Corso di Protezione Idraulica del Territorio
Richiami sulle correnti a pelo libero
Antonino Cancelliere
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale
Università di Catania
[email protected]
Correnti a pelo libero
• Correnti idriche caratterizzate dall’avere
una parte del loro contorno a contatto con
un gas (nella più grande generalità
l’atmosfera)
• Corsi d’acqua naturali, canali artificiali di
bonifica, irrigazione, fognatura, impianti
idroelettrici, navigazione interna
1
Esempi di canali artificiali
Esempi di canali artificiali
2
Esempi di canali artificiali
Esempi di canali artificiali
3
Fiumi
4
Ipotesi di base
• Correnti lineari, caratterizzate cioè da una curvatura
trascurabile
• Sezioni trasversali praticamente verticali (pendenza
molto piccola)
• Segue che:
– A tutte le traiettorie della corrente compete la stessa linea
piezometrica e dei carichi totali
– La linea piezometrica coincide con il pelo libero
Moto uniforme
•
•
•
•
Velocità indipendente dal tempo e dalla posizione
Possibile soltanto nei casi di alvei cilindrici
Cadente J uguale alla pendenza i
Legge di Chezy del moto uniforme:
V = C R ⋅i
Dove:
V velcità di moto uniforme
C coefficiente scabrezza
R raggio idraulico (A/P)
i pendenza
Q = AC R ⋅ i
5
Moto uniforme
•
C può essere espresso come:
Bazin
C=
87
1+ γ / R
Kutter
C=
100
1+ m / R
1
Strickler
C = c⋅ R6
γ [m1/2 ]
[ ]
m m1/2
 m1/2 
c

 s 
Utilizzando Strickler:
2 1
Q = cAR 3 i 2
Coefficienti di scabrezza
(Ferro, 2002)
6
Coefficienti di scabrezza
(Ferro, 2002)
Caratteristiche energetiche di una corrente
• Ipotesi: moto gradualmente variato
• Fissata una sezione, indichiamo con E l’energia
specifica, somma dell’altezza piezometrica e di
quella cinetica
V2
Q2
E = h +α
= h +α
2g
2 gA2
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Caratteristiche energetiche di una corrente
E = h +α
Q2
2gA2
per h->0, A->0, E->inf
per h->inf, E->h
Caratteristiche energetiche di una corrente
• L’energia specifica E avrà un minimo:
dE
Q 2 dA
Q2
= 1−α 3
= 1−α 3 B
dh
gA dh
gA
• Il minimo è la soluzione di:
1−α
Q2
B=0
gA3
A3 α 2
= Q
B g
• La soluzione di questa equazione individua una
altezza della corrente k detta altezza critica. In
corrispondenza a tale altezza si ha lo stato critico
della corrente
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Caratteristiche energetiche di una corrente
• Caso particolare: sezione rettangolare di larghezza B
A3 α 2
= Q
B g
B 3k 3 α 2
= Q
B
g
• Da cui segue:
k =3
α Q2
g B2
Caratteristiche energetiche di una corrente
• In generale, velocità critica:
Vc =
g A
α B
• Pendenza critica: pendenza del fondo in
corrispondenza della quale la velocità di moto
uniforme è pari a quella critica. Dalla formula di
Chezy:
g A
α B = C R ⋅i
g
A(k )
ic =
2
αC R ( k ) B ( k )
Vc =
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Caratteristiche energetiche di una corrente
• Caso particolare: sezione rettangolare molto larga (R
circa uguale ad h)
ic =
g
A(k )
g
=
2
αC R ( k ) B ( k ) αC 2
• Usando Strickler:
ic =
g
αc 2 k 1/ 3
Profili del pelo libero in moto permanente
ids + E = E +
dE
ds + Jds
ds
dE
=i−J
ds
• Sostituendo l’espressione della E, e tenendo
conto del fatto che la sezione A può variare con
s, trovo l’equazione differenziale generale:
dh  αQ 2  αQ 2 ∂A
1 −
B −
=i−J
ds 
gA3  gA3 ∂s
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Profili del pelo libero in moto permanente
dE
=i−J
ds
Osservando che:
dE dE dh
=
ds dh ds
Da Chezy
J=
Q2
C RA2
2
Decrescente con h e
uguale a i per h=ho
Si ottiene:
dh i − J
=
dE
ds
dh
Negativa o positiva a
seconda se h<k o h> k
Profili del pelo libero in moto permanente
Alveo a debole pendenza (i<ic, h0>k)
ho
numeratore i − J
k
denominato re
k
ho
rapporto
Alveo a forte pendenza (i>ic, h0>k)
dE
dh
dh
ds
dh i − J
=
dE
ds
dh
ho
numeratore i − J
k
denominato re
ho
k
rapporto
dE
dh
dh
ds
11
Il risalto idraulico
•
•
•
Il passaggio da corrente veloce a lenta non avviene quasi mai in
maniera graduale, ma attraverso una discontinuità caratterizzata da
un brusco sollevamento che prende il nome di risalto idraulico
A causa delle notevoli dissipazioni localizzate, il suo studio non può
essere condotto tramite considerazioni energetiche
Generalmente si ricorre quindi all’applicazione dell’equazione
globale dell’equilibrio dinamico
L’idea è che le spinte totali a
monte e a valle devono essere
uguali
Π1 + M 1 = Π 2 + M 2
Il risalto idraulico
•
La generica spinta totale è somma della spinta idrostatica e della
quantità di moto M
Π = γAhg
Q2
M =ρ
A
S =Π+M
•
S =Π+M
Π
M
12
Il risalto idraulico
•
Per alvei a sezione rettangolare:
1
Π = γAhg = γBh 2
2
2
Q
Q2
M =ρ
=ρ
A
Bh
1
Q2
S = γBh 2 + ρ
2
Bh
1
Q2 1
Q2
2
γBh12 + ρ
= γBh2 + ρ
2
Bh2 2
Bh2
Da cui segue:
2k 3
h1 + h2 =
h1h2
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