Seminario didattico
Ingegneria Elettronica
Lezione 3:
Dinamica del punto materiale
1
Esercizio n°1
Un oggetto di massa 75 kg è sostenuto fra due pareti da una trave orizzontale,
come appare in figura. Le forze uguali F esercitate dalla trave sulle pareti possono
essere variate regolando la lunghezza della trave mediante il dispositivo a viti
contrapposte. Il sistema è sostenuto soltanto dalla forza di attrito fra le estremità
della trave e le pareti. Il coefficiente di attrito statico fra trave e pareti è 0,41. Trovare
il minimo valore delle forze F che garantisce la stabilità del sistema.
DATI:
M = 75 kg
µs = 0,41
?)F t ale da avere st abilit à del
sist em a
2
Svolgimento esercizio 1 (1)
Si può considerare il sistema come di trave + fili + oggetto appeso come un
unico oggetto di massa totale pari alla massa dell’oggetto appeso (dato che la
massa della trave non è data, la consideriamo trascurabile!!!). Il sistema
equivalente è il seguente:
y
Fas
F N
Fas
M
x
N F
P
Disegniamo le forze in gioco e scriviamo le equazioni
dinamiche nel caso di equilibrio statico. Osserviamo
che la situazione è simmetrica e quindi per ciascuna
delle due interfacce oggetto - parete avremo nella
direzione X:
N
=0 x : F=N
F
Nella direzione y la condizione di equilibrio sarà:
Mg
P2 F as y : F as =
2
Poiché deve essere sempre:
Mg
Mg
F as s N s F F
2
2 s
Quindi:
Mg
F min=
=896 N
2 s
3
Esercizio n°2
Una cassa di massa 136 kg è appoggiata sul pavimento. Un operaio
tenta di spingerla applicando orizzontalmente una forza di 412 N. (a) dimostrate
che, se il coefficiente di attrito statico vale 0,37, la cassa non si sposta. (b) Un
secondo operaio interviene in aiuto tirando su la cassa in direzione verticale. Quale
è la minima forza verticale che consentirà lo spostamento della cassa appoggiata
sul pavimento? (c) Se la forza applicata dal secondo operaio fosse orizzontale,
concorde alla forza applicata dal primo operaio, anziché verticale, quale valore
minimo dovrebbe avere per far spostare la cassa?
F
M
DATI:
M = 136 kg
F = 412 N
µs = 0.37
?Dimostrare che la cassa non si sposta
?F2 minima verticale tale che la cassa si sposti
?F2 minima orizzontale tale che la cassa si sposti
4
Svolgimento esercizio 2 (1)
a) Disegniamo le forze in gioco e scriviamo l’equazione dinamica nelle
condizioni di equilibrio statico:
y
F F as P N =0
N
x Fas
{
F
M
P
Il corpo non si muove finché
F as F
x : F F as =0
y : N Mg=0
quindi fino a che
max
s N F
s N F s MgF
Con i valori di F, µs ed M dati si verifica sempre:
s MgF 493,15 N 412 N
Il corpo di massa M non si sposta
5
Svolgimento esercizio 2 (2)
b) Disegniamo le forze in gioco nel caso dell’applicazione di una seconda
forza F2 verticale e scriviamo l’equazione dinamica nel caso delle condizioni di
equilibrio:
y
=0
F F 2 F as P N
F2
N
x
Fas
{
F
M
P
Il corpo non si muove finché
x : FF as =0
y : N F 2 Mg=0
F as F quindi fino a che s N F
max
s N F s MgF 2 F s F 2Mg F Affinché il corpo si sposti si deve avere dunque:
F
F 2Mg s
F
F 2 =Mg =219 N
min
s
6
Svolgimento esercizio 2 (3)
c) Disegniamo le forze in gioco nel caso dell’applicazione di una seconda
forza F2 parallela e concorde ad F e scriviamo l’equazione dinamica nel caso delle
condizioni di equilibrio:
=0
F F 2 F as P N
y
x
Fas
N
M
F2
F
P
Il corpo non si muove finché
{
x : FF 2 F as =0
y : N Mg=0
F as F F 2
max
quindi fino a che
s N F F 2
s N FF 2 s MgFF 2 F 2 s Mg F Affinché il corpo si sposti si deve avere dunque:
F 2 s MgF F 2 = s MgF=81 N
min
7
Esercizio n°3
Nella figura, A è un blocco di massa 4,4 kg e B un blocco di massa 2,6 kg. I
coefficienti di attrito statico e dinamico fra A ed il piano sono rispettivamente 0,18 e
0,15. (a) Determinare quale è la massa minima di un blocco C da collocare al di
sopra di A per impedirgli di spostarsi. (b) Se C viene rimosso improvvisamente,
quale sarà l’accelerazione di A?
DATI:
m A = 4,4 kg
m B = 2,6 kg
µs = 0,18 µd = 0,15
(a)? Cm in per im pedire ad A di m uoversi
(b)? C rim osso, a A
8
Svolgimento esercizio 3 (1)
a) La situazione equivale ad avere un blocco di massa totale (mA + mC),
dato che tra i due blocchi non c’è attrito:
y
Disegniamo le forze in gioco e scriviamo le equazioni
dinamiche per i due blocchi nelle condizioni di
equilibrio:
N
x
A+C
Fas
T
BLOCCO A+C
T F as N P A P C =0
T
{
PB
Sappiamo che:
PA+PC
Quindi dalla (1) e dalla (2) si ha:
x :T F as =0
y : N P A PC =0
(1)
(2)
as s N
F
T=F as s N = s P A P C (3)
9
Svolgimento esercizio 3 (2)
BLOCCO B:
T P B =0T P B =0 T =P B
(4)
Dalla (3) e dalla (4) si ricava:
P B=T s P A P B m B g s m A mc g
mB
mC m A s
mC
min
mB
= m A =10 kg
s
10
Svolgimento esercizio 3 (3)
b) Rimuovendo il blocco C si avrà:
Disegniamo le forze in gioco e
scriviamo le equazioni dinamiche per i due
blocchi che si muoveranno con accelerazioni
aA e aB. Fissiamo il verso degli assi in base
all’ipotetico moto. Immaginiamo che B si
muova verso il basso e che A si muova verso
destra.
N
N
x
Fad
T
y
BLOCCO A
PA
T
BLOCCO B:
{
x :T F ad =m A a A
y : P A N =0
(1)
m B gT =m B a B
(3)
(2)
PB
Osserviamo che i due blocchi si muoveranno con la stessa
accelerazione a =a =a
A
B
11
Svolgimento esercizio 3 (4)
Quindi dalla (1) (2) e (3) e sapendo che
ad= d N , si ha:
F
T F ad m B ga d N mB ga d m A g
a=
=
=
mA
mA
mA
m B d m A
m
a=
g=2,72 2
m A m B
s
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Esercizio n°4
Un blocco di massa 4.8 kg posto su un piano inclinato di 39° rispetto
al piano orizzontale è soggetto ad una forza orizzontale di 46 N, con
un coefficiente di attrito dinamico di 0.33.
a.
b.
Con quale accelerazione si sposta il blocco se sale lungo il piano?
Sempre sotto l’azione della forza orizzontale, di quanto risalirà il blocco lungo
il piano, avendo una velocità iniziale di 4.3 m/s?
DATI:
α = 39°
m = 4.8 kg
F = 46 N
µd = 0.33
m
αα
a)? Accelerazione di m in salita
b) Se v0=4.3 m/s
? Distanza percorsa da m prima
di arrestarsi
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Svolgimento esercizio 4 (1)
a) Innanzitutto disegniamo il diagramma delle forze agenti sul corpo di
massa m:
y
x
N
a
α
F
α
Equazione dinamica vettoriale:
F
F ad P N =m a
Fad
Equazione in componenti:
P
α
α
{
x : F cos F ad mgsen =ma
y : N Fsen mgcos =0
Quindi calcoliamo:
N =Fsen mg cos Il corpo si muove nella
direzione positiva dell’asse
Allora l’accelerazione vale:
x con un’accelerazione
negativa: quindi si tratta di
F cos d N mgsen m
uniformemente
=3 . 22 2 moto
a=
m
s decelerato
14
Svolgimento esercizio 4 (2)
b) Osserviamo che il punto materiale di massa m si muove verso l’alto
sul piano inclinato con un MOTO UNIFORMEMENTE DECELERATO.
Le equazioni del moto saranno (considerando l’istante iniziale t=0):
{
v t =v 0 at
1 2
x t =v 0 t at
2
dove a è l’accelerazione calcolata prima
con l’opportuno segno
Quindi:
v 0
v fin =0=v0 at f t f =
a
v 0 1 v0
a
d =x t f =v0
a
2
a
2
2
v
1
d= 0 =2. 87 m
2 a
15
Esercizio n°5
Il blocco B della figura pesa 712 N. Per un coefficiente di
attrito statico fra B ed il tavolo pari a 0.25, trovare il peso massimo
di A per cui B resterà a riposo.
DATI:
PB = 712 N
µS = 0.25
α= 41°
?PA affinchè
B resti fermo
16
Svolgimento esercizio 5 (1)
y
Schema delle forze:
x
1)
Equazione dinamica del punto
materiale di massa mB nelle
condizioni di equilibrio:
-T2
N
Fas
PB
T1
T2
-T1O
-T3
T3
PB
N T 1 F as =0
La precedente equazione vettoriale
diventa in componenti:
{
PA
Quindi:
x : T 1 F as =0
y : N P B =0
T 1F as = s N = s P B (1)
max
2) Equazione dinamica del punto materiale di massa mA nelle condizioni di equilibrio:
T 3 P A =0 y : T 3P A =0
Allora:
T 3=P A
(2)
17
Svolgimento esercizio 5 (2)
1)
Consideriamo il punto O: la somma vettoriale di tutte le forze in tale
punto deve essere nulla!!
T 2 T 1 T 3 =0
La precedente equazione vettoriale diventa in componenti:
{
x : T 2cos T 1 =0
y : T 2sen T 3 =0
T3
=tg T1
Quindi:
(3)
Mettendo insieme le tre equazioni ricavate (1), (2) e (3) si ricava:
P A =T 3=T 1tg s P B tg P A = s P B tg =154 . 7N
max
18
Esercizio n°6
Una scimmia di massa 10 kg si arrampica
su una fune priva di massa che può
scorrere, senza attrito, su un ramo d’albero ed è
fissata ad un contrappeso di massa 15 kg,
appoggiato al suolo. (a) Quale è il minimo valore
del modulo dell’accelerazione che deve avere la
scimmia per sollevare dal suolo il contrappeso?
Se, dopo aver sollevato il contrappeso, la scimmia
smette di arrampicarsi e rimane appesa alla fune,
quali sono (b) il modulo e (c) la direzione ed il
verso della sua accelerazione?
(d) E qual è la tensione della fune?
DATI:
ms = 10 kg
M = 15 kg
(a) ? as min per sollevare M dal suolo
(b) ? as se smette di arrampicarsi
(c) ? T fune
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Svolgimento esercizio 6 (1)
(a) In questo esercizio, il ramo funge da carrucola; la situazione è
equivalente a:
Disegniamo le forze in gioco e scriviamo le equazioni
dinamiche per la scimmia e per il contrappeso:
Y T
T
as
{
scimmia: T m s g=m s a s
contrapp .:T N Mg=0
T
ms
Ps
T
N
M
Inizialmente il contrappeso è poggiato per terra; affinchè
si sollevi, si deve annullare la reazione normale N:
N =0 MgT =0 Mgm s a s g =0 PM
Quindi:
M
m
a s=
1 g=4,9 2
ms
s
20
Svolgimento esercizio 6 (2)
(b) Nel momento in cui il contrappeso si è sollevato, la scimmia
smette di arrampicarsi. In questa situazione immagino che il contrappeso
tenderà a scendere verso il basso tirando la scimmia che, quindi, salirà.
Disegniamo le forze in gioco e scriviamo le equazioni
dinamiche per la scimmia e per il contrappeso:
Y
T
T
ms
Ps
{
T
T
scimmia: T m s g=m s a1
contrapp .:T Mg=Ma 2
dove a1 ed a2 sono i moduli delle accelerazioni di scimmia e
contrappeso rispettivamente.
Osservo però che le due accelerazioni sono uguali in modulo:
a 1=a 2=a
M
PM
Quindi:
{
scimmia: T m s g=m s a
contrapp .:T Mg=Ma
(1)
(2)
21
Svolgimento esercizio 6 (3)
Dalla (1) e dalla (2) ricavo:
{
1 :T =m s am s g
m s am s g= MgMa
2 :T =Mg Ma
Quindi:
M m s
m
a=
g=1, 96 2
s
M m s
Perciò:
{
scimmia: a1 =a u y
contrapp .:a 2 =a u y
(c) La tensione della fune T si ricava dalla (1) o dalla (2):
1T=ms ag =117,7 N
22