STATISTICA A – K
(60 ore)
Marco Riani
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http://www.riani.it
Tipologia di v.a.
• v.a. discreta  numero finito di valori
(infinità numerabile)
• x1 x2, …, xk
• con probabilità
• p1 p2 …, pk
• Esempio: lancio di una moneta (dado)
Tipologia di v.a.
• v.a. continua può assumere tutti i valori
di un intervallo
• La probabilità di un singolo valore è 0
• Si calcola la probabilità che X sia
compresa in un intervallo
• a≤X≤b
Definizione formale di funzione di
ripartizione calcolata nel punto x0
1. F ()  lim F ( x)  0
x  
F ()  lim F ( x)  1
x  
Proprietà della F(x)
1.00
0.80
0.70
2. per a  b F ( A)  F (b)
0.60
3. lim F ( x  h)  F ( x)
0.40
h o
4. P(a  x  b)  F (b)  F (a)
V.A
DISCRETA
0.90
0.50
continua a
destra
0.30
0.20
0.10
0.00
0
1. F ()  lim F ( x)  0
x  
F ()  lim F ( x)  1
x  
2. per a  b F ( A)  F (b)
3. F ( x) / x  f ( x)
4. P (a  x  b)  F (b)  F (a )
2
4
6
8
10
12
14
16
1
0.9
V.A CONTINUA
0.8
0.7
0.6
0.5
assolutament
e continua
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
5
Caratteristiche della funzione di
densità f(x)
Legame tra la funzione di ripartizione
F(x) e la funzione di densità f(x)
Rappresentazione grafica funz rip continua
• Con Ψ interno a [x Δx] (teorema di
Lagrange, del valor medio)
Se Δx tende a zero dx
Esercizi da svolgere per
Lunedì 29 marzo
Es. v.c. associata al lancio di un dado
Valori Probabilità
xi
pi
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
1
• Calcolare
• F(3,14)? F(-0,37)?
F(3,57)? F(6,5)?
• E(X)?
• VAR(X)?
Esercizio
• Dimostrare che
• f(x)=2(x-10)/50 se 10<x<15
• f(x)=2(20-x)/50 se 15<x<20
è una densità
• Rappresentare graficamente la funzione di
densità e di ripartizione
Calcolare
– Pr(X>12)
– Pr(X<10)
– Pr(X<11)
– Pr(14 < X < 18)
– Pr( 13<X <14 oppure 17<X <19)
– E(X)?
– VAR(X)?
– Calcolare il quantile x0,95 ossia la coordinata x
che lascia alla sua destra una probabilità pari
a 0,05 e a sinistra una probabilità pari a 0,95
Esercizio
• Si calcoli la probabilità di ottenere un 2
almeno una volta in tre lanci consecutivi di
un dado.
Esercizio
• Un docente di statistica ha distribuito un
elenco di 20 domande da cui sceglierà a
caso quattro domande per l’esame finale.
Avendo poco tempo lo studente x prepara
solo 4 domande. Qual è la probabilità che
proprio queste costituiscano la prova di
esame
Esercizio
• Supponiamo di disporre di un mazzo di 52
carte. Estraendo 5 carte a caso, qual è la
probabilità di avere due carte di quadri,
due di cuori e una di fiori?
Esercizio
• Supponiamo di disporre di un mazzo di 52
carte. Si estrae una sola carta. Qual è la
probabilità di estrarre una carta di quadri
oppure una carta rossa?
Esercizio
• Supponiamo di disporre di un mazzo di 52
carte. Si estrae una sola carta. Qual è la
probabilità di estrarre una carta di quadri
oppure un re?
Tutte le soluzioni agli
esercizi precedenti
verranno pubblicate nel
sito lun 29 marzo
Buon week end