STATISTICA A – K
(60 ore)
Marco Riani
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http://www.riani.it
Soluzioni esercizi da
svolgere per
Lunedì 29 marzo
Es. v.c. associata al lancio di un dado
Valori Probabilità
xi
pi
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
1
• Calcolare
• F(3,14)? F(-0,37)?
F(3,57)? F(6,5)?
• E(X)?
• VAR(X)?
Soluzione
•
•
•
•
•
•
F(3,14)=0,50
F(-0,37)=0
F(3,57)=0,50
F(6,5)=1
E(X)=3,5
VAR(X)=35/12
Esercizio
• Dimostrare che
• f(x)=2(x-10)/50 se 10<x<15
• f(x)=2(20-x)/50 se 15<x<20
è una densità
• Rappresentare graficamente la funzione di
densità e di ripartizione
Verificare che è una densità
Rappresentazione grafica f(x)=
densità triangolare
• Area triangolo =10*0,2/2=1
Calcolo della funzione di
ripartizione
Calcolare
– Pr(X>12)
– Pr(X<10)
– Pr(X<11)
– Pr(14 < X < 18)
– E(X)?
– VAR(X)?
– Calcolare il quantile x0,95 ossia la coordinata x
che lascia alla sua destra una probabilità pari
a 0,05 e a sinistra una probabilità pari a 0,95
Pr(X>12)
• 1- (Area triangolo con base 2 e altezza
0,08)=1-2*0,08/2=0,92
Pr(X<11)
• Area triangolo con base 1 e altezza
0,04/2=0,02
Pr(14 < X < 18)
• Pr(14 < X < 18)=0,6 (utilizzando le aree
dei due trapezi oppure il calcolo integrale)
E(X)
• Occorre calcolare il seguente integrale:
• E(X)=15
VAR(X)
• Occorre calcolare il seguente integrale:
• VAR(X)=4,17
Calcolo del quantile x0,95
Pr=0,05
x0,95
• [(20-x0,95) 2(20-x0,95)/50] 0,5=0,05
• x0,95=18,42
Metodo alternativo basato sul
calcolo integrale
• Si ottiene:
• Le soluzioni dell’equazione di secondo grado
sono 21,58 e 18,42. Naturalmente escludiamo
21,58 in quanto esterna all’intervallo di
definizione della densità
Esercizio
• Si calcoli la probabilità di ottenere un 2
almeno una volta in tre lanci consecutivi di
un dado.
Soluzione
• Pr (un due almeno una volta in tre
lanci)=1-Pr(nessun due in tre lanci)
• Pr(nessun due in tre lanci)= (5/6)3
• Pr (un due almeno una volta in tre
lanci)=1- (5/6)3=0,42
Esercizio
• Un docente di statistica ha distribuito un
elenco di 20 domande da cui sceglierà a
caso quattro domande per l’esame finale.
Avendo poco tempo lo studente x prepara
solo 4 domande. Qual è la probabilità che
proprio queste costituiscano la prova di
esame
Soluzione
• Casi favorevoli = 1
• Casi possibili C20,4=4845
• Pr = 1/4845=0,00021
Esercizio
• Supponiamo di disporre di un mazzo di 52
carte. Estraendo 5 carte a caso, qual è la
probabilità di avere due carte di quadri,
due di cuori e una di fiori?
Soluzione
• Casi favorevoli due carte di quadri=C13,2
• Casi favorevoli due carte di cuori=C13,2
• Casi favorevoli una carta di fiori=C13,1=13
• Casi possibili =C52,5
• Pr richiesta = C13,2 × C13,2 × 13 / C52,5
=79092/2598960=0,03
Esercizio
• Supponiamo di disporre di un mazzo di 52
carte. Si estrae una sola carta. Qual è la
probabilità di estrarre una carta di quadri
oppure una carta rossa?
Soluzione
• Pr (carta di quadri U carta rossa) = Pr
(carta di quadri)+ Pr(carta rossa) –P(carta
di quadri ∩ carta rossa)=13/52+26/5213/52=26/50=1/2
Esercizio
• Supponiamo di disporre di un mazzo di 52
carte. Si estrae una sola carta. Qual è la
probabilità di estrarre una carta di quadri
oppure un re?
Soluzione
• Pr(carta di quadra U un re)=13/52+4/521/52=16/52=0,31