LABORATORIO 4
1. LA RISONANZA MAGNETICA
Una coppia supplementare di bobine applica un c.m.
trasversale alla frequenza costante di qualche
centinaio di KHz al vapore di Rb.
Quando il c.m. longitudinale spazzato raggiunge il
valore per il quale lo splitting Zeeman coincide in
frequenza con il valore della frequenza applicata,
vengono indotte transizioni che ripopolano i livelli
Zeeman depopolati dal pompaggio ottico.
Di conseguenza si avranno dei picchi di aumento di
fluorescenza.
Questa è una Risonanza Elettronica di Spin (ESR)
rivelata con metodi ottici, con un enorme guadagno in
sensibilità (almeno 106 volte) rispetto ai metodi a
radiofrequenza.
Per il 85Rb lo splitting
Zeeman vale 480 kHz/Gauss
1.1 L’ESPERIMENTO
1.2. CONDIZIONI PER LA RISONANZA MAGNETICA
Il valore della frequenza di risonanza, detta Frequenza di Larmor, è
legato al valore del campo magnetico statico B dalla seguente
relazione:
f = DE/h = gF mB B/h (condizione di Larmor)
dove:
gF è il fattore di Landé, che dipende dal particolare livello iperfine
coinvolto, ed è dell’ordine dell’unità;
mB è il magnetone di Bohr, μB =9,27×10-21 erg·Gauss-1
Tipicamente si lavora con una radiofrequenza (R.F.) f nell’ambito delle
centinaia di KHz, a cui sono associati fotoni con energia E  3·10-8 eV.
Per il 85Rb si trova che f = 480 HKz/Gauss. Questo suggerisce la
possibilità di determinare con grandissima precisione valori dei
campi magnetici per mezzo della misura di una frequenza. Come è noto
la frequenza è fra le grandezze fisiche una di quelle determinabili con
la migliore precisione.
In questi esperimenti vengono rivelate con grande precisione
differenze di energia di 10-9 eV
Il fattore gF di Landé non coincide con il fattore g
dell’elettrone, ma dipende dal particolare livello iperfine
coinvolto nel modo che segue:
gF = gJ [F(F+1) + J(J+1) – I(I+1)]/[2F(F+1)],
in cui:
gJ = 1 + [J(J+1) + S(S+1) – L(L+1)]/[2J(J+1)]
Il fattore gF di Landé è dato da:
µ = gF µB(J/ħ)
dove µ è il momento magnetico totale derivante sia dal
momento angolare che dallo spin e quindi dal momento
angolare totale J = L+S.
Una tabella molto completa di tutte le costanti fisiche
fondamentali si trova nel seguente sito:
http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Category?
view=html&All+values.x=80&All+values.y=11
 Picco di depompaggio
Picchi di rison. Magn.
85Rb
87Rb
 Sweep c.m.
VISUALIZZAZIONE IN CAMPO DISOMOGENEO: FILM
Il campo magnetico viene variato
1.3. SENSIBILITÀ DELLA RISONANZA MAGNETICA
RIVELATA OTTICAMENTE
Nel vapore di Rb a pressione molto bassa, 10-5 mbar, vi è
un numero molto piccolo di atomi che partecipano al
processo, e l’energia totale scambiata è così piccola che
non ne e’ possibile una rivelazione diretta. Questa
tecnica, sviluppata da Kastler, richiede che per ogni
processo di emissione indotta la popolazione di equilibrio
fra il pompaggio ottico e i processi di rilassamento cambi
di 1 atomo. Questo provoca l’assorbimento di un nuovo
fotone di energia DEott1,5 eV. Poiché tale assorbimento
viene osservato direttamente, si ha una amplificazione di
1,5 eV/(3·10-8 eV) = 5·10-7 (rapporto fra l’energia dei
fotoni ottici e quella dei fotoni a R.F.).
Questa è una Risonanza Elettronica di Spin (ESR)
rivelata con metodi ottici, con un enorme guadagno
in sensibilità rispetto ai metodi a radiofrequenza.
Una applicazione della risonanza magnetica rivelata
otticamente è quella della misura precisa di piccoli
campi magnetici. Infatti il metodo converte un
campo magnetico in una frequenza, che fra le
grandezze fisiche è quella determinabile con la
più alta precisione.
1.4. INTERPRETAZIONE
Le oscillazioni di Rabi
L’animazione che segue mostra il comportamento degli
spin degli elettroni (segmento nero) in condizione
di risonanza magnetica.
Il campo magnetico statico è verticale. Il campo magnetico
a radiofrequenza è trasversale, in direzione Ox. L’ago
magnetico rosso e verde ruota sul piano orizzontale
alla frequenza del campo a R.F, cioè alla frequenza di
Larmor. La sua rotazione è provocata dalla componente
della R.F. nella direzione Ox.
Se non vi fosse il campo trasversale a R.F. lo spin sarebbe
allineato con il campo statico e sarebbe verticale. Il campo
a R.F. provoca la precessione dello spin attorno alla
verticale nel modo rappresentato da questa animazione.
Animazione: le oscillazioni di Rabi
o
y
x
Il segmento verticale variabile rosso è la proiezione
nella direzione verticale del vettore rotante che
rappresenta lo spin. Questa proiezione ha un andamento
sinusoidale.
La sua frequenza si chiama “Frequenza di Rabi”, e
l’oscillazione di questo segmento è l’oscillazione
di Rabi. Le oscillazioni di Rabi degli spin degli atomi
avvengono ad una frequenza di gran lunga inferiore
a quella della loro precessione.
Notare che la frequenza di Rabi è la frequenza di
oscillazione del vettore di spin nella direzione
del campo statico perpendicolare alla direzione del
campo a R.F.
1.5. POSSIBILI INDAGINI
1. Osservare i segnali di risonanza magnetica
e cercare di ottimizzare la loro ampiezza e
la loro larghezza
2. Verificare la corrispondenza fra il campo
magnetico statico calcolato sulla base delle
caratteristiche delle bobine di Helmotz
e i dati dalle frequenze di risonanza.
3. Valutare l’abbondanza relativa degli isotopi
85Rb e 87Rb dall’altezza dei picchi di risonanza.
4. Cosa succede quando si aumenta la potenza della
R.F.? Verificare se si tratta di transizioni a più
fotoni.
5. Determinare il valore del fattore gF di Landé per
il 87Rb.
6. Determinare il momento angolare totale J
dell’elettrone nell’atomo di 85Rb.
APPENDICE
Il calcolo esatto dello splitting Zeeman
Le costanti fisiche che intervengono:
gs = 2,003 (Fattore g di Landé)
gi = 0,805٠10-3 (fattore giromagnetico nucleare)
μb = 0,92732٠10-20 g cm2/gauss s2 (Magnetone di Bohr)
h = 6,62525٠10-27 g cm2/s (Costante di Plank)
I = 5/2 (spin nucleare del 85Rb)
I = 3/2 (spin nucleare del 87Rb)
Il fattore g di Landé è associato allo spin dell’elettrone:
μs = - gs (S/ħ), essendo μs il momento magnetico associato
allo spin. Analogamente per il fattore gi associato allo spin
del nucleo.
Dalle formule di Breit-Rabi (v.) si trova che lo splitting in
energia fra i livelli Zeeman di un atomo con spin nucleare I
posto in un campo magnetico esterno H è dato da:
ΔEz = (gi + gs) μb H/(2I + 1)
Questo splitting è risonante con fotoni di frequenza data da:
f = (gi + gs) μb H/(2I + 1) h
Sostituendo i valori si trova che per il 85Rb in un campo magnetico di 1 Gauss la frequenza per la risonanza magnetica
è data da:
f = (2,003 + 0,805 10-3) 0,92732٠10-20/6٠6,62525٠10-27 =
= 467,3 KHz/Gauss
Come esercizio: calcolare la frequenza di risonanza magnetica
per il 87Rb.
FINE