DIVISIONE DELLE AREE
Vedremo i seguenti casi:
1) Divisione di superfici triangolari con dividenti uscenti da un vertice
2) Divisione di superfici triangolari con dividenti uscenti da un punto
noto su un lato
3) Divisione di superfici triangolari con dividenti parallele o
perpendicolari ad un lato.
4) Divisione di superfici triangolari con dividenti che formano un
angolo noto con un lato
5) Il problema del trapezio
[3a]
[2]
[1]
[3b]
[4]
[5]
DIVISIONE DELLE AREE
1. Divisione di superfici triangolari con dividenti uscenti da un vertice
Dati: AB, AC, a, S1, S2, S3
Inc.: AM, CN
Il testo deve specificare come sono posizionate le
aree; per esempio in questo caso l’area S1 deve
contenere il vertice A.
Si parte con la formula dell’area S1 e con la formula
inversa si ricava il lato AM. Analogamente per il
punto N considerando l’area S1+S2
S1 
AB  AM  sena
2  S1
 AM 
2
AB  sena
AB  AN  sena
2  ( S1  S 2 )
( S1  S 2 ) 
 AN 
2
AB  sena
S1
a
S2
S3
CN  AC  AN
DIVISIONE DELLE AREE
2. Divisione di superfici triangolari con dividenti uscenti da un punto
Il testo deve specificare come sono posizionate le
noto su un lato
Dati: AB, AC, a, AM , S1, S2
Inc.: CN
S2
a
S1

S2
a
S1
aree; per esempio in questo caso l’area S1 deve
contenere il vertice A.
Per prima cosa bisogna capire se il punto N cade sul
lato AC o BC. Si traccia un confine provvisorio MC e si
calcola l’area AMC chiamata anche area di paragone
AC  AM  sena
2
Si confronta questa area con l’area S1 e si
possono verificare due casi:
- S1 < SAMC  il punto N cade su AC
AM  AN  sena
2  S1
S1 
 AN 
2
AM  sena
S AMC 
- S1 > SAMC  il punto N cade su BC
S2 
BM  BN  sen
2  S2
 BN 
2
BM  sen
DIVISIONE DELLE AREE
3) DIVISIONE DI UN TRIANGOLO CON DIVIDENTI // O  AD UN LATO
Se la dividente è parallela ad un lato si applica una proprietà dei
triangoli simili: le aree sono proporzionali al quadrato dei lati
Svolgimento
Dopo aver trovato AC, BC si scrive la
proporzione:
CM 2
S1
S1


CM

CA

CA2 STOT
STOT
CN 2
S1
S1


CN

CB

CB 2 STOT
STOT
Se invece la dividente deve risultare perpendicolare ad un lato si
traccia il confine provvisorio CH e si calcola SACH
Si possono verificare due casi:
S1<SACH
S1>SACH
Se S1<SACH il punto M si trova sul
lato AC e si trova applicando la
proporzione tra i triangoli simili
ACH e AMN:
Dati:
3 elementi del triangolo,
S1, S2
Inc.:
MN che risulti ad  AB
AM 2
S1
S1


AM

AC

AC 2 S ACH
S ACH
E allo stesso modo trovo AN
Se S1>SACH il punto M si trova sul
lato BC e si trova applicando la
proporzione tra i triangoli simili
BCH e BMN:
Dati:
3 elementi del triangolo,
S1, S2
Inc.:
MN che risulti ad  AB
BM 2
S2
S2

 BM  BC 
2
BC
S BCH
S BCH
E allo stesso modo trovo BN
4) DIVISIONE DI UN TRIANGOLO CON DIVIDENTI CHE FORMANO UN
ANGOLO NOTO CON UN LATO
Del triangolo incognito CMN conosco
Dati:
3 elementi del triangolo,
,S1, S2
Inc.:
MN che risulti // ad 
l’area e 3 angoli, quindi si può
applicare la formula inversa dell’area
con 3 angoli e 1 lato:
  200c    
CM 2  sen  sen
S1 

2  sen
2  S1  sen
CM 
sen  sen
Ovviamente bisogna fare attenzione se M cade su
AC o BC (anche qui si può tracciare un confine
provvisorio che esce da A e fare il confronto con S1)
Formula dell’area di un triangolo con 1 lato e 3 angoli
Si parte dalla formula:
AB  AC  sena
S
2
Con il teorema dei seni si ricava il lato AC:
AB
AC
AB  sen

 AC 
sen sen
sen
Si sostituisce AC nella formula
dell’area e si ottiene la formula
cercata:
AB  AC  sena AB  AB  sen  sena AB 2  sena  sen
S


2
2  sen
2  sen
Provate a scriverla con il lato AC e poi con BC
DIVISIONE DELLE AREE
5) IL PROBLEMA DEL TRAPEZIO
Si incontra questo problema quando la dividente deve risultare
parallela ad un lato del poligono e staccare una assegnare area.
Dati: AB, a, , S1
Inc.: AM, BN
M
N
S1
a
A

B
Mettendo a sistema le due equazioni
5) IL PROBLEMA DEL TRAPEZIO
2  S1

AB

MN


h

 AB  MN  h  h  h  ( 1  1 )

tga tg
tga tg
Moltiplicando membro a membro
AB  MN
2  S1
S1 
 h  AB  MN 
2
h
tga 
h
h
 AH 
AH
tga
tg 
h
h
 BK 
BK
tg
AB  MN  AH  BK 
( AB  MN )  ( AB  MN ) 
h
h

tga tg
AB 2  MN 2  2  S1  (
1
1

)
tga tg
MN  AB 2  2  S1  (
h
N
M
h
S1
a
A
H
K

B
1
1

)
tga tg
[1]
2  S1
[2]
AB  MN
h
h
 AM 
AM
sena
h
h
sen 
 BN 
BN
sen
sena 
h
2  S1
1
1
h(

)
h
tga tg
[3]
[4]