1) Calcolare il prezzo ad oggi di una Call europea con un albero a 2 periodi.
tasso risk free: r =3,00%;
Scadenza: 2 anni
Step: n=2
Prezzo spot del sottostante: S0=100
Strike Price: K=98
u = 1,1 e d =0,95
Svolgimento
A scadenza gli scenari possibili sono: uu, ud e dd, a cui corrispondono i seguenti prezzi del sottostante:
Suu = 121,00 , Sud = 104,50 e Sdd = 90,25.
Calcolo il valore del payoff nei diversi scenari:
Cuu = 23,00 , Cud= 6,50 e Cdd = 0,00.
Calcolo le probabilità associate ai diversi scenari:
Puu = q2 = 28,77% , Pud = 2*q*(1-q) = 49,74% e Pdd = (1-q)2=21,50%
Prezzo:
2) Calcolare il prezzo ad oggi di una Put europea con un albero a 3 periodi.
Tasso risk free: r =10,00%;
Scadenza: 3 mesi
Step: n=3 ( quindi dt = 1 mese = 30/365 = 0,0822 )
Prezzo spot del sottostante: S0=60
Strike Price: K=60
Volatilità del sottostante:
Svolgimento
Scenari a scadenza: uuu, uud, udd e ddd
(Attenzione: lo scenario uud racchiude anche gli scenari udu e duu e quindi la probabilità sarà
moltiplicata per 3, come prevede la formula:
n=3, per udd invece k=1)
Prezzi del sottostante a scadenza:
Suuu = 88,36 , Suud = 68,26 ,Sudd = 52,74 e Sddd = 40,74
Valori del Payoff a scadenza nei diversi scenari:
Cuuu = 0,00 , Cuud = 0,00 , Cudd = 7,26, Cddd = 19,26
dove in questo caso k=2 e
Probabilità associate ai diversi scenari:
Puuu = 12,49% , Puud = 3*q2*(1-q) = 37,49%, Pudd = 37,51% e Pddd = 12,51%
Prezzo: C = 5,01
3) Calcolare il prezzo ad oggi di una Put con esercizio americano utilizzando gli stessi dati dell’esercizio
precedente (“Options Futures and other derivatives” J. Hull, esercizio 18.2 pag. 430).
Svolgimento
u, d e q sono i medesimi dell’esercizio precedente.
n = 3 (esattamente come l’esercizio precedente)
Scenari: uuu, uud, udd e ddd
Prezzi del sottostante:
Suuu= 88,36 , Suud = 68,26 ,Sudd = 52,74 e Sddd = 40,74
Valori del Payoff :
Cuuu = 0,00 , Cuud = 0,00 , Cudd = 7,26, Cddd = 19,26
n=2
Scenari: uu, ud, dd
Prezzi del sottostante:
Suu = 77,66 , Sud = 60,00 e Sdd = 46,35
Payoff che si ottiene dall’esercizio anticipato (Early exercise):
0,00 ,
0,00 e
13,65
Payoff che si ottiene aspettando:
Payoff allo step n=2 (Max(EE,W):
Cuu =
=
= 0,00
Cud =
= 3,60
Cdd =
= 13,65 (l’esercizio anticipato fa variare il prezzo rispetto all’europea)
n=1
Prezzi del sottostante:
Su = 68,26 e Sd = 52,74
Payoff che si ottiene dall’esercizio anticipato (Early exercise):
EEu = 0,00 e EEd = 7,26
Payoff che si ottiene aspettando:
Payoff allo step n=1 (Max(EE,W):
Cu = 1,79 e Cd =8,56
Prezzo:
Il prezzo di un’opzione con esercizio americano è sempre > o = della medesima opzione ma con
esercizio europeo. Se i payoff calcolati nei tre periodi fossero sempre stati pari a W (cioè l’esercizio
posticipato fosse sempre meglio di quello anticipato) allora il prezzo sarebbe pari all’europea.
Inoltre valgono le seguenti osservazioni:
- Early exercise non è mai ottimo per un opzione Call su un sottostante che non paga dividendi,
ovvero il prezzo di una Call americana è sempre pari al prezzo dell’analoga Call europea se il
sottostante non paga dividendi. (intuitivamente l’esercizio è sempre ottimo a scadenza perché il
prezzo del sottostante segue un processo lognormale e quindi ha un trend crescente);
- L’early exercise può risultare ottimo invece nel caso di un’opzione Call su un sottostante che paga i
dividendi, in tal caso se l’esercizio anticipato è ottimo lo è appena prima dello stacco del dividendo.
- L’early exercise può risultare ottimo nel caso di un’opzione Put (sia che il sottostante paghi o non
paghi dividendi) come mostrato nell’esercizio appena svolto);
Sulla valutazione di opzioni americane con alberi binomiali si consiglia di svolgere anche gli esercizi
18.10 e 18.12 a pag 430 del libro “Options Futures and other derivatives” J. Hull.
4) Delta hedging:
Voglio costruire un portafoglio costituito dal derivato e da un numero di azioni tale che il rendimento
di tale portafoglio sia certo1 , ipotizzando che a scadenza il sottostante possa assumere solo due valori:
Su e Sd (albero binomiale uni periodale), ottengo che:
Quindi devo comprare un numero
di azioni pari a:
Ovvero il numero Delta è proprio la greca finanziaria Delta che è la derivata (in questo caso discreta) del
prezzo del derivato rispetto al prezzo del sottostante.
La costruzione di un portafoglio di questo tipo è detta “delta hedging”.
Proviamo ora a calcolare il Delta della Put dell’esercizio 3:
n =1
n=2
Il Delta è variabile nel tempo e non è deterministico (deve essere valutato ipotizzando un modello per il
processo del sottostante), quindi non c’è mai il Delta hedging perfetto.
5) Calcolare il prezzo di un’opzione asiatica usando un albero binomiale con tre periodi costruito nel
seguente modo:
Tasso risk free: r =10,00%;
1
Per il principio di non arbitraggio il rendimento di tale portafoglio non potrà mai essere superiore al tasso privo di
rischio.
Scadenza: 3 mesi
Step: n=3 ( quindi dt = 1 mese )
Prezzo spot del sottostante: S0=60
Strike: K = 54
Volatilità del sottostante:
Svolgimento
u, d e q sono i medesimi degli esercizi 2 e 3.
n=3
Suuu= 88,36 , Suud = 68,26 ,Sudd = 52,74 e Sddd = 40,74
n=2
Suu = 77,66 , Sud = 60,00 e Sdd = 46,35
n=1
Su = 68,26 e Sd = 52,74
Tabella di calcolo del valore dell’opzione sui diversi path
path
uuu
uud
udu
duu
udd
dud
ddu
ddd
mean
payoff
prob
78,09
24,09 12,48%
71,40
17,40 12,49%
65,51
11,51 12,49%
60,33
6,33 12,49%
60,33
6,33 12,51%
55,16
1,16 12,51%
50,61
0,00 12,51%
46,61
0,00 12,52%
Prezzo: C = 8,14 (media scontata dei valori a scadenza del Payoff)
Osservazioni:
perché il payoff è path dependent, questo perché la media aritmetica dei valori
assunti da S è diversa per i differenti path:
6) Straddle costruita come una Put + Call con i medesimi parametri dell’esercizio 2 e con volatilità apri al
30%. Diminuendo la volatilità il prezzo della strategia Straddle scende.
u = 1,138 , d= 0,879 , q =50% e (1-q) = 50% (come esercizio 2)
Scenari a scadenza: uuu, uud, udd e ddd
Prezzi del sottostante a scadenza:
Suuu= 88,36 , Suud = 68,26 ,Sudd = 52,74 e Sddd = 40,74
Valori del Payoff della Call a scadenza:
Cuuu = 28,36 , Cuud = 8,26 , Cudd = 0,00 , Cddd = 0,00
Probabilità associate ai diversi scenari:
Puuu = 12,49% , Puud = 3*q2*(1-q) = 37,49%, Pudd = 37,51% e Pddd = 12,51%
Prezzo Call ad oggi: Call = 6,47
Prezzo Put ad oggi : Put = 5,01 (vedere esercizio 2)
Prezzo ad oggi dello straddle: Straddle = Call + Put = 11,48
Se ora modifico la volatilità:
:
u = 1,090 , d= 0,918 , q =55,64% e (1-q) = 47,36%
Prezzi del sottostante a scadenza:
Suuu = 77,66 , Suud = 65,39 ,Sudd = 55,06 e Sddd = 46,35
Valori del Payoff della Put a scadenza:
Cuuu = 0,00 , Cuud = 0,00 , Cudd = 4,94 , Cddd = 13,65
Valori del Payoff della Call a scadenza:
Cuuu = 17,66 , Cuud = 5,39 , Cudd = 0,00 , Cddd = 0,00
Probabilità associate ai diversi scenari:
Puuu = 14,59% , Puud = 3*q2*(1-q) = 39,37%, Pudd = 35,42% e Pddd = 10,62%
Prezzo Call ad oggi: Call = 4,58
Prezzo Put ad oggi : Put = 3,12 (vedere esercizio 2)
Prezzo ad oggi dello straddle: Straddle = Call + Put = 7,71
7) Call americana su un sottostante che paga dividendi
Tasso risk free: r =10,00%;
Scadenza: 3 mesi
Step: n=3 ( quindi dt = 1 mese )
Prezzo spot del sottostante: S0=60
Strike: K = 54
Volatilità del sottostante:
Dividendo :
mesi e D = 2
u = 1,074 e d=0,931
q = 49,9% e 1-q =50,1%
n=3
Scenari
(Suu-D)u
(Suu-D)d
(Sud-D)u
(Sud-D)d
(Sdd-D)u
(Sdd-D)d
S
Payoff
22,65
2,65
19,62
0,00
19,34
0,00
16,76
0,00
16,47
0,00
14,27
0,00
n=2
Scenari
uu
ud
dd
S
Early exe Waiting Payoff
21,08
1,08
1,32
1,32
18,00
0,00
0,00
0,00
15,33
0,00
0,00
0,00
n=1
Scenari
u
d
S
Early exe Waiting Payoff
21,49
1,49
0,66
1,49
18,62
0,00
0,00
0,00
Price
0,74