Fondamenti di Automatica
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Lezione 3: Analisi della risposta di un
sistema LTI tempo-continuo
• Analisi ingresso-uscita
• Analisi con modelli di stato
• Risposta libera e risposta forzata
• Modi naturali
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Analisi della risposta di un sistema LTI Modello ingresso-uscita
b0 D n + b1 D n−1 + · · · bn
b(D)
= n
y(t) = G(D)u(t), G(D) =
a(D)
D + a1 D n−1 + · · · + an
Trasformata di Laplace:
p(s)
Y (s) = G(s)U (s) +
a(s)








p(s) = p1 sn−1 + p2 sn−2 + · · · + pn



p1
1
y(0)






p2 
1
 a1
  Dy(0)
 = 

.. 
..
 ..

..




.
. 
.
 .

pn
an−1 an−2 . . . 1
D n−1 y(0)








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Analisi della risposta di un sistema LTI Modello di stato

 ẋ
 y
= Ax + Bu
= Cx + Du
Trasformata di Laplace:
Y (s) = G(s)U (s) +
p(s)
a(s)
G(s) = C(sI − A)−1 B + D
p(s) = C adj(sI − A) x(0)
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Calcolo della risposta di un sistema LTI
1. Si trasforma u(t): U (s) = L [u(t)].
p(s)
2. Si calcola Y (s) = G(s)U (s) +
.
a(s)
3. Si antitrasforma Y (s): y(t) = L−1 [Y (s)].
Osservazione: Se l’ingresso u è una
combinazione lineare di segnali modali, Y (s)
risulta essere una funzione razionale propria
antritrasformabile mediante sviluppo di
Heaviside.
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Modi naturali di un sistema LTI - 1
b(s)
a(s)
• Per un sistema LTI con f.d.t. G(s) =
−1 p(s)
– la risposta libera y (t) = L
a(s) e
−1 b(s)
– la risposta impulsiva g(t) = L
a(s)
risultano combinazioni lineari di segnali
modali dipendenti dai poli di G(s)
• tali segnali modali prendono il nome di modi
naturali del sistema e caratterizzano il
comportamento del sistema stesso.
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Modi naturali di un sistema LTI - 2
• Ad ogni polo reale p di molteplicità µ sono associati i
modi:
ept , tept , . . . , tµ−1 ept
• Ad ogni coppia di poli complessi coniugati σ ± jω di
molteplicità µ sono associati i modi
eσt cos(ωt), eσt sin(ωt), teσt cos(ωt), teσt sin(ωt), . . . ,
tµ−1 eσt cos(ωt), tµ−1 eσt sin(ωt)
• Esempio: a(s) = s(s + 1)(s2 + 2s + 2)(s + 10)3 ⇒ poli
{0, −1, −1 ± j, −10} di molteplicità {1, 1, 1, 3} ⇒
modi {1, e−t , e−t cos(t), e−t sin(t), e−10t , te−10t , t2 e−10t }.
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