APPUNTI DI MATEMATICA
LE SEZIONI CONICHE
• I sistemi di secondo grado
• La parabola
ALESSANDRO BOCCONI
Indice
1 I sistemi di secondo grado
1.1
2
I sistemi di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.1
Verifica della soluzione di un sistema di secondo grado . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.2
Risoluzione di un sistema di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2 Le sezioni coniche: la parabola
2.1
9
Le sezioni coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.1
Il cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.2
Le sezioni coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3
Alcune proprietà fisiche della parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2
Vertice e asse di simmetria di una parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3
La parabola nel piano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4
Significato geometrico dei coefficienti della parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5
Rappresentare sul piano cartesiano una parabola nota la sua equazione . . . . . . . . 16
2.6
Equazione dell’asse di simmetria, coordinate del vertice di una parabola, del suo
fuoco e equazione della sua direttrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7
La parabola per 3 punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8
La parabola passante per un punto e per un vertice assegnati . . . . . . . . . . . . . 21
2.9
2.8.1
Il passaggio di coordinate fra due sistemi di riferimento . . . . . . . . . . . . 21
2.8.2
L’equazione di una parabola noto il suo vertice . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.8.3
L’equazione di una parabola passante per un punto e avente vertice assegnati 22
Intersezione retta parabola
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.10 Esercizi e problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1
Capitolo 1
I sistemi di secondo grado
1.1
I sistemi di secondo grado
Come ben sappiamo, il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gradi delle singole equazioni che
lo compongono. Se noi abbiamo quindi un sistema di due equazioni, per essere di secondo grado
una delle due equazioni è di primo grado e l’altra è di secondo grado.
Esempi
.
È di secondo grado il sistema:
x2 + y 2 + 2y = 5
10x + y = 1
infatti la prima equazione è di secondo grado, la seconda è di primo grado quindi il sistema è di
secondo grado (2 · 1 = 2).
.
È di terzo grado il sistema:
x2 y + y 2 + 2y = 5
10x + y = 1
infatti la prima equazione è di terzo grado, la seconda è di primo grado quindi il sistema è di terzo
grado (3 · 1 = 3).
.
È di sesto grado il sistema:
x2 y + y 2 + 2y = 5
10x + y 2 = 1
infatti la prima equazione è di terzo grado, la seconda è di secondo grado quindi il sistema è di
sesto grado (3 · 2 = 6).
1.1.1
Verifica della soluzione di un sistema di secondo grado
Ricordiamo che risolvere un sistema in 2 incognite significa determinare una coppia (o più coppie)
di valori che sostituita alle incognite rende le equazioni del sistema delle uguaglianze vere.
Verificare una soluzione vuol dire quindi sostituire i rispettivi valori alle incognite e vedere se le
equazioni si trasformano in uguaglianze vere. Chiariamo col seguente:
Alessandro Bocconi
3
Esempio
.
Il sistema
x2 + y 2 + 2x = 7
3x + y = 5
ha come soluzione la coppia (1; 2). Infatti sostituendo alla x il valore 1 e alla y il valore 2 otteniamo
per la prima equazione:
primo termine: 12 + 22 + 2 · 1 = 1 + 4 + 2 = 7
secondo termine: 7
e quindi la prima eguaglianza è verificata.
Sostituendo nella seconda otteniamo:
primo termine: 3 · 1 + 2 = 5
secondo termine: 5
e quindi anche la seconda eguaglianza è verificata e con essa tutto il sistema.
1.1.2
Risoluzione di un sistema di secondo grado
Adesso ci interessa come risolvere un sistema e, come vedremo, il metdo di risoluzione è molto
simile a quello adottato per sistemi di primo grado. Vediamolo con un esempio:
.
Risolvere il seguente sistema:
x2 + y 2 + 2x = 7
3x + y = 5
Si considera l’equazione di primo grado (la seconda) e ci ricaviamo un’incognita in funzione dell’altra. Conviene ricavarci la y perchè ha coefficiente 1:
x2 + y 2 + 2x = 7
y = 5 − 3x
Adesso sostituiamo, nell’altra equazione, alla y l’espressione ricavata al passo precedente:
2
x + (5 − 3x)2 + 2x = 7
y = 5 − 3x
Eleviamo al quadrato:
x2 + 25 + 9x2 − 30x + 2x = 7
y = 5 − 3x
e sommare fra loro i monomi simili portando il termine noto al primo termine:
10x2 − 28x + 25 − 7 = 0
y = 5 − 3x
10x2 − 28x + 18 = 0
y = 5 − 3x
Alessandro Bocconi
4
A questo punto abbiamo un’equazione di secondo grado che chiamiamo equazione risolvente.
Come tutte le equazioni di secondo grado anche l’equazione risolvente può avere 2 soluzioni, una
soluzione (o meglio 2 coincidenti) o zero soluzioni, a seconda che il discriminante (il delta) sia
maggiore di zero, uguale a zero oppure minore di zero.
10x2 − 28x + 18 = 0.
Risolviamo allora l’equazione:
(Si osservi che sarebbe possibile dividere entrambi i termini per 2 semplificando i calcoli.)
Calcolando il delta con a = 10; b = −28 e c = 18 otteniamo:
4 = b2 − 4ac = (−28)2 − 4 · 10 · 18 = 784 − 720 = 64
quindi il discriminante è maggiore di zero e ci aspettiamo due soluzioni che otteniamo usando la
formula risolutiva per le equazioni di secondo grado:
√
√
−b ± 4
28 ± 64
28 ± 8
28 − 8
620 1
28 + 8
636 9
9
x=
=
=
→ x1 =
=
=
1;
x
=
=
=
2
2a
2 · 10
20
20
620 1
20
620 5
5
A questo punto abbiamo trovato 2 valori per la x. Sostituendoli nell’altra equazione determineremo
i relativi valori di y:
x=1
y =5−3·1
x=1
y=2
x = 59
y =5−
x = 59
y =5−3·
27
5
=
25−27
5
9
5
= − 25
quindi il sistema ha due soluzioni, le coppie (1; 2) e ( 95 ; − 25 )
Dall’esempio possiamo ricavare facilmente la seguente:
Proprietà. L’equazione risolvente ed il sistema hanno lo stesso numero di soluzioni, quindi se
l’equazione risolvente ha 2 soluzioni (come nell’esempio) il sistema ha 2 coppie di valori che lo
risolvono, se l’equazione risolvente ha una soluzione il sistema ha una sola coppia che lo risolve,
mentre se l’equazione risolvente non ha soluzioni, nessuna coppia risolve il sistema.
Esempi
.
Risolvi il seguente sistema:
8x + y = 26
x2 + y + 2x = 17
y = 26 − 8x
x2 + y + 2x = 17
Ci ricaviamo y dalla prima equazione:
e lo sostituiamo nella seconda:
y = 26 − 8x
x2 + 26 − 8x + 2x = 17
y = 26 − 8x
x2 − 6x + 9 = 0
Alessandro Bocconi
5
L’equazione risolvente è: x2 − 6x + 9 = 0
Calcolando il delta con a = 1; b = −6 e c = 9 otteniamo:
4 = b2 − 4ac = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0
quindi il discriminante è zero e ci aspettiamo una soluzione dell’equazione risolvente e, di conseguenza, un’unica soluzione del sistema.
√
√
6± 0
6
−b ± 4
=
= → x1 = x2 = 3
x=
2a
2
2
A questo punto abbiamo trovato un valore per la x. Sostituendolo nell’altra equazione determineremo il relativo valore di y:
y = 26 − 8 · 3 = 2
x=3
quindi il sistema ha un’unica soluzione, la coppia (3; 2)
.
Risolvi il seguente sistema:
x − 3y = 1
x2 + 2y 2 + 2x − 8y = 1
Ricaviamoci x dalla prima equazione e sostituiamo l’espressione ottenuta nella seconda:
x = 3y + 1
(3y + 1)2 + 2y 2 + 2(3y + 1) − 8y = 1
x = 3y + 1
9y 2 + 1 + 6y + 2y 2 + 6y + 2 − 8y = 1
x = 3y + 1
11y 2 + 4y + 2 = 0
L’equazione risolvente è: 11y 2 + 4y + 2 = 0
Calcolando il delta con a = 11; b = 4 e c = 2 otteniamo:
4 = b2 − 4ac = (4)2 − 4 · 11 · 2 = 16 − 88 = −72
il discriminante è minore di zero quindi l’equazione risolvente non ha soluzioni e, di conseguenza,
non ha soluzioni nemmeno il sistema.
1.2
Problemi
Anche i sistemi di secondo grado (come quelli di primo, le equazioni e le disequazioni) possono
essere utili a risolvere dei problemi di varia natura. Si veda il seguente:
Esempio
. L’area di un rettangolo è di 15 metri quadrati e il suo perimetro è di 16 metri. Determinare la
misura di entrambi i lati.
Alessandro Bocconi
6
Notiamo che, essendo 2 i lati da determinare, sono 2 anche le incognite. Chiamiamo quindi con x
la misura di un lato e con y la misura dell’altro.
Vincoli di “interezza”: x e y possono essere non interi.
Vincoli di range: x e y non possono essere negativi.
Dal momento che l’area di un rettangolo è data dal prodotto delle misure dei 2 lati differenti
un’equazione è xy = 15. Inoltre il perimetro è la somma delle misure dei 4 lati, 2 dei quali
misurano x e gli altri due misurano y. Quindi: x + x + y + y = 16 cioè 2x + 2y = 16 e quindi
x + y = 8. Riassumendo il sistema è:
xy = 15
x+y =8
che è di secondo grado perché la prima equazione é di secondo grado. Risolviamolo:
2
(8 − y)y = 15
8y − y 2 − 15 = 0
y − 8y + 15 = 0
x=8−y
x=8−y
x=8−y
Risolviamo allora l’equazione:
y 2 − 8y + 15 = 0.
Calcolando il delta con a = 1; b = −8 e c = 15 otteniamo:
4 = b2 − 4ac = (−8)2 − 4 · 1 · 15 = 64 − 60 = 4
quindi il discriminante è maggiore di zero e ci aspettiamo due soluzioni che otteniamo usando la
formula risolutiva per le equazioni di secondo grado:
√
√
−b ± 4
8± 4
8±2
8−2
6
8+2
10
y=
=
=
→ y1 =
= = 3; y2 =
=
=5
2a
2·1
2
2
2
2
2
A questo punto abbiamo trovato 2 valori per la y. Sostituendoli nell’altra equazione determineremo
i relativi valori di x:
y=5
y=3
x=8−5=3
x=8−3=5
e osserviamo che le 2 soluzioni indicano entrambe che un lato misura 3 metri e l’altro 5. Inoltre la
soluzione rispetta i vincoli.
1.3
Esercizi
Verificare se la coppia messa fra parentesi risolve il relativo sistema
1.
x + 5y = 7
x2 − 2y 2 + 3xy + y = 9
(2; 1)
2x − 5y = 3
x2 + 3y 2 + 3x + 2y = 2
(4; 1)
2.
3.
2x − 3y = 7
3x2 − 2y 2 + 3xy + y = 3
(2; −1)
Alessandro Bocconi
7
4.
1 1
( ; )
2 3
2x + 3y = 2
4x2 − 9y 2 + 4x + 3y = 3
5.
2x − 5y = 7
x2 − 2y 2 + 3xy + y = 32
(−4; −3)
Risolvere i seguenti sistemi
6.
x2 − 9x − y 2 = 9y
x − 3 = 7y
(10; 1)
3 3
( ;− )
8 8
7.
4x + 2y = 16
x2 − xy + 4 = 0
(2; 4)
2 20
( ; )
3 3
8.
x+y =6
xy = 0
(0; 6)
(6; 0)
9.
−2x + 2y = 0
xy − 2x − 2y = −4
(2; 2)
10.
x2 − 2y 2 − xy + 5y = x + 2
y−2=x+2
(−1; 3)
(−7; −3)
11.
x2 + y 2 + 4x − 3y + 10 = 0
3x − 3y = 0
impossibile
12.
x+y−3=0
2x2 − 3y 2 − 6x + 9y + xy = 0
(3; 0)
(0; 3)
13.
x=0
x2 + (y − 1)2 = 1
(0; 1)
14.
2x − y = 0
x2 + 2y 2 + 2x + 2y − 3 = 0
(−1; −2)
15.
xy = 8
2x − y = 6
(4; 2)
(−1; −8)
1 2
( ; )
3 3
Alessandro Bocconi
8
16.
x2 + y 2 − 10y = 0
3x − 4y = 5
(3; 1)
17.
x+y =1
x2 + y 2 + x + y + 8 = 0
impossibile
18.
x2 + y 2 = 25
3x + y = 3
1 3
( ; )
2 2
(
13
9
;− )
10 10
19.
xy + 2x = 7
−4x + y = 1
(1; 5)
7
(− ; −6)
4
20.
−3x + y = 0
3x2 + y 2 + 2 = 0
impossibile
21.
1.4
x + 2y − 4 = 0
22 − y 2 + xy = 5
(2; 1)
(−18; 11)
Problemi
Risolvi i seguenti problemi evidenziando i vincoli
1. Un triangolo ha l’ipotenusa di 5 centimetri e il perimetro di 12 centimetri. Determinare la
lunghezza dei cateti.
2. Per piastrellare 2 stanze quadrate ci sono voluti esattamente 52 metri quadri di mattonelle,
e 40 metri (lineari) di battiscopa (il battiscopa sta lungo il perimetro delle stanze). Quanto
misura il lato di una stanza e quanto misura il lato dell’altra stanza.
3. Nel 2010 Mario spende per andare al cinema 126 euro. Dopo 3 volte che ci era andato aveva
già speso 18 euro. Quanto costa il biglietto del cinema? Quante volte è andato nel 2010?
4. Lo spread fra i titolo di stato italiani e quelli tedeschi è di 4 punti percentuali. Se eleviamo al
quadrato i punti percentuali dei titoli di stato italiani e facciamo lo stesso per quelli tedeschi
e sommiamo questi 2 quadrati si ottiene 58. Quanto è il rendimento dei titoli di stato italiani
e quale il rendimento di quelli tedeschi?
5. Sono state emesse azioni della ditta “Prince” per un valore di 130.000 euro. Dieci azioni
costano 650 euro. Quante azioni sono state emesse? Quanto costa ciascuna azione?
Capitolo 2
Le sezioni coniche: la parabola
2.1
Le sezioni coniche
Le sezioni coniche rappresentano certamente un argomento di grande suggestione per le connessioni
che mettono in evidenza fra la matematica e altre discipline (o forse sarebbe meglio dire fra la
matematica e il resto dell’Universo). Già note dall’antichità, le sezioni coniche sono la circonferenza,
l’ellisse, la parabola e l’iperbole e devono il loro nome al fatto che sono ottenute “affettando” un
cono con un piano. Per comprendere bene l’argomento bisogna sapere cosa è un cono (figura
familiare a tutti si pensi ad esempio al cono gelato).
2.1.1
Il cono
Il cono è un solido di rotazione, cio significa che è ottenuto ruotando una figura piana (in questo
caso una specie di triangolo rettangolo). Immaginiamo di avere un compasso con le gambe di
lunghezza infinita e di compiere una rotazione completa attorno a una delle due gambe (vedi figura
2.1) Se la gamba che si muove lasciasse una scia luminosa tale scia formerebbe un cono (o meglio
un semicono come vedremo dopo).
Nella figura 2.1 le gambe del compasso sono rappresentate da semirette. Nella definizione completa
del cono però al posto delle semirette si usano le rette. Quindi un cono si ottiene ruotando attorno
a una retta la retta inclinata che genera il cono (figura 2.2). Ovviamente, essendo le rette di
lunghezza infinita, è di lunghezza infinita anche il cono.
Figura 2.1: La semiretta obliqua (a sinistra) ruotando attorno alla semiretta verticale forma il
semicono a destra
9
Alessandro Bocconi
10
Figura 2.2: La retta obliqua (a sinistra) ruotando attorno alla retta verticale forma il cono a destra
Figura 2.3: Il piano, “affettando” il cono forma le sezioni coniche
2.1.2
Le sezioni coniche
Se tagliamo il cono con un piano perpendicolare all’asse del cono stesso, la sezione che otteniamo
è una circonferenza. Se incliniamo leggermente il piano (meno di quanto è inclinata la retta generatrice) otterremo un ellisse. Se incliniamo il piano rispetto all’asse, esattamente come è inclinata
la retta generatrice, otteniamo una parabola. Se aumentiamo l’inclinazione otteniamo un iperbole
(figura 2.3).
In modo più semplice possiamo ottenere le sezioni coniche con una pila. Sappiamo che la pila
emette un cono di luce: se proiettiamo perpendicolarmente al muro otteniamo un cerchio di luce,
se incliniamo leggermente la pila otteniamo un ellisse, se incliniamo ancora in modo che il cono di
luce abbia la sua generatrice parallela al muro si ottiene una parabola. Se aumentiamo l’inclinazione
si ottiene un iperbole. Si osservi che il concetto è analogo al precedente, soltanto che in precedenza
abbiamo tenuto fermo il cono e aqbbiamo variato l’inclinazione del piano che lo “affetta”, mentre
adesso abbiamo variato l’inclinazione del cono di luce mentre il piano (in questo caso il muro) stava
ovviamente fermo (figura 2.4).
Alessandro Bocconi
11
Figura 2.4: Il cono di luce della torcia, variando di inclinazione, forma le varie coniche sul muro
2.1.3
Alcune proprietà fisiche della parabola
Pur senza poterle dimostrare, è interessante vedere due proprietà fisiche della parabola:
• la traiettoria di un oggetto lanciato (non in verticale) descrive sempre una parabola come
in figura 2.5 (questo risultato è stato dimostrato scientificamente dal fisico pisano Galileo
Galilei).
• qualunque raggio che arriva parallelamente all’asse di simmetria della parabola, colpendo la
parabola stessa, “rimbalza” sempre sullo stesso punto detto fuoco (figura 2.6)
L’ultima delle due proprietà spiega il motivo per cui si usa una antenna a forma di parabola per
guardare la tv satellitare. Precisiamo innanzitutto che non si tratta di una parabola ma di un
paraboloide, cioè di un solido tridimensionale ottenuto ruotando una parabola (che è invece un
oggetto bidimensionale) (figura 2.7). Il paraboloide conserva la stessa proprietà della parabola per
cui i segnali provenienti dal satellite arrivano parallelamente all’asse del paraboloide e vengono
convogliati nello stesso punto (il fuoco del paraboloide) dove è posto un ricettore che fa arrivare un
segnale nitido alla nostra televisione.
Lo scopo di questi esempi è soprattutto far riflettere come un oggetto come la parabola (ma lo
stesso si potrebbe dire per circonferenza, ellisse e iperbole) ottenuta sezionando un cono ricorra in
applicazioni fisiche (e non solo) che nulla hanno a che vedere con la sua costruzione. Lo stupore
deve essere lo stesso che si avrebbe mettendo una serie di lettere a caso una dopo l’altra per poi
scoprire che esiste nel mondo una lingua per cui quella serie di lettere messe a caso rappresenta
una frase di perfetto senso compiuto (o meglio una poesia di rara bellezza).
2.2
Vertice e asse di simmetria di una parabola
Nella figura 2.8 sono evidenziati il vertice e l’asse di simmetria della parabola.
Alessandro Bocconi
12
Figura 2.5: L’acqua della fontana e il pallone da basket descrivono una traiettoria a forma di
parabola
Figura 2.6: I raggi che arrivano parallelamente all’asse “rimbalzano” tutti sul fuoco
2.3
La parabola nel piano cartesiano
Prima di dare la definizione di una parabola ricordiamo cos’è la distanza di un punto P da una
retta r: Se H è il punto di intersezione fra la retta r e la retta passante per P e perpendicolare a
r, la distanza di P da r è la lunghezza del segmento P H (figura 2.9).
Definizione di parabola. La parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto detto fuoco
e da una retta detta direttrice.
Dalla definizione segue che, una volta scelta una retta e un punto è determinata la parabola che ha
quella retta come direttrice e quel punto come fuoco. Il problema è determinarla e noi lo faremo
in un caso particolare.
Si scelga in un piano cartesiano una retta parallela all’asse x avente equazione y = −d (dalla
geometria della retta sappiamo che ogni retta parallela all’asse x ha equazione y = un numero.
Nel nostro caso il numero è −d); e un punto F sull’asse y di coordinate (0; d). Se prendiamo un
qualunque punto P di coordinate generiche (x; y) ci chiediamo dove si deve trovare il punto P , e
Alessandro Bocconi
13
Figura 2.7: Un paraboloide ottenuto ruotando una parabola (a sinistra) e un’antenna parabolica
(a destra)
Figura 2.8: L’asse e il vertice di una parabola
Figura 2.9: La distanza del punto P dalla retta r
quindi come devono essere le sue coordinate, affinché P sia uno dei punti della parabola (figura
2.10).
Innanzitutto scriviamo la formula della distanza fra i due punti P e F :
p
p
P F = (x − 0)2 + (y − d)2 = x2 + (y − d)2
Inoltre la distanza fra P e la retta r è la lunghezza del segmento P H. Ma dato che la distanza fra
la retta scelta e l’asse delle x è uguale a d e la distanza da P dall’asse delle x è uguale a y risulta
che P H = y + d.
Affinché P appartenga alla parabola (ricordiamoci la definizione di parabola data in precedenza),
deve risultare che:
PH = PF
cioè in coordinate cartesiane:
y+d=
p
x2 + (y − d)2
Alessandro Bocconi
14
y
P(x,y)
F(0,d)
O
Direttrice di equazione
y=- d
}
}
y
d
x
H
Figura 2.10: P per appartenere alla parabola deve essere equidistante da F e da H
Per risolvere questa equazione abbiamo bisogno di eliminare la radice quadrata. Per farlo possiamo
elevare alla seconda sia il primo che il secondo termine dell’equazione:
p
(y + d)2 = ( x2 + (y − d)2 )2
Dal momento che la radice quadrata è l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato, nel secondo
termine dell’equazione la radice e l’elevamento a potenza si annullano a vicenda. Si ottiene quindi:
(y + d)2 = x2 + (y − d)2
da cui
y 2 + 2dy + d2 = x2 + y 2 − 2dy + d2
semplificando e portando i monomi che contengono y al primo termine e gli altri al secondo si
ottiene:
1 2
y6 2 +2dy+ d6 2 +2dy = x2 + y6 2 + d6 2 → 4dy = x2 → y =
x
4d
Per semplificare l’equazione sostituiamo a
1
4d
la lettera a e l’equazione diviene
y = ax2
Abbiamo quindi ottenuto l’equazione di una parabola avente asse verticale e vertice nell’origine (si
potrebbe dimostrare, anche se non lo faremo, che l’asse di simmetria e la direttrice sono sempre
perpendicolari fra loro: quindi se la direttrice è orizzontale, l’asse di simmetria è verticale).
Più in generale, se non avessimo preso il fuoco sull’asse y e con distanza dall’origine uguale alla
distanza fra la direttrice e l’origine (vedi secondo esempio di questo paragrafo), avremmo ottenuto
una parabola con un’equazione del tipo:
y = ax2 + bx + c
Questa equazione vale per tutte le parabole con asse di simmetria verticale. Dal
momento che noi tratteremo esclusivamente questo tipo di parabole, la formula precedente rappresenta l’equazione di tutte le parabole di cui ci occuperemo.
1
Osservazione. Non deve stupire la sostituzione che abbiamo effettuato quando, al posto di 4d
;
abbiamo scritto a. Questi “cambiamenti” di lettera sono molto frequenti in matematica e servono
per scrivere le formule in modo più semplice. Osserviamo che tali sostituzioni sono corrette: una
1
volta scelto d diverso da zero infatti, è sempre possibile scegliere a tale che a = 4d
. Ad esempio se
1
1
d = 1 allora a = 4 , se d = 2 allora a = 8 ecc.
Alessandro Bocconi
15
Esempi
.
Determinare la parabola avente fuoco F (0, 2) e direttrice di equazione y = −2
Un punto P (x, y) per appartenere a detta parabola deve verificare che:
PH = PF
dove H è il punto sulla direttrice tale che P H sia perpendicolare alla direttrice stessa.
Passando in coordinate cartesiane:
y+2=
p
x2 + (y − 2)2
eleviamo al quadrato entrambi i termini per eliminare la radice quadrata:
1
(y + 2)2 = x2 + (y − 2)2 →6y 2 + 6 4 +4y = x2 + y6 2 + 6 4 −4y → 8y = x2 → y = x2
8
l’equazione della parabola cercata è quindi:
1
y = x2
8
.
Determinare la parabola avente fuoco F (2, 1) e direttrice di equazione y = −3
Un punto P (x, y) per appartenere a detta parabola deve verificare che:
PH = PF
dove H è il punto sulla direttrice tale che P H sia perpendicolare alla direttrice stessa.
Passando in coordinate cartesiane:
y+3=
p
(x − 2)2 + (y − 1)2
eleviamo al quadrato entrambi i termini per eliminare la radice quadrata:
(y + 3)2 = (x − 2)2 + (y − 1)2 →6y 2 +9 + 6y = x2 + 4 − 4x+ y6 2 +1 − 2y → 8y = x2 − 4x − 4
1
4
4
1
1
1
y = x2 − x − → x2 − x −
8
8
8
8
2
2
l’equazione della parabola cercata è quindi:
1
1
1
y = x2 − x −
8
2
2
2.4
Significato geometrico dei coefficienti della parabola
Il coefficiente a “determina” la concavità della parabola, infatti se:
• a > 0 allora la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto (ha una forma a ∪)
• a < 0 allora la parabola ha la concavità rivolta verso il basso (ha una forma a ∩)
Inoltre a determina anche l’ampiezza della parabola: più a è vicino a zero e più la parabola è larga.
Più a cresce (in valore assoluto e quindi anche con segno negativo) più la parabola si “restringe”
(vedi figura 2.11).
Il coefficiente c trasla in verticale la parabola, in altre parole se aumentiamo ad esempio di 1 il
coefficiente c, tutta la parabola “sale” di 1; se lo diminuiamo di 2 la parabola “scende” di 2.
Il coefficiente b (insieme ad a) determina il posizionamento dell’asse verticale (destra-sinistra) e,
insieme sia ad a che a c, dello spostamento in verticale della parabola.
Alessandro Bocconi
16
120
100
80
y=3x^2
60
40
y=x>^2
20
y=0,1x^2
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-20
-40
y=- x^2
-60
Figura 2.11: quattro parabole con vertice nell’origine: maggiore è il valore di a e più la parabola si
restringe
2.5
Rappresentare sul piano cartesiano una parabola nota la sua
equazione
Per disegnare una parabola conoscendo la sua equazione si compiono i seguenti passi:
1. Si determina se la concavità è rivolta verso il basso o verso l’alto
2. Si determinano le intersezioni con l’asse x (o, in mancanza di queste, con un’altra retta
orizzontale)
3. Si determinano le coordinate del vertice
4. Si determina l’intersezione con l’asse y
5. Si uniscono i punti trovati
Esempi
.
Rappresentare graficamente la parabola di equazione y = x2 − 6x + 5
Concavità: la concavità è rivolta verso l’alto dato che il coefficiente a è 1 e quindi positivo
Intersezioni con l’asse x: per determinare le intersezioni della parabola con l’asse x bisogna
mettere a sistema l’equazione della parabola con l’equazione dell’asse x cioè y = 0
y = x2 − 6x + 5
y=0
da cui sostituendo a y il valore zero nella prima si ottiene l’equazione di secondo grado x2 −6x+5 = 0
le cui 2 soluzioni sono x = 1 e x = 5. Quindi la parabola interseca l’asse delle x nei punti di ascissa
x = 1 e x = 5.
Coordinate del vertice: l’asse di simmetria della parabola divide in due parti uguali la parabola
e quindi deve passare “in mezzo” ai 2 punti di intersezione della parabola con l’asse x. Dal momento
che il vertice sta sull’asse di simmetria per determinare la sua ascissa xv bisogna determinare il
valore medio delle 2 soluzioni trovate al punto precedente. Quindi:
xv =
1+5
=3
2
Per determinare l’ordinata del vertice (yv )è sufficiente sostituire alla x il valore dell’ascissa del
vertice (xv ) nell’equazione y = x2 − 6x + 5 della parabola:
yv = x2v − 6xv + 5 → yv = 32 − 6 · 3 + 5 → yv = −4
Alessandro Bocconi
17
35
30
25
20
15
10
55
0
-4
-2
0
1
2
-5
4
5
6
8
10
V(3; -4)
-10
Figura 2.12:
Quindi le coordinate del vertice sono V (3; −4)
Intersezione con l’asse y: per determinare le intersezioni della parabola con l’asse y bisogna
mettere a sistema l’equazione della parabola con l’equazione dell’asse y cioè x = 0
y = x2 − 6x + 5
x=0
da cui sostituendo a x il valore zero nella prima equazione si ottiene y = 5. Quindi la parabola
interseca l’asse y nel punto di ordinata y = 5
Unendo i punti trovati si ottiene il grafico di figura 2.12.
.
Rappresentare graficamente la parabola di equazione y = 2x2 − 2x + 1
Concavità: la concavità è rivolta verso l’alto dato che il coefficiente a è 2 e quindi positivo
Intersezioni con l’asse x: per determinare le intersezioni della parabola con l’asse x bisogna
mettere a sistema l’equazione della parabola con l’equazione dell’asse x cioè y = 0
y = 2x2 − 2x + 1
y=0
da cui sostituendo a y il valore zero nella prima si ottiene l’equazione di secondo grado 2x2 −2x+1 =
0 che non ha soluzioni in quanto il suo 4 è negativo. Questo significa che la parabola non ha
intersezioni con l’asse x e quindi, visto che ha la concavità rivolta verso l’alto, sta tutta “sopra”
l’asse delle x.
Dobbiamo allora determinare una retta orizzontale “più alta” dell’asse delle x che intersechi la
parabola. La retta orizzontale di equazione y = termine noto della parabola interseca sempre la
parabola (come sarebbe facile dimostrare). Dato che la parabola ha come termine noto 1 ( cioè il
coefficiente c), studiamo le intersezioni della parabola con la retta y = 1.
y = 2x2 − 2x + 1
y=1
da cui sostituendo a y il valore uno nella prima si ottiene l’equazione di secondo grado 2x2 −2x+1 = 1
le cui 2 soluzioni sono x = 0 e x = 1. Quindi la parabola interseca la retta orizzontale y = 1 nei
punti di ascissa x = 0 (quindi sull’asse delle y) e x = 1. Osserviamo quindi che abbiamo già
determinato anche l’intersezione della parabola con l’asse delle y.
Coordinate del vertice: abbiamo già osservato che il vertice sta sull’asse di simmetria quindi
per determinare la sua ascissa xv bisogna determinare il valore medio delle 2 soluzioni trovate al
Alessandro Bocconi
18
(0; 1)
(1; 1)
V(1/2;1/2)
Figura 2.13:
punto precedente. Quindi:
1
0+1
=
2
2
Per determinare l’ordinata del vertice (yv )è sufficiente sostituire alla x il valore dell’ascissa del
vertice (xv ) nell’equazione y = 2x2 − 2x + 1 della parabola:
xv =
yv = 2x2v − 2xv + 1 → yv = 2 ∗
12
1
1
− 2 · + 1 → yv =
2
2
2
Quindi le coordinate del vertice sono V ( 21 ; 12 )
Intersezione con l’asse y: già determinato.
Unendo i punti trovati si ottiene il grafico di figura 2.13.
2.6
Equazione dell’asse di simmetria, coordinate del vertice di una
parabola, del suo fuoco e equazione della sua direttrice
Vogliamo adesso determinare l’equazione dell’asse di simmetria di una parabola. Sappiamo che
tale retta è verticale e quindi la sua equazione è del tipo x = un numero. Per trovare questo
numero ricordiamo che l’asse passa nel punto medio fra i 2 punti intersezione della parabola stessa
con una qualunque retta orizzontale. Consideriamo allora una parabola di generica equazione
y = ax2 + bx + c e determiniamone le intersezioni con la retta orizzontale y = c.
y = ax2 + bx + c
y=c
Sostituendo a y il valore c nella prima equazione si ottiene:
ax2 + bx+ 6 c=6 c→ x(ax + b) = 0
e quindi troviamo x = 0 e ax + b = 0 → ax = −b → x = − ab .
Le due intersezioni hanno ascissa x = 0 e x = − ab , quindi il suo punto medio ha ascissa:
0−
2
b
a
=−
b
2a
e di conseguenza troviamo l’equazione dell’asse di simmetria della parabola che è:
x=−
b
2a
Alessandro Bocconi
19
Per determinare le coordinate del vertice osserviamo che il vertice appartiene all’asse di simmetria
b
, e quindi anche il vertice ha ascissa:
della parabola i cui punti hanno tutti ascissa x = − 2a
xv = −
b
2a
per trovare l’ordinata del vertice sostituiamo, nell’equazione generica della parabola, a x il valore
b
di xv (cioè − 2a
) ottenendo:
yv = ax2v + bxv + c = a(−
b2
b 2
b
b2
b2 − 2b2 + 4ac
b2 − 4ac
) + b · (− ) + c =6 a 6 2 −
+c=
=−
2a
2a
2a
4a
4a
4a
quindi le coordinate del vertice sono:
V (−
b
b2 − 4ac
;−
)
2a
4a
Esempio
. Determinare le coordinate del vertice della parabola di equazione y = x2 − 6x + 5 (si osservi che
è la stessa parabola del primo esempio del paragrafo precedente)
Sappiamo che le coordinate del vertice sono
xv = −
b
;
2a
yv = −
b2 − 4ac
4a
In questo caso abbiamo che a = 1; b = −6; c = 5. Per determinare le coordinate del vertice è
sufficiente sostituire tali valori nelle coordinate generiche:
xv = −
−6
= 3;
2·1
yv = −
(−6)2 − 4 · 1 · 5
36 − 20
=−
= −4
4·1
4
e si osservi che il risultato coincide con quello dell’esempio del paragrafo precedente.
Per completezza diamo le coordinate del fuoco e l’equazione della retta direttrice:
F (−
2.7
1+4
b
;−
)
2a
4a
direttrice: y = −
1+4
4a
La parabola per 3 punti
Per qualunque terna di punti non allineati e tali che abbiano tutti una ascissa diversa, esiste un’unica
parabola con asse verticale passante per detti punti. Il problema di determinare tale parabola note
le coordinate dei tre punti è concettualmente molto facile anche se di non immediata risoluzione.
Spieghiamoci tramite un esempio:
Esempio.
.
Si determini l’equazione della parabola passante per i punti A(1; 2), B(−1; 6) e C(2; 3).
Sappiamo che la parabola ha equazione generica y = ax2 +bx+c, quindi per determinarla dobbiamo
trovare il valore dei coefficienti a, b e c.
Affinché la parabola passi per il punto A, deve essere vera l’uguaglianza che si ottiene sostituendo
a x l’ascissa di A (che è 1) e a y l’ordinata di A (che è 2):
2 = a · 12 + b · 1 + c
Alessandro Bocconi
20
Affinché la parabola passi per il punto B, deve essere vera l’uguaglianza che si ottiene sostituendo
a x l’ascissa di B (che è -1) e a y l’ordinata di B (che è 6):
6 = a · (−1)2 + b · (−1) + c
Affinché la parabola passi per il punto C, deve essere vera l’uguaglianza che si ottiene sostituendo
a x l’ascissa di C (che è 2) e a y l’ordinata di C (che è 3):
3 = a · 22 + b · 2 + c
Mettendo insieme le 3 equazioni si ottiene il sistema:

 2 = a · 12 + b · 1 + c
6 = a · (−1)2 + b · (−1) + c

3 = a · 22 + b · 2 + c
Da cui, scambiando i termini delle 3 equazioni e eseguendo le operazioni si ottiene:

 a+b+c=2
a−b+c=6

4a + 2b + c = 3
Quanto appena scritto è un sistema di 3 equazioni nelle 3 incognite a, b e c. Concettualmente il
metodo di risoluzione è identico rispetto ai sistemi di 2 equazioni, soltanto che il procedimento è
più lungo (soprattutto se si usa il metodo della sostituzione).
Ricaviamo c dalla prima equazione e sostituiamolo nelle altre due:

 c=2−a−b
6 a −b + 2− 6 a −b = 6

4a + 2b + 2 − a − b = 3
nella seconda equazione dopo aver semplificato a ci ricaviamo facilmente b:

 c=2−a−b
−2b = 4

4a + 2b + 2 − a − b = 3

 c=2−a−b
b = −2

4a + 2b + 2 − a − b = 3
sostituiamo a b il valore −2 nella terza equazione:


 c=2−a−b
 c=2−a−b
b = −2
b = −2


4a− 6 4 + 6 2 −a+ 6 2= 3
4a + 2 · (−2) + 2 − a − (−2) = 3

 c=2−a−b
b = −2

a=1
Sostituiamo i valori trovati per a e per b nella prima equazione:


 c = 2 − 1 − (−2)
 c=3
b = −2
b = −2


a=1
a=1
quindi la parabola cercata è y = x2 − 2x + 3.
Il procedimento risulta essere molto più semplice se qualcuno dei punti appartiene all’asse y, come
possiamo osservare nel seguente esempio:
.
Determinare la parabola passante per i punti A(0; −3), B(1; 0) e C(2; 7).
Alessandro Bocconi
21
Affinché la parabola passi per il punto A, deve essere vera l’uguaglianza che si ottiene sostituendo
a x l’ascissa di A (che è 0) e a y l’ordinata di A (che è −3):
−3 = a · 02 + b · 0 + c
Affinché la parabola passi per il punto B, deve essere vera l’uguaglianza che si ottiene sostituendo
a x l’ascissa di B (che è 1) e a y l’ordinata di B (che è 0):
0 = a · 12 + b · 1 + c
Affinché la parabola passi per il punto C, deve essere vera l’uguaglianza che si ottiene sostituendo
a x l’ascissa di C (che è 2) e a y l’ordinata di C (che è 7):
7 = a · 22 + b · 2 + c
Mettendo insieme le 3 equazioni si ottiene il sistema:

 −3 = a · 02 + b · 0 + c
0 = a · 12 + b · 1 + c

7 = a · 22 + b · 2 + c
Da cui, scambiando i termini delle 3 equazioni e eseguendo le operazioni si ottiene:

 c = −3
a+b+c=0

4a + 2b + c = 7

 c = −3
a+b=3

4a + 2b = 10
ricaviamo a dalla seconda equazione e sostituiamo nella terza:


 c = −3
 c = −3
a=3−b
a=3−b


4(3 − b) + 2b = 10
12 − 4b + 2b = 10
da cui

 c = −3
a=3−b

−2b = −2

 c = −3
a=2

b=1
quindi la parabola cercata è y = 2x2 + x − 3.
2.8
2.8.1
La parabola passante per un punto e per un vertice assegnati
Il passaggio di coordinate fra due sistemi di riferimento
In un piano cartesiano oxy (che significa di origine nel punto o e assi x e y), scegliamo 2 punti
qualunque, ad esempio A(4; 4) e B(8; 3). Si consideri adesso un altro sistema di riferimento OXY
(abbiamo scelto le lettere maiuscole per distinguerlo dall’altro) tale che abbia gli assi paralleli al
sistema oxy e origine O di cordinate, rispetto all’altro sistema di riferimento, (3; 2) (vedi figura
2.14).
Ci chiediamo che coordinate hanno, nel sistema di riferimento OXY , i punti A e B. La figura ci
aiuta a capire che, nel nuovo sistema di riferimento, abbiamo che A ha coordinate (1; 2) e B ha
Alessandro Bocconi
22
y
Y
4
2
3
1
A
B
O
o
1
5
4
8
X
x
Figura 2.14:
coordinate (5; 1). È immediato osservare che, per trovare l’ascissa di A e B nel nuovo sistema di
riferimento, è stato sufficiente sottrarre 3 all’ascissa che avevano nel vecchio sistema di riferimento
(ascissa nuova di A = ascissa vecchia di A − 3 e ascissa nuova di B = ascissa vecchia di B − 3)
mentre per trovare l’ordinata di A e B nel nuovo sistema di riferimento, è stato sufficiente sottrarre
2 all’ordinata che avevano nel vecchio sistema di riferimento (ordinata nuova di A = ordinata
vecchia di A − 2 e ordinata nuova di B = ordinata vecchia di B − 2). Questo metodo vale per
qualunque punto: se avessimo un punto C avente nel sistema di riferimento oxy coordinate (17; 10),
nel sistema di riferimento OXY avrebbe coordinate (14; 8) (14 = 17 − 3; 8 = 10 − 2).
Ovviamente per passare da oxy a OXY si sottrae di 3 per le ascisse e di 2 per le ordinate perché
O nel sistema di riferimento oxy ha coordinate (3; 2). Se vogliamo fare un discorso più generale
consideriamo che O, nel sistema di riferimento oxy abbia coordinate (x0 ; y0 ). Allora le equazioni
per passare da un sistema di riferimento all’altro sono:
X = x − x0
Y = y − y0
2.8.2
L’equazione di una parabola noto il suo vertice
Sappiamo che una parabola con il vertice nell’origine ha equazione:
y = ax2
Supponiamo adesso che una parabola abbia il vertice nel punto di coordinate (x0 ; y0 ). Consideriamo
un nuovo sistema di riferimento OXY in cui l’origine abbia coordinate (x0 ; y0 ): in questo sistema
di riferimento il vertice coincide nell’origine e quindi la parabola ha equazione:
Y = aX 2
ma a noi interessa l’equazione della parabola nel sistema di riferimento oxy quindi utilizziamo le
formule per i passaggi di coordinata visti alla fine del precedente paragrafo e sostituiamo a X
l’espressione x − x0 e a Y l’espressione y − y0 ottenendo cosı̀:
y − y0 = a(x − x0 )2
che rappresenta l’equazione di tutte le parabole aventi vertice nel punto di coordinate (x0 ; y0 )
2.8.3
L’equazione di una parabola passante per un punto e avente vertice
assegnati
A questo punto è semplice risolvere il problema della parabola noti il vertice e un suo punto. Lo
affrontiamo con un esempio:
Alessandro Bocconi
23
Esempio
.
Determinare la parabola avente vertice V (3; −2) e passante per il punto P (1; 6)
Usiamo la formula appena trovata e sostituiamo a x0 e y0 le coordinate del vertice. Si ottiene:
y + 2 = a(x − 3)2
a questo punto imponiamo il passaggio della parabola per il punto P sostituendo a x e ad y le
coordinate 1 e 6. Possiamo cosı̀ ricavarci a:
64
68 2
6 + 2 = a(1 − 3)2 → 8 = 4a → a = 1 → a = 2
64
64
Adesso, nell’equazione y + 2 = a(x − 3)2 , sostituiamo ad a il valore appena trovato ed eleviamo al
quadrato:
y + 2 = 2(x − 3)2 → y + 2 = 2(x2 − 6x + 9) → y + 2 = 2x2 − 12x + 18 → y = 2x2 − 12x + 16
che rappresenta l’equazione cercata.
2.9
Intersezione retta parabola
Ormai sappiamo che in geometria analitica le intersezioni si trovano risolvendo dei sistemi. Per
determinare le intersezioni fra una retta e una parabola bisogna mettere a sistema l’equazione della
retta (di primo grado) e l’equazione della parabola (di secondo grado). Otteniamo cosı̀ dei sistemi
di secondo grado come quelli studiati nel capitolo precedente.
Possono accadere 3 casi:
• Se il sistema non ha soluzioni da un punto di vista geometrico significa che non esistono punti
di intersezione fra la retta e la parabola: in questo caso si dice che la retta è esterna alla
parabola.
• Se il sistema ha un’unica soluzione significa che esiste un solo punto di intersezione fra la
retta e la parabola: in questo caso si dice che la retta è tangente alla parabola.
• Se il sistema ha due soluzioni significa che esistono due punti di intersezione fra la retta e la
parabola: in questo caso si dice che la retta è secante alla parabola.
Esempi
. Determinare le intersezioni fra la parabola di equazione y = x2 − x + 2 e la retta di equazione
2x − y = 0.
Dobbiamo risolvere il sistema:
2x − y = 0
y = x2 − x + 2
conviene ricavarsi y dalla prima e sostituirlo nella seconda:
y = 2x
y = 2x
2x = x2 − x + 2
x2 − 3x + 2 = 0
Determiniamo allora le soluzioni dell’equazione x2 − 3x + 2 = 0:
4 = b2 − 4ac = 9 − 8 = 1
Alessandro Bocconi
24
il discriminante è positivo quindi il sistema ha 2 soluzioni che significa che la retta e la parabbola
hanno 2 punti di intersezione.
√
−b ± 4
3±1
x=
=
x = 1; x = 2
a
2
Abbiamo trovato le ascisse dei due punti di intersezione. Per trovare le ordinate:
x=1
x=2
y = 2x
y = 2x
da cui
x=1
y=2
x=2
y=4
quindi i 2 punti di intersezione hanno coordinate (1; 2) e (2; 4)
. Determinare le intersezioni fra la parabola di equazione y = x2 − x + 5 e la retta di equazione
y = 2x − 1.
Dobbiamo risolvere il sistema:
y = 2x − 1
y = x2 − x + 5
conviene ricavarsi y dalla prima e sostituirlo nella seconda:
y = 2x − 1
y = 2x − 1
x2 − 3x + 6 = 0
2x − 1 = x2 − x + 5
Determiniamo allora le soluzioni dell’equazione x2 − 3x + 6 = 0:
4 = b2 − 4ac = 9 − 24 = −15
il discriminante è negativo quindi il sistema non ha soluzioni. Ciò significa che la retta e la parabbola
non hanno punti di intersezione e quindi la retta è esterna alla parabola.
2.10
Esercizi e problemi
Paragrafo 2.3
1. Si determini la parabola avente direttrice y = −1 e fuoco nel punto F (0; 1)
2. Si determini la parabola avente direttrice y = 2 e fuoco nel punto F (0; −2)
3. Si determini la parabola avente direttrice y = −2 e fuoco nel punto F (1; 1)
4. Si determini la parabola avente direttrice y = 0 e fuoco nel punto F (2; 3)
5. Si determini la parabola avente direttrice y = −3 e fuoco nel punto F (−2; 3)
6. Si determini la parabola avente direttrice y = 2 e fuoco nel punto F (0; 0)
7. Si determini la parabola avente direttrice y = −1 e fuoco nel punto F (22; −3)
Paragrafo 2.5
Rappresentare graficamente le parabole aventi equazione:
Alessandro Bocconi
25
8. y = x2 − 2x − 3
9. y = 2x2 − 2x + 5
10. y = −x2 − 2x − 1
11. y = 3x2 + 2x − 1
12. y = −2x2 + 3x + 2
13. y = 12 x2 − 3x + 4
14. y = 10x2 + 3x + 1
15. y = x2 − 2x
16. y = 4x2
17. y = −2x2 + 18
18. y = x2 − 2x − 4
19. y = − 13 x2 − x
20. y = x2 − 5x + 6
21. y = −x2 + 2x + 15
22. y = 2x2 − 21 x
23. y = x2 + 10x + 9
Paragrafo 2.6
Determinare l’equazione dell’asse, le coordinate del vertice, le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice delle seguenti parabole:
24. y = x2 − 2x − 3
25. y = 2x2 − 2x + 5
26. y = −x2 − 2x − 1
27. y = 3x2 + 2x − 1
28. y = −2x2 + 3x + 2
29. y = 12 x2 − 3x + 4
30. y = 10x2 + 3x + 1
31. y = x2 − 2x
32. y = 4x2
33. y = −2x2 + 18
Paragrafo 2.7
Determinare l’equazione della parabola passante per i punti:
34. A(0; 5), B(1; 5), C(−1; 9)
[y = 2x2 − 2x + 5]
35. A(1; −6), B(2; −14), C(0; −4)
36. A(−3; −3), B(1; 5), C(0; 0)
[y = −3x2 + x − 4]
[y = x2 + 4x]
Alessandro Bocconi
26
[y = 3x2 − 5]
37. A(2; 7), B(−1; −2), C(−2; 7)
[y = 2x2 + x − 1]
38. A(0; −1), B(1; 2), C(−2; 5)
39. A(2; 0), B(3; 0), C(1; 2)
[y = x2 − 5x + 6]
40. A(1; −2), B(0; 1), C(3; −32)
[y = −4x2 + x + 1]
41. A(1; −12), B(−1; −12), C(0; −10)
[y = −2x2 − 10]
Paragrafo 2.8
Determinare l’equazione della parabola avente vertice nel punto V e passante per il punto A
di coordinate:
42. V (0; 1) e A(2; 0)
43. V (−1; −1) e A(1; 3)
44. V (1; −18) e A(4; 0)
45. V (3; 4) e A(2; 3)
46. V ( 23 ; − 14 ) e A(3; 2)
47. V (−1; −8) e A(2; 10)
48. V (6; −16) e A(2; 0)
49. V (0; −9) e A(1; −8)
50. V (−1; 12) e A(−2; 9)
Paragrafo 2.9
Determinare le eventuali intersezioni fra le rette e le parabole di equazione
51. x + y = 2 e y = x2 + 2x − 2
52. 4x − y − 1 = 0 e y = 3x2 − 2x − 1
53. x + y = 0 e y = −x2 + 2x
54. −2x + y = −2 e y = 4x2 + 7x − 1
55. 2x + y = 3 e y = x2 − 5
56. y = 7 − 3x e y = 3x2 + 2x − 1
57. 5x + y + 5 = 0 e y = −5x2 + 2x + 1
58. 2x + 3y = 3 e y = −2x2 + 2x + 1
59. x + 2y = −1 e y = 6x2 − 5x − 2