I VETTORI DELLO SPAZIO
Riferimento cartesiano ortogonale nello spazio
Bisogna assegnare nello spazio un punto O (detto origine) e tre rette per esso a due a due
perpendicolari e orientate in modo concorde col triedro (pollice, indice e medio della mano destra) e
fissare su di esse la stessa unità di misura.
Corrispondenza biunivoca fra i punti dello spazio e le terne ordinate di numeri reali relativi
P≡(x,y,z)
P=(x,y,z)
P(x,y,z)
Il vettore applicato v in O è uguale al segmento orientato OP , con P ≠ O, v = OP , ed è individuato
da tre elementi:
1. direzione uguale alla retta individuata dai punti O e P;
indicato dalla freccia, va da O a P;
2. verso
lunghezza del segmento OP (numero reale non negativo |v|).
3. modulo
Il vettore nullo 0 è uguale al segmento OO, il cui modulo è zero, mentre la direzione e il verso sono
indeterminati.
Due vettori applicati in O sono uguali se e solo se hanno la stessa direzione, lo stesso verso e lo
stesso modulo.
E possibile definire nell’insieme dei vettori applicati in O una o più operazioni in modo da avere
strutture algebriche.
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Somma fra vettori (+ : V0 × V0 → V0)
Direzioni diverse
Se v, w hanno direzioni diverse, v + w si definisce con la regola
del parallelogramma (in d. m. v.);
•
•
Stessa direzione stesso verso
Se v, w hanno la stessa direzione e lo stesso verso, v + w si
definisce come il vettore avente la stessa direzione e lo stesso
verso, e avente come modulo la somma dei moduli;
•
Stessa direzione verso opposto
|v + w| = |v| + |w| (somma dei moduli)
Se v, w hanno la stessa direzione, verso opposto e moduli
diversi, v + w si definisce come il vettore avente la stessa
direzione dei vettori dati, verso uguale a quello di modulo
maggiore e modulo uguale alla differenza dei moduli;
•
•
Stessa direzione, verso opposto,
moduli uguali
v + w = w + v (proprietà commutativa);
|v + w| < |v| + |w|
|v + w| = |w| - |v| se |w| > |v| (differenza dei moduli)
OR = OQ + OP
se v, w hanno la stessa direzione, verso opposto e moduli
uguali, si pone
• v+w=0
Il vettore nullo è l’elemento neutro rispetto all’addizione
nell’insieme dei vettori applicati in O, giacché
•
∀vèv+0=0+v=v
Viene naturale cercare per ogni vettore v quel vettore x che sommato ad esso dia il vettore 0.
Chiameremo x opposto di v (esso è unico) se è v + x = x + v = 0 ⇒ x = -v (stessa direzione, stesso
modulo, verso opposto).
Somma di tre o più vettori
La somma tra vettori gode della proprietà associativa, cioè:
v+(w+z) = (v+w)+z
∀ v, w, z.
Ne segue che nel sommare tre o più vettori, essi si possono raggruppare a piacere.
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Osservazione 1.
L’insieme V0 (vettori applicati in O) con l’operazione binaria chiusa (+ : V0×V0 → V0),
soddisfacente le proprietà:
a) associativa;
b) commutativa;
c) ∃ elemento neutro;
d) ∀ v ∈ V0 ∃ il suo simmetrico.
è un gruppo abeliano (V0, +).
Differenza di vettori
Dati due vettori v e w, il vettore v +(-w) si chiama differenza di v e w, e si indica con v-w.
Prodotto di un numero reale a per un vettore v ( ⋅ : R×V0 → V0 con a ∈ R, v ∈ V0)
Siano v un vettore e a ∈ R. Dicesi prodotto di a per v il vettore denotato col simbolo a⋅v, così
definito:
- se v ≠ 0 e a ≠ 0, av è il vettore di:
• modulo |a| |v|, (valore assoluto di a per modulo di v)
• direzione uguale a quella di v;
• verso uguale a quello di v se a > 0, opposto di v se a < 0;
- se v = 0 oppure a = 0 è av = 0.
Osserviamo che -v = (-1)v, e che -(av) = (-a)v per ogni a ∈ R e per ogni vettore v.
Valgono inoltre ∀a,b ∈ R e ∀v, w ∈ V0 le seguenti regole di calcolo:
• (ab) ⋅ v = a ⋅ (b ⋅ v);
• (a + b) ⋅ v = a ⋅ v + b ⋅ v;
• a ⋅ (v + w) = a ⋅ v + a ⋅ w;
• 1 ⋅ v = v.
Le suddette proprietà permettono di semplificare le operazioni dove compaiono somma (+) di
vettori e prodotti di reali per vettori.
Osservazione 2.
Il gruppo abeliano (V0, +) con il prodotto esterno (⋅ : R×V0 → V0) soddisfacente le precedenti
regole di calcolo è uno spazio vettoriale su R.
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Componenti di un vettore
Nello spazio fissiamo un sistema di coordinate cartesiane Oxyz, e consideriamo i vettori applicati in
O. Se v = OP , le coordinate (a, b, c) del punto P si chiamano le componenti di v e si indicano con
vx, vy, vz.
a = vx,
b = vy,
c = vz
Due vettori si dicono uguali se e solo se hanno le componenti ordinatamente uguali.
v = w ⇔ vx = wx, vy = wy,
vz = wz
Modulo di un vettore
Il modulo di un vettore note le sue componenti è:
|v| =
(v x )2 + (v y )2 + (v z )2
Versori fondamentali
I vettori le cui componenti sono (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) hanno modulo 1 e sono chiamati versori
fondamentali del sistema di coordinate Oxyz. Essi si indicano con i, j, k. Chiaramente sono a due a
due ortogonali e individuano il sistema di riferimento.
Per ogni vettore non nullo v esiste un unico versore avente la stessa direzione e lo stesso verso di v:
questo versore è
v
, si chiama versore associato a v e si denota con il simbolo vers v.
v
Teorema di scomposizione
Una delle più importanti utilizzazioni dei versori fondamentali è data dal teorema sulla
scomposizione di ogni vettore secondo tre rette non complanari e a due a due ortogonali.
Se Oxyz è un sistema di riferimento cartesiano e i, j, k sono i versori
fondamentali, per ogni vettore v applicato in O si ha:
v = vxi + vyj + vzk
dove vx, vy, vz sono le componenti di v, e inoltre tale decomposizione è
unica.
I vettori OP x , OP y , OP z , sono unici per la regola del parallelepipedo.
Ogni vettore v = OP si può scomporre (in modo unico) nella somma di
un vettore avente la direzione dell’asse x, di un vettore avente la
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direzione dell’asse y, di un vettore avente la direzione dell’asse z e questi tre vettori si ottengono
moltiplicando ordinatamente i versori fondamentali per le componenti di v.
v = vxi + vyj + vzk
I vettori vxi, vyj, vzk sono detti anche i componenti del vettore v (da non confondersi con le
componenti del vettore v, che sono numeri).
Somma di vettori e prodotto di un numero per un vettore
Il precedente teorema permette di provare quanto segue: se v = vxi + vyj + vzk, w = wxi + wyj + wzk
ed a ∈ R si ha:
•
•
v + w = (vx + wx) i + (vy + wy) j + (vz + wz) k;
av = (avx) i +(avy) j +(avz) k.
Cioè le componenti di v + w si ottengono sommando nell’ordine le componenti di v e di w, e le
componenti di av si ottengono moltiplicando per a le componenti di v.
Vettori paralleli
Due vettori non nulli v, w si dicono paralleli ( e si scrive v//w) se hanno la stessa direzione.
Si prova che v // w ⇔ ∃ t ∈ R* con t ≠ 0, tale che w = tv, cioè: wx = tvx, wy = tvy, wz = tvz.
w
se v e w hanno lo stesso verso

v

Se v//w ⇒ t = 
− w se v e w hanno verso oposto
 v

Angolo di due vettori
Siano v = OP e w = OQ due vettori non nulli e non paralleli. L’angolo (convesso, non orientato e
compreso tra 0 e π) in O del triangolo POQ si chiama angolo formato
da v e w e si denota col simbolo vw.
Se v e w sono non nulli, poniamo:
•
•
vw = 0 ⇔ v e w hanno stessa direzione e stesso verso;
vw = π ⇔ v e w hanno stessa direzione e verso opposto;
•
vw =
π
2
⇔ v e w sono ortogonali v⊥w.
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Prodotto scalare di due vettori
Siano v e w due vettori. Il prodotto scalare di v e w denotato col simbolo v⋅w, è il numero reale
così definito:
π

> 0 ⇔ 0 ≤ vw < 2

π

v⋅w = numero reale = |v| |w| cos vw = 0 ⇔
vw =
2

π

< 0 ⇔ 2 < vw ≤ π

v = 0

Inoltre, se v⋅w = 0, allora si ha uno dei tre casi w = 0
v ⊥ w

Proprietà del prodotto scalare
Per ogni v,w,z ∈ V, a ∈ R.
1. (av)⋅w = a(v⋅w) = v⋅(aw)
2. v⋅w = w⋅v
3. v⋅(w + z) = v⋅w + v⋅z
(associativa);
(commutativa);
(distributiva).
Diciamo che due vettori v e w sono ortogonali quando v⋅w = 0. Poiché ∀ v ∈ V è 0⋅v = 0, ne segue
che il vettore nullo 0 è ortogonale a ogni vettore.
Si ha:
1. i ⋅ j = i ⋅ k = j ⋅ k = 0;
2. i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1.
3. v⋅v = |v|2 ossia v = v ⋅ v
Prodotto scalare mediante le componenti
Tenendo conto delle precedenti proprietà è possibile esprimere il prodotto scalare di due vettori
mediante le loro componenti, si ha:
v⋅w = vxwx + vywy + vzwz
Angolo di due vettori mediante le componenti dei vettori
Se v, w sono due vettori non nulli dalla definizione di prodotto scalare si ha:
cos vw =
da cui passando alle componenti:
cos vw =
v⋅w
v⋅w
v x wx + v y w y + v z wz
(v x ) 2 + (v y ) 2 + (v z ) 2 ⋅ (wx ) 2 + (w y ) 2 + (wz ) 2
Se i vettori v e w sono ortogonali (v⊥w) segue v x w x + v y w y + v z w z = 0.
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Prodotto Vettoriale
Siano v, w due vettori non nulli e non paralleli. Si chiama prodotto vettoriale di v e w, e si denota
col simbolo v∧w
il vettore avente
modulo = |v| |w| sin vw. Esso è nullo in uno dei seguenti tre casi:
1. v = 0;
2. w = 0;
3. v e w hanno la stessa direzione (paralleli), cioè vw = 0 o π.
direzione = quella ortogonale al piano individuato da v e w;
verso = quello di un osservatore con i piedi in O vede ruotare il vettore v per
sovrapporsi al vettore w nel verso antiorario dell’angolo vw.
Chiaramente tale prodotto non è commutativo, e si ha:
i∧i = 0
i∧j = k
j∧i = -k
j∧j = 0 k∧k = 0
j∧k = i k∧i = j
k∧j = -i i∧k = - j
Proprietà del prodotto vettoriale
Per ogni v,w,z ∈ V0, a ∈ R.
1. se v e w sono due vettori non nulli allora v∧w = 0 se e solo se v // w;
2. (av) ∧ w = a (v∧w),
v∧(aw) = a (v∧w);
3. v∧(w + z) = v∧w + v∧z,
(v + w) ∧ z = v∧z + w∧z (prop. distributiva del prodotto ∧
rispetto alla somma);
4. Non vale la proprietà associativa. Ad esempio i∧(i∧j) = i∧k = -j, mentre (i∧i) ∧j = 0∧j = 0.
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Prodotto vettoriale mediante le componenti
Sfruttando alcune delle precedenti proprietà, è possibile esprimere il prodotto vettoriale dei due
vettori mediante le rispettive componenti dei due vettori.Si ha:
v∧w =
vy
wy
vz
v
i− x
wz
wx
vx
vz
j+
wx
wz
vy
k,
wy
che formalmente si può scrivere:
i
j
v∧w = v x
wx
vy
wy
k
v z = (v y w z − v z w y ) i + (v z wx − v x wz ) j + (v x w y − v y wx ) k .
wz
Segue che v e w sono paralleli se e solo se:
v x w y − v y w x = 0,
v y w z − v z w y = 0,
v x wz − v z wx = 0 .
cioè (se nessuna delle componenti di w è zero) se e solo se
vy
vx
v
=
= z .
wx w y wz
Prodotto misto
Siano u, v, w tre vettori. Si chiama prodotto misto di u, v, w, e si denota u⋅v∧w, il prodotto scalare
tra il vettore u e il vettore v∧w, esso pertanto è un numero reale.
Si ha:
1. u⋅v∧w = 0 se almeno uno dei tre vettori è il vettore nullo 0, o se w//v;
2. Il prodotto misto di tre vettori non nulli è zero se e solo se i tre vettori sono complanari;
3. Il valore assoluto di u⋅v∧w è uguale al volume del parallelepipedo che ha per lati i tre
vettori.
Prodotto misto mediante le componenti
ux
uy
uz
u⋅v∧w = v x
wx
vy
wy
vz
wz
Dalle proprietà dei determinanti segue che cambiando di posto due di tali vettori, il prodotto cambia
di segno in corrispondenza di un numero dispari di scambi, mentre non cambia in presenza di un
numero pari di scambi.
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VETTORI LIBERI
Un vettore libero è un segmento orientato “libero di muoversi nello spazio senza cambiare
lunghezza, direzione e verso”. Un vettore libero si può pensare come l’insieme di tutti i segmenti
orientati concordemente aventi la stessa lunghezza e giacenti su rette parallele o sulla stessa retta.
Se AB è un segmento orientato da A a B, esso rappresenta un vettore libero, nel senso che esso è un
elemento dell’insieme V. Un altro segmento CD orientato da C a D rappresenta dunque lo stesso
vettore libero se e solo se i due segmenti giacciono su rette parallele o sulla stessa retta, hanno la
stessa lunghezza, e sono orientati concordemente.
Il vettore libero rappresentato dal segmento AB si denota col simbolo B-A o anche con le stesse
notazioni dei vettori applicati v.
Considerato un vettore libero v, per ogni punto R dello spazio esiste un vettore applicato in R che
rappresenta il vettore libero v.
Ogni vettore libero si può scrivere v = P-O, dove O è un punto fissato dello spazio. Quindi a v
corrisponde il vettore OP applicato in O, e questa corrispondenza è biunivoca.
Il modulo di un vettore libero è la lunghezza di uno qualunque dei segmenti che lo rappresentano.
Se v = P-O si ha che |v| = | OP |.
Non si confonda P-O con OP . P-O è un vettore libero, mentre OP è il vettore applicato in O che lo
rappresenta.
Operazioni con vettori liberi
È rimandata all’analoga operazione fra vettori applicati rappresentanti i vettori liberi.
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Componenti di un vettore libero
Le componenti di un vettore libero sono uguali a quelle di un suo qualsiasi vettore rappresentante
applicato.
Se v = B-A con A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) le componenti di v sono
v x = x 2 − x1 ;
v y = y 2 − y1
v z = z 2 − z1 .
e quindi
v =
(x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2
I versori liberi di componenti (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) si denotano con i, j, k rispettivamente,
come i corrispondenti versori applicati, e si chiamano anche essi versori liberi fondamentali, e per
ogni vettore libero si ha il teorema di scomposizione:
v = vxi + vyj + vzk.
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