Esercizio
Si determini la posizione del punto P in figura, sapendo che i vettori A, B e C hanno lo stesso
modulo pari a 10 cm
Soluzione:
Esercizio
Dati due vettori, A = 2.0i + 2.0j, B = 2.0i – 4.0j, giacenti sul piano xy, calcolare:
1) Le componenti ed il modulo del vettore somma;
2) L’angolo che il vettore risultante forma con l’asse x
Soluzione:
1) Il vettore risultante R è dato da:
R = A +B = (2.0 + 2.0)i + (2.0 – 4.0)j = 4.0i – 2.0j
Rx = 4.0
Ry = -2.0
Il modulo di R si calcola con il teorema di Pitagora ed è pari a : 4.5
2) L’angolo è pari a 330°
Esercizio
Una particella, in posizione iniziale x = 0, accelera lungo l’asse delle x fino a raggiungere una
velocità di 60 Km/h in 5.0 s.
Qual è l’intensità della sua accelerazione media?
Soluzione:
Dall’equazione dell’accelerazione media, possiamo ricavare che:
a = Δv / Δt cioè a = (vf – 0)/(tf - 0) = (60 Km/h) – (0 km/h) / 5.0 s = 3.32 m/s2
60 Km/h = 16.67 m/s
Esercizio
Una particella si muove nel piano xy secono l’equazione x = -4t + 2t2. Determinare lo spostamento
e la velocità media nell’intervallo di tempo tra 1 e 3 s.
Soluzione:
x(1)= -4+2= -2m
x(3)= -12+18=+6m
Lo spostamento totale è di 8 m e la velocità media è data dal rapporto 8/2= 4m/s.
Esercizio
Un massa di 10 Kg deve percorrere nel tempo minimo un tratto di 0.5 km, partendo e arrivando da
fermo. Le caratteristiche della massa sono tali che l'accelerazione massima vale 2 m/s2, mentre in
frenata la decelerazione massima vale -3 m/s2. Supponendo che il moto sia rettilineo, determinare il
rapporto tra il tempo di decelerazione ed accelerazione, e la velocità massima raggiunta.
Soluzione:
Esercizio
In un tubo a raggi catodici di un televisore gli elettroni attraversano una regione con moto rettilineo,
sottoposto ad una accelerazione costante, Sapendo che la regione è lunga 5 m e che gli elettroni la
attraversano con una velocità v1 pari a 2 104 m/s ed escono con velocità v2 pari a 9 106 m/s.
Determinare:
a) il valore dell’accelerazione a cui sono sottoposti gli elettroni;
b) il tempo di attraversamento della regione stessa.
Soluzione:
Esercizio
Un oggetto viene lanciato verso l’alto con una velocità iniziale di 20.0 m/s. Determinare il tempo
impiegato dall’oggetto per raggiungere la sua altezza massima.
Soluzione:
Usiamo l’equazione vy = voy + ayt, notando che vy = 0 alla massima altezza. Quindi:
20.0 m/s + (-9.8 m/s2) t = 0,
da cui t = 2.04 s
Esercizio
Una palla viene lanciata verso l’alto con velocità iniziale v0. Dopo 0.6 s passa di fronte ad un piano
ad altezza h1 = 4 m dal suolo e continua a salire verso l’alto. Calcolare:
1) La velocità iniziale v0;
2) La quota massima raggiunta dalla palla.
Esercizio
Nel 1996 C. Lewis vinse la medaglia d’oro nel salto in lungo con un salto di 8.50 m. Se l’angolo
con cui spiccò il salto fu θ= 23°, calcolare, assumendo il moto parabolico, il modulo della velocità
iniziale
Soluzione:
R  v02
sin 2
g
Quindi v0 =  ((8.50 x 9.81) /0.72) = 10.8 m/s
Esercizio
Un satellite è messo in orbita su un’orbita circolare 200 Km sopra la superficie della Terra dove
l’accelerazione di gravità è 9.20 m/ s2.
Determinare la velocità del satellite
Soluzione:
Il raggio della Terra è circa 6400 Km e quindi il raggio dell’orbita sarà :
(6600 Km) + (200 Km) = 6600 Km = 6.6. 106 m
L’accelerazione centripeta del satellite è pari a 9.20 m/s2
Quindi, applicando l’eq.ne ac = v2/ R, ho:
v = √acR = 7.8 x 103 m/s
Esercizio
Si calcoli l’accelerazione centripeta di un corpo situato all’equatore terrestre. Il periodo di rotazione
è di 23h56min4s e il raggio equatoriale è circa 6378 Km. Sia g0 il valore dell’accelerazione di gravità
per la terra non rotante su se stessa. Dato che g0 = 9,81 m/s2 all’equatore, quanto vale
l’accelerazione di un sasso all’equatore?
Soluzione:
Prima si calcola v= 2r/T = 465.09 m/s e quindi ac = v2/r = 3.391x 10-2 m/s2
L’accelerazione del sasso sarebbe di : g0 – ac = 9.78 m/s2
Esercizio
Un punto materiale si muove di moto circolare uniforme con una velocità di 10 m/s su di una
circonferenza di raggio pari a 20 m . Calcolare l’accelerazione centripeta del punto materiale ed il
periodo.
Se il numero di giri al secondo aumenta a 0.5 in 30 secondi con un’accelerazione tangenziale
costante, determinare la velocità e l’accelerazione totale del punto.
Soluzione – a) L’accelerazione centripeta è pari a :
acentripeta = 102/ 20 = 5 m/s2
Il periodo è dato da T = 2πr / V= 12.56 s
b) La frequenza è pari a 0.5 Hz, quindi:
v = 2πrf = = 2π 20 ∙ 0.5 = 62,8 m/s
L’accelerazione totale è data dalla somma del’accelerazione centripeta e di quella tangenziale (che
sono a 90 ° l’una rispetto l’altra) ovvero:
at= (62.8 -10) / 30 = 1.76 m/s2
ac = v2 / r = 62.82 / 20 = 197 m/s2
quindi,
aTOT = √ at2 + ac2 = 197,2 m/s2
Esercizio
Un piccolo aereoplano decolla da un aeroporto in una giornata nuvolosa e viene avvistato più tardi a
215 Km, in una direzione che forma un angolo di 22° verso est rispetto al nord.
A che distanze verso nord e verso est si trova l’aereo quando viene avvistato?
Soluzione:
s = 215 Km
α = 22°
Θ = 90°-22° = 68°
La componente dx sarà uguale a : d cos Θ cioè =(215 Km) (cos 68°) = 81 Km
La componente dy sarà uguale a : d sin Θ cioè =(215 Km) (sin 68°) = 199 Km
L’aereo sarà quindi localizzato a ~2,0 ·102 Km verso nord e 81 Km verso est rispetto all’aeroporto.
Esercizio
Una
particella
si
muove
lungo
l’asse
delle
x.
2
2
La sua posizione in funzione del tempo è data dall’equazione x= At +B, dove A = 2.10 m/s e B =
2.80
m.
1) Determinare lo spostamento durante l’intervallo di tempo da t1=3.0 s a t2=5.0 s;
2)
Determinare
la
velocità
media
durante
questo
intervallo
di
tempo;
3) Determinare l’intensità della velocità istantanea quando t=5.0 s.
Soluzione:
1) Per t1=3.0 s, la posizione della particella è:
x1 = At12+B = (2.10 m/s2) (3.0)2 + 2.80 m = 21.7 m
Per t2=5.0 s,
la posizione della particella è: x2 = At12+B = (2.10 m/s2) (5.0)2 + 2.80 m = 55.3 m
Quindi, lo spostamento è x2 - x1 = 55.3 m – 21.7 m = 33.6 m
2) L’intensità della velocità media è:
v = x2 - x1 / t2- t1 = 33.6 / 2.0 = 16.8 m/s
3) Determiniamo la velocità istantanea per ogni tempo t (cioè determiniamo v in funzione di t)
e poniamo poi t = 5.0 s.
Per ogni tempo t, la posizione sarà x= At2+B
Per un tempo leggermente successivo, t+Δt, la posizione sarà cambiata di un valore Δx.
La nuova posizione sarà x + Δx, dove:
x + Δx = A(t+Δt)2 + B = At2+ 2At(Δt) + AΔt2 +B
Per trovare Δx, sottraiamo x= At2+B da entrambi i lati dell’equazione troviamo:
Δx = 2At(Δt) + AΔt2
La velocità media durante il tempo Δt è: v = Δx/ Δt = 2At+ AΔt
Per trovare la velocità istantanea dobbiamo far tendere Δt a zero, in modo che l’ultimo
termine sulla destra divenga zero e si avrà:
v = 2At = (4.20 m/s2 ) (t), allora per t = 5.0s avrò v = (4.20 m/s2 ) (5.0 s) = 21.0 m/s
Applicando la funzione matematica v = dx/dt = d (At2+B) / dt = 2At = (4.20 m/s2 ) (t),
Il cui valore per t = 5.0 s è v = 21.0 m/s.
Esercizio
Una
particella
si
muove
lungo
l’asse
delle
x.
2
2
La sua posizione in funzione del tempo è data dall’equazione x= At +B, dove A= 2.10 m/s e
B=2.80 m.
1) Determinare la sua accelerazione media durante l’intervallo di tempo da t1=3.0 s a t2=5.0 s;
2) Determinare la sua accelerazione istantanea in funzione del tempo.
Soluzione:
1) Nell’esercizio precedente abbiamo visto che la velocità, per ogni tempo t,
è v = (4.20 m/s2 ) (t).
Perciò per t1=3.0 s, v1 = (4.20 m/s2 ) (3.0 s) = 12.6 m/s
e per t2=5.0 s, v2 = (4.20 m/s2 ) (5.0 s) = 21.0 m/s
Quindi l’accelerazione media è:
a = (21.0 m/s) – (12.6 m/s) /5.0 – 3.0 = 4.2 m/s2
2) Usiamo l’equazione:
v d v
a  lim

t 0 t
dt
Per ogni tempo t, v = (4.20 m/s2) (t); un po’ più tardi, al tempo t +Δt, la velocità sarà
cambiata di un valore Δv, così che adesso sarà v + Δv, dove:
v + Δv = (4.20 m/s2) (t +Δt)
Quando sottriamo v = (4.20 m/s2) (t) da entrambi i lati, otteniamo:
Δv = (4.20 m/s2) (Δt)
Perciò a = 4.20 m/s2 ovvero l’accelerazione è costante e non dipende dal tempo.
Esercizio
Per utilizzare un aeroporto, un aeroplano deve raggiungere, prima di decollare, una velocità di 100
Km/h (27.8 m/s) e può accelerare a 2.0 m/s2.
Se la pista di decollo è lunga 150 m, sarà possibile a questo aereo raggiungere la sua velocità di
decollo?
Soluzione:
Usiamo l’ equazione del m.u.a. v 2  v02  2as
con x0 = 0, v0 = 0, x = 150 m e a = 2.0 m/s2,
Allora: v2 = 0 + 2 (2.0 m/s2) (150 m) = 600 m/s2
v = √ 600 m/s2 = 24.5 m/s
Sfortunatamente la lunghezza della pista non è sufficiente.
Come posso calcolare la lunghezza della pista necessaria al decollo dell’aeroplano?
Risolvendo l’eq.ne rispetto a s = x – x0
Esercizio
Un oggetto viene lasciato cadere da un’altezza h= 100 m.
Quanto tempo impiega per cadere
a) Per i primi 50 m;
b) Per i restanti 50 m.
Soluzione:
a) Per percorrere i primi 50 m, serve un tempo t1 per cui
h1 = gt2/2 (il corpo cade da fermo). Quindi t1 = 3.2 s.
b) Per percorrere h2 = 100 m, il calcolo analogo dà t2 = 4.5 s, da cui il tempo necessario per
percorrere i secondi 50 m è t2 - t1 = 1.3 s.