PROBABILITA’
Nella costruzione dello spazio degli eventi la difficoltà
aumenta notevolmente laddove sia necessario fare uso
del prodotto cartesiano.
La costruzione dello spazio cartesiano richiede un grado
di astrazione più elevato di quello che occorre per le
operazioni insiemistiche di unione, intersezione e
passaggio al complementare
PROBABILITA’
Consideriamo, ad esempio, i due seguenti enunciati:
1- Lanciando un dado, qual è la probabilità di ottenere
un numero pari e multiplo di 3?
2- Lanciando un dado e una moneta, qual è la probabilità
di ottenere un numero pari sul dado e testa sulla moneta?
La struttura della frase sembra la stessa nei due casi, ma
in realtà la seconda situazione è assai più complessa
della prima
Caso 1- congiunzione di due eventi → intersezione dei
due insiemi rappresentativi
Caso 2- si deve costruire un nuovo insieme esperimento
(dado, moneta) a partire dai due già assegnati
PROBABILITA’
ESEMPIO: Lanciando due dadi indistinguibili si osserva
ad un primo lancio due punteggi uguali 1, 1; ad un
secondo lancio si osservano i punteggi diversi 2, 3.
E’ ragionevole ritenere i due risultati equiprobabili?
NO perché i due punteggi uguali possono essere ottenuti
in un solo modo, mentre punteggi diversi possono essere
ottenuti in due modi. Nel nostro caso 2 su un dado e 3
sull’altro e viceversa.
PROBABILITA’
Nel lancio dei due dadi si può tendere a contrapporre
l’evento “stesso punteggio” all’evento “punteggi
diversi”, infatti talvolta la risposta: è più probabile che
esca 2,3 rispetto a 1,1, nasce da questa convinzione. Se
viene fatto notare che 2,3 sono comunque due punteggi
prefissati e non due generici punteggi diversi tra loro,
allora la risposta, talvolta, diventa, erroneamente:
“hanno la stessa probabilità”
PROBABILITA’
Lo spazio degli eventi più idoneo a rappresentare
l’esperimento del lancio di due dadi è Ω x Ω , vale a dire
l’insieme di tutte le coppie ordinate
Ωx Ω ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),
(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,
6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(
5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
Se i dadi non sono truccati è ragionevole ritenere gli
eventi semplici equiprobabili, quindi la probabilità di
ottenere punteggio 1 su entrambi i dadi è valutata 1/36,
mentre la probabilità di ottenere su un dado 2 e sull’altro
3, corrispondente alle coppie (2,3), (3,2), vale 2/36
PROBABILITA’
Una situazione di scelte multiple:
Un’urna contiene 3 biglie rosse e 2 biglie verdi. Si
estrae a caso una prima biglia; dopo averla guardata la si
rimette nell’urna e si procede ad una seconda estrazione.
Qualè la probabilità di estrarre una biglia rossa la prima
volta e una biglia verde la seconda volta?
Lo spazio degli eventi va costruito…..
(….da una proposta didattica di Maria Sainati Nello)
PROBABILITA’
V2 R1 V2 R2 V2 R3 V2
V1 R1 V1 R2 V1 R3 V1
R3
R2
R1
R1
R2
R3
V1
V2
PROBABILITA’
RV
RV
RV
VV
VV
V RV
RV
RV
VV
VV
R
RR
RR
RR
VR
VR
RR
RR
RR
VR
VR
RR
RR
RR
VR
VR
R
V
PROBABILITA’
Lo spazio degli eventi è dato da tutte le possibili coppie
di biglie, tali che il primo elemento rappresenti la biglia
uscita nella prima estrazione e il secondo elemento la
biglia uscita nella seconda estrazione.
Facendo riferimento alla prima tabella :
I casi possibili sono 25, tutti equiprobabili fra loro
perché in ogni estrazione è indifferente scegliere una
biglia piuttosto che un’altra
I casi favorevoli all’evento considerato sono 6
La probabilità cercata P(R,V)= 6/25
PROBABILITA’
Facendo riferimento alla seconta tabella e quindi non
considerando più l’ “individualità” della biglia uscita
nella prima o nella seconda estrazione, quanto piuttosto
il suo colore.
Lo spazio degli eventi potrebbe ridursi ai quattro eventi
elementari (R,R), (R,V), (V,R), (V,V) non più
equiprobabili fra loro
Disegnando un grafo……la probabilità dell’evento
(R, V ) è data dal
prodotto delle probabilità associate ai rami che
formano il cammino stesso
PROBABILITA’
Infatti:
 i quattro “cammini” del grafo contratto
rappresentano complessivamente 5·5=25 “cammini
equiprobabili”
 il “cammino contrassegnato” rappresenta i 3·2=6
“cammini favorevoli”
p(R, V ) = (3·2)/ 5·5 = 6/25, ma anche
p(R, V ) = (3/5)·(2/5) = 6/25
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con
A l’evento “esce un punteggio inferiore a 4”
A ={1, 2, 3}
B l’evento “esce un punteggio dispari”
B = {1, 3, 5}
Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,
valuteremo le probabilità P(A) =3/6, P(B)=3/6 e quindi
P(A)=P(B)=1/2.
Supponiamo ora di essere venuti a sapere che
lanciando il dado si è ottenuto un punteggio dispari,
che cosa possiamo dire per la probabilità di A?
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Qual è la probabilità, lanciando un dado non truccato,
di ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che il
punteggio è dispari?
Noto che si è ottenuto un punteggio dispari, cambia lo
spazio degli eventi, divenendo Ω=B={1,2,3}, in questo
insieme i punteggi inferiori a 4 sono due: 1,3,
possiamo quindi dire che la probabilità di ottenere un
punteggio inferiore a 4, sapendo che il punteggio è
dispari è 2/3
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte
di ottenere due T?
Lo spazio degli eventi è
Ω={TT, TC, CT, CC}, se riteniamo ragionevole
l’equiprobabilità, valuteremo P(TT) =1/4
Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte
di ottenere due T, sapendo che al primo lancio si è
ottenuto T?
Lo spazio degli eventi diventa, in base
all’informazione ricevuta
Ω={TT, TC}, quindi la probabilità richiesta è 1/2
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte
di ottenere due T, sapendo che almeno uno dei due
lanci ha dato T?
Lo spazio degli eventi diventa, in base
all’informazione ricevuta
Ω={TT, TC, CT}, quindi in questo caso la probabilità
richiesta è 1/3
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Torniamo al primo problema:
Qual è la probabilità, lanciando un dado non truccato,
di ottenere un punteggio inferiore a 4(evento A),
sapendo che il punteggio è dispari(evento B)?
Abbiamo detto che Ω=B={1,2,3}, in questo insieme i
punteggi dispari sono due:1,3, l’insieme {1,3}
corrisponde di fatto a A∩B. Nel valutare la probabilità
di ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che il
punteggio è dispari con il numero 2/3, abbiamo scritto
di fatto il rapporto tra P(A∩B)=2/6 e P(B)=3/6,
ottenendo appunto 2/3
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
In generale, indichiamo con P(A|B) la probabilità
dell’evento A sapendo che si è verificato B, definiamo
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
Dove, ovviamente, dovrà essere P(B)>0
Chiameremo tale probabilità:
probabilità condizionale di A noto B
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Talvolta sarà utile scrivere la relazione nella forma
P(A∩B)= P(B)·P(A|B)
Tale relazione viene detta legge delle probabilità
composte
Tale relazione esprime la probabilità dell’evento
intersezione (o evento congiunto) come prodotto tra la
probabilità di uno dei due eventi e la probabilità
condizionale dell’altro.
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
ESEMPIO: Supponiamo di prendere a caso due cavie
da una gabbia che ne contiene 4 di sesso maschile(M)
e 6 di sesso femminile (F), indistinguibili tra loro. Ci
domandiamo qual è la probabilità di scegliere due
cavie entrambe di sesso F.
Possiamo pensare in termini di due estrazioni
successive dalla gabbia che contiene le cavie.
Possiamo calcolare facilmente qual è la probabilità di
prendere una cavia F alla prima estrazione, si ha
P(FI)=6/10
Possiamo quindi calcolare P(FII|FI), che esprime la
probabilità di prendere una cavia F alla seconda
estrazione, sapendo di avere preso una F alla prima.
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Si ottiene P(FII|FI)=5/9
La legge delle probabilità composte ci dice allora che
La probabilità di prendere due cavie entrambe F è
P(FI ∩ FII) = P(FI)·P(FII|FI) = (6/10)·(5/9) = 1/3
OSSERVAZIONE:Avremmo anche potuto ragionare
secondo lo schema classico, calcolando il rapporto tra
numero casi “favorevoli” e numero casi “possibili”.
Ottenendo ?…..
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
OSSERVAZIONE: Nella definizione di probabilità
condizionale, scambiando A con B, naturalmente se
P(A)>0, si ottiene
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
Per l’evento congiunto, quindi possiamo dire che vale
P(A∩B)= P(B)·P(A|B), ma anche
P(A∩B)= P(A)·P(B|A)
Dunque, possiamo dire che
P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Osserviamo che, talvolta, la probabilità di un evento A
è modificata dal sapere che si è verificato un evento B,
vale a dire P(A|B)≠P(A), come nel caso precedente
delle cavie, o nel caso del lancio del dado per l’evento
“esce un punteggio inferiore a 4” , sapendo che il
punteggio ottenuto è dispari.
Se P(A|B) > P(A) diremo che i due eventi sono
correlati positivamente, B rende A più probabile
ATTENZIONE! Questo non vuol dire che B sia una
causa di A!
Se P(A|B) < P(A) diremo che i due eventi sono
correlati negativamente, B rende A meno probabile.
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Talvolta, invece, si ottiene P(A|B)=P(A),
vale a dire che il venire a conoscenza dell’evento B
non modifica la probabilità dell’evento A
ad esempio nel caso del lancio ripetuto due volte di
una moneta, la probabilità di avere T al secondo lancio
non è modificata dalla conoscenza dell’esito del primo.
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
DEFINIZIONE: Se P(A|B) = P(A), diremo che gli
eventi A, B sono indipendenti.
Quando gli eventi sono indipendenti la legge della
probabilità composta diviene
P(A∩B) = P(A)·P(B)
Si osserva che se P(A|B) = P(A), anche P(B|A) = P(B)
(perché?…)
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
ATTENZIONE! Non confondere la proprietà di
incompatibilità con quella di indipendenza!
Due eventi A, B sono incompatibili quando A∩B=Ø
In questo caso P(A∩B) =0
Due eventi A, B sono indipendenti quando
P(A∩B) =P(A)·P(B)
Quando due eventi A, B sono sia incompatibili che
indipendenti ?……
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
ATTENZIONE! Per calcolare P(A|B), non
dimenticare di dividere P(A∩B) per P(B).
Talvolta questo errore nasce dal fatto che il problema
che stiamo risolvendo, accentra la nostra attenzione
sull’evento A∩B tanto da spingerci a identificarlo con
“A sapendo di B”.
In altri casi l’errore nasce dal fatto che, poiché
sappiamo che B si è verificato, si pensa a B come
all’evento certo e quindi a P(B)=1, ma P(B), in assenza
di informazioni è diverso da 1, mentre è, ovviamente,
P(B|B) =1.
PROBABILITA’
Eventi indipendenti- eventi dipendenti
Da un’indagine compiuta in un liceo frequentato da 384
ragazzi e 576 ragazze, risulta che soltanto 192 alunni,
di cui 120 maschi, praticano un’attività sportiva.
Scegliendo a caso un alunno di quel liceo, qual è la
probabilità che
 sia maschio?
 pratichi un’attività sportiva?
 sia un maschio e pratichi un’attività sportiva?
 qual è la probabilità che un alunno maschio pratichi
sport?
 qual è la probabilità che un alunno che pratica sport
sia maschio?
PROBABILITA’
Eventi indipendenti- eventi dipendenti
SOLUZIONI:
P(M) = 384/960
P(M∩S) = 120/960 = 0.125
P(S|M) = 120/384 = 0.3125
P(M|S) = 120/192 = 0.625
PROBABILITA’
Eventi indipendenti- eventi dipendenti
Una piccola biblioteca contiene 1550 libri, 310 dei quali
trattano argomenti di fisica; sappiamo che 465 libri sono
scritti in inglese e che, di questi, 93 sono di fisica.
Qual è la probabilità che, scegliendo un libro a caso, si
trovi
 un libro scritto in inglese?
 fra i libri di fisica un libro scritto in inglese?
 fra i libri di argomento diverso dalla fisica un libro
scritto in inglese?
PROBABILITA’
Eventi indipendenti- eventi dipendenti
Confrontando i due problemi….
Nel caso del liceo, la “concentrazione” di chi pratica
attività sportiva fra tutti gli studenti del liceo è
n(S)/n(L) = 1/5
ed è diversa dalla “concentrazione” degli studenti
maschi che praticano sport rispetto al totale dei maschi
n(S∩M)/n(M) = 120/384 = 5/16
S e M sono eventi dipendenti
PROBABILITA’
Eventi indipendenti- eventi dipendenti
Confrontando i due problemi….
Nel caso dei libri: la “concentrazione” dei libri scritti in
inglese rispetto a tutti i libri della biblioteca
n(I)/n(B) =465/1550=3/10
è la stessa della “concentrazione” di libri inglesi di
fisica rispetto a tutti i libri di fisica
n(I∩F)/n(F)=93/310=3/10
I e F sono eventi indipendenti