A) Quale è la probabilità di ottenere 10 lanciando due dadi? Se i lanci vengono ripetuti quale è
la probabilità di avere due 10 in sei lanci? E quale è la probabilità di avere almeno due 10 in
sei lanci?
Evento A {Esce una coppia di numeri la cui somma è 10},
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Casi possibili 36
Casi favorevoli 3 →P(A) = 3/36 = 1/12
a)La probabilità che A si verifichi due volte in 6 lanci è la probabilità totale delle sequenze del tipo
Esse sono in numero di C6,2 = 15 e ciascuna ha probabilità
P(2 volte 10 in 6 lanci) = 15*
≈ 0,0735
b)La probabilità che A si verifichi almeno due volte in 6 lanci può essere calcolata attraverso l’evento
complementare {A si verifica 0 volte o A si verifica 1 volta}
Probabilità dell’evento {A si verifica 0 volte} =
Probabilità dell’evento {A si verifica 1 volta} 6
La probabilità richiesta è 1-
-
≈ 0,0831.
B) Un tiratore spara ripetutamente ad un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per
ciascun tiro. Quanti tiri deve fare per avere probabilità ≥ 0,99 di colpirlo almeno una volta?
La probabilità che il tiratore non colpisca il bersaglio è 0,7 e la probabilità che non lo colpisca mai
in n tiri è (0,7) n.
Pertanto la probabilità che il bersaglio sia colpito almeno una volta in n tiri è 1-(0,7) n
Imponendo 1-(0,7) n≥0,99
Si ottiene
(0,7)n ≤0,01→ n ln(0,7) ≤ ln (0,01)→n≥ ln(0,01)/ ln (0,7) ( si cambia il verso della disuguaglianza
in virtù del fatto che ln(0,7) è un numero negativo
n≥12,91 ovvero n≥13, dovendo n essere un numero intero
C) Si scelga a caso un punto P all’interno di un triangolo equilatero il cui lato ha lunghezza 3.
Si determini la probabilità che la distanza di P da ogni vertice sia maggiore di 1.
L’insieme dei punti del triangolo aventi distanza maggiore di dai vertici , corrisponde alla zona interna al
triangolo ma esterna ai tre settori circolari evidenziati in figura.
L’area della suddetta regione che indicheremo con R , è la differenza tra l’area del triangolo e l’area
complessiva dei tre settori circolari
L’area del triangolo è
L’area complessiva dei tre settori circolari equivale a
ovvero
quindi l’area della regione R è
Possiamo considerare il numero dei casi favorevoli proporzionale all’area di R e il numero dei casi
possibili proporzionale all’area del triangolo
La probabilità richiesta è
≈ 0,5969
9) In una classe composta da 12 maschi e 8
femmine, viene scelto a caso un gruppo di 8
studenti. Qual è la probabilità che, in tale gruppo,
vi siano esattamente 4 studentesse?
Prima soluzione (utilizzando il Calcolo
Combinatorio)
Casi possibili C 20,8
Casi favorevoli C 12,4 * C8,4
La probabilità richiesta è
= 0,275 =
27,5 %
Seconda soluzione
Si consideri la probabilità totale delle sequenze del tipo MMMMFFFF che sono in numero di C8,4
Poiché ciascuna sequenza ha probabilità
Si ottiene
Risultato uguale al precedente
D)
E) [Si determini la probabilità che, lanciando 8 volte una moneta non truccata, si ottenga 4 volte testa
Si deve ottenere in uscita una sequenza del tipo TTTTCCCC realizzabile in
Poiché la probabilità della singola sequenza è si ottiene
=
OVVERO
Casi possibili
Probabilità
=
Casi favorevoli
modi diversi