Esercizio 1
Due ragazzi giocano una partita che consiste nel cercare di centrare una scatola posta al suolo con un
fucile a molla montato su un tavolo. Il centro della scatola bersaglio si trova a distanza L = 2.2 m dal
bordo del tavolo. Matteo comprime la molla di xM = 1.1 cm, ma la palla lanciata dal fucile è troppo
corta di l = 27 cm. Calcolare la lunghezza di compressione della molla, xB , affinchè Benedetta riesca a
fare centro.
SOLUZIONE
Abbiamo bisogno di trovare la relazione tra la gittata (intesa come distanza orizzontale percorsa dalla
palla durante il volo) e la compressione della molla del fucile.
Scegliamo un sistema di riferimento centrato nel punto in cui la palla inizia il moto di caduta libera, asse
orizzontale z parallelo a terra e asse verticale y diretto verso il basso. In questo sdr, le equazioni che
descrivono il moto della palla durante il volo sono
z
= v0 t
1 2
y =
gt
2
q
Il tempo di volo è lo stesso per entrambi i lanci: t = 2h
g , dove h è l’altezza rispetto a terra del piano in
cui si trova il fucile. La gittata zG è quindi
s
2h
z G = v0
g
Rimane da determinare la velocità v0 con cui il fucile -tramite la molla- spara la palla. Per la conservazione
dell’energia meccanica, non agendo forze dissipative sul piano sopraelevato, vale
1 2
1
kx = mv02
2
2
q
k
.
dove x esprime la compressione della molla rispetto alla posizione di equilibrio. Si ricava v0 = x m
Vale quindi una relazione di proporzionalità diretta tra la gittata della palla e la compressione della molla:
s
2hk
zG = x
gm
Indicando con B i valori riferiti a Benedetta e con M quelli riferiti a Matteo,
zB : xB = zM : xM
da cui
x B = xM
L
zB
= xM
= 1.25 cm
zM
L−l
Esercizio 2
Due biglie di dimensione trascurabile e di masse M = 10 g e m = 5 g sono inizialmente ferme su una guida
circolare di raggio R =1 m avente attrito trascurabile. Le due biglie sono unite da un filo inestensibile di
massa trascurabile e tra loro è compressa una molla ideale, non agganciata ad esse. Ad un certo punto
il filo si rompe, la molla si estende e spinge le biglie in direzioni opposte. Dopo un certo tratto le biglie
si scontrano.
a) Calcolare l’angolo θ che identifica la posizione dell’urto.
b) Sapendo che U = 1 J è l’energia immagazzinata dalla molla, calcolare l’intervallo di tempo t che
intercorre tra la rottura del filo e l’urto.
c) Se nell’urto le biglie rimangono attaccate, calcolare la loro velocità dopo l’urto.
SOLUZIONE
a.
Quando il filo si rompe, per la conservazione della quantità di moto (~
p) le due biglie iniziano a muoversi
in direzione opposta lungo la guida. Sia V la velocità di M e v quella di m:
pi = 0 = mv + M V = pf
(1)
avendo proiettato la legge di conservazione lungo la direzione in cui partono inizialmente le due biglie.
Vale quindi
M
v=− V
(2)
m
Poichè la guida ha attrito trascurabile, queste velocità rimangono costanti in modulo durante il moto,
fino all’urto successivo.
Scegliamo un sistema di riferimento s lungo la guida tale che la biglia di massa M si muova in direzione
positiva, e la biglia di massa m in direzione negativa. Lungo la guida il moto è uniforme e lo spazio
percorso dalle due biglie è quindi sM = vM t > 0 e sm = vm t < 0. Le due biglie si urtano quando hanno
percorso in totale un tratto pari alla lunghezza della guida:
2πR = |sM | + |sm | = sM − sm = (V − v)t
L’urto avviene quindi al tempo
t=
2πR
2πR
2πR m
=
=
V −v
V (1 + M/m)
V m+M
La biglia di massa M percorre in questo intervallo di tempo un tratto sM = V t che sottende un angolo
θ=
sM
m
= 2π
= 120o
R
m+M
che risulta essere indipendente dalle velocità delle due biglie, o equivalentemente dalla compressione della
molla.
b.
Se conosciamo l’energia potenziale iniziale U0 della molla, possiamo calcolare il valore delle velocità delle
biglie. Per la conservazione dell’energia meccanica deve valere
U0 =
1
1
1
m+M
mv 2 + M V 2 = M V 2
2
2
2
m
dove si è sfruttata la relazione (2) per l’ultima uguaglianza. Si ricava
r
1
2U0 mM
V =
M
m+M
da cui
t= p
2πR
2U0 (1/m + 1/M)
= 0.26s
c.
Nel caso di urto (in questo caso completamente anelastico) tra le due biglie la quantità di moto totale
del sistema si conserva nuovamente. Poichè ora il sistema è formato da un solo corpo, di massa pari alla
somma delle due biglie, la sua velocità ~v2 sarà nulla:
0 = mv + M V = (m + M )v2
dove la prima uguaglianza è fornita dall’equazione (1).
Esercizio 3
Un cilindro di massa M = 6 kg e raggio R = 15cm è appoggiato su un piano inclinato (θ = 30o ). L’asse
del cilindro è collegato tramite un filo inestensibile di massa trascurabile ad una massa m = 5 kg. Il filo
passa sopra una carrucola di massa trascurabile che ruota senza attrito. Il sistema viene mantenuto in
quiete e al tempo t = 0 la massa m pende ad altezza h = 2 m da terra. Il sistema viene ora lasciato libero
e la massa m inizia a scendere. Si osserva che il moto del cilindro è di puro rotolamento. Calcolare:
a) La velocità, vm , con la quale la massa sospesa tocca terra.
b) L’accelerazione, am , con cui scende la massa sospesa.
c) La massima quota che raggiunge il centro di massa del cilindro rispetto alla quota che aveva a t = 0.
SOLUZIONE
a.
La velocità di m al suolo può essere calcolata facendo considerazioni energetiche. La forza di attrito,
presente sul piano inclinato, non compie lavoro poichè il moto del cilindro è di puro rotolamento, e quindi
l’energia del sistema composto dalle due masse si conserva.
Il sistema è inizialmente in quiete e la sua energia è puramente potenziale: chiamiamo h0 la quota del
cilindro al tempo t = 0, vale
Ei = mgh + M gh0
Quando la massa m raggiunge il suolo (lo chiamiamo t = t1 ), poichè il filo è inestensibile anche il centro
di massa del cilindro ha percorso un tratto h lungo il piano inclinato: la sua quota rispetto al suolo si è
alzata allora a h00 = h0 + hsinθ.
Nel momento t1 possiamo calcolare l’energia cinetica del cilindro in due modi equivalenti, per entrambi
dei quali vale v = ωR:
1
1
1
KM,1 = M v 2 + ICM ω 2 = IPC ω 2
2
2
2
Nel primo caso il puro rotolamento è composto dalla traslazione del centro di massa del cilindro con
velocità v a cui si compone la rotazione intorno al centro di massa con velocità angolare ω; in questo
caso ICM è il momento d’inerzia rispetto ad un asse passante per il centro di massa del cilindro e vale
ICM = 21 M R2 .
Nel secondo caso il puro rotolamento è descritto da una rotazione istantanea con velocità ω intorno
all’asse passante per il punto di contatto con il piano, e IPC = 23 M R2 .
Si trova KM,1 = 34 M v 2 e possiamo allora calcolare l’Energia del sistema al tempo t1 :
1
3
E1 = M gh00 + mv 2 + M v 2
2
4
La conservazione dell’energia implica
1
3
mgh + M gh0 = M gh00 + mv 2 + M v 2
2
4
da cui
r
v=
4(m − Msinθ)gh
= 2.37m/s
2m + 3M
b.
Possiamo calcolare l’accelerazione di m con considerazioni di cinematica, poichè avendo già trovato al
punto a. la velocità posseduta da m dopo aver percorso un tratto h con accelerazione a costante, dalla
ben nota relazione v 2 = v02 + 2ah si ricava (ricordando che v0 = 0)
a=
2(m − M sinθ)
v2
=
g = 1.40m/s2
2h
2m + 3M
Un’altra strada da percorrere per il calcolo di a è analizzare le forze che agiscono sugli elementi del
sistema, e i relativi momenti. Per la traslazione scegliamo un sistema di riferimento lungo il filo e diretto
lungo la direzione di moto di m (verso sinistra, dunque). Per la rotazione scegliamo un asse uscente dal
foglio, tale che la rotazione del cilindro avviene con accelerazione angolare positive a vale a = αR. Sia T
la tensione del filo e Fa la forza di attrito:
m:
mg − T = ma
T − M gsinθ − Fa = M a
a
rot : RFa = Iα = I
R
M:
(3)
(4)
(5)
Si tratta di un sistema chiuso di tre equazioni in tre incognite (a, T e Fa ). Nell’ultima equazione i
momenti delle forze sono stati calcolati rispetto al centro di massa del cilindro (si perviene allo stesso
risultato scegliendo come polo il punto di contatto). Dall’eq. (5) si ricava Fa = I Ra2 = 12 M a; sostituendo
nell’eq. (4) si ottiene
1
3
T = M gsinθ + M a + M a = M gsinθ + M a
2
2
e dalla (3)
2(m − Msinθ)
g
a=
2m + 3M
come trovato in precedenza.
c.
Al tempo t1 M ha aumentato la sua quota rispetto al suolo di ∆h1 = h00 − h0 = hsinθ e la sua energia
cinetica è KM,1 = 43 M v 2 . Quando si ferma, ancora per la conservazione dell’energia, deve valere
3
M v 2 + M gh00 = M gh000
4
e quindi
∆h2 = h000 − h00 =
3v 2
m − M sinθ
=3
h
4g
2m + 3M
Rispetto alla posizione iniziale, il cilindro si è alzato di
∆h = ∆h1 + ∆h2 =
(3 + 2sinθ)m
h = 1.43m
2m + 3M