Il cono retto Solido di rotazione ottenuto dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti http://www.geogebra.org/en/upload/files/italian/giovanna/ Cono_per_rotazione.html 1 Sviluppo del cono retto sviluppo del cono superficie laterale base La superficie laterale (vista sul piano) è un settore circolare in cui: arco AA' = circonferenza di base raggio del settore circolare AV = apotema Usando la formula del settore circolare: (1) per calcolare la superficie laterale del cono dovremo sostituire: e la (1) diventa: da cui le inverse: e Per l'area della superficie totale : da cui le inverse: e Per il volume : da cui le inverse: e 2 Il cono equilatero Per il cono equilatero: apotema = diametro Le formule della superficie laterale e totale diventano: In un cono equilatero la sezione principale (ottenuta da un piano passante per l'asse di rotazione) è un triangolo equilatero per il quale: La formula del volume diventa: Sviluppo del cono equilatero Lo sviluppo sul piano della superficie laterale di un cono equilatero è un settore circolare ampio 180° cioè un semicerchio. Poiché in un cono equilatero: e poiché il raggio del settore circolare e uguale all'apotema, si può scrivere: 3 Un triangolo rettangolo ha l'area di 13,5 cm 2 e il cateto maggiore lungo 6 cm. Calcoliamo la superficie totale e il volume del solido che si ottiene dalla rotazione completa del triangolo attorno al cateto minore. Dati Rappresentazione C C B' A A B Incognite B Risoluzione Poiché i tre lati del triangolo rettangolo rappresentano il raggio di base (AB), l'altezza (AC) e l'apotema del cono (BC), calcoliamo i lati mancanti: Adesso abbiamo tutti i dati a disposizione per calcolare quanto richiesto dal problema: 4 Lo sviluppo sul piano della superficie laterale di un cono è un settore circolare ampio 270° ed appartenente ad un cerchio il cui raggio è lungo 20 cm. Calcoliamo la superficie totale e il volume del cono. Dati Rappresentazione V A A' V Incognite A H B B Risoluzione Calcoliamo l'area del settore circolare che rappresenta l'area laterale del cono: Calcoliamo l'arco del settore circolare che rappresenta la circonferenza di base del cono: Nota la circonferenza di base del cono possiamo calcolare il raggio di base e di conseguenza la superficie di base : Per calcolare il volume del cono occorre prima trovare l'altezza del solido, ovvero il cateto VH del triangolo rettangolo VHA: 5 Un triangolo rettangolo con gli angoli acuti ampi 30° e 60° ha l'ipotenusa lunga 12 cm. Calcoliamo la superficie totale e il volume del solido che si ottiene facendo ruotare il triangolo attorno al cateto maggiore. Dati Rappresentazione C Incognite A B In questo tipo di triangolo il lato opposto all'angolo da 30° è la metà dell'ipotenusa e facendo ruotare il triangolo attorno al cateto maggiore si ottiene un cono in cui il diametro di base è uguale all'apotema cioè si ottiene un cono equilatero . Risoluzione 6