OPTICS BY THE NUMBERS
L’Ottica Attraverso i Numeri
Michael Scalora
U.S. Army Research, Development, and Engineering Center
Redstone Arsenal, Huntsville Alabama, 35898-5000
&
Universita' di Roma "La Sapienza"
Dipartimento di Energetica
Rome, April-May 2004
Athens
1984: Montclair State College, Montclair NJ
1988: Master of Science, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy NY
1990: PhD in Physics, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy NY
1991: Huntsville
* Troy
Montclair
*
Scopo di questi seminari:
Introdurre e poi elaborare il concetto di integrazione numerica di
equazioni differenziali per studiare la propagazione e l’interazione
della luce (di solito si intende un laser) con la materia.
Ecco alcuni esempi
(i) L’oscillatore armonico (ottica, meccanica classica e quantistica...)
(ii) Diffrazione ed interferenza
(iii) Processi nonlineari: generazione di seconda e terza armonica, e
in tutto questo il ruolo dell’oscillatore armonico.
(iv) Propagazione di impulsi ultracorti (dal pico- al femto-secondo)
(v) Guide d’onda
(vi) Strutture a banda photonica (i “semiconduttori” per la luce)
(vii) Sistemi Laser
(1) Oscillatore Armonico Smorzato: L’atomo di Lorentz
Soluzioni esatte ed approssimate
(2) Slowly Varying Envelope Approximation (SVEA)
L’Atomo di Lorentz
Oscillatore Armonico Smorzato
Nucleo: ~2000 volte la massa elettronica;
i.e., massa infinita
E
In seguito al passaggio dell’onda, l’elettrone
assorbe energia ed oscilla rispetto ad un punto
di equilibrio. L’oscillazione, e quindi
l’accelerazione e decelerazione della carica,
causa la riemissione dell’energia assorbita
durante il passaggio dell’onda.
e-
x
Il Modello Classico della materia
mx  kx   x
Damped Harmonic Oscillator
Restoring
Force
Damping

2
x  x  0 x  0
m
L’energia istantanea dell’oscillatore e’ data dalla somma
di energia cinetica ed energia potenziale:
1
1
2
E 
mx 
kx 2
2
2
x
…da cui…
dE
 mxx  kxx 
dt
( mx  kx ) x   x 2
Si puo dimostrare che in genere:
<Energia Cinetica media>=<Energia Potenziale media>
una sorta di Equipartion Theorem
1
1
2
 E  mx    kx 2 
2
2
1
1
2
 mx    mx 2  m  x 2 
2
2
Raccogliendo i risultati…
dE
   x 2 

dt
 E  m  x 2 
dE

1

 
 E  
 E 
dt
m

 E  E0  e
L’energia dell’oscillatore
decade ad una rate…
 t /
 
m

Un atomo isolato nello spazio
tende ad emettere spontaneamente
in ~ 10-8 secondi.
108 sec.

  10 / sec.
15
0  10  10 / sec.
0 
  10 / sec.
 
12
15
8
2
p 

m

Ciclo ottico
p
2

 1015 sec.
 1012  1015 sec.
0

2

 108 sec.
Nella maggior parte dei casi, l’emissione spontanea
avviene in tempi molto piu lunghi del ciclo ottico, …
   p
…e di 0…
   0

2
x  x  0 x  0
m
Si suppone una soluzione del tipo:

2
    02  0
m
La soluzione sara’
oscillatoria se:


 i
2m
x  x0et

2
2




0
2m
4m 2

 0
2m
1/ 2

1 
  0 1  2 2 
 40 
La Soluzione esatta:
x(t )  e
 t /(2 )

1
 x(0) cos t 


1/ 2

1 
  0 1  2 2 
 40 

x(0) 

 x(0)  2  sin t 

1/ 2


1
  0 1 
2
2 
 16 ( /  0 ) 
 0  1; 0 
2
0
 2 ;
  104 0 (   0 )

 10 4  1
0
1/ 2


1
  0 1 
2
2 
16

(

/

)
0




1
1
10
20
  0 1 


(
)


1


(10
)


(10
)...
0
2
2
4 
( /  0 ) 
 32 ( /  0 )

x(t )  e
 t /(2 )

1
 x(0) cos 0t 
0


x(0) 

 x(0)  2  sin 0t 


x(0)  A  1;
x(0)  0
La Soluzione …
 x(0) cos 0t 



x(t )  e t /(2 )  1 
x(0) 

x
(0)

sin

t
0 
 

2


 0

A
x(t )  e
 t /(2 )


1
sin 0t 
 cos 0t 
20


1
20

1
4 ( /  0 )
Inviluppo (lento)
 1
Oscillazione (veloce)
x (t )  e  t /( 2 ) cos 0t
 0  1; 0  2 ;
  104 0 (   0 )
e
1.0
 t /( 2 )
Amplitude
0.5
x(t)
0
-0.5
-1.0
0
1000
2000
3000
Time (in units of 0)
4000
5000
1.0
Amplitude
0.5
0
-0.5
-1.0
2000
2200
2400
2600
Time (in units of 0)
2800
3000
e
1.0
0
0.5
Amplitude
 t /( 2 )
0
cos(0t )
-0.5
-1.0
2000
2020
2040
2060
2080
2100
Time (in units of 0)
Una delle piu importanti approssimazioni e’ la Slowly Varying Envelope
Approximation, SVEA: Un impulso o segnale puo generalmente essere
scomposto in un inviluppo che varia lentamente nel tempo rispetto a 0, e un
termine che oscilla sulla scala veloce determinata da 0.
Ritorniamo
all’equazione iniziale…
…e invece di supporre…

x  x  02 x  0
m
x  x0e
t
…supponiamo una soluzione del tipo…

1
 it
*
it
x(t )  p(t )e
 p (t )e
2

…ed imponiamo la SVEA, cioe che p(t) sia una
2
funzione che varia lentamente rispetto a   

sostituiamo…

x  x  02 x  0
m
x(t ) 

1
p(t )e it  p* (t )eit
2
 d 2 p (t )
d p (t )
2

2
i



p (t )

2
dt
 dt

    d p (t )  i p (t )    2 p (t )
0




 m  dt
…e si applica la SVEA…
Matematicamente questo significa…


 e  it

0

 2


d 2 p(t )
d p(t )
 
2
dt
dt
  d p(t )  2
 

2
    0  i  p(t )  0
 2i  
m  dt
m


 

2
2





i


0

d p (t )
m
 p (t )

 
dt


2
i




m


Nel limite…
  0 ( 

m
)
d p (t )


p (t );
dt
2m
p (t )  p (0)e  ( / 2 m ) t  p (0)e  t / 2

1
 it
*
it
x(t )  p(t )e
 p (t )e
2

p(t )  p(0)e ( / 2 m)t  p(0)e t / 2
x(t )  p(0)e
 t / 2
x(t )  x(0)e
e
 it
e
it

2
 t / 2
cos 0t
La SVEA in genere riduce equazioni di secondo grado ad
equazioni di primo grado, che richiedono una sola condizione
iniziale, e quindi la soluzione e’ immediata.
Sommario
(1) L’atomo di Lorentz: Soluzioni esatte ed approssimate
(2) Slowly Varying Envelope Approximation (SVEA)
(3) Da sottolineare e’ il fatto che mentre esistono metodi
e approssimazioni (e.g. SVEA) che permettono di
ottenere soluzioni accurate al problema fisico, non
sempre purtroppo e’ cosi.