv k
G ' G'
 k =1

=∑
× m k v k + rk × mk
dt
dt
k =1 dt
N
N
G ' G ext  N
G'  G
G ' G ext
G
= ∑ rk × Fk − m k acm = ∑ rk × Fk −  ∑ m k rk  × acm
k =1
 k =1

k =1
(
a.a. 2001-2002
)
S. Vitale
21
Riassumendo
N
G'
G'
G'
Lcm = ∑ rk × m k v k
G cm G
G
L Ω = rΩcm × Mv cm
k =1
G'
N
G'
dLcm
ext
= ∑ rk × Fk
dt
k =1
G cm
G ext
dL Ω G
= rΩ ,cm × Ftot
dt
a.a. 2001-2002
S. Vitale
22
Una forza impulsiva, partenza da fermo e
niente perno G
m2
G
G
dv
cm
Fo
+
= Fo
m
m
(
1
2)
cm
dt
G
G
δt
Fo ( t')
Io
G
v cm ( t > δt ) = ∫
dt' =
m1 + m 2
m1 + m 2
0
m1
Il centro di massa effettua un
moto rettilineo uniforme
cm
a.a. 2001-2002
S. Vitale
23
Momenti rispetto al centro di massa
G
G
dLcm G
= rcm 2 × Fo
cm
dt
G G
t
L r2 − r1
G
G'
G
Lcm ( t > δt )= ∫ rcm 2 ( t') × Fo ( t') dt'
0
G
G
G
G
≈ rcm 2 ( 0 ) × ∫ Fo ( t') dt' = rcm 2 ( 0 ) × Io
δt
0
G G ˆ G ˆ
m1
m1L G ˆ
=
Io k
( r2 − r1 ) j × Io i = −
m1 + m 2
m1 + m 2
a.a. 2001-2002
S. Vitale
24
Nel sistema (inerziale) del centro di massa
2
G
 m1L  ˆ
G 2 ˆ
l2 = m 2 rcm 2 ωk = m 2 
 ωk
 m1 + m 2 
2
G
 m 2L  ˆ
G 2 ˆ
l1 = m1 rcm1 ωk = m1 
 ωk
 m1 + m 2 
2
2


G'
m
m
2
1
Lcm = L2 ωkˆ m1
+
m

2
2
2
 ( m1 + m 2 )
( m1 + m 2 ) 
m 1m 2
m1m 2
2
2
ˆ
ˆ
= L ωk
m1 + m 2 ) = L ωk
2 (
m1 + m 2
( m1 + m 2 )
a.a. 2001-2002
S. Vitale
25
G'
m1L G ˆ
Lcm = −
Io k
m1 + m 2
G'
m 1m 2
2
ˆ
Lcm = L ωk
m1 + m 2
ω=−
a.a. 2001-2002
S. Vitale
G
Io
m 2L
26
La separazione del moto in moto del cm e moto
intorno al centro di massa: la storia continua:
1
1
1
2
2
2
kin
≡
m
v
+
m
v
+
.....
+
m
v
Etot
1 1
2 2
N N
2
2
2
N
N
1
1
G G
kin
2
Etot = ∑ m k v k = ∑ m k v k ⋅ v k
2 k =1
2 k =1
1 N
G' G
G' G
= ∑ m k v k + v cm ⋅ v k + v cm
2
k =1
N
1
G '2
G
G'
2
= ∑ m k v k + 2v cm ⋅ v k + v cm
2 k =1
N
1 N
G '2 G
G' 1 2 N
= ∑ m k v k + v cm ⋅ ∑ m k v k + v cm ∑ m k
2 k =1
2
k =1
k =1
(
(
a.a. 2001-2002
)(
)
S. Vitale
27
)
In conclusione
E
kin
tot
1 N
G '2 1
2
= ∑ m k v k + Mv cm
2 k =1
2
Moto intorno al Moto del centro di
centro di massa
massa
a.a. 2001-2002
S. Vitale
28
Un esempio: la forza peso
N
G
ˆ
Macm = − ∑ m jgkˆ = −gkM
G'
r2
G'
r3
j=1
cm rG '
1
k̂
Il centro di massa “cade”
come una particella
G cm
N
G
G
G
dL
ˆ
Ω
rΩ ,cm
= rΩ ,cm × ∑ −gm jk = −rΩ ,cm × gMkˆ
j=1
dt
G'
N
N

G' 
G'
dLcm
ˆ
= − ∑ rj × m jgk = −  ∑ m jrj  × gkˆ
dt
j=1
 j=1

=0
(
a.a. 2001-2002
S. Vitale
)
( )
29
La forza peso non ha
momento rispetto al cm
G'
G'
dLcm
= 0 → Lcm = cos t
dt
Il momento angolare si
conserva mentre il centro
di massa cade con
accelerazione costante
a.a. 2001-2002
S. Vitale
30
Il problema dei “due corpi”
Due particelle soggette solo alla loro
G ' interazione
G ext
r2
G'
G
r1
Macm= Ftot = 0
G cm
r1,2
Il sistema del cm è
inerziale
G
G'
m1 G
m 1m 2 G
G'
r1,2 → m 2 r2 =
r1,2 ≡ µr1,2
r2 =
m1 + m 2
m1 + m 2
Massa ridotta
a.a. 2001-2002
S. Vitale
31
G'
G
m 2 r2 = µr1,2
2G
2G'
G
d r1,2
d r2
m2
= F2,1
=µ
2
dt
dt
G
F2,1
cm
G
r1,2
Il sistema del cm
Il sistema della
particella 1
Nel sistema della
G particella 1, la massa 2
sente la forza F2,1 ma ha massa
a.a. 2001-2002
S. Vitale
32
Un esempio: l’orbita di una stella binaria
(moto circolare uniforme)
Condizione di equilibrio
G
r1,2
m1m 2
µω r1,2 = G 2
r1,2
2
cm
m 1m 2 ( m 1 + m 2 )
m1m 2
ω= G
= G
3
3
µr1,2
m1m 2r1,2
a.a. 2001-2002
S. Vitale
33
Le orbite
G'
r1
G
r1,2
a.a. 2001-2002
S. Vitale
G'
r
cm 2
34