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Capitolo
Le onde
elettromagnetiche
Moto armonico semplice (Paragrafo 10.5)
Trasporto di energia da parte di un’onda; onde trasversali; ampiezza,
frequenza, lunghezza d’onda, numero d’onda e frequenza angolare;
equazioni per le onde (Paragrafi 11.1-11.5)
Legge di Ampère e legge di Faraday (Paragrafi 18.9 e 19.2)
Dipoli (Paragrafi 15.4 e 18.1)
Radiazione termica (Paragrafo 13.8)
Effetto Doppler (Paragrafo 11.17)
Velocità relativa (Paragrafo 3.5)
20.1
20
Concetti da
rivedere
CARICHE IN ACCELERAZIONE PRODUCONO
ONDE ELETTROMAGNETICHE
Nei fenomeni elettromagnetici finora considerati abbiamo incontrato campi elettrici e magnetici prodotti da cariche elettriche ferme o in movimento ma sempre con
accelerazioni nulle o trascurabili. Sappiamo che una carica puntiforme ferma genera un campo elettrico e che una carica che si muove con velocità costante genera un
campo magnetico. Ma né l’una né l’altra generano onde elettromagnetiche – onde
costituite da campi elettrici e magnetici oscillanti. Infatti le onde elettromagnetiche
(EM) sono prodotte solamente se le cariche accelerano. Le onde EM possono anche essere chiamate radiazioni elettromagnetiche che come abbiamo già detto sono costituite da campi elettrici e magnetici oscillanti che si propagano nello spazio
e raggiungono luoghi anche molto lontani dal punto dove le cariche accelerate li
hanno originati.
Consideriamo due cariche puntiformi ±q che si muovono di moto armonico semplice lungo la stessa direzione con la stessa ampiezza e frequenza ma sfasate tra loro di mezzo ciclo. Che forma avranno i campi elettrico e magnetico prodotti da questo dipolo elettrico oscillante? La Figura 20.1 mostra il campo elettrico generato da
un dipolo elettrico statico. Il dipolo elettrico statico non produce campo magnetico
(perché le cariche sono ferme) e non produce radiazione EM (perché le cariche hanno accelerazione nulla). Il dipolo elettrico oscillante ha le cariche in movimento e
dunque genera un campo magnetico ma alle estremità del loro percorso sono istantaneamente ferme e quindi generano un campo elettrico. Tuttavia, i campi non assomigliano molto alle rappresentazioni oscillanti del campo di dipolo elettrico e del
campo di dipolo magnetico. Per cui dobbiamo provare a sviluppare un’idea visiva
di come saranno i campi oscillanti al fine di avere un’idea di come si genera la radiazione elettromagnetica.
Una prima considerazione che dobbiamo fare è quella che i campi oscillanti
s’influenzano l’uno con l’altro. Infatti mentre la particella carica si muove di moto
Le onde
elettromagnetiche sono
prodotte solamente
quando cariche elettriche
vengono accelerate.
+q
–q
E
Figura 20.1 Linee di
campo prodotte da un
dipolo elettrico fermo.
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Capitolo 20 Le onde elettromagnetiche
oscillatorio, la sua velocità aumenta e cala col ritmo del moto armonico. Mentre la
velocità cresce, il suo comportamento equivale a una corrente che aumenta e che a
sua volta produce un campo magnetico crescente. Secondo la legge dell’induzione
di Faraday, un campo magnetico variabile induce a sua volta una fem, ovvero un
campo elettrico la cui intensità è legata al rimo di variazione del campo magnetico
ovvero all’accelerazione della carica. Per cui il campo elettrico di un dipolo oscillante è in ogni istante diverso quindi molto differente dal campo elettrico di un dipolo statico. La legge di Faraday apre un nuovo modo di vedere le linee del campo
elettrico: esse non devono più necessariamente partire e finire sulle cariche sorgenti, ma essendo generate da un campo magnetico variabile possono essere dei circuiti
chiusi anche lontani dal dipolo oscillante.
Secondo la legge di Ampère le linee di campo magnetico devono circondare la
corrente che le ha generate e questo è compatibile con il campo magnetico prodotto in prossimità delle dipolo oscillante. Quando ci allontaniamo dal dipolo non riusciamo più a trovare una corrente elettrica o una carica in movimento all’interno delle linee del campo magnetico. Questo fatto non convinceva troppo il fisico scozzese James Clerk Maxwell (1831-1879) che era stupito dalla mancanza di simmetria
nelle leggi dell’elettromagnetismo. Se un campo magnetico variabile produce un
campo elettrico, perché un campo elettrico variabile non produce a sua volta un campo magnetico? Ebbene, la sua richiesta di simmetria nelle leggi dell’elettromagnetismo fu soddisfatta in quanto venne ben presto dimostrato che anche un campo elettrico variabile genera un campo magnetico, per cui le linee di campo magnetico non
hanno bisogno d’includere una corrente ma è sufficiente che racchiudano le linee di
campo elettrico variabile e quindi i due campi variabili possono propagarsi nel vuoto anche lontano dal dipolo oscillante.
La Figura 20.2 mostra le linee dei campi elettrico e magnetico prodotti da un
dipolo oscillante. Quando la sorgente del campo magnetico è un campo elettrico variabile, le linee di campo possono uscire dal dipolo, formare dei circuiti chiusi e
viaggiare lontano dal dipolo sotto forma di onda elettromagnetica. Infatti i campi
elettrico e magnetico si sostengono a vicenda e riescono a propagarsi nello spazio.
Mentre l’onda EM si propaga, l’intensità dei campi diminuisce; questa riduzione però, risulta di gran lunga inferiore del calo d’intensità del campo di dipolo. Poiché
un campo elettrico e uno magnetico variabili sono a loro volta una sorgente di cam-
+
Asse del
dipolo
_
B
_
Linee di
campo elettrico e
magnetico prodotte da un
dipolo oscillante. Le linee
chiuse rappresentano il
campo elettrico nel piano
della pagina. I punti e le
croci rappresentano
l’intersezione delle linee
chiuse del campo
magnetico col piano della
pagina. Le linee di campo
lasciano il dipolo e sotto
forma di onda
elettromagnetica si
propagano nello spazio.
+
_
Figura 20.2
E
_
+
+
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20.2 Le equazioni di Maxwell
po magnetico ed elettrico, non esistono onde aventi la sola componente elettrica o
la sola componente magnetica, ma esistono solamente onde che hanno entrambe le
componenti: elettromagnetiche.
La Figura 20.2 mostra che lontano dal dipolo oscillante i campi generati sono
più intensi – le linee di campo sono più vicine le une alle altre – nella direzione
perpendicolari all’asse del dipolo e sono meno intense nella direzione dell’asse del
dipolo.
20.2
791
I
E
LE EQUAZIONI DI MAXWELL
2
1
La legge di Ampère-Maxwell
Ecco un esempio per mostrare che un campo elettrico variabile deve generare un
campo magnetico. Immagina un lungo filo rettilineo di raggio R percorso da una
corrente continua I. A un certo punto il filo ha una piccola interruzione (Fig. 20.3).
Le superfici di questa interruzione agiscono da condensatore, infatti mentre la corrente scorre verso l’alto sulla superficie inferiore dell’interruzione si accumulano
cariche positive a un ritmo pari a ∆q/∆t = I mentre sull’altra superficie dell’interruzione si accumulano cariche negative con lo stesso ritmo. La legge di Ampère
៮៬ lungo una linea chiusa deve essere µ0 volte il valodice che la circuitazione di B
re della corrente che attraversa la linea chiusa scelta per il calcolo della circuitazione. Applicando la legge di Ampère al cammino circolare 1 otteniamo il classico valore del campo magnetico di un filo rettilineo percorso da corrente. Se prendiamo invece la linea chiusa 2, la sua superficie non viene attraversata da nessuna corrente. Per cui nei punti del piano che attraversa l’interruzione del filo, il
campo magnetico dovrebbe essere nullo, indipendentemente dalle dimensioni dell’interruzione.
Maxwell notò che, nonostante non vi siano correnti che intersecano la superficie racchiusa dalla linea 2, al suo interno c’è un flusso variabile di campo elettrico, in quanto la superficie interseca le linee di campo elettrico tra le piastre del
condensatore. Mentre le cariche si accumulano sulle superfici, il campo elettrico
aumenta e quindi anche il flusso di campo elettrico. Il campo elettrico tra le due
superfici è
q
q
s
E = ᎏᎏ = ᎏᎏ = ᎏᎏ2
⑀0 ⑀0A ⑀0p R
(16-13)
Il ritmo con cui il flusso del campo elettrico varia è:
p R2
∆ΦE ∆E × p R2
∆q
I
= ᎏᎏ = ᎏᎏ2 × ᎏᎏ = ᎏᎏ
ᎏᎏ
⑀0p R
⑀0
∆t
∆t
∆t
Il ritmo con cui il flusso del campo elettrico varia è proporzionale alla corrente! In
base a questa osservazione Maxwell intuì che la legge di Ampère poteva essere scritta in forma più generale se fosse stata così modificata:
La legge di Ampère-Maxwell
E
Σ B ∆l = m 0冢I + ⑀0 ᎏ
∆t 冣
∆Φ
(20-1)
Usando la legge di Ampère modificata da Maxwell, il campo magnetico in un punto
della linea chiusa 2 è lo stesso di quello in un qualsiasi punto della linea chiusa 1.
La legge di Ampère-Maxwell [Eq. (20-1)] afferma che il campo magnetico può
essere generato sia dalle correnti elettriche che dai campi elettrici variabili. In entrambi i casi le linee di campo magnetico si chiudono e sono concatenate o con una
corrente o con un campo elettrico variabile o con una combinazione dei due.
I
Figura 20.3
Schematizzazione di un filo
cilindrico percorso da
corrente costante I con una
piccola interruzione. Le
facce dell’interruzione si
comportano come un
condensatore accumulando
cariche elettriche. Se
applichiamo la legge di
Ampère a due percorsi
circolari, uno attorno al filo
e uno in corrispondenza
dell’interruzione, si ha che
con il circuito 2 non si
concatena nessuna corrente
ma si concatenano solo le
linee di campo elettrico.
Quando il campo elettrico
nell’interruzione aumenta
in intensità, nel circuito 2 si
origina una variazione di
flusso.
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Capitolo 20 Le onde elettromagnetiche
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Le equazioni di Maxwell
Maxwell modificò la legge di Ampère e la usò, assieme alle altre tre leggi che stanno alla base dell’elettromagnetismo, per dimostrare l’esistenza delle onde elettromagnetiche e per derivarne le loro proprietà. Queste quattro leggi sono oggi chiamate le equazioni di Maxwell. Esse sono:
1.
2.
La legge di Gauss [Eqq. (15-7) e (15-8)]: se una linea di campo elettrico non
forma un cammino chiuso, essa può solamente partire da e arrivare su cariche
elettriche. Le cariche elettriche producono campi elettrici.
La legge di Gauss per il magnetismo: le linee di campo magnetico formano
sempre dei cammini chiusi perché non esistono poli magnetici isolati (monopoli). Il flusso magnetico attraverso una superficie chiusa è sempre nullo.
ΦB = Σ B⊥ A = 0
3.
4.
La legge di Faraday [Eq. (19-6a)]: campi magnetici variabili sono a loro volta una sorgente di campo elettrico.
La legge di Ampère-Maxwell [Eq. (20-1)]: sia le correnti che i campi magnetici variabili sono sorgenti di campi magnetici.
20.3
I
Sorgente di
corrente
alternata
y
x
I
Figura 20.4
Andamento della corrente
in un’antenna a dipolo
elettrico.
ANTENNE
Come abbiamo visto nel Paragrafo 20.1 un dipolo elettrico che si muove di moto armonico produce campi elettrici e magnetici oscillanti che si propagano portando la
perturbazione elettromagnetica (onda EM) anche lontano dalle cariche oscillanti.
Tutte le antenne generano onde elettromagnetiche in questo modo; infatti un’antenna è composta da due barre metalliche tra loro allineate quasi a formare un’unica lunga barra (Fig. 20.4). Le barre sono alimentate alle estremità centrali con una
corrente alternata. Per metà del ciclo la corrente scorre in una direzione, un’estremità acquista una carica positiva e l’altra un’uguale quantità di carica negativa, generando un dipolo elettrico. Nell’altra metà del ciclo la corrente scorre in verso opposto e le cariche accumulate diminuiscono fino a invertire il segno della polarità
delle barre, in questo modo si ottiene nuovamente un dipolo elettrico ma invertito.
Poiché la corrente è alternata il dipolo cambierà la sua polarità con la stessa frequenza della corrente e come risultato avremo un dipolo elettrico oscillante ovvero
un’antenna. Le linee di campo delle onde elettromagnetiche emesse da un’antenna
sono simili alle linee di campo delle onde elettromagnetiche emesse da un dipolo
elettrico oscillante (Fig. 20.2). Dalla forma delle linee di campo possiamo capire alcune proprietà delle onde elettromagnetiche:
•
•
Antenne radio/TV
•
Un’antenna a dipolo
elettrico usata come
ricevitore deve essere
allineata con il campo
elettrico dell’onda.
(20-2)
A parità di distanza dall’antenna le ampiezze dei campi sono piccole lungo l’asse dell’antenna (in direzione dell’asse y di Figura 20.4) e grandi nella direzione perpendicolare all’antenna (in direzione dell’asse x di Figura 20.4).
Nella direzione perpendicolare all’antenna (in direzione dell’asse x di Figura
៮៬
20.4) il campo elettrico è parallelo all’asse dell’antenna. Nelle altre direzioni E
non è parallelo all’asse dell’antenna ma è perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda.
Il campo magnetico è perpendicolare sia al campo elettrico che alla direzione
di propagazione.
Un’antenna può essere usata anche come ricevitore o come rivelatore di onde elettromagnetiche. Nella Figura 20.5a un’onda elettromagnetica attraversa un’antenna
e il campo elettrico dell’onda agisce sugli elettroni liberi nell’antenna generando una
corrente oscillante. Questa corrente può essere amplificata e analizzata per decodificare la trasmissione radio o televisiva. L’antenna è più efficiente se è allineata con
៮៬ parallela all’antenna
il campo elettrico dell’onda poiché solo la componente di E
៮៬
produce una corrente oscillante. Se il campo elettrico E dell’onda elettromagnetica
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20.3 Antenne
E q
E cos q
I
All’amplificatore
I
Nei fili si genera
una corrente
alternata
(a)
I
I
All’amplificatore
(b)
non è parallelo all’antenna, la corrente oscillante è ridotta di un fattore cos θ dove
៮៬ e l’antenna (Fig. 20.5b). Se l’antenna è perθ è l’angolo tra il campo elettrico E
៮៬ non si genera alcuna corrente oscillante.
pendicolare al campo E
793
Figura 20.5 (a) Il
៮៬ di
campo elettrico E
un’onda elettromagnetica
produce una corrente
oscillante in un’antenna a
dipolo elettrico (per non
creare confusione le linee
di campo magnetico non
sono state disegnate).
(b) Quando l’antenna non è
allineata con il campo
elettrico la corrente è
minore, infatti solo la
៮៬ parallela
componente di E
all’antenna ne accelera gli
elettroni.
Esempio 20.1
Antenna
Un’antenna di lunghezza di 84 cm è usata come ricevitore di onde elettromagnetiche ed è orientata nella direzione dell’asse z positivo. Il campo elettrico dell’onda oscilla con andamento sinusoidale nella direzione dell’asse y. L’ampiezza del campo elettrico nelle vicinanze dell’antenna è descritto dalla relazione:
Ey(t) = Em cos w t; Ex = Ez = 0
dove l’ampiezza (cioè l’intensità massima) del campo elettrico è Em = 3.2 V/m. (a) Come dovrebbe essere orientata l’antenna per avere la ricezione ottimale? (b) Quanto vale la fem nell’antenna se è orientata correttamente?
Impostazione Per fornire il massimo segnale
l’antenna dev’essere orientata in modo tale che il vettore campo elettrico contribuisca per intero a indurre una corrente oscillante nel filo dell’antenna. La fem
è definita come il lavoro fatto dalle forze elettriche
sull’unità di carica.
Soluzione (a) Per avere sugli elettroni una spinta
nella direzione dell’antenna, il campo elettrico dev’essere orientato esattamente lungo l’asse dell’antenna, per cui verrà orientata lungo l’asse y.
(b) Il lavoro fatto dalle forze elettriche F su una carica q lungo l’antenna è:
W = Fy ∆y = qEL
La fem ovvero il lavoro per unità di carica diventa:
W
Ᏹ = ᎏᎏ = EL
q
La fem varia con il tempo in quanto il campo elettrico varia con il tempo con una legge sinusoidale:
Ᏹ(t) = EL = EmL cos w t
Il valore massimo che assumerà la fem sarà:
Ᏹm = EmL = 3.2 V/m × 0.84 m = 2.7 V
Discussione Se il campo elettrico oscillante ha
la stessa ampiezza e fase in ogni punto dell’antenna la fem è direttamente proporzionale alla lunghezza dell’antenna.
Problema di verifica 20.1
di antenna trasmittente
Localizzazione
(a) Se l’onda presa in considerazione nell’esercizio
precedente venisse trasmessa da un’antenna a dipolo elettrico collocata molto lontano potreste dire dove è localizzata la stazione emittente rispetto all’antenna? (Rispondi usando le coordinate xyz.) (b) Scrivi l’equazione per le componenti del campo elettrico in funzione del tempo.
Le trasmissioni radiotelevisive vengono irradiate da antenne orientate orizzontalmente. Per questo motivo per avere la migliore ricezione, l’antenna sul tetto dev’essere posizionata orizzontalmente e con le aste orientate perpendicolarmente ri-
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Capitolo 20 Le onde elettromagnetiche
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Corrente
indotta
All’amplificatore
Figura 20.6
Una spira
circolare funziona come
un’antenna a dipolo
magnetico. Quando varia il
campo magnetico
dell’onda, varia il flusso
magnetico concatenato con
la spira producendo una
corrente indotta (per non
creare confusione le linee
di campo magnetico non
sono state disegnate).
Un’antenna a dipolo
magnetico usata come
ricevitore dev’essere
allineata in modo che il
campo magnetico
dell’onda sia
perpendicolare al piano
dell’antenna.
spetto alla direzione del trasmettitore. (Molte antenne che vediamo sui tetti sono costituite da diverse coppie parallele di barre metalliche ma solo una di queste funziona da antenna ed è collegata alla TV, le altre aiutano a innalzare il segnale e a
rendere l’antenna più direzionale.)
Un altro tipo d’antenna trasmittente è l’antenna a dipolo magnetico. Ricorda
che una spira percorsa da corrente è un dipolo magnetico (la regola della mano destra stabilisce la direzione del suo campo: se le dita della mano destra seguono il
verso della corrente lungo la spira il pollice indica il “nord”). Per costruire un dipolo magnetico oscillante abbiamo bisogno di una corrente alternata che circola in
una spira (o in una bobina). Quando la corrente inverte il verso i poli nord e sud del
dipolo magnetico s’invertono con la stessa frequenza della corrente.
Se prendiamo l’asse perpendicolare alla bobina, l’analisi fatta per l’antenna a
dipolo elettrico può essere ripetuta, naturalmente con l’accortezza di sostituire al termine elettrico il termine magnetico e viceversa.
Anche l’antenna a dipolo magnetico può funzionare come ricevitore (Fig. 20.6).
In questo caso il campo magnetico oscillante dell’onda provoca un flusso magnetico variabile attraverso la spira dell’antenna che in base alla legge di Faraday genera una fem indotta che produce un flusso di corrente variabile nell’antenna. Per massimizzare la variazione di flusso concatenato il campo magnetico dev’essere perpendicolare al piano dell’antenna.
Le antenne possono generare onde elettromagnetiche con lunghezza d’onda relativamente lunga e frequenza relativamente bassa (onde radio e microonde). Per generare onde elettromagnetiche con lunghezza d’onda molto piccola e quindi con frequenza molto alta, come la luce visibile, dovremmo usare generatori di corrente alternata con frequenze così elevate che sono impossibili da realizzare. Anche l’antenna sarebbe molto difficile da realizzare in quanto per ottenere la massima efficienza la lunghezza di un’antenna non dovrebbe superare la mezza lunghezza d’onda. (Per avere un’idea della lunghezza di una tale antenna, provate a cercare il valore della lunghezza d’onda della luce gialla in Figura 20.7.)
Antenne
•
Un’antenna a dipolo elettrico (barra): l’asse dell’antenna è sempre nella direzione della barra.
Luce visibile
l = 700 nm
f = 4.3 ×
Lunghezza d’onda (m)
3 × 104
Onde radio
102
Frequenza (Hz)
7.5 × 1014 Hz
3 × 10–4
3
3 × 10–8
Raggi gamma
Raggi X
Microonde
104
106
108
1010
3 × 10–12
UV
Infrarossi
50 Hz
(corrente alternata
per uso domestico)
400 nm
1014 Hz
1012
1014
1016
1018
1020
Telefoni cellulari
Per usi marittimi e militari
104
Frequenza (Hz)
105
Radio AM
106
Per usi militari aeronautici
e radiomobili
107
TV
radio
FM
108
Per usi militari aeronautici
e radiomobili
TV
109
1010
1011
Figura 20.7 Le diverse regioni dello spettro elettromagnetico. Sia la frequenza che la lunghezza d’onda sono
rappresentate in scala logaritmica.
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20.4 Lo spettro elettromagnetico
•
•
•
Antenna a dipolo magnetico (spira): l’asse dell’antenna è sempre perpendicolare alla spira
Usata come trasmettitore, un’antenna irradia principalmente lungo la direzione perpendicolare al suo asse. In questa direzione il campo elettrico delle onde è parallelo all’asse dell’antenna se trasmesso da un’antenna a dipolo elettrico mentre il campo magnetico dell’onda è parallelo all’asse dell’antenna se
trasmesso da un’antenna a dipolo magnetico.
Un’antenna non irradia lungo la direzione del suo asse.
Quando usata come ricevitore, per ottenere la massima sensibilità l’asse dell’antenna a dipolo elettrico deve essere allineata con il campo magnetico dell’onda.
20.4
LO SPETTRO ELETTROMAGNETICO
Possono esistere onde elettromagnetiche di qualsiasi frequenza, senza restrizioni. Le
proprietà delle onde elettromagnetiche e il loro modo d’interagire con la materia dipendono dalla loro frequenza. Lo spettro elettromagnetico è tradizionalmente diviso in sei o sette regioni ognuna con un nome diverso. I nomi di queste regioni sono originati parzialmente per ragioni storiche e parzialmente per le modalità con cui
interagiscono con la materia. I confini tra le diverse regioni non sono netti e qualche volta sono arbitrari. In questo paragrafo le lunghezze d’onda utilizzate sono riferite al vuoto dove tutte le onde elettromagnetiche viaggiano alla velocità di
3.00 × 108 m/s.
Luce visibile
La luce visibile è la parte dello spettro elettromagnetico che viene rilevata dall’occhio umano. Questa potrebbe sembrare una definizione precisa e graziosa ma, per
la verità, la sensibilità dell’occhio decresce a entrambe le estremità dello spettro visibile. Come l’intervallo delle frequenze sonore udibili può variare da persona a persona, così accade anche per l’intervallo delle frequenze visibili. In genere l’intervallo delle frequenze visibili va da 430 THz (1 THz = 1012 Hz) a 750 THz, a cui
corrispondono le lunghezze d’onda nel vuoto di 700 e 400nm. La luce solare contiene tutte le lunghezze d’onda del visibile con diversa abbondanza relativa e all’occhio appare come luce bianca. La luce bianca può essere separata da un prisma
nei vari colori: rosso (700-620 nm), arancio (620-600 nm), giallo (600-580 nm), verde (580-490 nm), blu (490-450 nm) e violetto (450-400 nm). Il rosso ha la frequenza
più bassa (lunghezza d’onda maggiore) mentre il violetto ha la frequenza più alta
(lunghezza d’onda inferiore).
L’emissione delle radiazioni elettromagnetiche solari ha un massimo proprio
nell’intervallo del visibile, questo sta a indicare che l’occhio umano si è evoluto proprio per essere sensibile a questa banda di onde elettromagnetiche (vedi Fig. 20.8).
Tuttavia, altri animali riescono a percepire anche altre parti dello spettro della luce
solare alle quali l’occhio umano non è sensibile; questo dipende fortemente dal processo evolutivo subito da quella particolare specie animale.
Tipiche sorgenti di luce visibile sono: le lampadine, il fuoco, il sole e le lucciole. Spesso le cose che noi vediamo non sono vere e proprie sorgenti di luce ma
riusciamo comunque a vederle grazie alla luce che esse riflettono. Quando la luce
colpisce un oggetto può accadere che essa: venga assorbita, venga trasmessa attraverso l’oggetto oppure venga riflessa. Le percentuali di assorbimento, trasmissione
e riflessione generalmente differiscono a seconda delle diverse lunghezza d’onda.
Un limone appare giallo perché, della luce che lo illumina, riflette quasi completamente la componente gialla e assorbe la maggior parte degli altri colori.
Le lunghezze d’onda del visibile sono piccole se confrontate alle dimensioni
degli oggetti con i quali veniamo quotidianamente a contatto ma sono grandi se confrontate con le dimensioni degli atomi. Il diametro di un atomo di media grandez-
Intensità relativa
•
795
400
Ultravioletto
700
1000
Infrarossi
Lunghezza d’onda (nm)
Figura 20.8 Grafico
dell’intensità relativa
(potenza media per unità di
area) della luce solare in
funzione della lunghezza
d’onda, misurata al di fuori
dell’atmosfera terrestre.
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Capitolo 20 Le onde elettromagnetiche
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za così come la distanza tra gli atomi nei solidi e nei liquidi è circa 0.2 nm. Dunque, le lunghezze d’onda della luce visibile sono 2000-4000 volte più grandi della
grandezza di un atomo.
Infrarossi
Dopo la scoperta della struttura della luce visibile, le prime parti dello spettro elettromagnetico a essere studiate furono quelle che stanno ai suoi estremi: l’infrarosso e l’ultravioletto (scoperti rispettivamente nel 1800 e 1801). Il prefisso infra- significa sotto;
infatti la radiazione infrarossa (IR) ha una frequenza più bassa della luce visibile. La
IR si estende dalle più basse frequenze del visibile (rosso) fino a frequenze di circa 300
GHz (λ = 1 mm). L’astronomo William Herschel (1738-1822) scoprì la radiazione infrarossa nel 1800. Studiava l’aumento di temperatura provocato dalla luce che usciva
da un prisma e si accorse che il termometro che misurava la temperatura segnava valori più alti quando veniva posizionato di poco fuori dalla regione illuminata e solamente dalla parte della zona della luce rossa. Poiché la radiazione non era visibile, Herschel dedusse che dovesse esserci una radiazione invisibile oltre il rosso.
La radiazione termica emanata dagli oggetti che hanno una temperatura prossima a quella dell’ambiente è prevalentemente infrarossa (Fig. 20.9), con un picco a
una lunghezza d’onda di circa 0.01 mm = 10 µm. A temperature più alte, la potenza irradiata aumenta e la lunghezza d’onda del picco decresce. Una stufa a legna
con una temperatura di superficie di 260° C (530 K) ha una temperatura assoluta di
18 volte la temperatura ambiente; essa irradia circa 11 volte più potenza di quando
si trova a temperatura ambiente poiché P ⬀ T4 [legge di Stefan, Eq. (13-17)]. Tuttavia il picco dello spettro è ancora nella zona dell’infrarosso. La lunghezza d’onda
del picco di radiazione è all’incirca 5.5 µm = 5500 nm poiché λmax ⬀ 1/T [legge di
Wien, Eq. (13-18)]. Se la stufa diventa più calda la sua radiazione è ancora prevalentemente nell’infrarosso ma quando iniziamo a vederla tingersi di rosso vuol dire
che inizia a irradiare significativamente anche nello spettro visibile. Anche il filamento di una lampadina (T ≈ 3000 K) irradia molto di più nell’infrarosso che nel
visibile per capirlo è sufficiente provare ad avvicinare una mano al vetro della lampada. Anche se il picco della radiazione solare sta nel visibile, circa la metà dell’energia che proviene dal sole è nell’infrarosso.
Ultravioletto
Il prefisso ultra- significa sopra; la radiazione ultravioletta (UV) ha una frequenza più alta della luce visibile. L’intervallo delle lunghezze d’onda delle radiazioni
Termografia
Figura 20.9
Termografia a falsi colori
di una casa in inverno; la
maggior parte del calore
esce dal tetto. Le aree più
fredde hanno colore blu,
quello più calde sono rosa
chiaro. Nota che un pò di
calore esce anche dal telaio
delle finestre mentre la
finestra stessa risulta blu e
quindi fredda, questo
perché hanno doppi vetri.
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20.4 Lo spettro elettromagnetico
UV va da circa 380 nm (violetto) a circa 10 nm. La radiazione solare è ricca di UV
e gli effetti prodotti sulla pelle includono: abbronzatura, scottature, sintesi della vitamina D ma anche melanoma. Il vapore acqueo trasmette molta della radiazione
UV solare e quindi ci si può abbronzare e scottare anche nei giorni nuvolosi. Un
materiale che assorbe la maggior parte delle radiazioni UV è il vetro comune. Le
lampade a luce ultravioletta emettono UV mentre certi materiali fluorescenti – come il rivestimento interno dei tubi delle lampade fluorescenti – possono assorbire
UV e poi emettere luce visibile.
797
Fluorescenza
Onde radio
Dopo la soperta della radiazione infrarossa e di quella ultravioletta, molti anni del
XIX secolo sono passati prima che qualche altra regione dello spettro elettromagnetico fosse scoperta. Le frequenze più basse (fino a circa 1 GHz) e le lunghezze
d’onda più lunghe (fino a circa 0.3 m) sono chiamate onde radio e furono scoperte nel 1888 da Heinrich Hertz. Queste radiazioni sono oggi molto usate per le trasmissioni radio, con il nome AM e FM, le trasmissioni televisive, con il nome VHF
e UHF, e quelle dei radioamatori. Ognuna di queste sigle occupa una specifica banda di frequenza all’interno della parte dello spettro delle onde radio.
Microonde
Le microonde stanno tra le onde radio e la radiazione infrarossa; nel vuoto hanno
una lunghezza d’onda che va da 1 mm a 30 cm. Le microonde sono usate nel campo delle telecomunicazioni (telefoni cellulari e TV satellitari), nelle tecnologie radar e negli ormai familiari forni a microonde.
Un forno a microonde (Fig. 20.10) lavora creando attorno al cibo un campo di
microonde con una lunghezza d’onda (nel vuoto) di circa 12 cm. L’acqua è un ottimo assorbitore di microonde perché la molecola d’acqua è polare e quando un dipolo elettrico è immerso in un campo elettrico tende ad allinearsi alle linee del campo. Siccome il campo elettrico delle microonde oscilla con una frequenza f = 2.5 GHz,
le molecole d’acqua sono costrette a oscillare avanti e indietro, e l’energia di questa vibrazione viene dispersa nel cibo sotto forma di calore.
Nei primi anni sessanta Arno Penzias e Robert Wilson cercarono di captare onde radio provenienti dall’universo ma ebbero dei problemi di stabilità del loro radio
telescopio. Le misure erano sistematicamente affette da un rumore elettronico nella
regione dello spettro delle microonde. Indagini seguenti li portarono a scoprire che
l’intero universo è immerso in un campo di microonde che corrispondono alla radiazione di un corpo nero alla temperatura di 2.7 K (a cui corrisponde una lunghezza
d’onda di picco di circa 1 mm). Questa radiazione cosmica di fondo a microonde è
ciò che rimane dell’immensa esplosione, chiamata Big Bang, che si presume sia all’origine dell’universo.
Raggi X e raggi gamma
Salendo con la frequenza e scendendo con la lunghezza d’onda nella regione oltre
gli UV, troviamo i raggi X e i raggi gamma scoperti rispettivamente nel 1895 e nel
1900. Anche se chiamate in modo diverso, c’è una notevole sovrapposizione nelle
frequenze delle onde elettromagnetiche dei raggi X e dei gamma e dunque la classificazione può risultare alquanto arbitraria.
I raggi X sono stati scoperti inaspettatamente da Wilhelm Konrad Röntgen (18451923) quando fece collidere un fascio di elettroni accelerati con un bersaglio metallico. La forte decelerazione che gli elettroni subiscono nel bersaglio produce i raggi X.
Per questa scoperta Wilhelm Konrad Röntgen ricevette il premio Nobel per la fisica.
La maggior parte dei raggi X usati in medicina diagnostica hanno lunghezze
d’onda comprese tra 10 e 60 pm (1 pm = 10–12 m). In una apparecchiatura conven-
Forni a microonde
Microonde
cosmiche,
radiazione di fondo
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Capitolo 20 Le onde elettromagnetiche
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Palette metalliche rotanti per diffondere
le microonde all’interno del forno
Microonde rflesse
dalle pareti
metalliche del forno
Guida d’onda
Fascio di
microonde
Uscita dell’aria calda
Torta in un
contenitore di carta,
vetro o ceramica
Magnetroni
Foglio metallico forato
inserito nel vetro per
riflettere le microonde
all’interno del forno
Ventola di
raffreddamento
del magnetrone
Trasformatore
Ingresso dell’aria
di raffreddamento
Corrente elettrica
Presa d’aria
Figura 20.10 Un forno a microonde. Le microonde sono prodotte in un magnetron, una cavità risonante che
produce correnti oscillanti le quali generano microonde alla frequenza desiderata. Poiché i metalli riflettono
molto bene le microonde, una guida d’onda metallica dirige le microonde verso un diffusore metallico rotante
che riflette le microonde in diverse direzioni in modo da distribuirle uniformemente nel forno. (Proprio per la
proprietà di riflettere le microonde i contenitori metallici e i fogli di alluminio non devono essere usati nei forni a
microonde; infatti le microonde sarebbero riflesse e non raggiungerebbero il cibo contenuto in essi.) La cavità del
forno è racchiusa da una struttura metallica in modo da minimizzare la fuoriuscita di microonde. Il foglio
metallico che riveste la porta del forno ha piccoli fori in modo da poter ispezionare l’interno del forno. Poiché i
fori sono più piccoli della lunghezza d’onda delle microonde, queste continuano a essere riflesse e non escono
dal vetro.
Raggi X in
medicina,
radiografie e
scansioni TC
zionale per raggi X, una cassetta radiografica registra la quantità di raggi che passano attraverso il corpo umano. La tomografia computerizzata (TC) permette di ottenere immagini trasversali del corpo umano. Nella TC la sorgente di raggi X ruota attorno al paziente e un computer ricostruisce le immagini delle varie sezioni del
corpo (Fig. 20.11).
I raggi gamma furono osservati per la prima volta nei decadimenti di nuclei radioattivi. Ci sono sorgenti di raggi gamma extraterrestri come le pulsar, le stelle di
neutroni, i buchi neri e le esplosioni delle supernove. Solo recentemente si è sviluppata l’astronomia a raggi X utilizzando rivelatori posizionati su palloni aerostatici o su satelliti e verso la fine degli anni ’60 gli scienziati iniziarono a osservare
grandi esplosioni di raggi gamma provenienti dallo spazio profondo: tali esplosioni
hanno durate che vanno dalle frazioni di secondi a pochi minuti e avvengono all’incirca una volta al giorno. Un’esplosione di raggi gamma può emettere in 10 s
più energia di quella che il sole emetterà in tutta la sua vita. La sorgente di questi
impulsi di raggi gamma è ancora oggetto di studio e ricerca.
20.5
VELOCITÀ DI UN’ONDA ELETTROMAGNETICA
NEL VUOTO E NELLA MATERIA
La luce viaggia così veloce che non è affatto ovvio che necessiti di un tempo finito
per andare da un punto all’altro dello spazio. In passato non erano disponibili strumenti ottici ed elettronici di alta precisione per cui le prime misure della velocità
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20.5 Velocità di un onda elettromagnetica nel vuoto e nella materia
799
Contenitore
cilindrico.
Tubo a raggi X
emette raggi X
e ruota attorno
al paziente.
Fascio di raggi X
che attraversa
il paziente.
Rivelatori di raggi X
misurano l’intensità
dei raggi X trasmessi
attraverso il paziente.
Figura 20.11
Lettino mobile
per il posizionamento.
Apparato usato per scansioni TC.
della luce dovevano essere abilmente preparate. Nel 1849 lo scienziato francese Armand Hippolyte Louis Fizeau (1819-1896) misurò la velocità della luce in approssimativamente 3 × 108 m/s. Nell’esperimento Fizeau usava una ruota dentata ruotante (Fig. 20.12). Quando la ruota è ferma l’apparato può essere allineato facendo
passare un fascio di luce attraverso uno dei suoi denti. Il fascio di luce dopo aver
percorso una distanza di 8 km viene riflesso all’indietro da uno specchio e passa
nuovamente per lo stesso dente della ruota. Se la ruota è messa in rotazione il dente si sposta e il fascio riflesso viene intercettato da un dente della ruota. Aumentando la velocità di rotazione si giunge a una determinata velocità angolare ω per cui
il dente successivo si trova nella posizione del dente che lo precede nello stesso tem-
8.6 km
Specchio
semitrasparente
Specchio
w
Osservatore
Fascio
di luce
Figura 20.12
Ruota
dentata
rotante
Apparato
usato da Fizeau nel 1849
per misurare la velocità
della luce.
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Capitolo 20 Le onde elettromagnetiche
po con il quale il fascio di luce percorre il viaggio di andata e ritorno tra ruota e
specchio. In queste condizioni un osservatore può dunque vedere il fascio riflesso
senza interruzioni. La velocità della luce può essere determinata conoscendo la distanza ruota-specchio e la velocità angolare per la quale l’osservatore vede il fascio
riflesso senza interruzioni.
Nei Capitoli 11 e 12 abbiamo visto che la velocità di un onda meccanica dipende dalle proprietà del mezzo in cui si propaga. Il suono viaggia più veloce nell’acciaio che non nell’acqua e più veloce nell’acqua che non nell’aria. In ogni caso
la velocità dell’onda dipende da due caratteristiche del mezzo: una che contraddistingue le sue caratteristiche di elasticità (costante elastica) e un’altra che contraddistingue le caratteristiche di inerzia (densità).
Diversamente dalle onde meccaniche, le onde elettromagnetiche non hanno bisogno di un mezzo per propagarsi per cui possono viaggiare anche nel vuoto. La luce raggiunge la terra dalle galassie che distano miliardi di anni luce, percorrendo le
immense distanze tra le galassie senza problemi mentre l’onda sonora non può attraversare i pochi metri che separano due astronauti durante una passeggiata spaziale poiché non c’è né aria né altro materiale che sostenga le variazioni di pressione dell’onda sonora. Cosa determina la velocità della luce nel vuoto?
Quando abbiamo introdotto le leggi che descrivono il campo elettrico e il campo
magnetico abbiamo introdotto due costanti universali: una è la costante dielettrica del
vuoto ⑀0, l’altra è la permeabilità magnetica del vuoto µ0. Queste costanti compaiono
rispettivamente nella legge di Gauss per il campo elettrico e nella legge di Ampère
per il campo magnetico. Quando un’onda EM si propaga nel vuoto le uniche gran៮៬ l’intensità
dezze fisiche che entrano in gioco sono: l’intensità del campo elettrico E,
៮៬
del campo magnetico B, la costante dielettrica del vuoto ⑀0 e la permeabilità magnetica del vuoto µ0. Se la velocità delle onde EM dipendesse dall’ampiezza dei campi
៮៬ o B
៮៬ troveremmo l’assurda conclusione che un luce molto intensa è più veloce di
E
una poco intensa o viceversa. Per cui non resta da concludere che la velocità della luce dipende dalle costanti ⑀0 e µ0. Cerchiamo di capire come possiamo combinare tra
loro queste due grandezze per ottenere l’espressione dimensionale di una velocità.
I valori di queste costanti nelle unità di misura del SI sono:
C2
N•m
⑀0 = 8.85 × 10–12 ᎏᎏ2
e
T•m
A
m 0 = 4p × 10–7 ᎏᎏ
Il tesla può essere riscritto in termini di altre unità del SI. Usando la relazione
៮៬ = q៮៬v × B
៮៬ si ottiene che:
F
N
1 T = 1 ᎏᎏ
C•m/s
Se ora moltiplichiamo ⑀0 × µ0 otteniamo
—
C2
N
–•m
N
–•–
m
—
C•(–
m/s)•(—
C/s)
⑀0m 0 = 8.85 × 10–12 ᎏᎏ2 × 4p × 10–7 ᎏᎏ
s2
= 1.11 × 10–17 ᎏᎏ2
m
Che per essere trasformata in una velocità in m/s si deve fare l’inverso della radice
quadrata:
1
ᎏᎏ = 3.00 × 108 m/s
兹苶
⑀ 0m 0
Questa conclusione ottenuta attraverso l’analisi dimensionale avrebbe portato allo
stesso risultato anche se vi fossero state costanti adimensionali nelle espressioni uti-
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20.5 Velocità di un onda elettromagnetica nel vuoto e nella materia
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lizzate per cui il risultato numerico ottenuto potrebbe essere sbagliato. Ma a metà
del XIX secolo James Clerk Maxwell dimostrò matematicamente che un’onda elettromagnetica è costituita da un campo elettrico e uno magnetico oscillanti e può propagarsi anche nel vuoto. Partendo dalle sue equazioni (equazioni di Maxwell Paragrafo 20.2) derivò l’equazione dell’onda elettromagnetica, un’equazione matematica che descrive la sua propagazione e nell’espressione, al posto della velocità dell’onda, appare la costante (⑀0µ0)–(1/2). Utilizzando quindi i valori di ⑀0 e µ0 misurati
nel 1856 da Maxwell stesso, dimostrò che un’onda elettromagnetica viaggia nel vuoto alla velocità di 3.00 × 108 m/s, una velocità molto vicina a quella misurata da Fizeau. Questo risultato ottenuto da Maxwell fu la prima evidenza che la luce è un’onda elettromagnetica.
La velocità delle onde elettromagnetiche nel vuoto è rappresentata dal simbolo
c (dal termine latino celeritas, velocità).
La velocità delle onde elettromagnetiche nel vuoto è:
1
c = ᎏᎏ = 3.00 × 108 m/s
兹苶
⑀ 0m 0
(20-3)
Con il simbolo c si indica sia la velocità della luce, dove per luce intendiamo la banda visibile dello spettro delle radiazioni elettromagnetiche. Ma più in generale con
il simbolo c si indica la velocità di una qualsiasi onda elettromagnetica nel vuoto indipendentemente dalla sua frequenza o lunghezza d’onda.
Esempio 20.2
Tempo impiegato dalla luce proveniente da una “vicina” supernova per arrivare
al nostro pianeta
Una supernova è l’esplosione di una stella;
una supernova è miliardi di volte più luminosa di una stella ordinaria. La maggior parte delle supernove si trova nelle galassie lontane e non possono essere osservate a occhio nudo. Le ultime due supernove visibili a occhio nudo furono nel 1604 e nel
1987. Quest’ultima supernova porta il nome di
SN1987a e si trova a 1.6 × 1021 m dalla terra. Quando avvenne l’esplosione di tale supernova?
Impostazione La luce che proviene dalla supernova viaggia alla velocità c. Il tempo impiegato dalla luce per percorrere la distanza di 1.6 × 1021 m ci
dice quanto tempo fa è avvenuta l’esplosione.
1 anno
5.33 × 1012 s × ᎏᎏ
= 170,000 anni
3.156 × 107 s
Discussione Quando guardiamo le stelle, la luce
che vediamo è stata irradiata molti anni fa. Guardando le galassie lontane gli astronomi vedono l’universo del passato. La stella più vicina alla terra è il
sole, quella successiva si trova a una distanza di circa 4 anni luce; questo significa che la luce proveniente da quella stella impiega 4 anni per raggiungere il nostro pianeta. Le galassie più lontane finora osservate si trovano alla distanza di 1010 anni luce; guardando tali galassie stiamo osservando quello che succedeva loro 10 miliardi di anni fa.
Soluzione Il tempo impiegato dalla luce a percorrere una distanza d alla velocità c è
1.6 × 1021 m = 5.33 × 1012 s
∆t = ᎏdᎏ = ᎏ
c 3.00 × 1ᎏ
08 m/s
Per avere una migliore idea di quanto tempo è necessario convertiamo i secondi in anni:
Problema di verifica 20.2 Un anno luce
Un anno luce è la distanza percorsa dalla luce (nel
vuoto) nel tempo di un anno terrestre. Trova il fattore di conversione tra gli anni luce e i metri.
La velocità della luce in un mezzo
Quando un’onda elettromagnetica attraversa un mezzo materiale la sua velocità di
propagazione v è minore di quella che avrebbe nel vuoto (c). Per esempio, la luce
visibile attraversa il vetro a una velocità compresa tra 1.6 × 108 e 2.0 × 108 m/s.
La velocità di un’onda
elettromagnetica che
viaggia in un mezzo è
minore di c.
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Capitolo 20 Le onde elettromagnetiche
Questo intervallo di possibili velocità dipende sia del tipo di vetro che della lunghezza d’onda o frequenza della luce. Per caratterizzare i materiali è spesso necessario sapere la velocità con cui la luce si muove al suo interno e per rendere più pratica questa caratterizzazione è stato introdotto un parametro chiamato indice di rifrazione n:
L’indice di rifrazione di un mezzo è definito come il rapporto della velocità della luce nel vuoto rispetto alla velocità della luce nel mezzo:
c
n = ᎏᎏ
v
(20-4)
Il termine rifrazione si riferisce alla proprietà di un mezzo di far cambiare direzione a un’onda quando questa passa dal vuoto al mezzo stesso; questo fenomeno verrà descritto in dettaglio nel Paragrafo 21.3. Poiché l’indice di rifrazione è un rapporto di due velocità esso è un numero adimensionale. Per il vetro, in cui la luce
viaggia a 2.0 × 108 m/s, l’indice di rifrazione è
3.0 × 108 m/s
= 1.5
n = ᎏᎏ
2.0 × 108 m/s
La velocità della luce in aria (alla pressione di 1 atm) è leggermente inferiore a c,
infatti l’indice di rifrazione è 1.0003. Questa piccola differenza (0.03%) spesso non
ha nessun effetto pratico, quindi possiamo usare il valore di c anche quando la luce
si propaga in aria. Poiché la velocità della luce visibile in un mezzo è sempre minore di c, l’indice di rifrazione sarà un numero sempre maggiore di 1.
Quando un’onda elettromagnetica passa da un mezzo a un altro cambia la sua
velocità per cui o la frequenza o la lunghezza d’onda devono cambiare in quanto
v = fλ
Un’onda che passa da un
mezzo a un altro cambia
lunghezza d’onda ma
mantiene la stessa
frequenza.
Nel passaggio da un mezzo a un altro, la frequenza dell’onda elettromagnetica rimane inalterata ma la sua lunghezza d’onda cambia. L’onda incidente (con frequenza f) fa oscillare con il suo stesso ritmo le cariche degli atomi che stanno sulle superfici di separazione dei due mezzi. Queste cariche oscillanti irradiano a loro volta
onde elettromagnetiche con la stessa frequenza nel secondo mezzo in cui sono immerse. Per cui i campi elettrico e magnetico dell’onda che si propaga nel secondo
mezzo devono oscillare alla stessa frequenza dei campi dell’onda che si propaga nel
primo mezzo. Nello stesso modo delle onde meccaniche: se un’onda trasversale di
frequenza f si propaga lungo una corda e raggiunge un punto in cui avviene una brusca variazione della velocità dell’onda, l’onda incidente continua a far oscillare su e
giù quel punto con la stessa frequenza f come ogni altro punto della corda. L’oscillazione di quel punto origina un’onda con la stessa frequenza dall’altra parte della
corda. Se la velocità dell’onda è cambiata ma la frequenza è rimasta la stessa, allora dev’essere necessariamente cambiata la lunghezza d’onda nel secondo mezzo.
Può capitare di dover trovare la lunghezza d’onda λ di un’onda elettromagnetica in un mezzo avente indice n conoscendo la sua lunghezza d’onda nel vuoto λ0.
Poiché la frequenza non cambia,
c
v
f = ᎏᎏ = ᎏᎏ
l0
l
Risolvendo per λ, otteniamo
l0
v
l = ᎏcᎏl0 = ᎏnᎏ
(20-5)
Poiché n > 1 la lunghezza d’onda nel mezzo è più corta della lunghezza d’onda nel
vuoto.
Se un fascio di luce blu di lunghezza d’onda λ0 = 480 nm entra in un vetro che
ha indice di rifrazione di 1.5 continua a essere luce blu anche se nel vetro la sua lunghezza d’onda è di 320 nm (non è stata trasformata in radiazione UV). Questo
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20.6 Caratteristiche delle onde elettromagnetiche nel vuoto
803
significa che quando la luce entra nel fluido del nostro occhio viene sempre percepita con la stessa frequenza e lunghezza d’onda indipendentemente da quanti materiali abbia attraversato prima di arrivare al nostro occhio in quanto la frequenza rimane la stessa su ogni superficie di separazione.
Esempio 20.3
Variazione della lunghezza d’onda nel passaggio dal vetro all’acqua
L’indice di rifrazione del vetro è 1.50 mentre quello
dell’acqua è 1.33. Se un fascio liminoso avente lunghezza d’onda 285 nm nel vetro, passa nell’acqua,
quale sarà la lunghezza d’onda nel nuovo mezzo?
Impostazione Ricorda che quando l’onda passa
da un mezzo a un altro la frequenza non cambia.
Soluzione Frequenza, lunghezza d’onda e velocità sono legate dalla relazione
v = fλ
Risolvendo per la frequenza, f = v/λ. Poiché le frequenze sono uguali
vw vg
= ᎏᎏ
ᎏᎏ
lw
lg
La velocità della luce nel mezzo è v = c/n. Risolvendo per λw e sostituendo v = c/n otteniamo
nglg 1.50 × 285 nm
lg
c
lw = vw ᎏᎏ = ᎏᎏ × ᎏᎏ = ᎏᎏ = 321 nm
vg
nw
c
1.33
Discussione L’acqua ha un indice di rifrazione più
piccolo cosicché la velocità della luce in acqua è maggiore di quella nel vetro. Poiché la lunghezza d’onda
è la distanza percorsa in un periodo, la lunghezza
d’onda in acqua è più lunga (321 nm > 285 nm).
Problema di verifica 20.3 Variazione
della lunghezza d’onda nel passaggio
dall’aria all’acqua
La velocità della luce nell’acqua è 2.25 × 108 m/s. Se
una radiazione luminosa ha una lunghezza d’onda
592 nm, qual è la sua lunghezza d’onda quando entra nell’acqua?
Dispersione
Le onde elettromagnetiche nel vuoto viaggiano sempre alla velocità c indipendentemente dalla loro frequenza. Quando però attraversano un mezzo, la velocità delle
onde elettromagnetiche dipende dalla frequenza. Questo vuol dire che l’indice di rifrazione per un dato tipo di materiale dipende dalla frequenza della radiazione che
lo attraversa. La variazione della velocità di un’onda al variare della sua frequenza
origina il fenomeno della dispersione. La dispersione provoca il classico fenomeno
della scomposizione della luce bianca nei vari colori che la costituiscono quando la
luce passa attraverso un prisma di vetro (Fig. 20.13). La dispersione della luce avviene perché ciascun colore (frequenza) viaggia a una velocità leggermente diversa
dall’altro all’interno del prisma di vetro.
Un mezzo non dispersivo è uno per il quale la variazione dell’indice di rifrazione è trascurabile nell’intervallo di frequenze considerato. Nessuno mezzo (vuoto escluso) è completamente non dispersivo, però molti materiali possono essere trattati come tali in certi intervalli limitati di frequenze. Per la maggior parte dei materiali otticamente trasparenti l’indice di rifrazione aumenta con l’aumentare della frequenza; nel vetro, per esempio, la luce blu viaggia più lentamente della luce rossa.
20.6
CARATTERISTICHE DELLE ONDE
ELETTROMAGNETICHE NEL VUOTO
Le proprietà delle onde elettromagnetiche possono essere ricavate dalle leggi fondamentali dell’elettromagnetismo (equazioni di Maxwell, Paragrafo 20.2). Per ricavar-
Figura 20.13 Un
prisma separa le diverse
componenti (colori) dello
spettro che costituiscono la
luce bianca.
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Capitolo 20 Le onde elettromagnetiche
le è necessario l’utilizzo di una matematica di un livello piuttosto elevato e dunque
ci limiteremo a elencare le loro proprietà senza darne una dimostrazione rigorosa.
•
•
•
•
Onde elettromagnetiche nel vuoto viaggiano alla velocità c = 3.00 × 108 m/s,
indipendentemente dalla loro frequenza e dalla loro ampiezza.
I campi elettrico e magnetico oscillano alla stessa frequenza. A questa frequenza
f corrisponde una sola lunghezza d’onda λ = c/f.
I campi elettrico e magnetico oscillano in fase, questo significa che in un dato istante nei punti dove il campo elettrico assume il valore massimo, anche il campo magnetico assume il valore massimo. Allo stesso modo, quando in un certo istante in
un punto si annulla un campo nello stesso punto si annulla anche l’altro.
L’ampiezza del campo elettrico è proporzionale all’ampiezza del campo magnetico. La costante di proporzionalità è la velocità della luce nel vuoto c:
Em = cBm
•
Poiché i campi sono in fase e le ampiezze sono proporzionali, le intensità istantanee dei campi sono proporzionali in qualsiasi punto e in qualsiasi instante:
E(x, y, z, t) = cB(x, y, z, t)
•
•
•
•
(20-6)
(20-7)
L’onda elettromagnetica è trasversale, ossia le direzioni dei campi elettrico e
magnetico sono perpendicolari alla direzione di propagazione dell’onda.
៮៬ B
៮៬ e la velocità di
I campi sono anche perpendicolari uno all’altro. Dunque, E,
propagazione sono tre vettori mutuamente perpendicolari.
៮៬ × B
៮៬ è sempre perpendicolare alla direzione di propagazione.
In ogni punto E
La densità dell’energia elettrica è in ogni punto uguale alla densità dell’energia
magnetica. L’onda trasporta esattamente metà della sua energia nel campo elettrico e l’altra metà nel campo magnetico.
20.7
ENERGIA TRASPORTATA DALLE ONDE
ELETTROMAGNETICHE
Come tutte le onde anche le onde elettromagnetiche trasportano energia. La vita sulla terra esiste perché l’energia irradiata dal sole viene catturata dalle piante che attraverso la fotosintesi la convertono in energia chimica. L’energia immagazzinata attraverso la fotosintesi viene trasferita, attraverso la catena alimentare, praticamente
a tutti gli esseri viventi, la cui sopravvivenza è garantita dal flusso continuo di energia che giunge dal sole. Ci sono solo poche eccezioni che sfuggono a questa regola per esempio alcuni batteri che vivono in fondo agli oceani ricevono l’energia necessaria per sopravvivere da fonti geotermiche la cui origine non è solare ma è legata alla radioattività naturale del nostro pianeta.
Tutte le risorse energetiche fossili: petrolio, carbone e gas naturale provengono
dai resti di animali o vegetali per cui in ultima analisi contengono l’energia irradiata dal sole e catturata dalla fotosintesi milioni di anni fa. Le celle fotovoltaiche convertono l’energia solare in elettricità, i venti e le piogge a loro volta sono messi in
movimento dal riscaldamento della superficie terrestre dovuto all’irraggiamento solare, potremmo continuare a cercare anche altre forme di energia ma tutte, eccetto
quelle geotermiche e quelle nucleari, hanno origine dal flusso di radiazioni elettromagnetiche provenienti dal sole.
Densità di energia
L’energia trasportata dalla radiazione luminosa è intrappolata nell’oscillazione dei
campi elettrico e magnetico. La densità di energia misurata in J/m3 trasportata da
una radiazione elettromagnetica vale:
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20.7 Energia trasportata dalle onde elettromagnetiche
per la parte elettrica
e per la parte magnetica
1
uE = ᎏᎏ⑀0E2
2
1
uB = ᎏᎏB2
2m 0
805
(16-19)
E possibile dimostrare che queste due quantità sono uguali per cui a densità di energia totale data dalla somma delle due parti risulta:
1
u = ⑀0E 2 = ᎏᎏB2
m0
(20-8)
Visto che l’ampiezza dei campi cambia in continuazione sia nel tempo che nello
spazio necessariamente cambia anche la densità dell’energia. Per riuscire a quantificare un valore è necessario introdurre il concetto di densità media di energia.
Questa può essere determinata calcolando la radice quadratica media dell’intensità dei campi:
2
苶
〉 e Brqm = 兹苶
〈B2〉
Erqm = 兹〈E
(20-9)
dove il simbolo sotto radice sta a indicare la media del quadrato delle intensità dei
campi:
E r2qm = 〈E 2〉 e Br2qm = 〈B2〉
La densità di energia media può infine essere scritta in termini delle radici quadratiche medie dei campi come:
〈u〉 = ⑀0〈E2〉 = ⑀0E r2qm
(20-10)
1
1
〈u〉 = ᎏᎏ〈B2〉 = ᎏᎏBr2qm
m0
m0
(20-11)
Intensità
La densità di energia ci dice quanta energia è contenuta nell’unità di volume di uno
spazio in cui è presente un campo di onde elettromagnetiche. Supponiamo che questo campo sia un campo luminoso e che questo incida perpendicolarmente su una
superficie. Vogliamo capire quanta energia colpisce questa superficie. Chiaramente
la quantità di energia dipenderà sia dal tempo di esposizione che dalle dimensioni
dell’area illuminata, per cui potremmo dare una risposta più generale se calcoliamo
la quantità di energia che nell’unità di tempo colpisce l’unità di superficie J .
s ⋅ m2
Questa quantità prende il nome di intensità:
〈P〉
I = ᎏᎏ
A
(20-12)
Nel sistema internazionale l’intensità I si misura in
Onde EM
energia
J
W
=
= 2
2
tempo ⋅ superfice s ⋅ m
m
A
L’intensità dipende dalla densità media di energia u e dalla velocità di propagazione della radiazione c. Se una superficie A viene illuminata perpendicolarmente
quanta energia la raggiunge in un intervallo di tempo ∆t? In quell’intervallo l’onda
si sposta di una distanza c∆t così che tutta l’energia contenuta nel volumetto V = Ac∆t
colpisce la superficie. Per cui l’intensità I può essere scritta come:
〈u〉V 〈u〉Ac ∆t
I = ᎏᎏ = ᎏᎏ = 〈u〉c
A ∆t
A ∆t
(20-13)
L’Equazione (20-13) ci dice che l’intensità di una radiazione è proporzionale alla
densità media di energia ovvero alla media quadratica del campo elettrico o del ca-
c ∆t
Figura 20.14
Geometria per trovare
la relazione che lega
la densità di energia
e l’intensità.
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Capitolo 20 Le onde elettromagnetiche
806
L’intensità
è proporzionale
all’ampiezza al quadrato.
po magnetico. Se i campi variano nel tempo in modo sinusoidale il valore dalla radice quadratica media vale 2–1/2 volte l’ampiezza del campo e in questo caso avremo che l’intensità è proporzionale al quadrato dell’ampiezza del campo elettrico o
del campo magnetico.
Esempio 20.4
Campo EM di una lampada
Quanto vale l’intensità e la radice quadratica media
dei campi elettrico e magnetico alla distanza di
4.00 m da una lampada da 100.0 W. Supponi che tutta la potenza elettrica venga trasformata in radiazione elettromagnetica e che questa venga emessa in
modo isotropo.
Impostazione La radiazione si propaga dalla lampada in modo isotropo per cui l’intensità dipende solamente dalla distanza dalla lampada. Se facciamo una
sfera ideale avente un raggio di 4.00 m attorno alla
lampada tutta la potenza irradiata attraverserà la sfera con un ritmo di 100 J/s ovvero 100 W. Da questo
dato possiamo estrarre l’intensità (potenza media per
unità di area) e da qui le rms dei campi.
Soluzione Tutta l’energia irradiata dalla lampada
attraversa la superficie per cui la potenza media per
unità di area alla distanza di 4.00 m vale:
〈P〉
〈P〉
100.0 W = 0.497 W/m2
I = ᎏᎏ = ᎏᎏ2 = ᎏ
ᎏ
A
4p r
4p × 16.0 m2
Per ottenere Erqm dobbiamo vedere la sua relazione
con la densità media di energia che è:
I
2
〈u〉 = ᎏcᎏ = ⑀0E rqm
冪莦
I
ᎏ
⑀ 0ᎏc =
Erqm =
冪
0.497 W/m
ᎏᎏᎏᎏ
莦莦
莦
C
2
2
8.85 × 10–12 ᎏᎏ2 × 3.00 × 108 m/s
N•m
= 13.7 V/m
Similmente per Brqm
Brqm =
ᎏcᎏ =
冪莦
m 0I
冪
T•m
4p × 10 ᎏᎏ × 0.497 W/m
莦莦莦
A
ᎏᎏᎏᎏ
–7
2
3.00 × 108 m/s
= 4.56 × 10–8 T
Discussione Un buon modo per verificare la correttezza dei risultati è quella di calcolare il rapporto
delle rqm dei campi:
E qm
13.7V/m = 3.00 × 108 m/s = c
=ᎏ
ᎏrᎏ
ᎏ
Br qm 4.56 × 10–8 T
Come ci si aspettava.
Problema pratico 20.4 Campo di una
lampada a una distanza maggiore
Quanto vale la rqm dei campi a una distanza di 8.00 m
dalla lampada? [Suggerimento: non ripetere tutti i calcoli, cerca una scorciatoia.]
Se una superficie è illuminata da una intensità I ma non è perpendicolare alla direzione di provenienza della luce allora la quantità di energia che colpisce la superficie
è inferiore a IA. Come mostrato in Figura 20.15 la superficie perpendicolare alla direzione di propagazione della luce intercetta la stessa quantità di energia della superficie A ma la sua estensione è inferiore e vale A cos θ. In generale se la superficie non
è ortogonale alla direzione di provenienza della luce la potenza intercettata vale:
〈P〉 = IA cos q
(20-14)
dove θ è l’angolo tra la direzione di propagazione della luce e la normale alla superficie.
Figura 20.15 La
superficie A cos θ è
perpendicolare alla direzione
della radiazione incidente e
intercetta la stessa energia
della superficie A che forma
un angolo θ con la
superficie A cos θ.
A cos q
θ
A
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20.7 Energia trasportata dalle onde elettromagnetiche
807
Esempio 20.5
Potenza per unità di area ricevuta dal suolo terrestre al solstizio d’estate
L’intensità della luce solare che raggiunge la
superficie terrestre in una limpida giornata è
circa 1.0 kW/m2. Trovare la potenza media che incide sull’unità di area della superficie terrestre a una
latitudine di 40.0° a nord a mezzogiorno del solstizio d’estate (vedi Fig. 20.16a). La differenza rispetto al valore di 1.0 kW/m2 è dovuta all’inclinazione
dell’asse di rotazione terrestre che è di 23.5°. Al solstizio d’estate l’asse è inclinato verso il sole mentre
al solstizio d’inverno l’asse è inclinato dalla parte opposta.
Impostazione La superficie terrestre non è sempre perpendicolare alla direzione della luce proveniente dal sole per cui la potenza che raggiunge l’unità di area è di certo minore di 1.0 kW/m2 e il suo valore è legato all’angolo d’incidenza.
Soluzione Se noi assumiamo che la Terra sia sferica ogni raggio proveniente dal centro della terra interseca la superficie terrestre con un angolo di 90° e
quindi identifica la direzione della normale alla superficie in quel punto (Fig. 20.16a). Per cui l’angolo
θ tra la normale alla superficie (raggio uscente) vale
40.0° – 23.5° = 16.5°. La potenza media per unità di
area sarà quindi:
〈P〉
3
2
ᎏᎏ = I cos q = 1.0 × 10 W/m × cos 16.5°
A
= 960 W/m2
Se si volesse trovare la potenza per unità di area al solstizio d’inverno ci accorgeremmo che questa è meno
della metà di quella estiva. L’intensità emessa dal sole
non è cambiata, è cambiato l’angolo d’incidenza. Anche se in inverno nell’emisfero nord la terra è leggermente più vicina al sole rispetto all’estate, la differenza di temperatura tra estate e inverno è da attribuire principalmente al diverso angolo d’incidenza della luce solare e alla differenza della lunghezza delle giornate.
Problema di verifica 20.5
al solstizio d’inverno
Quanto vale la potenza media per unità di area che
raggiunge la Terra alla latitudine di 40.0° nord al solstizio d’inverno?
Equinozio di
primavera
Asse di
rotazione
Direzione alla direzione
di provenienza della luce solare Asse di
rotazione
23.5°
Normale alla
superficie
θ
Direzione alla direzione
di provenienza della luce solare
50.0° – 23.5°
= 26.5°
Asse di
rotazione
θ
Normale alla
superficie
50.0°
Potenza media
50.0°
Luce solare
Luce solare
23.5°
40.0°
θ
Luce solare
θ
40.0°
Equatore
Equatore
Solstizio d’estate
Solstizio d’inverno
(a)
(b)
Figura 20.16 (a) A mezzogiorno di un solstizio d’estate nell’emisfero nord, l’asse di rotazione è inclinato di 23.5°
verso il sole e alla latitudine di 40.0° nord la luce solare incidente è all’incirca normale alla superficie terrestre. (b) Nel
pomeriggio di un solstizio d’inverno nell’emisfero nord l’asse di rotazione è inclinato sempre di 23.5° ma dalla parte
opposta. Alla latitudine di 40.0° nord la luce solare incide con un angolo minore.
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Capitolo 20 Le onde elettromagnetiche
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Movimento
della corda
Propagazione
Movimento dell’onda
Propagazione
dell’onda
Propagazione
dell’onda
Movimento
della corda
della corda
y
z
x q
y
x
z
(a)
(b)
Figura 20.17
Onde trasversali su una corda con tre diverse polarizzazioni lineari (piane).
20.8
Polarizzazione di un’onda
elettromagnetica:
corrisponde alla direzione di
oscillazione del suo campo
elettrico.
y
A
Ay
q
Ax
Figura 20.18
(c)
x
Qualsiasi
onda polarizzata
linearmente può essere
pensata come la
sovrapposizione di due
onde aventi polarizzazione
su piani tra loro
perpendicolari con
ampiezze opportune.
POLARIZZAZIONE
Poiché il ragionamento che stiamo per fare può essere applicato a tutte le onde trasversali e che l’onda trasversale più semplice da immaginare è quella di una corda vibrante, immagina l’onda trasversale di una corda che si sta muovendo nella direzione crescente dell’asse z. Ora ci chiediamo in che direzione devo far oscillare la corda per produrre l’onda? La scelta della direzione di oscillazione è arbitraria, potrei scegliere la direzione ±x (Fig. 20.17a) oppure la direzione ±y (Fig. 20.17b) oppure in una qualunque
delle direzioni del piano xy come in Figura 20.17c. Nella Figura 20.17c lo spostamento di ogni punto della fune dalla sua posizione di equilibrio è parallelo alla linea che
forma un angolo θ con l’asse x. Ebbene queste tre onde possono essere chiamate onde
linearmente polarizzate e la direzione di polarizzazione è quella lungo la quale oscillano i vari punti della corda: ±x per la Figura 20.17a, ±y per la Figura 20.17b e così via.
Il termine linearmente polarizzata sta a indicare che l’onda oscilla su un piano
che prende il nome di piano di polarizzazione. Le onde elettromagnetiche, così come tutte le onde trasversali, possono essere polarizzate linearmente. Le onde elettromagnetiche sono composte da due campi tra loro ortogonali ed entrambi oscillano trasversalmente rispetto alla direzione di propagazione; per convenzione, si assume che il piano di polarizzazione di una onda EM è quello nel quale oscilla il
campo elettrico. Le antenne siano esse a dipolo elettrico o a dipolo magnetico producono onde polarizzate linearmente. Se una stazione radio emette le sue trasmissioni usando un’antenna a dipolo elettrico orizzontale allora le onde EM emessa
avranno polarizzazione orizzontale e ogni ricevitore per ottimizzare il segnale ricevuto dovrà utilizzare antenne polarizzate orizzontalmente.
Nel Paragrafo 20.3 abbiamo affermato che se un’antenna a dipolo elettrico non
è allineata con il campo elettrico dell’onda elettromagnetica che deve ricevere, allora la fem indotta viene ridotta di un fattore cos θ, dove θ è l’angolo tra la direzione di oscillazione del campo elettrico e l’asse dell’antenna. Questo effetto può
essere interpretato attraverso il concetto di polarizzazione. Ogni onda polarizzata
può essere pensata come la sovrapposizione di due onde a loro volta polarizzate in
due piani tra loro ortogonali che possiamo scegliere in modo arbitrario. Il campo
elettrico è un vettore e può sempre essere pensato come la somma di due vettori tra
loro perpendicolari (le componenti del vettore). Anche l’onda trasversale di ampiezza
A può essere pensata come la sovrapposizione di due onde, una polarizzata nella direzione x e una nella direzione y e le cui ampiezze saranno rispettivamente A cos θ
e A sin θ (vedi Fig. 20.18). Applicando questo ragionamento alle onde EM polarizzate possiamo concludere che il segnale dell’antenna ricevente è dovuto solo alla
componente dell’onda che ha lo stesso piano di polarizzazione dell’antenna stessa
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20.8 Polarizzazione
809
mentre la componente a essa ortogonale non dà nessun contributo all’oscillazione
degli elettroni lungo l’asse dell’antenna.
Onde non polarizzate
La luce prodotta da una lampada a incandescenza non è polarizzata in quanto è composta da un grandissimo numero di onde elettromagnetiche prodotte contemporaneamente da un grandissimo numero di atomi che oscillano in direzioni diverse e
indipendenti. Poiché queste direzioni sono completamente casuali anche le radiazioni elettromagnetiche che compongono il fascio di luce avranno direzioni di polarizzazione tra loro diverse e completamente casuali. La luce del sole, anch’essa
prodotta dall’oscillazione di un grandissimo numero di oscillatori indipendenti, non
è polarizzata.
I polarizzatori
I polarizzatori sono dispositivi ottici che si lasciano attraversare solo da onde elettromagnetiche che hanno il piano di polarizzazione parallelo a una direzione ben
definita indipendentemente dalla direzione di polarizzazione dell’onda che incide
su di essi. Un dispositivo di polarizzazione per le onde trasversali prodotte da una
corda vibrante è mostrato in Figura 20.19. La fessura verticale lascia scivolare la
corda verticalmente senza nessuna forma d’attrito ma impedisce qualsiasi oscillazione nella direzione orizzontale. Se l’onda trasversale è polarizzata verticalmente allora attraversa la fessura indisturbata (Fig. 20.19a). Se l’onda è polarizzata
orizzontalmente non viene trasmessa ma viene riflessa all’indietro e la fessura si
comporta come una sua estremità fosse fissata alla fenditura (Fig. 20.19b). La direzione della fenditura individua il piano di polarizzazione lungo il quale le onde
vengono completamente trasmesse. Se un’onda trasversale è polarizzata in una direzione che forma un angolo θ con il piano di polarizzazione della fenditura allora solo la componente perpendicolare dell’onda viene trasmessa e se A è l’ampiezza dell’onda incidente A cos θ è l’ampiezza dell’onda che viene trasmessa
(Fig. 20.19c).
Un polarizzatore per microonde è costituito da una griglia di lamine metalliche
poste l’una dall’altra a una distanza inferiore della lunghezza d’onda delle micro-
Direzione dell’oscillazione
della corda
Direzione dell’oscillazione
della corda
Direzione di
propagazione
dell’onda
Direzione di
propagazione
dell’onda
Figura 20.19
(a)
y
q
(b)
Direzione dell’oscillazione
della corda
y
A
z
x
A cos q
q
Direzione di
propagazione
dell’onda
–z
(c)
(d)
Una
fessura verticale permette
il passaggio alle onde
polarizzate verticalmente (a),
e ferma quelle polarizzate
orizzontalmente (b). Se
l’onda incidente è
polarizzata con un angolo θ
rispetto alla verticale (c)
viene trasmessa solo la
componente dell’onda
polarizzata verticalmente di
ampiezza A cos θ (d).
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Capitolo 20 Le onde elettromagnetiche
Ricevitore di
microonde
Polarizzazione
delle onde trasmesse
Figura 20.20
Griglia di
polarizzazione per
microonde. (a) Un fascio di
microonde polarizzato
orizzontalmente passa
attraverso il polarizzatore
se le sue strisce sono
orientate verticalmente
mentre (b) è bloccato da un
polarizzatore con strisce
orizzontali.
Figura 20.21
(a) Un
fascio di luce non
polarizzata incide su tre
polarizzatori orientati in
differenti direzioni.
L’intensità trasmessa è la
stessa. (b) Un fascio di la
luce polarizzata linearmente
incide sugli stessi tre
polarizzatori. Le intensità
trasmesse sono tra loro
diverse. Nota che l’intensità
trasmessa per θ = 0 è
leggermente minore
dell’intensità incidente –
non abbiamo usato
polarizzatori ideali.
Ricevitore di
microonde
Onde non
trasmesse
Griglia
polarizzatrice
Polarizzazione
delle onde incidenti
Antenna
Trasmettitore
di microonde
(a)
Griglia
polarizzatrice
Polarizzazione
delle onde incidenti
Antenna
Trasmettitore
di microonde
(b)
onde stesse (Fig. 20.20). Le lamine metalliche funzionano da antenna e gli elettroni della lamina intercettano la componente del campo elettrico parallelo alla lamina
stessa producendo correnti alternate che dissipano l’energia trasportata dall’onda. Le
correnti alternate indotte dall’onda producono a loro volta delle microonde ma in
opposizione di fase con l’onda incidente che cancella completamente la componente del campo elettrico trasmesso e al tempo stesso origina microonde riflesse all’indietro. La combinazione dell’assorbimento e della riflessione annullano completamente la componente del campo elettrico parallelo alle lamine. Questo significa che
le microonde trasmesse dal dispositivo avranno il campo elettrico che oscilla in un
piano perpendicolare a quello delle lamine metalliche. Fate attenzione che tra il caso della fune e quello delle microonde c’è un’importante differenza: mentre nel caso della fune passa la componente che viaggia parallelamente alla fenditura, nel caso delle microonde passa la componente perpendicolare alle aperture.
Per polarizzare la luce visibile vengono utilizzati filtri polarizzatori, chiamati
anche polaroidi, il cui principio di funzionamento è molto simile ai polarizzatori
per microonde a lamine metalliche. Questi filtri contengono lunghe molecole polimeriche (idrocarburi) a cui sono legati atomi di iodio. La presenza dell’atomo di
iodio permette agli elettroni di muoversi liberamente lungo la catena polimerica
per cui se le molecole polimeriche vengono stirate e allineate l’una con l’altra, tutte nella stessa direzione, si comporteranno come tanti fili conduttori tutti allineati
e assorbiranno la componente del campo elettrico a essi parallela. Se queste catene polimeriche sono sufficientemente vicine (distanza inferiore alla lunghezza d’onda della luce visibile), allora solo la componente del campo elettrico della luce perpendicolare a questa catene polimeriche viene trasmessa da questi filtri. Se la luce non polarizzata incide su un polarizzatore ideale solo metà dell’intensità incidente viene trasmessa indipendentemente dall’orientazione del polarizzatore (Fig.
20.21a). La luce non polarizzata può essere pensata come la sovrapposizione di
due onde non correlate (la loro fase varia al variare del tempo) aventi piani di polarizzazione tra loro ortogonali. Metà dell’energia sarà associata a un’onda e metà all’altra.
1
I = ᎏ2ᎏI0 (luce non polarizzata trasmessa da un polarizzatore ideale)
(a)
(b)
(20-15)
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20.8 Polarizzazione
811
Se la luce incidente sul polarizzatore fosse linearmente polarizzata allora sola៮៬ parallela al piano di polarizzazione del filtro viene tramente la componente di E
smessa, quindi
E = E0 cos q
(luce polarizzata trasmessa da un polarizzatore ideale)
Quando si applica la
legge di Malus
assicurati di usare l’angolo
giusto. Nelle Equazioni
(20-16), θ è l’angolo tra
la direzione di
polarizzazione della luce
incidente e l’asse di
trasmissione del
polarizzatore.
(20-16a)
Poiché l’intensità è proporzionale al quadrato dell’ampiezza del campo elettrico otteniamo che:
I = I0 cos2 q
(luce polarizzata trasmessa da un polarizzatore ideale)
(20-16b)
L’Equazione (20.16b) è l’espressione formale della legge di Malus. L’ingegnere
Étienne-Louis Malus (1775-1821) era uno dei capitani dell’esercito di Napoleone.
Esempio 20.6
Luce non polarizzata trasmessa da due polarizzatori
Consideriamo un fascio di luce non polarizzata d’intensità I0 che incide su due filtri polarizzatori messi
uno in cascata all’altro (Fig. 20.22). Supponiamo che
l’asse di polarizzazione del primo polarizzatore sia
verticale e che quello del secondo sia inclinato di 30°
rispetto alla verticale. Quanto vale l’intensità della luce trasmessa dal secondo polarizzatore? Quale sarà
il suo stato di polarizzazione?
Impostazione I due polarizzatori devono essere
analizzati separatamente. Prima troviamo l’intensità
trasmessa dal primo. La luce trasmessa da un filtro
polarizzatore è sempre polarizzata nel piano di polarizzazione del filtro stesso; questo vuol dire che le
componenti ortogonali del campo elettrico all’asse
del filtro polarizzatore di tutte le onde che costituiscono il fascio di luce vengono tagliate. Questo ci
permette di calcolare sia l’intensità sia lo stato di polarizzazione della luce trasmessa.
Soluzione Quando un fascio di luce non polarizzata attraversa un polarizzatore ideale l’intensità tra-
I0
Asse del primo
polarizzatore
Asse
del secondo
polarizzatore
30.0°
I1
I2
Luce non
polarizzata
smessa è esattamente la metà di quella incidente [Eq.
(20.15)]. Per cui
1
I1 = ᎏ2ᎏI0
La luce trasmessa dal primo polarizzatore è linearmente polarizzata nella direzione parallela all’asse
del polarizzatore che è verticale.
Dal secondo filtro polarizzatore verrà trasmessa
solo la componente del campo elettrico parallela al
suo asse di polarizzazione che è inclinato di 30° rispetto alla verticale. L’intensità è però proporzionale al quadrato della componente del capo elettrico per
cui l’intensità trasmessa sarà ridotta di un fattore
cos2 30.0° (legge di Malus). In conclusione l’intensità incidente sui due polarizzatori in cascata è:
1
I2 = I1 cos2 30.0° = ᎏ2ᎏI0 cos2 30.0° = 0.375 I0
La luce in uscita è polarizzata e ha il piano di polarizzazione inclinato di 30.0° rispetto alla direzione
verticale.
Discussione Nei problemi in cui vengono
usati due o più polarizzatori in cascata è necessario analizzare il comportamento di un polarizzatore alla volta. L’intensità e lo stato di polarizzazione della luce uscente da un polarizzatore viene
usata per determinare l’intensità e lo stato di polarizzazione della luce che esce da quello successivo
e così via.
E01
Primo
polarizzatore
E02
Secondo
polarizzatore
Figura 20.22 I dischi circolari rappresentano filtri
polarizzatori, i loro assi di trasmissione sono indicati.
Problema di verifica 20.6
massimo dell’intensità
Minimo e
Se un fascio di luce non polarizzata incide su un sistema di due polarizzatori in cascata qual è il massimo e il minimo dell’intensità trasmessa dal sistema?
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Capitolo 20 Le onde elettromagnetiche
812
Esempio 20.7
Luce polarizzata dalla diffusione
A mezzogiorno il sole è alto nel cielo praticamente
proprio sopra la nostra testa. Se volgiamo lo sguardo verso est e guardiamo l’orizzonte vedremo la luce azzurra che il cielo diffonde verso di noi. Ora ci
chiediamo: sarà polarizzata questa luce?
Impostazione A mezzogiorno la luce del sole
scende quasi verticalmente sulla superficie terrestre
e diffonde sulle particelle dell’atmosfera; quelle che
arriveranno verso il nostro occhio avranno un angolo di diffusione di circa 90° rispetto alla direzione di
provenienza della luce. Se consideriamo il fatto che
l’intensità della luce non polarizzata del sole può essere considerata equamente ripartita in due possibili
direzioni di polarizzazione, scegliendo opportunamente queste direzioni possiamo ottenere la soluzione. È molto importante aiutarsi con un disegno che
rappresenti la situazione.
Soluzione e discussione La Figura 20.23 mostra il percorso della luce non polarizzata che scende dal sole di mezzogiorno. L’intensità di questa luce non polarizzata può essere immaginata come equamente distribuita in due direzioni di polarizzazione
tra loro ortogonali. Scegliamo la direzione nord-sud
e la direzione est-ovest della Figura 20.23.
Consideriamo gli effetti delle due componenti.
La componente del campo elettrico che oscilla nella
direzione nord-sud farà oscillare le molecole dell’atmosfera nella stessa direzione. Un dipolo oscillante
nella direzione nord-sud irradia il massimo della sua
intensità in tutte le direzioni perpendicolari all’asse
Orientazione delle
api
Figura 20.23
La luce che arriva dal
sole ha componenti
con polarizzazione in
tutte le direzioni. Le
polarizzazioni nelle
direzioni est-ovest e
nord-sud sono
rappresentate da frecce
verdi a doppia punta.
La luce diffusa verso
ovest è polarizzata
lungo la direzione
nord-sud.
Sole
Alto
Nord
Est
Ovest
Sud
Basso
Molecola
nell’aria
Osservatore
di oscillazione compresa la direzione est-ovest che
noi vogliamo analizzare.
La parte d’intensità della luce solare associata
alla direzione est-ovest produce dipoli oscillanti nella stessa direzione che irradieranno molto poco nella direzione est-ovest ovvero verso il nostro occhio.
In conclusione la luce che arriverà al nostro occhio
sarà prevalentemente polarizzata nella direzione
nord-sud.
Problema di verifica 20.7
verso nord
Guardare
Se osserviamo il cielo sopra l’orizzonte nella direzione nord poco prima del tramonto, in che direzione sarà parzialmente polarizzata la luce che raccoglie
il nostro occhio?
Come si orientano le api in un giorno nuvoloso
Le api hanno un sistema visivo composto molto complesso. È costituito da migliaia
di fibre trasparenti chiamate ommatidia. Ogni ommatidia ha alla sua estremità una
o più superfici semisferiche il cui insieme costituisce il cosiddetto occhio composto
dell’ape (Fig. 20.24). Questo rende l’occhio sensibile alla direzione di provenienza
della luce. Ogni ommatidia è costituito da nove cellule una delle quali è sensibile
anche alla polarizzazione della luce incidente. Quando il sole non è visibile, come
nelle giornate nuvolose, le api riescono a individuare la posizione del sole analizzando lo stato di polarizzazione della luce diffusa che le raggiunge. Questa è stata
la conclusione di una ricerca di Karl von Frisch e altri che negli anni ’60 con ingegnosi sistemi hanno modificato lo stato di polarizzazione della luce diffusa percepita dalle api.
Figura 20.24
un’ape.
Fotografia al microscopio elettronico dell’occhio composto di
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20.9 L’effetto Doppler per le onde EM
20.9
813
L’EFFETTO DOPPLER PER LE ONDE EM
Nel Paragrafo 11.17 abbiamo visto che la frequenza di un’onda acustica viene influenzata dalla velocità con cui, la sorgente o il ricevitore, si muove rispetto al
mezzo di propagazione dell’onda. Questa variazione di frequenza è chiamata effetto Doppler. Quando la sorgente e il ricevitore sono in avvicinamento la frequenza percepita è maggiore di quella emessa dalla sorgente perchè il tempo necessario al fronte d’onda emesso in un istante successivo a raggiungere il ricevitore è inferiore. Se Ts è il periodo con cui la sorgente emette e To è il periodo
con cui riceve l’osservatore si avrà che To < Ts per cui la frequenza con cui l’osservatore riceve fo = 1/To è maggiore della frequenza con cui emette la sorgente
fs = 1/Ts.
L’effetto Doppler si verifica per tutte le onde comprese quelle elettromagnetiche. Comunque la formula dell’effetto Doppler è diversa per i vari tipi di onde e la
formula [Eq, (11-27)] derivata per il suono non è valida per le onde EM. Dato che
le onde EM non hanno bisogno di un mezzo per propagarsi, in questo caso l’effetto Doppler non può dipendere dalla velocità relativa rispetto al mezzo di propagazione che non c’è, dipenderà quindi solamente dalla velocità relativa tra sorgente e
osservatore.
Utilizzando le formule della relatività di Einstein otteniamo la relazione per la
variazione della frequenza:
fo = fs
1 + v /c
ᎏ
莦
莦
冪ᎏ
1 – v /c
rel
(20-17)
rel
In questa equazione vrel è positiva se la sorgente si avvicina all’osservatore e negativa nel caso contrario. Se la velocità relativa tra sorgente e osservatore è molto minore della velocità della luce c l’espressione si semplifica (vedi Appendice A.5):
冢1 + ᎏcᎏ冣
v el
≈ 1 + ᎏrᎏ
2c
冢
v el
≈ 1 + ᎏrᎏ
2c
1/2
vrel
e
v
1 – ᎏcrel
ᎏ
冣
–1/2
Sostituendo questa approssimazione nell’Equazione (20-17) otteniamo:
冢
v el
fo ≈ fs 1 + ᎏrᎏ
2c
冣
2
che utilizzando ancora una volta l’approssimazione binomiale si ottiene:
冢
v
fo ≈ fs 1 + ᎏcrel
ᎏ
冣
(20-18)
Esempio 20.8
Misura della velocità con l’autovelox di bordo della polizia
Un’auto della polizia si sta muovendo alla velocità di 38.0 m/s e con il radar montato sul davanti dell’auto si vuol misurare la velocità dell’auto
sportiva che la precede. Il radar della polizia emette
un’onda EM avente frequenza 3.0 × 1010 Hz. Se la polizia misura che la frequenza di ritorno si è ridotta di
1400 Hz qual è la velocità dell’auto sportiva che sta pre-
cedendo la polizia? [Si consiglia di trovare prima la frequenza vista dall’auto sportiva che diventa la nuova sorgente di onde radar che dopo la riflessione verranno viste dall’auto della polizia con un’ulteriore variazione.]
Impostazione L’effetto Doppler si verifica due
volte. La prima volta mentre l’onda viaggia dall’auto
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Capitolo 20 Le onde elettromagnetiche
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38.0 m/s
Le microonde emesse viaggiano
verso l’auto sportiva
Figura 20.25 (a)
La macchina della
polizia emette
microonde alla
frequenza f1. La
macchina sportiva
riceve queste onde alla
frequenza f2, in base
all’effetto Doppler.
(b) L’onda viene riflessa
alla frequenza f2 e la
polizia riceve
nuovamente l’onda alla
frequenza f3.
Polizia
Frequenza
emessa f1
v=?
Auto sportiva
Frequenza
ricevuta f2
(a)
38.0 m/s
Le microonde riflesse tornano
v=?
verso l’auto della polizia
Polizia
Frequenza
emessa f2
Frequenza
ricevuta f3
Auto sportiva
(b)
della polizia verso l’auto sportiva (Fig. 20.25a). Dopo
essere stata investita dall’onda radar con frequenza aumentata, l’auto sportiva diventa lei stessa una sorgente di onde radar aventi questa nuova frequenza. Queste viaggeranno nuovamente verso l’auto della polizia
aumentando nuovamente la frequenza sempre per effetto Doppler (Fig. 20.25b). La differenza di velocità
tra le due auto è molto inferiore della velocità della
luce per cui possiamo usare la formula dell’Equazione (20-18).
In questo esercizio ci sono tre diverse frequenze: la frequenza dell’onda emessa dall’auto della polizia f1 = 3.0 × 1010 Hz, la frequenza ricevuta ed emessa dall’auto sportiva f2 e la frequenza ricevuta nuovamente dall’auto della polizia f3. Poiché le auto sono in fase di avvicinamento la differenza di velocità
vrel è positiva e le frequenze aumentano.
Soluzione Sappiamo che la variazione di frequenza è ∆f = f3 – f1 e che la frequenza osservata dall’auto sportiva è:
冢
v
f2 = f1 1 + ᎏcrel
ᎏ
冣
Le onde di questa frequenza emesse dall’auto sportiva verranno ricevute dall’auto della polizia con la
frequenza:
冢
冣 冢
v
v
f3 = f2 1 + ᎏcrel
ᎏ = f1 1 + ᎏcrel
ᎏ
冣
2
Utilizzando l’approssimazione binomiale otteniamo:
Effetto Doppler per
le galassie e le
stelle lontane
冢
v
f3 = f1 1 + ᎏcrel
ᎏ
冣 ≈ f 冢1 + 2ᎏcᎏ冣
2
1
vrel
Da cui è possibile ricavare vrel:
冢
冣
冢
冣
冢 冣
1 f3
1 f3 – f1
1 fba tt
vrel = ᎏᎏc ᎏᎏ – 1 = ᎏᎏc ᎏᎏ = ᎏᎏc ᎏᎏ
2 f1
2
f1
2
fa
1400 Hz = 7.0 m/s
= ᎏ1ᎏ × 3.00 × 108 m/s × ᎏ
ᎏ
2
3.0 × 1010 Hz
Visto che le auto si stanno avvicinando la velocità
dell’auto della polizia è maggiore della velocità dell’auto sportiva che sta procedendo a una velocità di:
38.0 m/s – 7.0 m/s = 31.0 m/s
Discussione L’utilizzo della formula approssimata dell’effetto Doppler semplifica moltissimo i calcoli. Se avessimo utilizzato le formule esatte avremmo ottenuto lo stesso risultato ma in tempi decisamente più lunghi. In questo esercizio le velocità delle auto sono talmente inferiori della velocità della luce che gli errori dovuti all’approssimazione sono praticamente trascurabili.
Problema di verifica 20.8
un oggetto fermo
Riflessione da
Supponiamo che l’auto della polizia si stia muovendo a una velocità di 23 m/s, quale sarà l’aumento della frequenza ricevuta dopo che il fascio radar è stato
riflesso da un oggetto fermo?
I radar usati in meteorologia forniscono informazioni sulla posizione dei sistemi nuvolosi. Essi usano anche sistemi di radar Doppler per ottenere informazioni sulla
velocità dei corpi nuvolosi. L’effetto Doppler della luce proveniente dalle galassie
lontane, detto anche red-shift (spostamento verso il rosso dello spettro della luce),
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Riepilogo
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ha portato alla conferma che il nostro universo si sta espandendo ed ha confermato
la legge di Hubble: la velocità di allontanamento di una galassia è tanto maggiore
quanto essa è più lontana da noi. Per cui lo “shift Doppler” può essere usato per misurare la distanza tra la terra e le varie galassie.
RIEPILOGO
• Le onde elettro-magnetiche (EM) sono costituite da
un campo elettrico e da un campo magnetico oscillanti prodotti da una sorgente (antenna) e si propagano nello spazio.
• La legge di Ampère-Maxwell è l’estensione della
legge di Ampère proposta da Maxwell per poter includere anche i campi magnetici generati da campi
elettrici variabili:
E(x, y, z, t) = cB(x, y, z, t)
(20-7)
៮៬
៮៬
– E, B e la direzione di propagazione hanno direzioni mutuamente perpendicolari.
៮៬ × B.
៮៬
– Il verso di propagazione è quello di E
– L’energia è trasportata al 50% dal campo elettrico e al 50% dal campo magnetico.
• La densità di energia trasportata da un’onda EM nel
vuoto (J/m3) vale:
E
Σ B ∆l = m 0冢I + ⑀0 ᎏ
∆t 冣
1
1
〈u〉 = ⑀0〈E2〉 = ⑀0Er2qm = ᎏmᎏ 〈B2〉 = ᎏmᎏ Br2qm (20-10, 11)
∆Φ
(20-1)
0
• La legge di Ampère-Maxwell insieme alle leggi di
Gauss e di Farady viste come un sistema di leggi
vengono chiamate le equazioni di Maxwell. Esse
descrivono completamente il comportamento del
campo elettrico e del campo magnetico.
• La radiazione emessa da un’antenna a dipolo elettrico ha la massima intensità nella direzione perpendicolare all’antenna e la minima nella direzione
dell’asse dell’antenna. Tutte le antenne possono essere sia emittenti che riceventi.
• Lo spettro elettromagnetico è tradizionalmente suddiviso in varie regioni a cui vengono assegnati nomi diversi. Partendo dalle frequenze più basse le regioni sono: onde radio, microonde, infrarosso, visibile, ultravioletto, raggi X e raggi gamma.
• Tutte le onde EM viaggiano nel vuoto alla stessa
velocità:
1
c = ᎏᎏ = 3.00 × 108 m/s
兹苶
⑀ 0m 0
–
(20-3)
• Le onde EM attraversano la materia con una velocità minore di c. L’indice di rifrazione di un materiale è definito come:
c
n = ᎏᎏ
(20-4)
v
dove v è la velocità dell’onde nella materia.
• La velocità delle onde EM nella materia dipende dalla loro frequenza. Questo comporta che anche l’indice di rifrazione dipende dalla frequenza dell’onda EM.
• Quando un’onda EM passa da un mezzo all’altro la
sua lunghezza d’onda cambia e la frequenza rimane la stessa.
• Proprietà delle onde EM nel vuoto:
– Il campo elettrico e magnetico oscillano con la
stessa frequenza e la stessa fase.
0
2
• L’intensità dell’onda (W/m ) è:
I = 〈u〉c
(20-13)
Il valore dell’intensità è proporzionale al quadrato
dell’ampiezza del campo elettrico e del campo magnetico.
• La potenza media che incide su una superficie di
area A è:
〈P〉 = IA cos q
(20-14)
dove θ vale 0° se la luce incide perpendicolarmente
e 90° se la luce incide parallelamente la superficie.
• Un’onda elettromagnetica è polarizzata nel piano di
oscillazione del campo elettrico.
• Se un fascio di luce non polarizzata attraversa un
polarizzatore la sua intensità viene dimezzata:
1
I = ᎏ2ᎏI0
(20-15)
• Se un fascio di luce lineramente polarizzata incide
៮៬
su un polarizzatore, solamente la componente di E
parallela al piano di polarizzazione del polarizzatore viene trasmessa. Se θ è l’angolo tra il piano di
polarizzazione della luce incidente e d il piano di
polarizzazione del polarizzatore la componente di
៮៬ trasmessa è:
E
E = E0 cos q
(20-16a)
• Dato che l’intensità è proporzionale al quadrato dell’ampiezza avremo che l’intensità trasmessa dal polarizzatore vale:
I = I0 cos2 q
(20-16b)
• L’effetto Doppler per le onde EM dice che:
fo = fs
1 + v /c
莦
莦
ᎏ
冪ᎏ
1 – v /c
rel
rel
(20-17)
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Capitolo 20 Le onde elettromagnetiche
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dove vrel è positiva se la sorgente e il ricevitore sono in avvicinamento e negativa in caso contrario.
Se la vrel è molto minore di c si può usare la for-
Quesiti
1. Nel Paragrafo 20.3 abbiamo detto che un’antenna a
dipolo elettrico dovrebbe essere allineata con il
campo elettrico di un’onda EM per avere un’ottima
ricezione. Se, invece, si usa un’antenna a dipolo magnetico, il suo asse dovrebbe essere allineato con il
campo magnetico dell’onda? Spiega.
2. Un’antenna a dipolo magnetico ha il suo asse allineato con la verticale. L’antenna emette onde radio.
Se siete nel polo sud dell’antenna qual è lo stato di
polarizzazione delle onde radio che ti raggiungono?
3. Una luce polarizzata linearmente d’intensità I0 passa attraverso due fogli polarizzatori. Il secondo di
essi ha l’asse di trasmissione perpendicolare alla polarizzazione della luce prima che essa passi attraverso il primo foglio. Può l’intensità trasmessa attraverso il secondo foglio essere zero, oppure è possibile che un pò di luce passi? Spiega.
4. Usando la legge di Faraday spiega perché è impossibile avere un’onda magnetica senza una componente elettrica.
5. Secondo Maxwell, perché è impossibile avere un’onda elettrica senza avere una componente magnetica?
6. Marco insiste che le stagioni sono dovute alla forma ellittica dell’orbita terrestre e inoltre afferma che
si ha l’estate quando la terra è più vicina al sole e
l’inverno quando è più lontana. Quali prove puoi
portare per mostrare che le stagioni non dipendono
dal cambiamento della distanza terra-sole?
7. Perché le ore di luce sono maggiori d’estate che
in inverno?
8. Descrivi la polarizzazione delle onde radio, trasmesse da un’antenna a dipolo elettrico orizzontale, che viaggiano parallele alla superficie terrestre.
9. La figura mostra un’antenna a dipolo magnetico che
trasmette un’onda elettromagnetica. In un punto P
lontano dall’antenna, quali sono le direzioni e i versi dei campi elettrici e magnetici dell’onda?
y
z
x
P
Antenna a
dipolo
magnetico
10. Nell’esperienza quotidiana la luce visibile sembra
viaggiare in linea retta mentre le onde radio non si
comportano così. Spiega.
mula semplificata:
冢
v
fo ≈ fs 1 + ᎏcrel
ᎏ
冣
(20-18)
11. Un’onda luminosa passa attraverso una regione nebbiosa del cielo. Se il vettore campo elettrico dell’onda uscente è –41 di quello dell’onda incidente,
qual è il rapporto dell’intensità dell’onda trasmessa e l’intensità dell’onda incidente?
12. È possibile polarizzare le onde sonore? Spiega.
13. Perché un’antenna di un telefono cellulare è più corta dell’antenna radio di una macchina?
Quesiti a risposta multipla
1. La stazione radio che trasmette la tua musica preferita si trova esattamente a nord della tua casa e usa
un’antenna a dipolo elettrico orizzontale diretto
nord-sud. Per ricevere le sue trasmissioni tu devi
(a) Orientare l’antenna ricevente orizzontalmente, nord-sud.
(b) Orientare l’antenna ricevente orizzontalmente, est-ovest.
(c) Usare un’antenna ricevente verticale.
(d) Muoverti verso una città più lontana verso est
oppure verso ovest.
(e) Usare un’antenna a dipolo magnetico al posto
di un’antenna a dipolo elettrico.
2. Quale di queste affermazioni descrive correttamen៮៬ del camte l’orientazione del campo elettrico (E),
៮៬
po magnetico (B) e della velocità di propagazione
(៮៬v) di un’onda elettromagnetica?
៮៬ è perpendicolare a B,
៮៬ v៮៬ potrebbe avere qual(a) E
៮៬
siasi orientazione relativamente a E.
៮៬
៮៬
(b) E è perpendicolare a B; v៮៬ potrebbe avere qual៮៬
siasi orientazione perpendicolare a E.
៮៬
៮៬
៮៬
(c) E è perpendicolare a B; B è parallelo a v.
៮៬
៮៬ è perpendicolare a B;
៮៬ E
៮៬ è parallelo a v.
(d) E
៮៬
៮៬ è parallelo a B;
៮៬ v៮៬ è perpendicolare sia a E
៮៬
(e) E
៮៬
che a B.
(f) Ciascuno dei tre vettori è perpendicolare agli
altri due.
3. Un’onda elettromagnetica è generata da
(a) Tutte le cariche elettriche.
(b) Una carica elettrica accelerante.
(c) Una carica elettrica che si muove a velocità costante.
(d) Una carica elettrica ferma.
(e) Una barra magnetica ferma.
(f) Una carica elettrica in movimento, anche non
accelerante.
4. La velocità di un’onda elettromagnetica nel vuoto dipende da
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Problemi
5.
6.
7.
8.
9.
10.
(a) L’ampiezza del campo elettrico ma non dall’ampiezza del campo magnetico.
(b) L’ampiezza del campo magnetico ma non dall’ampiezza del campo elettrico.
(c) L’ampiezza di entrambi i campi.
(d) L’angolo tra il campo elettrico e il campo magnetico.
(e) La frequenza e la lunghezza d’onda.
(f) Nessuna delle risposte.
Se la lunghezza d’onda di un onda EM è all’incirca come il diametro di una mela, che tipo di radiazione è?
(a) Raggi X
(b) UV
(c) Infrarossi
(d) Microonde (e) Luce visibile (f) Onde radio
Il sole sta esattamente sopra alla tua testa e tu stai
guardando verso nord. La luce che arriva ai tuoi occhi dal cielo sopra l’orizzonte è.
(a) Parzialmente polarizzata nord-sud.
(b) Parzialmente polarizzata est-ovest.
(c) Parzialmente polarizzata sopra-sotto.
(d) Polarizzata a caso.
(e) Linearmente polarizzata sopra-sotto.
Un trasmettitore radio a dipolo magnetico ha l’antenna a forma di asta orientata verticalmente. In un
punto a sud rispetto al trasmettitore, le onde radio
hanno il loro campo magnetico
(a) Orientato nella direzione nord-sud.
(b) Orientato nella direzione est-ovest.
(c) Orientato nella direzione verticale.
(d) Orientato in qualsiasi direzione orizzontale.
Un’antenna a dipolo elettrico verticale
(a) Irradia uniformemente in tutte le direzioni.
(b) Irradia uniformemente in tutte le direzioni ma
con maggiore intensità nella direzione verticale.
(c) Irradia maggiormente e uniformemente nella
direzione orizzontale.
(d) Non irradia orizzontalmente.
Un fascio di luce è polarizzato linearmente. Tu
vorresti ruotare la sua direzione di polarizzazione
di 90° usando uno o più fogli polarizzatori ideali. Per avere il massimo dell’intensità quanti fogli
dovresti usare?
(a) 1
(b) 2
(c) 3.
(d) Il più possibile.
(e) Non c’è nessun modo, usando fogli polarizzatori, per far ruotare di 90° la direzione di
polarizzazione.
La luce passa da un mezzo (nel quale la velocità
della luce è v1) a un altro (in cui la velocità della
luce è v2). Se v1 < v2 non appena la luce attraversa
i due mezzi
(a) Decrescono sia f che λ.
(b) Non cambiano né f né λ.
(c) Aumenta f e diminuisce λ.
(d) f non cambia mentre λ aumenta.
817
(e) Aumentano sia f che λ.
(f) f non cambia mentre λ diminuisce.
(g) f decresce mentre λ aumenta.
Problemi
Problema di tipo concettuale e quantitativo
Applicazione biologica o medica
1.
Soluzione dettagliata sul sito
1.
1
Problemi con unità di misura non SI
2
Problemi concettualmente associati
Livello di difficoltà:
Nessun ✦ semplice
✦
medio
✦✦
alto
20.2 Le equazioni di Maxwell
Problemi 1-4. Applicare la legge di Ampère-Maxwell su
uno dei circuiti circolari rappresentati in Figura 20.3 per
trovare l’intensità del campo magnetico nelle posizioni
specificate.
1. Trova B fuori dal filo a una distanza dall’asse cen✦ trale r ≥ R. [Suggerimento: Il campo elettrico dentro al filo è costante e quindi non c’è un cambiamento di flusso elettrico.]
2. Trova B in corrispondenza dell’interruzione del fi✦✦ lo a una distanza dall’asse centrale r ≥ R. [ Suggerimento: Con che velocità varia il flusso elettrico in
termini di corrente I attraverso il cerchio?]
3. Trova B dentro all’interruzione del filo a una di✦ stanza dall’asse centrale r ≤ R. [ Suggerimento: Nella legge di Ampère-Maxwell ci va solamente la variazione del flusso elettrico ∆ΦE/∆t attraverso il percorso circolare.]
4. Trova B dentro al filo a una distanza dall’asse cen✦✦ trale r ≤ R. [S Suggerimento: Nella legge di Ampère-Maxwell ci va solamente la corrente attraverso il
percorso circolare.]
20.3 Antenne
5. Un trasmettitore radio ha un’antenna a forma di asta
orientata verticalmente. In un punto a sud del trasmettitore qual è l’orientazione del campo magnetico delle onde radio?
6. Usando la legge di Faraday, mostra che se l’asse di
un’antenna a dipolo magnetico è inclinato di un angolo θ rispetto al campo magnetico dell’onda EM,
la fem indotta nell’antenna è ridotta di un fattore
cos θ rispetto al suo massimo valore possibile. [Suggerimento: Assumi che, in ogni istante, il campo
magnetico sia uniforme in tutto il circuito.]
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Capitolo 20 Le onde elettromagnetiche
7. Un’antenna a dipolo magnetico è usata per rilevare
✦ un’onda elettromagnetica. L’antenna è una bobina
composta da 50 avvolgimenti con un raggio di 5 cm.
L’onda EM ha una frequenza di 870 kHz, il campo
elettrico ha un’ampiezza di 0.50 V/m e il campo
magnetico ha un’ampiezza di 1.7 × 10–9 T. (a) Per
un risultato migliore, come dovrebbe essere orientato l’asse della bobina: con il campo elettrico dell’onda, con il campo magnetico oppure con la direzione di propagazione dell’onda? (b) Assumendo
che sia correttamente allineato, qual è l’ampiezza
della fem indotta nella bobina? (Poiché la lunghezza d’onda di quest’onda è molto più grande di 5 cm
si può assumere che dentro alla bobina in ogni istante i campi sono uniformi). (c) Qual è l’ampiezza
della fem indotta in un’antenna a dipolo elettrico di
lunghezza 5 cm e allineata con il campo elettrico
dell’onda?
20.4 Spettro elettromagnetico
20.5 Velocità di un’onda
elettromagnetica nel vuoto e nella
materia
8. Qual è la lunghezza d’onda delle onde radio emesse
da una stazione radio FM alla frequenza di 90.9 MHz?
9. Qual è la frequenza delle microonde in un forno a
microonde? La lunghezza d’onda è 12 cm.
10. Negli impianti elettrici domestici americani la corrente elettrica fornita è alternata a una frequenza di
60 Hz. (a) Qual è la lunghezza d’onda dell’onda
elettromagnetica emessa da un filo percorso da corrente? (b) Confronta questa lunghezza d’onda con
il raggio terrestre. (c) A quale parte dello spettro
fanno parte queste onde?
11. Per studiare la struttura cristallina di un solido bisogna “illuminarlo” con una radiazione EM la cui lunghezza d’onda sia la stessa dello spazio degli atomi
presenti nel reticolo cristallino (0.20 nm). (a) Qual è
la frequenza della radiazione EM? (b) A quale parte
dello spettro EM (onde radio, visibile …) appartiene?
12. In musica, frequenze che hanno un rapporto di 2:1
sono chiamate un’ottava. Un orecchio estremamente sensibile può percepire suoni che vanno da 20 Hz
a 20 kHz, ossia all’incirca 10 ottave (poiché 210 =
1024 ≈ 1000). (a) All’incirca quante ottave di luce
visibile possono percepire gli occhi? (b) All’incirca di quante ottave è la larghezza della regione delle microonde?
13. Quanto vale la velocità della luce in un diamante
che ha un indice di rifrazione di 2.4168?
14. La velocità della luce in un topazio è di 1.85 × 108
m/s. Quanto vale l’indice di rifrazione del topazio?
15. Quanto tempo impiega la luce a percorrere la distanza che separa il sole dalla terra?
16. Quanto tempo impiega la luce a percorrere la distanza che separa i tuoi occhi dal testo? Assumi una
distanza di 50 cm.
17. L’indice di rifrazione dell’acqua è 1.33. (a) Qual è
la velocità della luce in acqua? (b) Qual è la lunghezza d’onda in acqua di un’onda luminosa che ha
una lunghezza d’onda nel vuoto di 515 nm?
18. Una luce che ha una lunghezza d’onda di 692 nm
viaggia in aria e attraversa una finestra di vetro che
ha indice di rifrazione di 1.52. (a) Qual è la lunghezza d’onda della luce dentro al vetro? (b) Qual
è la frequenza della luce dentro al vetro?
19. Quanto spazio percorre un fascio di luce in 1 ns?
20. Esprimendo ⑀0 e µ0 nelle unità di misura del SI, mostra che l’unica combinazione che fornisce le dimensioni della velocità è (⑀0 µ0)–1/2.
20.6 Caratteristiche delle onde
elettromagnetiche nel vuoto
21. Il campo elettrico di una microonda viaggia in aria
con una ampiezza di 0.60 mV/m e una frequenza di
30 GHz. Trova l’ampiezza e la frequenza del campo magnetico.
22. Il campo magnetico di un’onda radio che viaggia in
aria ha un’ampiezza di 2.5 × 10–11 T e una frequenza
di 3 MHz. (a) Trova l’ampiezza e la frequenza del
campo elettrico. (b) L’onda sta viaggiando nel verso –y. All’istante t = 0 in y = 0, il campo magnetico è 1.5 × 10–11 T nel verso +z. Quali sono all’istante
t = 0 e y = 0 l’intensità, la direzione e il verso del
campo elettrico?
23. Il campo magnetico di un’onda EM è By = Bm sin (kz
✦ + ω t), Bx = 0 e Bz = 0. (a) Qual è la direzione e quale il verso in cui sta viaggiando l’onda? (b) Scrivi
le espressioni per le componenti del campo elettrico di quest’onda.
24. Il campo elettrico di un’onda EM è Ey = Em sin (ky
✦ – ω t + π/6), Ex = 0 e Ez = 0. (a) Qual è la direzione e quale il verso in cui sta viaggiando l’onda? (b)
Scrivi le espressioni per le componenti del campo
magnetico di questa onda.
20.7 Energia trasportata dalle onde
elettromagnetiche
25. L’intensità della luce solare che raggiunge l’alta atmosfera terrestre è approssimativamente 1400
W/m2. (a) Qual è la densità media di energia? (b)
Trova i valori rqm del campo elettrico e del campo magnetico.
26. Un fascio cilindrico di un laser da 10 mW ha un
diametro di 0.85 cm. Qual è il valore rqm del campo elettrico?
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Problemi
27. Un pannello solare di 1 m2 montato su un satellite, che mantiene il pannello orientato perpendicolarmente alla radiazione che proviene dal sole, assorbe 1.4 kJ di energia al secondo. Il satellite si
trova a 1 AU dal sole (Si definisce 1 AU la distanza
terra-sole). Quanto tempo impiegherebbe un identico pannello solare, sempre orientato perpendicolarmente rispetto alla luce solare, ad assorbire
la stessa quantità di energia se si trovasse a 1.55
AU dal sole?
28. Dimostra che in un’onda EM che viaggia nel vuoto la densità elettrica e quella magnetica sono uguali; ossia dimostra che
1
1
ᎏᎏ⑀0E 2 = ᎏᎏB2
2
2m0
in qualsiasi punto e in qualsiasi istante di tempo.
29. Verifica che l’equazione I = 〈u〉c è dimensionalmente consistente (controlla, cioè, le unità di misura).
30. I pannelli solari sul tetto di una casa misurano 4 m
per 6 m. Assumi che essi convertano in energia elettrica il 12% dell’energia dell’onda incidente. (a)
Qual è la potenza erogata dai pannelli quando l’intensità incidente è di 1 kW/m2 e i pannelli sono perpendicolari alla luce incidente? (b) Qual è la potenza media erogata dai pannelli quando l’intensità incidente è di 0.80 kW/m2 e la luce è incidente
con un angolo di 60° rispetto alla normale al pannello? (c) Supponi che la potenza media consumata da un impianto domestico sia all’incirca di 2 kW.
Che cosa puoi dire delle potenze calcolate nei punti (a) e (b)?
819
l’intensità della luce iniziale viene trasmessa da
questa serie di polarizzatori?
0°
30.0°
60.0°
Orientazione degli assi di trasmissione. 90.0°
Gli angoli sono riferiti rispetto alla verticale.
35. Un fascio di luce polarizzato ha un’intensità I0. Vogliamo ruotare la direzione di polarizzazione di 90°
usando dei fogli polarizzatori. (a) Spiega perché
dobbiamo usare almeno due fogli. (b) Quale sarà
l’intensità trasmessa se usiamo due fogli, ciascuno
dei quali ha una direzione di polarizzazione ruotata di 45°? (c) Quale sarà l’intensità trasmessa se
usiamo quattro fogli, ciascuno dei quali ha una direzione di polarizzazione di 22.5°?
36. Microonde polarizzate verticalmente viaggiano entrando perpendicolarmente alla pagina e sono dirette verso ciascuno dei tre piatti metallici (a, b, c)
in cui ci sono delle fenditure parallele. (a) Quale
piatto trasmette meglio le microonde? (b) Quale
piatto riflette meglio le microonde? (c) Se l’intensità trasmessa attraverso il migliore trasmettitore è
I1 qual è l’intensità trasmessa attraverso il secondo
miglior trasmettitore?
20.8 Polarizzazione
31. Una luce non polarizzata passa attraverso due polarizzatori che hanno assi di polarizzazione ruotati
di 45° uno rispetto all’altro. Qual è la frazione dell’intensità della luce incidente che viene trasmessa?
32. Una luce polarizzata nella direzione x illumina due
fogli polarizzatori. Il primo ha l’asse di trasmissione
che fa un angolo θ con l’asse x, mentre l’asse di trasmissione del secondo è parallelo all’asse y. (a) Se la
luce incidente ha un’intensità I0, qual è l’intensità della luce trasmessa attraverso il secondo foglio? (b) A
quale angolo si ha la massima intensità trasmessa?
33. Una luce non polarizzata è incidente su un sistema
di tre polarizzatori. Il secondo polarizzatore rispetto al primo è orientato di 30° mentre il terzo è ruotato di 45° sempre rispetto al primo. Se la luce
uscente dal sistema ha un’intensità di 23 W/m2 qual
è l’intensità della luce incidente?
34. Una luce non polarizzata è incidente su quattro fogli polarizzanti: gli assi di trasmissione sono orientati come mostrato in figura. Quale percentuale del-
30.0°
(a)
(b)
(c)
37. Due fogli di materiale polarizzante sono posizionati con i loro assi di trasmissione ad angolo retto uno
rispetto all’altro. Un terzo foglio polarizzatore è posizionato tra loro con un asse di trasmissione ruotato di 45° rispetto agli altri due. (a) Se sul sistema
incide luce non polarizzata d’intensità I0, qual è l’intensità della luce trasmessa? (b) Qual è l’intensità
della luce trasmessa quando viene rimosso il polarizzatore centrale?
20.9 L’effetto Doppler per le onde EM
38. Se l’auto sportiva dell’Esempio 20.8 andasse più
veloce dell’auto della polizia, quanto veloce dovrebbe andare perché le microonde riflesse producano la stessa variazione in frequenza al secondo?
39. Una stella emette luce di lunghezza d’onda 659.6
nm. La lunghezza d’onda di questa luce misurata
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Capitolo 20 Le onde elettromagnetiche
sulla terra è 661.1 nm. Quanto veloce si sta muovendo la stella rispetto alla terra? Si sta avvicinando o allontanando dalla terra?
40. Quale dovrebbe essere la velocità relativa tra sorgente e ricevitore se la lunghezza d’onda di un’onda EM misurata da un ricevitore ha lunghezza d’onda doppia di quella misurata dalla sorgente? Sorgente e osservatore si stanno avvicinando oppure si
stanno allontanando?
41. A quale velocità si dovrebbe andare per vedere di
colore verde la luce rossa del semaforo? Prendi λ =
630 nm per il rosso e λ = 530 nm per il verde.
48.
49.
Problemi di riepilogo
42. L’intensità della radiazione solare che raggiunge un
pannello sulla terra è 1 kW/m2. Il pannello ha forma quadrata di lato 5 m e la normale alla superficie è inclinata di un angolo di 30° rispetto alla radiazione solare. Quanto tempo ci vorrà perché il
pannello assorba 420 kJ di energia?
43. Gli astronauti comunicavano con la base che si trova
a Houston (Stati Uniti) con onde elettromagnetiche.
C’era un notevole ritardo nella conversazione dovuto al tempo impiegato dall’onda per compiere lo spazio tra la terra e la luna. Quanto vale questo ritardo?
44. L’antenna di un telefono senza filo irradia microonde con una frequenza di 2 GHz. Qual è la lunghezza massima dell’antenna se non supera metà
della lunghezza d’onda?
45. Due segnali TV identici sono inviati tra due città
che distano 400 km. Un segnale è inviato via etere
mentre l’altro viene trasmesso attraverso una rete a
fibra ottica. I segnali sono inviati nello stesso istante ma quello che viaggia in aria arriva 7.7 × 10–4 s
prima di quello trasmesso via cavo. Qual è l’indice
di rifrazione della fibra di vetro?
46. Una stazione radio AM trasmette a 570 kHz. (a)
✦ Qual è la lunghezza d’onda in aria dell’onda radio?
(b) Se una radio è sintonizzata su questa stazione e
l’induttanza del sintonizzatore è di 0.20 mH, qual è
la capacità del sintonizzatore? (c) Nelle vicinanze
della radio l’ampiezza del campo elettrico è 0.80
V/m. La radio utilizza un’antenna a forma di bobina che ha un raggio di 1.6 cm e 50 avvolgimenti.
Qual è la massima fem indotta nell’antenna assumendo di essere nelle migliori condizioni di ricezione? Assumi che i campi siano sinusoidali in funzione del tempo.
47. Un laser pulsato da 60 mW produce una radiazione EM impulsata con una lunghezza d’onda di 1060
nm (in aria) che dura 20 ps. (a) A quale parte dello spettro elettromagnetico fa parte questo impul-
50.
51.
52.
53.
54.
so? (b) Che lunghezza (in cm) ha il singolo impulso in aria? (c) Quanto lungo in acqua (n = 1.33)?
(d) Quante lunghezze d’onda ci stanno dentro in un
impulso? (e) Qual è l’energia elettromagnetica totale di un impulso?
L’intervallo delle lunghezze d’onda assegnato alle
stazioni radio va da circa 190 m a 550 m. Se ciascuna stazione ha bisogno di una banda larga 10
kHz quante stazioni possono operare nell’intervallo indicato?
Una luce polarizzata d’intensità I0 incide su una
coppia di fogli polarizzatori. Assumendo che θ1 e
θ2 siano gli angoli tra la direzione di polarizzazione della luce incidente e gli assi di trasmissione del
primo e del secondo foglio, mostra che l’intensità
della luce trasmessa è I = I0 cos2 θ1 cos2 (θ1 – θ2).
Un fascio di luce non polarizzato si sta muovendo
lungo l’asse x. La luce passa attraverso tre polarizzatori ideali i cui assi di trasmissione sono, nell’ordine, 0°, 45° e 30° in senso antiorario dall’asse y
nel piano yz. (a) Qual è l’intensità e la polarizzazione della luce che è trasmessa dall’ultimo polarizzatore? (b) Se il polarizzatore che sta nel mezzo
viene tolto qual è l’intensità e la polarizzazione della luce che è trasmessa dall’ultimo polarizzatore?
Un forno a microonde può scaldare 350 g di acqua
da 25 °C a 100 °C in 2 minuti. (a) Con che velocità l’acqua assorbe energia? (b) Le microonde passano attraverso una guida d’onda che ha un’area trasversale di 88 cm2. Qual è l’intensità media delle
microonde nella guida d’onda? (c) Quali sono i
campi elettrico e magnetico (valori rqm) dentro alla guida d’onda?
Un onda EM sinusoidale ha un campo elettrico con
ampiezza Em = 32 mV/m. Qual è l’intensità e la densità media di energia? [Suggerimnto: Ricorda la relazione tra l’ampiezza e il valore rqm per una quantità che varia sinusoidalmente.]
L’energia trasportata da un’onda EM che viaggia in
aria può essere usata per accendere una lampadina.
Supponi che un’antenna ricevente sia attaccata alla
lampadina e che questa dissipi una potenza massima di 1.05 W quando l’antenna è allineata con il
campo elettrico uscente da una sorgente lontana. La
lunghezza d’onda della sorgente è larga in confronto
alla lunghezza dell’antenna. Quando l’antenna viene ruotata di un angolo di 20° quale sarà la potenza dissipata dalla lampadina?
Per misurare la velocità della luce Galileo e un suo
collega si posizionarono sulla cima di due monti
con delle lanterne coperte. L’esperimento consisteva in questo: Galileo scopriva la sua lanterna e
il suo collega (visibile ma su un altro monte) scopriva la sua non appena vedeva la luce. Galileo misurò il tempo trascorso da quando aveva scoperto
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Risposte ai problemi di verifica
la sua lanterna a quando aveva visto la luce di quella del suo collega. Il tempo trascorso sarebbe stato il tempo impiegato dalla luce per andare e tornare più il tempo di reazione del collega. Per determinare il tempo di reazione, Galileo ripeté
l’esperimento per diverse distanze tra lui e il suo
collega. Alla fine, Galileo trovò che il tempo impiegato era lo stesso sia che il suo collega gli fosse vicino sia che fosse lontano e concluse che la
velocità della luce era praticamente istantanea.
Supponi che il tempo di reazione del collega di
Galileo fosse 0.25 s e quello di Galileo 0.35 s.
Quanto lontane avrebbero dovuto essere le due
montagne affinché Galileo avesse potuto misurare una velocità finita della luce? È un esperimento fattibile?
55. Immagina che alcuni astronauti siano atterrati su
Marte. (a) Quando Marte e la Terra stanno dalla
stessa parte del Sole e sono nel punto in cui la distanza tra i due è minima quanto impiegano le trasmissioni radio a viaggiare da un pianeta all’altro?
(b) Supponi che gli astronauti facciano una domanda alla stazione che sta sulla Terra. Qual è il
tempo minimo che essi devono aspettare per otte-
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nere una risposta? La distanza media Marte Sole è
2.28 × 1011 m.
Risposte ai problemi di verifica
20.1 (a) Le onde EM generate da un’antenna trasmittente
si propagano in tutte le direzioni. Poiché l’onda viaggia
dal trasmettitore al ricevitore nella direzione e verso +z
(la direzione di propagazione), la direzione e verso dal
ricevitore al trasmettitore è –z. (b) Ey(t) = Em cos (kz –
ω t), dove k = 2π /λ è il numero d’onda; Ex = Ez = 0.
20.2 1 anno luce = 9.5 × 1015 m.
20.3 444nm.
20.4 I campi rqm sono proporzionali a √
I, I è proporzionale a 1/r2 e dunque i campi rqm sono proporzionali a 1/r. Erqm = 6.84 V/m; Brqm = 2.28 × 10–8 T.
20.5 450 W/m2.
20.6 Minimo zero (quando gli assi di trasmissione sono perpendicolare); massimo –12 I0 (quando gli assi di trasmissione sono paralleli).
20.7 Verticale.
20.8 4.6 kHz.
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