LEZIONE staticastatica-1
CORPO RIGIDO
MOMENTO DI UNA FORZA
EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO
CENTRO DI MASSA
BARICENTRO
GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI: RICHIAMI
DUE SONO LE TIPOLOGIE DI GRANDEZZE ESISTENTI IN FISICA
GRANDEZZE
SCALARI
GRANDEZZE
VETTORIALI
GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI: RICHIAMI
GRANDEZZE SCALARI
RISULTANO COMPLETAMENTE DESCRITTE DA UN NUMERO, CHE
NE RAPPRESENTA IL VALORE
ESEMPIO:
TEMPERATURA, TEMPO
GRANDEZZE VETTORIALI
PER DEFINIRLE OCCORRE DEFINIRE MODULO,
DIREZIONE, VERSO E PUNTO DI APPLICAZIONE
ESEMPIO:
VELOCITA’, FORZA
I VETTORI : RICHIAMI
VETTORI UGUALI
VETTORI OPPOSTI
OPERAZIONI CON I
VETTORI
SI DICONO UGUALI DUE VETTORI CHE HANNO
LO STESSO MODULO, LA STESSA DIREZIONE
E LO STESSO VERSO
SI DICONO OPPOSTI DUE VETTORI CHE
HANNO LO STESSO MODULO, LA STESSA
DIREZIONE MA VERSO OPPOSTO
SOMMA, DIFFERENZA, PRODOTTO DI UN
VETTORE PER UNO SCALARE, PRODOTTO TRA
VETTORI
I VETTORI: COMPONENTI E MODULO
NEL PIANO BIDIMENSIONALE, UN VETTORE E’ UNIVOCAMENTE
DESCRITTO DALLE SUE DUE COMPONENTI:
COMPONENTI:
MODULO:
OPERAZIONI CON I VETTORI
SOMMA TRA DUE VETTORI:
METODO GRAFICO:
DIAGONALE DEL
PARALLELOGRAMMA
COSTRUITO SUI VETTORI DI
PARTENZA
METODO DELLE COMPONENTI:
OPERAZIONI CON I VETTORI
DIFFERENZA TRA DUE VETTORI:
METODO GRAFICO:
ALTRA DIAGONALE DEL
PARALLELOGRAMMA COSTRUITO
SUI VETTORI DI PARTENZA
METODO DELLE COMPONENTI:
OPERAZIONI CON I VETTORI
PRODOTTO TRA UN VETTORE E UNO SCALARE:
PRODOTTO SCALARE
PRODOTTO TRA DUE VETTORI
PRODOTTO VETTORIALE
OPERAZIONI CON I VETTORI
PRODOTTO TRA UN VETTORE E UNO SCALARE:
IL PRODOTTO TRA UN VETTORE v E UNO SCALARE a (cioè un
numero a) E’ ANCORA UN VETTORE, AVENTE COME MODULO IL
PRODOTTO TRA IL MODULO DI v ED IL NUMERO a , E AVENTE
LO STESSO VERSO E LA STESSA DIREZIONE DEL VETTORE v.
OPERAZIONI CON I VETTORI
PRODOTTO SCALARE TRA DUE VETTORI:
IL PRODOTTO SCALARE TRA DUE VETTORI DA’ COME RISULTATO UNO
SCALARE (cioè un numero) IL CUI MODULO E’ DATO DA UNA DELLE
SEGUENTI FORMULE:
USANDO I MODULI:
OPPURE, USANDO LE COMPONENTI:
OPERAZIONI CON I VETTORI
PRODOTTO VETTORIALE TRA DUE VETTORI
IL PRODOTTO VETTORIALE TRA DUE VETTORI DA’
COME RISULTATO UN VETTORE
CHE HA PER MODULO
DIREZIONE: ORTOGONALE AL PIANO FORMATO DAI DUE VETTORI
VERSO: DI AVANZAMENTO DI UNA VITE, SOVRAPPONENDO v1 A v2
(POLLICE DELLA MANO DESTRA
CORPO RIGIDO
UN CORPO RIGIDO E’ UN OGGETTO O MEGLIO UN
SISTEMA DI PUNTI MATERIALI IN CUI LE
DISTANZE RELATIVE NON CAMBIANO
UN CORPO RIGIDO CONSERVA DUNQUE LA SUA
FORMA E NON SUBISCE ALCUNA DEFORMAZIONE
ANCHE SE SOTTOPOSTO A SOLLECITAZIONE
ESTREMAMENTE ELEVATE
UN CORPO RIGIDO DIVENTA QUINDI LA DEFINIZIONE DI UN
OGGETTO REALE ESTESO: I CORPI SOLIDI POSSONO ESSERE IN
PRIMA APPROSSIMAZIONE CONSIDERATI COME CORPI RIGIDI
CORPO RIGIDO
IL CORPO RIGIDO E’ UN’ASTRAZIONE
IN NATURA NON CI SARANNO MAI CORPI
PERFETTAMENTE RIGIDI
CI SARANNO CORPI IL CUI
COMPORTAMENTO, IN PARTICOLARI
CONDIZIONI, PUO’ ESSERE DESCRITTO
COME QUELLO DI UN CORPO RIGIDO
CORPO RIGIDO
UN CORPO RIGIDO NON PUO’ AVERE MOTI
CARATTERIZZATI DA UNA VARIAZIONE
DELLE DIMENSIONI DEL CORPO STESSO
IN UN CORPO RIGIDO, LE FORZE INTERNE,
CIOE’ LE FORZE DI COESIONE CHE
MANTENGONO INVARIATE LE DISTANZE
TRA I PUNTI, HANNO LE SEGUENTI
CARATTERISTICHE
CORPO RIGIDO
LE FORZE INTERNE……..
NON hanno risultante
NON fanno momento
NON fanno lavoro
R
(I )
=0
M(I ) = 0
W
HANNO UN RUOLO SOLO LE FORZE ESTERNE !!!!!!
(I )
=0
MOMENTO DI UNA FORZA
SI DICE MOMENTO DELLA FORZA F (DI
PUNTO DI APPLICAZIONE A), RISPETTO AL
POLO O, IL SEGUENTE VETTORE
→
→
→
→
→
M = OA ∧ F = r ∧ F
IL MOMENTO DELLA FORZA
F RISPETTO AL POLO O, E’
DUNQUE UN VETTORE DI
modulo F r sen φ = F b
→ →
direzione r, F
verso avanzamento vite che
→
→
ruota sovrapponendo r su F
MOMENTO DI UNA FORZA
→
→
→
→
→
M = OA ∧ F = r ∧ F
dimensioni [M] = [forza][L]
• unità di misura: S.I. newton xm (Nm)
MOTI DI UN CORPO RIGIDO
I MOTI DI UN CORPO RIGIDO POSSONO ESSERE DI TIPO:
TRASLATORIO
TUTTI I PUNTI DEL CORPO RIGIDO SUBISCONO LO STESSO
SPOSTAMENTO NELLO STESSO INTERVALLO DI TEMPO
MOTI DI UN CORPO RIGIDO
ROTATORIO
TUTTI I PUNTI SI MUOVONO SU TRAIETTORIE CIRCOLARI
ATTORNO ALL’ASSE DI ROTAZIONE
TUTTI I PUNTI SUBISCONO LO STESSO SPOSTAMENTO
ANGOLARE NELLO STESSO INTERVALLO DI TEMPO
MOTI DI UN CORPO RIGIDO
ROTOTRASLATOTORIO
CIOE’ UN MOTO DATO DALLA COMPOSIZIONE DI UN MOTO
TRASLATORIO E DI UN MOTO ROTATORIO
EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO
EQUILIBRIO TRASLAZIONALE
CONDIZIONE PER L’ EQUILIBRIO TRASLAZIONALE: LA
RISULTANTE DELLE FORZE ESTERNE AGENTI SUL CORPO DEVE
ESSERE NULLA
→
→
→
F1 + F2 + F3 + ... =
→
∑iF ≡ R= 0
i
→
EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO
CONSIDERIAMO PERO’ ORA UN CORPO IN ROTAZIONE
LA CONDIZIONE PER L’EQUILIBRIO TRASLAZIONALE E’
ORA INSUFFICIENTE PERCHE’ DOBBIAMO CONSIDERARE
ANCHE IL MOTO DI ROTAZIONE
→
F
→
–F
corpo in rotazione
→
→
F1 + F2 = 0
→
→
F + ( –F ) = 0
CONDIZIONE
INSUFFICIENTE !!!!!!
EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO
EQUILIBRIO ROTAZIONALE
CONDIZIONE PER L’ EQUILIBRIO ROTAZIONALE: LA
RISULTANTE DEI MOMENTI DELLE FORZE ESTERNE AGENTI
SUL CORPO DEVE ESSERE NULLA
→
→
→
→
∑iM ≡ M = 0
M1 + M2 + M3 + ... =
→
i
T
EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO
EQUILIBRIO ROTAZIONALE
→
→
r1
O
→
r2
M1
A
→
F1
y
x
F2
B
z
→
esempio
equilibrio rotazionale :
→
→
→
M2
M1 = – M2
EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO
CONDIZIONI DI EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO
→
→
∑ i Fi ≡ R = 0
→
→
∑i M
≡ M =0
i
CONDIZIONI DI
EQUILIBRIO
T
CONDIZIONE PER L’ EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO E’ CHE
SIANO NULLE SIA LA RISULTANTE DELLE FORZE ESTERNE
CHE LA RISULTANTE DEI MOMENTI DELLE FORZE ESTERNE
CENTRO DI MASSA
IL CENTRO DI MASSA DI UN SISTEMA DISCRETO DI N PUNTI MATERIALI
E’ IL PUNTO GEOMETRICO LE CUI COORDINATE, IN UN DATO SISTEMA DI
RIFERIMENTO, SONO DATE DA:
=
=
DOVE M=m1+m2+………+mN E’ LA MASSA TOTALE DEL
SISTEMA E LE QUANTITA’ ri SONO I RAGGI VETTORI
DEI PUNTI MATERIALI RISPETTO AL SISTEMA DI
RIFERIMENTO USATO
Centro di massa
di un sistema di
quattro sfere di
massa diversa
BARICENTRO
IL BARICENTRO DI UN CORPO E’ QUEL PUNTO DOVE
SI DEVE PENSARE APPLICATA LA FORZA PESO
PER CORPI NON MOLTO ESTESI, BARICENTRO E
CENTRO DI MASSA COINCIDONO
SUL BARICENTRO: DUE ESEMPI…..
ESEMPIO
QUALI FORZE Fd ED Fs IL SUOLO ESERCITA SUI
PIEDI DESTRO E SINISTRO DI UN UOMO CHE PESA
800 N E CHE STA IN POSIZIONE ERETTA? IL SUO
BARICENTRO GIACE SULLA VERTICALE PASSANTE
PER IL PUNTO MEDIO TRA I DUE PIEDI, DISTANTI
30 cm L’UNO DALL’ALTRO.
SUL BARICENTRO: DUE ESEMPI…..
Consideriamo le forze in gioco
Fg: applicata in G
Fg: forza peso
Fp
Fd: forza che il suolo
Fd: applicata in O’’
esercita sul piede destro
Fs: forza che il suolo
esercita sul piede sinistro
O’’
G’
Fd
O
Fs
30 cm
Fs: applicata in O
SUL BARICENTRO: DUE ESEMPI…..
Condizioni di equilibrio
→
∑i Fi ≡ →R = 0
∑i →Mi ≡ →M = 0
Eq.Traslazionale
Fp
T
Eq.Rotazionale
O’’
G’
Fd
O
Fs
30 cm
SUL BARICENTRO: DUE ESEMPI…..
La prima condizione ci dice che
Fg + Fd + Fs = 0
Fp
Poiché le forze sono parallele, la
relazione precedente è equivalente alla
seguente relazione tra i loro moduli:
Fd + Fs = 800 N
O’’
G’
Fd
O
Fs
30 cm
SUL BARICENTRO: DUE ESEMPI…..
Per trovare la intensità di ciascuna
delle due forze, utilizziamo la
condizione sui momenti
Fp
Mg + Md + Ms = 0
I momenti, devono essere calcolati
rispetto ad un polo.
O’’
Scegliamo come polo il punto O
G’
Fd
O
Fs
30 cm
MOMENTO DI UNA FORZA
SI DICE MOMENTO DELLA FORZA F (DI
PUNTO DI APPLICAZIONE A), RISPETTO AL
POLO O, IL SEGUENTE VETTORE
→
→
→
→
→
M = OA ∧ F = r ∧ F
IL MOMENTO DELLA FORZA
F RISPETTO AL POLO O, E’
DUNQUE UN VETTORE DI
modulo F r sen φ = F b
→ →
direzione r, F
verso avanzamento vite che
→
→
ruota sovrapponendo r su F
MOMENTO DI UNA FORZA
MOMENTO M DELLA FORZA F (DI PUNTO
DI APPLICAZIONE A), RISPETTO AL POLO O,
→
→
→
→
→
M = OA ∧ F = r ∧ F
M è perpendicolare al piano (in
azzurro) determinato da r
(segmento OA) ed F.
MOMENTO DI UNA FORZA
MOMENTO M DELLA FORZA F (DI PUNTO DI
APPLICAZIONE A), RISPETTO AL POLO O,
→
→
→
→
→
M = OA ∧ F = r ∧ F
il momento è nullo ogni volta che il
segmento OA e la forza F sono
paralleli (perché in tal caso senα =0)
il momento è massimo ogni volta che il segmento OA e la
forza F sono perpendicolari (perché in tal caso senα =1)
SUL BARICENTRO: DUE ESEMPI…..
Ms = Fs *
OO *senφ
φ
= 0
Fp
Fs
O≅
≅ O
il segmento OO ha lunghezza
zero e dunque Ms è nullo
O’’
G’
Fd
O
Fs
30 cm
SUL BARICENTRO: DUE ESEMPI…..
Md = Fd *
OO’’ senφ
φ
Fd
O’’
O
il segmento OO’’ e la forza Fd sono
perpendicolari e dunque senφ =1
Per calcolare il verso si nota che segmento
OO’’ si sovrappone al segmento Fd in senso
orario e dunque il verso del momento sarà
negativo
Fd
O’’
O
Md = -Fd * OO’’=
=
-
Fd
* 0.3 m
SUL BARICENTRO: DUE ESEMPI…..
G’
Mg = Fg *
OG’ senφ
φ
il segmento OG’ e la forza Fg sono
O’’
G’
Fg
O
O
perpendicolari e dunque senφ =1
Fg
Per calcolare il verso si nota che segmento
OG’ si sovrappone al segmento Fg in senso
antiorario e dunque il verso del momento
sarà positivo
Mg= Fg * OG’=
800 N * 0.15 m= 120 N*m
SUL BARICENTRO: DUE ESEMPI…..
Fd + Fs = 800 N
Quindi
Mg + Md + Ms = 0
Fp
120 N*m – (Fd * 0.3 m ) =
0
O’’
Fd = 400 N
Fs = 400 N
G’
Fd
O
Fs
30 cm